Enlem

Dünya üzerinde bir küre veya elipsoid olarak bir gratikül. Kutuptan kutba uzanan çizgiler sabit boylam çizgileri ya da meridyenlerdir. Ekvatora paralel daireler sabit enlem çizgileri ya da paralellerdir. Graticule yüzeydeki noktaların enlem ve boylamlarını gösterir. Bu örnekte meridyenler 6° aralıklarla, paraleller ise 4° aralıklarla yerleştirilmiştir. ⓘ

Coğrafyada enlem, Dünya yüzeyindeki bir noktanın kuzey-güney konumunu belirten coğrafi bir koordinattır. Enlem, Ekvator'da 0° ile kutuplarda 90° (Kuzey veya Güney) arasında değişen bir açıdır (aşağıda tanımlanmıştır). Sabit enlem çizgileri ya da paraleller, ekvatora paralel daireler şeklinde doğu-batı yönünde uzanır. Enlem, Dünya yüzeyindeki özelliklerin kesin konumunu belirtmek için boylam ile birlikte kullanılır. Tek başına enlem terimi, aşağıda tanımlandığı gibi jeodezik enlem olarak alınmalıdır. Kısaca, bir noktadaki jeodezik enlem, o noktadan elipsoidal yüzeye dik (veya normal) vektör ile ekvator düzleminin oluşturduğu açıdır. Ayrıca özel uygulamalarda kullanılan altı yardımcı enlem de tanımlanmıştır. ⓘ

Arka plan

Enlem ve boylam tanımlarında iki soyutlama düzeyi kullanılmaktadır. İlk adımda fiziksel yüzey, okyanuslar üzerindeki ortalama deniz seviyesine ve bunun kara kütleleri altındaki devamına yaklaşan bir yüzey olan jeoid ile modellenir. İkinci adım, jeoidin matematiksel olarak daha basit bir referans yüzeyi ile yaklaştırılmasıdır. Referans yüzeyi için en basit seçim bir küredir, ancak jeoid bir elipsoid tarafından daha doğru bir şekilde modellenir. Bu tür referans yüzeyleri üzerindeki enlem ve boylam tanımları aşağıdaki bölümlerde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Sabit enlem ve boylam çizgileri birlikte referans yüzeyi üzerinde bir gratikül oluşturur. Gerçek yüzey üzerindeki bir noktanın enlemi, referans yüzey üzerindeki karşılık gelen noktanın enlemidir; bu karşılık, fiziksel yüzey üzerindeki noktadan geçen referans yüzey normali boyunca olur. Enlem ve boylam ile birlikte bazı yükseklik özellikleri, ISO 19111 standardının şartnamesinde tanımlandığı gibi bir coğrafi koordinat sistemi oluşturur. ⓘ

Birçok farklı referans elipsoidi olduğundan, yüzeydeki bir özelliğin kesin enlemi benzersiz değildir: bu, "koordinat referans sisteminin tam spesifikasyonu olmadan, koordinatların (yani enlem ve boylamın) en iyi ihtimalle belirsiz ve en kötü ihtimalle anlamsız olduğunu" belirten ISO standardında vurgulanmaktadır. Bu, Küresel Konumlandırma Sistemi (GPS) gibi hassas uygulamalarda büyük önem taşımaktadır, ancak yüksek hassasiyetin gerekli olmadığı yaygın kullanımda, referans elipsoidi genellikle belirtilmez. ⓘ

İngilizce metinlerde, aşağıda tanımlanan enlem açısı genellikle Yunanca küçük harf phi (ϕ veya φ) ile gösterilir. Ekvatorun kuzeyinde veya güneyinde derece, dakika ve saniye veya ondalık derece cinsinden ölçülür. Seyir amaçları için konumlar derece ve ondalık dakika cinsinden verilir. Örneğin, Needles deniz feneri 50°39.734′ N 001°35.500′ W konumundadır. ⓘ

Bu makale Dünya için koordinat sistemleri ile ilgilidir: Ay, gezegenler ve diğer gök cisimlerini (planetografik enlem) kapsayacak şekilde uyarlanabilir. ⓘ

Kısa bir tarihçe için Enlemin tarihçesi bölümüne bakınız. ⓘ

Belirleme

Göksel navigasyonda enlem, meridyen yüksekliği yöntemiyle belirlenir. Enlemin daha hassas ölçümü, teodolitleri kurmak ya da GPS uydu yörüngelerini belirlemek için Dünya'nın yerçekimi alanının anlaşılmasını gerektirir. Dünya'nın şeklinin yerçekimi alanıyla birlikte incelenmesi jeodezi bilimidir. ⓘ

Küre üzerinde enlem

Enlemin ($\phi$) ve boylam ($\lambda$) küresel bir model üzerinde tanımlanmıştır. Gratikül aralığı 10 derecedir. ⓘ

Küre üzerindeki graticule

Gratikül, Dünya'nın dönme ekseni referans alınarak oluşturulan sabit enlem ve sabit boylam çizgileri tarafından oluşturulur. Birincil referans noktaları, Dünya'nın dönme ekseninin referans yüzeyini kestiği kutuplardır. Dönme eksenini içeren düzlemler meridyenlerde yüzeyle kesişir; ve herhangi bir meridyen düzlemi ile Greenwich'ten (Asal Meridyen) geçen düzlem arasındaki açı boylamı tanımlar: meridyenler sabit boylam çizgileridir. Dünyanın merkezinden geçen ve dönme eksenine dik olan düzlem, yüzeyi Ekvator adı verilen büyük bir dairede keser. Ekvator düzlemine paralel düzlemler yüzeyi sabit enlem dairelerinde keser; bunlar paralellerdir. Ekvator'un enlemi 0°, Kuzey Kutbu'nun enlemi 90° Kuzey (90° N veya +90° olarak yazılır) ve Güney Kutbu'nun enlemi 90° Güney'dir (90° S veya -90° olarak yazılır). Rastgele bir noktanın enlemi, ekvator düzlemi ile o noktadaki yüzeyin normali arasındaki açıdır: kürenin yüzeyinin normali radyal vektör boyunca uzanır. ⓘ

Küre için bu şekilde tanımlanan enlem, jeodezik enlem ve bu makalenin sonraki bölümlerinde tanımlanan yardımcı enlemler ile karışıklığı önlemek için genellikle küresel enlem olarak adlandırılır. ⓘ

Dünya üzerinde isimlendirilmiş enlemler

Aralık gündönümünde Dünya'nın yönelimi. ⓘ

Ekvatorun yanı sıra dört paralel daha önem taşımaktadır:

Kuzey Kutup Dairesi	66° 34′ (66,57°) N
Yengeç Dönencesi	23° 26′ (23,43°) N
Oğlak Dönencesi	23° 26′ (23,43°) S
Antarktika Dairesi	66° 34′ (66,57°) S

Dünya'nın Güneş etrafındaki yörüngesinin düzlemine ekliptik denir ve Dünya'nın dönüş eksenine dik olan düzlem ekvator düzlemidir. Ekliptik ile ekvator düzlemi arasındaki açı çeşitli şekillerde eksenel eğim, eğiklik veya ekliptiğin eğimi olarak adlandırılır ve geleneksel olarak i ile gösterilir. Tropikal dairelerin enlemi i'ye eşittir ve kutup dairelerinin enlemi bunun tamamlayıcısıdır (90° - i). Dönme ekseni zaman içinde yavaşça değişir ve burada verilen değerler mevcut çağa ait değerlerdir. Zaman değişimi, eksenel eğim ile ilgili makalede daha ayrıntılı olarak ele alınmıştır. ⓘ

Şekil, Güneş'in Oğlak Dönencesi'nin bir noktasında tepede olduğu Aralık gündönümünde ekliptiğe dik ve Dünya ile Güneş'in merkezlerinden geçen düzlemin bir kesitinin geometrisini göstermektedir. Antarktika Dairesi'nin altındaki güney kutup enlemleri gündüz, Kuzey Kutup Dairesi'nin üzerindeki kuzey kutup enlemleri ise gecedir. Haziran gündönümünde Güneş Yengeç Dönencesi'nin üzerindeyken durum tersine döner. Sadece iki dönencenin arasındaki enlemlerde Güneş'in doğrudan tepede (zenitte) olması mümkündür. ⓘ

Harita projeksiyonlarında meridyenlerin ve paralellerin nasıl görünmesi gerektiğine dair evrensel bir kural yoktur. Aşağıdaki örnekler, yaygın olarak kullanılan Mercator projeksiyonu ve Transverse Mercator projeksiyonu üzerindeki adlandırılmış paralelleri (kırmızı çizgiler olarak) göstermektedir. İlkinde paraleller yatay ve meridyenler dikeyken, ikincisinde paralellerin ve meridyenlerin yatay ve dikey ile kesin bir ilişkisi yoktur: her ikisi de karmaşık eğrilerdir. ⓘ

	Normal Merkatör		Enine Merkatör	ⓘ
		\

Elipsoid üzerinde enlem

Elipsoidler

Isaac Newton 1687'de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica'yı yayınladı ve bu kitapta dengede dönen, kendi kendine çekim yapan bir akışkan cismin basık bir elipsoit biçimini aldığını kanıtladı. (Bu makalede daha eski bir terim olan sferoid yerine elipsoid terimi kullanılmıştır). Newton'un sonucu 18. yüzyılda jeodezik ölçümlerle doğrulanmıştır. (Bkz. Meridyen yayı.) Oblate elipsoid, bir elipsin kısa ekseni (minör eksen) etrafında dönmesiyle oluşan üç boyutlu yüzeydir. "Oblate ellipsoid of revolution" bu makalenin geri kalanında 'elipsoid' olarak kısaltılmıştır. (Simetri eksenine sahip olmayan elipsoidler üç eksenli olarak adlandırılır). ⓘ

Jeodezi tarihinde birçok farklı referans elipsoidi kullanılmıştır. Uydu öncesi günlerde, bir araştırmanın sınırlı alanı üzerinde jeoide iyi bir uyum sağlamak için tasarlandılar, ancak GPS'in ortaya çıkmasıyla birlikte, merkezi Dünya'nın kütle merkezinde ve küçük ekseni Dünya'nın dönüş eksenine hizalanmış referans elipsoidleri (WGS84 gibi) kullanmak doğal hale geldi. Bu jeosentrik elipsoidler genellikle jeoidin 100 m (330 ft) içindedir. Enlem bir elipsoide göre tanımlandığından, belirli bir noktanın konumu her elipsoid üzerinde farklıdır: kullanılan elipsoidi belirtmeden coğrafi bir özelliğin enlem ve boylamı tam olarak belirtilemez. Ulusal ajanslar tarafından tutulan birçok harita eski elipsoidlere dayanmaktadır, bu nedenle enlem ve boylam değerlerinin bir elipsoidden diğerine nasıl dönüştürüldüğünü bilmek gerekir. GPS el cihazları, WGS84'ü yerel referans elipsoidine ve ilişkili ızgarasına bağlayan datum dönüşümlerini gerçekleştiren bir yazılım içerir. ⓘ

Elipsoidin geometrisi

Yarıçapı a olan bir küre z ekseni boyunca sıkıştırılarak yassı bir dönel elipsoid oluşturur. ⓘ

Devir elipsoidinin şekli, minör (daha kısa) ekseni etrafında döndürülen elipsin şekli tarafından belirlenir. İki parametre gereklidir. Bunlardan biri değişmez bir şekilde yarı-büyük eksen olan ekvator yarıçapıdır, a. Diğer parametre genellikle (1) kutup yarıçapı veya yarı-büyük eksen, b; veya (2) (ilk) düzleşme, f; veya (3) dışmerkezlik, e. Bu parametreler bağımsız değildir: aşağıdaki şekilde ilişkilidirler ⓘ

$f={\frac {a-b}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.$

Diğer birçok parametre (bkz. elips, elipsoid) jeodezi, jeofizik ve harita projeksiyonları çalışmalarında ortaya çıkar, ancak hepsi a, b, f ve e kümesinin bir veya iki üyesi cinsinden ifade edilebilir. f ve e'nin her ikisi de küçüktür ve genellikle hesaplamalarda seri açılımlarda görünürler; sırasıyla 1/298 ve 0.0818 mertebesindedirler. Bir dizi elipsoid için değerler Figure of the Earth'de verilmiştir. Referans elipsoidler genellikle yarı büyük eksen ve ters düzleşme, 1/f ile tanımlanır. Örneğin, tüm GPS cihazları tarafından kullanılan WGS84 elipsoidi için tanımlayıcı değerler şunlardır

• a (ekvatoral yarıçap): Tam olarak 6378137.0 m
• 1/f (ters düzleştirme): 298.257223563 tam olarak

bunlardan türetilmiştir

• b (kutup yarıçapı): 6356752.31425 m
• e² (eksantriklik karesi): 0.00669437999014

Yarı büyük ve yarı küçük eksenler arasındaki fark yaklaşık 21 km'dir (13 mil) ve yarı büyük eksenin kesri olarak düzleşmeye eşittir; bir bilgisayar monitöründe elipsoid 300'e 299 piksel olarak boyutlandırılabilir. Bu, 300'e 300 piksellik bir küreden zorlukla ayırt edilebilir, bu nedenle resimler genellikle düzleşmeyi abartır. ⓘ

Jeodezik ve jeosentrik enlemler

Jeodezik enlem tanımı ($\phi$) ve boylam ($\lambda$) bir elipsoid üzerinde. Yüzeye olan normal, ekvator ve kutuplar dışında merkezden geçmez. ⓘ

Elipsoit üzerindeki gratikül, küre üzerindeki ile tamamen aynı şekilde oluşturulur. Bir elipsoidin yüzeyindeki bir noktadaki normal, ekvatordaki veya kutuplardaki noktalar dışında merkezden geçmez, ancak enlemin tanımı normal ile ekvator düzlemi arasındaki açı olarak değişmeden kalır. Enlem için terminoloji, ayrım yapılarak daha kesin hale getirilmelidir:

• Jeodezik enlem: normal ile ekvator düzlemi arasındaki açı. İngilizce yayınlarda standart gösterim ϕ'dir. Bu, enlem kelimesi herhangi bir niteleme yapılmadan kullanıldığında varsayılan tanımdır. Tanım, elipsoidin bir spesifikasyonu ile birlikte verilmelidir.
• Jeosentrik enlem (3D kutupsal açıdan sonra küresel enlem olarak da bilinir): yarıçap (merkezden yüzeydeki noktaya kadar) ile ekvator düzlemi arasındaki açı. (Aşağıdaki şekil). Standart bir gösterim yoktur: çeşitli metinlerden örnekler θ, ψ, q, ϕ′, ϕ_c, ϕg'yi içerir. Bu makalede θ kullanılmaktadır. ⓘ

Coğrafi enlem dikkatle kullanılmalıdır, çünkü bazı yazarlar bunu jeodezik enlemle eşanlamlı olarak kullanırken, diğerleri astronomik enleme alternatif olarak kullanmaktadır. "Enlem" (niteliksiz) normalde jeodezik enleme atıfta bulunmalıdır. ⓘ

Referans datumunun belirtilmesinin önemi basit bir örnekle açıklanabilir. WGS84 referans elipsoidinde Eyfel Kulesi'nin merkezi 48° 51′ 29″ N veya 48.8583° N jeodezik enlemine ve 2° 17′ 40″ E veya 2.2944°E boylamına sahiptir. ED50 datumundaki aynı koordinatlar, kuleden 140 metre (460 feet) uzakta olan yerdeki bir noktayı tanımlar. Bir web araması kulenin enlemi için birkaç farklı değer üretebilir; referans elipsoidi nadiren belirtilir. ⓘ

Meridyen mesafesi

Bir enlem derecesinin uzunluğu, varsayılan Dünya şekline bağlıdır. ⓘ

Küre üzerinde meridyen mesafesi

Küre üzerinde normal merkezden geçer ve enlem (ϕ) şöyledir Bu nedenle, ekvatordan ilgili noktaya kadar olan meridyen yayının merkezde yaptığı açıya eşittir. Meridyen mesafesi m(ϕ) ile gösterilirse, o zaman

$m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {degrees} }=R\phi _{\mathrm {radians} }$

Burada R, Dünya'nın ortalama yarıçapını göstermektedir. R 6,371 km veya 3,959 mile eşittir. Daha yüksek hassasiyetli sonuçlar bir elipsoid modeli gerektirdiğinden R için daha yüksek bir doğruluk uygun değildir. R için bu değerle, küre üzerindeki 1 derece enlemin meridyen uzunluğu 111.2 km'dir (69.1 statute mil) (60.0 deniz mili). 1 dakika enlemin uzunluğu 1,853 km (1,151 statute mil) (1,00 deniz mili), 1 saniye enlemin uzunluğu ise 30,8 m veya 101 fittir (bkz. deniz mili). ⓘ

Elipsoid üzerinde meridyen mesafesi

Meridyen yayı ve standart metinlerde, bir meridyen boyunca ϕ enleminden ekvatora olan mesafenin (radyan cinsinden ϕ) ile verildiği gösterilmektedir ⓘ

$m(\phi )=\int _{0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '$ ⓘ

Burada M(ϕ) meridyonel eğrilik yarıçapıdır. ⓘ

Ekvatordan kutba çeyrek meridyen mesafesi şöyledir ⓘ

$m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,$ ⓘ

WGS84 için bu mesafe 10001.965729 km'dir. ⓘ

Meridyen mesafesi integralinin değerlendirilmesi jeodezi ve harita projeksiyonu alanındaki birçok çalışmanın merkezinde yer alır. İntegral, binom serisi ile genişletilerek ve terim terim entegre edilerek değerlendirilebilir: ayrıntılar için Meridyen yayı bölümüne bakınız. Verilen iki enlem arasındaki meridyen yayının uzunluğu, integralin sınırlarının ilgili enlemlerle değiştirilmesiyle verilir. Küçük bir meridyen yayının uzunluğu şu şekilde verilir ⓘ

$\delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi$ ⓘ

$\phi$	Δ1 lat	Δ1 uzun ⓘ
0°	110.574 km	111.320 km
15°	110.649 km	107.550 km
30°	110.852 km	96.486 km
45°	111.132 km	78.847 km
60°	111.412 km	55.800 km
75°	111.618 km	28.902 km
90°	111.694 km	0.000 km

Enlem farkı π/180 radyana karşılık gelen 1 derece olduğunda, yay mesafesi yaklaşık

$\Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}$ ⓘ

Enlemler arasındaki metre cinsinden mesafe (0,01 metreye kadar doğru) $\phi$ - 0,5 derece ve $\phi$ WGS84 sferoidi üzerinde + 0.5 derece

$\Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi$ ⓘ

Bu mesafenin enlemle değişimi (WGS84 üzerinde) tabloda bir boylam derecesinin uzunluğu (doğu-batı mesafesi) ile birlikte gösterilmektedir:

$\Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,$

Herhangi bir enlem için bir hesap makinesi ABD Hükümeti'nin Ulusal Jeo-uzamsal-İstihbarat Ajansı (NGA) tarafından sağlanmaktadır. ⓘ

Aşağıdaki grafik hem bir enlem derecesinin hem de bir boylam derecesinin enlemle değişimini göstermektedir. ⓘ

Jeodezik enlem (ϕ) ve jeosentrik enlem (θ) tanımı. ⓘ

Yardımcı enlemler

Jeodezi, jeofizik ve harita projeksiyonları teorisindeki özel problemlere uygulamaları olan altı yardımcı enlem vardır:

• Jeosentrik enlem
• Parametrik (veya azaltılmış) enlem
• Enlemin düzeltilmesi
• Otantik enlem
• Konformal enlem
• İzometrik enlem

Bu bölümde verilen tanımların tümü referans elipsoidi üzerindeki konumlarla ilgilidir, ancak ilk iki yardımcı enlem, jeodezik enlem gibi, aşağıda tartışıldığı gibi üç boyutlu bir coğrafi koordinat sistemini tanımlamak için genişletilebilir. Geri kalan enlemler bu şekilde kullanılmaz; sadece referans elipsoidin düzleme harita projeksiyonlarında veya elipsoid üzerindeki jeodezik hesaplamalarda ara yapılar olarak kullanılırlar. Sayısal değerleri ilgi çekici değildir. Örneğin, hiç kimsenin Eyfel Kulesi'nin otantik enlemini hesaplamasına gerek yoktur. ⓘ

Aşağıdaki ifadeler jeodezik enlem, yarı-büyük eksen, a ve dışmerkezlik, e cinsinden yardımcı enlemleri vermektedir. (Tersleri için aşağıya bakınız.) Verilen formlar, notasyonel varyantlar dışında, harita projeksiyonları için standart referans olan J. P. Snyder'in "Map projections: a working manual" adlı kitabındakilerdir. Bu ifadelerin türevleri Adams'ta ve Osborne ve Rapp'in çevrimiçi yayınlarında bulunabilir. ⓘ

Jeosentrik enlem

Jeodezik enlem (ϕ) ve jeosentrik enlem (θ) tanımı. ⓘ

Jeosentrik enlem, ekvator düzlemi ile merkezden ilgili bir noktaya olan yarıçap arasındaki açıdır. ⓘ

Nokta elipsoidin yüzeyi üzerinde olduğunda, jeosentrik enlem (θ) ile jeodezik enlem (ϕ) arasındaki ilişki şöyledir:

$\theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.$

Elipsoidin yüzeyinde olmayan noktalar için, ilişki ek olarak elipsoidal yükseklik h'yi içerir:

$\theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)$ ⓘ

Jeodezik ve jeosentrik enlemler ekvatorda ve kutuplarda eşittir, ancak diğer enlemlerde birkaç yay dakikası kadar farklılık gösterirler. Karesel eksantriklik değerini 0.0067 olarak alırsak (elipsoid seçimine bağlıdır) maksimum fark $\phi {-}\theta$ yaklaşık 45° 6′ jeodezik enlemde yaklaşık 11,5 yay dakikası olduğu gösterilebilir. ⓘ

Parametrik enlem (veya indirgenmiş enlem)

Elipsoid üzerinde parametrik enlemin (β) tanımı.

Parametrik enlem ya da indirgenmiş enlem, β, elipsoidin merkezinden çevreleyen küre üzerindeki (a yarıçaplı) Q noktasına çizilen yarıçap ile tanımlanır ve bu nokta elipsoid üzerinde ϕ enlemindeki bir P noktasının Dünya'nın eksenine paralel izdüşümüdür. Legendre ve Bessel tarafından elipsoid üzerindeki jeodezikler için problemleri, bu daha küçük enlemi kullanarak küresel jeodezikler için eşdeğer bir probleme dönüştürerek çözen Legendre ve Bessel tarafından tanıtılmıştır. Bessel'in notasyonu, u(ϕ), mevcut literatürde de kullanılmaktadır. Parametrik enlem jeodezik enlem ile şu şekilde ilişkilidir:

$\beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)$ ⓘ

Alternatif isim, bir meridyen kesitini tanımlayan elips denkleminin parametrelendirilmesinden kaynaklanmaktadır. Kartezyen koordinatlar açısından p, minör eksenden uzaklık ve z, ekvator düzlemi üzerindeki uzaklık, elipsin denklemidir:

${\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.$ ⓘ

Noktanın kartezyen koordinatları şu şekilde parametrelendirilir

$p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;$ ⓘ

Cayley, bu denklemlerin biçimi nedeniyle parametrik enlem terimini önermiştir. ⓘ

Parametrik enlem harita projeksiyonları teorisinde kullanılmaz. En önemli uygulama alanı elipsoid jeodezikleri teorisidir (Vincenty, Karney). ⓘ

Enlemin düzeltilmesi

Düzeltici enlem, μ, kutuplardaki değeri 90 dereceye veya π/2 radyana eşit olacak şekilde ölçeklendirilmiş meridyen mesafesidir:

$\mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}$ ⓘ

Burada ekvatordan ϕ enlemine olan meridyen mesafesi şöyledir (bkz. Meridyen yayı)

$m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,$ ⓘ

ve ekvatordan kutba meridyen kadranının uzunluğu (kutup mesafesi)

$m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.$ ⓘ

Yarıçaplı bir küre üzerinde bir enlem tanımlamak için düzeltici enlemin kullanılması

$R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}$ ⓘ

elipsoitten küreye tüm meridyenlerin gerçek uzunluğa ve tek tip ölçeğe sahip olduğu bir izdüşüm tanımlar. Daha sonra küre, tüm meridyenlerin gerçek uzunluğa ve tek tip meridyen ölçeğine sahip olacağı şekilde elipsoitten düzleme çift izdüşüm vermek için bir eşkenar dörtgen izdüşüm ile düzleme izdüşürülebilir. Düzeltici enlemin kullanımına bir örnek de eşit uzaklıkta konik izdüşümdür. (Snyder, Bölüm 16). Düzeltici enlem, Enine Merkatör projeksiyonunun yapımında da büyük önem taşır. ⓘ

Otantik enlem

Otantik enlem (Yunanca "aynı alan" anlamına gelir), ξ, bir küreye alan koruyan bir dönüşüm verir.

$\xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)$ ⓘ

nerede

${\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}$ ⓘ

ve

${\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}$ ⓘ

ve kürenin yarıçapı şu şekilde alınır

$R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.$ ⓘ

Otantik enlemin kullanımına bir örnek Albers eşit alanlı konik projeksiyonudur. ⓘ

Konformal enlem

Konformal enlem, χ, küreye açı koruyan (konformal) bir dönüşüm verir. ⓘ

${\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}$ ⓘ

Burada gd(x) Gudermannian fonksiyonudur. (Mercator projeksiyonuna da bakınız.) ⓘ

Konformal enlem, elipsoitten keyfi yarıçaplı bir küreye bir dönüşüm tanımlar, öyle ki elipsoit üzerindeki herhangi iki çizgi arasındaki kesişme açısı, küre üzerindeki karşılık gelen açı ile aynıdır (böylece küçük elemanların şekli iyi korunur). Küreden düzleme bir başka konformal dönüşüm, elipsoitten düzleme konformal bir çift projeksiyon verir. Bu, böyle bir konformal projeksiyon oluşturmanın tek yolu değildir. Örneğin, elipsoid üzerindeki Transverse Mercator projeksiyonunun 'tam' versiyonu bir çift projeksiyon değildir. (Bununla birlikte, konformal enlemin karmaşık düzleme genelleştirilmesini içerir). ⓘ

İzometrik enlem

İzometrik enlem, ψ, normal Mercator projeksiyonu ve Transvers Mercator projeksiyonunun elipsoidal versiyonlarının geliştirilmesinde kullanılır. "İzometrik" adı, elipsoid üzerindeki herhangi bir noktada ψ ve λ boylamındaki eşit artışların sırasıyla meridyenler ve paraleller boyunca eşit mesafe yer değiştirmelerine yol açması gerçeğinden kaynaklanır. Sabit ψ ve sabit λ çizgileriyle tanımlanan gratikül, elipsoidin yüzeyini (değişen büyüklükte) karelerden oluşan bir ağa böler. İzometrik enlem ekvatorda sıfırdır, ancak jeodezik enlemden hızla uzaklaşarak kutuplarda sonsuza yönelir. Geleneksel gösterim Snyder'da (sayfa 15) verilmiştir:

${\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}$ ⓘ

Normal Mercator projeksiyonu için (elipsoid üzerinde) bu fonksiyon paralellerin aralığını tanımlar: projeksiyon üzerindeki ekvatorun uzunluğu E ise (uzunluk veya piksel birimleri), o zaman ϕ enlemindeki bir paralelin ekvatordan uzaklığı, y, şöyledir

$y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.$ ⓘ

İzometrik enlem ψ, konformal enlem χ ile yakından ilişkilidir:

$\psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.$ ⓘ

Paraleller arasındaki mesafelerin hesaplanması işleminde şu yol takip edilir: Aralarında uzaklığı sorulan noktalar arasındaki enlem farkı bulunur. İstenilen merkezlerin her ikisi de aynı yarım kürede ise, numarası büyük paralelden küçük paralel çıkarılır. Farklı yarım küredeler ise paraleller toplanır. ⓘ

Bulunan paralel farkı sabit uzaklık olan 111 ile çarpılır. ⓘ

Ters formüller ve seriler

Önceki bölümlerdeki formüller jeodezik enlem cinsinden yardımcı enlemi vermektedir. Jeosentrik ve parametrik enlemler için ifadeler doğrudan tersine çevrilebilir, ancak kalan dört durumda bu imkansızdır: rektifiye edici, otantik, konformal ve izometrik enlemler. İlerlemek için iki yöntem vardır.

• Birincisi, yardımcı enlemin her bir değeri için tanımlayıcı denklemin sayısal olarak ters çevrilmesidir. Mevcut yöntemler sabit nokta iterasyonu ve Newton-Raphson kök bulmadır.
  • İzometrik veya konformalden jeodeziye dönüştürürken, Newton-Raphson'un iki iterasyonu çift hassasiyetli doğruluk sağlar.
• Daha kullanışlı olan diğer bir yaklaşım ise yardımcı enlemi jeodezik enlem cinsinden bir seri olarak ifade etmek ve ardından Lagrange ters çevirme yöntemiyle seriyi ters çevirmektir. Bu tür seriler Taylor serisi açılımlarını kullanan ve katsayıları eksantriklik cinsinden veren Adams tarafından sunulmuştur. Osborne, Maxima bilgisayar cebir paketini kullanarak serileri keyfi mertebeye kadar türetmiş ve katsayıları hem dışmerkezlik hem de düzleşme cinsinden ifade etmiştir. Seri yöntemi izometrik enlem için geçerli değildir ve bir ara adımda konformal enlemi bulmak gerekir. ⓘ

Yardımcı enlemlerin sayısal karşılaştırması

Sağdaki çizim, WGS84 elipsoidi için jeodezik enlem ile izometrik enlem dışındaki yardımcı enlemler (kutuplarda sonsuza sapar) arasındaki farkı göstermektedir. Grafikte gösterilen farklar yay dakikası cinsindendir. Kuzey yarımkürede (pozitif enlemler), θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ; Güney yarımkürede (negatif enlemler), eşitsizlikler tersine döner, ekvator ve kutuplarda eşitlik vardır. Grafik 45° civarında simetrik görünse de, eğrilerin minimumu aslında 45° 2′ ile 45° 6′ arasında yer almaktadır. Bazı temsili veri noktaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Konformal ve jeosentrik enlemler neredeyse ayırt edilemez; bu durum, harita projeksiyonlarının yapımını hızlandırmak için el hesap makinelerinin kullanıldığı günlerde istismar edilen bir gerçekti. ⓘ

Düzleştirme f'sinde birinci dereceye kadar, yardımcı enlemler şu şekilde ifade edilebilir ζ = ϕ - Cf sin 2ϕ burada C sabiti şu değerleri alır [1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1, 1] için ζ = [β, ξ, μ, χ, θ]. ⓘ

Jeodezik enlemden yaklaşık fark (ϕ)

ϕ	Parametrik β − ϕ	Authalic ξ − ϕ	Düzeltme μ − ϕ	Konformal χ − ϕ	Jeosentrik θ − ϕ ⓘ
0°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′
15°	−2.88′	−3.84′	−4.32′	−5.76′	−5.76′
30°	−5.00′	−6.66′	−7.49′	−9.98′	−9.98′
45°	−5.77′	−7.70′	−8.66′	−11.54′	−11.55′
60°	−5.00′	−6.67′	−7.51′	−10.01′	−10.02′
75°	−2.89′	−3.86′	−4.34′	−5.78′	−5.79′
90°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′

Enlem ve koordinat sistemleri

Jeodezik enlem veya referans elipsoid üzerinde tanımlanan yardımcı enlemlerden herhangi biri, boylam ile birlikte bu elipsoid üzerinde iki boyutlu bir koordinat sistemi oluşturur. Keyfi bir noktanın konumunu tanımlamak için böyle bir koordinat sistemini üç boyuta genişletmek gerekir. Bu şekilde üç enlem kullanılır: jeodezik, jeosentrik ve parametrik enlemler sırasıyla jeodezik koordinatlarda, küresel kutupsal koordinatlarda ve elipsoidal koordinatlarda kullanılır. ⓘ

Jeodezik koordinatlar

Jeodezik koordinatlar P(ɸ,λ,h) ⓘ

Keyfi bir P noktasında, referans elipsoidine normal olan PN doğrusunu göz önünde bulundurun. P(ɸ,λ,h) jeodezik koordinatları, elipsoit üzerindeki N noktasının enlem ve boylamı ile PN mesafesidir. Bu yükseklik jeoid üzerindeki yükseklikten veya belirli bir konumdaki ortalama deniz seviyesinin üzerindeki yükseklik gibi bir referans yükseklikten farklıdır. PN'nin yönü de dikey bir çekül doğrultusundan farklı olacaktır. Bu farklı yüksekliklerin ilişkisi, jeoidin şekli ve ayrıca Dünya'nın yerçekimi alanı hakkında bilgi sahibi olmayı gerektirir. ⓘ

Küresel kutupsal koordinatlar

Küresel kutupsal koordinatlarla ilişkili jeosentrik koordinat P(r,θ′,λ) ⓘ

Jeosentrik enlem θ, bir noktanın koordinatlarının P(r,θ′,λ) olduğu geleneksel küresel kutupsal koordinatlarda kutupsal açının veya kolatitude θ′'nın tamamlayıcısıdır; burada r P'nin O merkezinden uzaklığı, θ′ yarıçap vektörü ile kutupsal eksen arasındaki açı ve λ boylamdır. Elipsoid üzerindeki genel bir noktadaki normal merkezden geçmediğinden, normal üzerindeki hepsi aynı jeodezik enleme sahip olan P' noktalarının farklı jeosentrik enlemlere sahip olacağı açıktır. Küresel kutupsal koordinat sistemleri yerçekimi alanının analizinde kullanılır. ⓘ

Elipsoidal-harmonik koordinatlar

Elipsoidal koordinatlar P(u,β,λ) ⓘ

Parametrik enlem üç boyutlu bir koordinat sistemine de genişletilebilir. Referans elipsoid üzerinde olmayan bir P noktası için (OA ve OB yarı eksenleri) referans elipsoid ile eş odaklı (aynı F, F′ odakları) bir yardımcı elipsoid oluşturun: gerekli koşul, yarı-büyük eksen ve dışmerkezlik çarpımı ae'nin her iki elipsoid için de aynı olmasıdır. u yardımcı elipsoidin yarı minör ekseni (OD) olsun. Ayrıca β, P'nin yardımcı elipsoit üzerindeki parametrik enlemi olsun. (u,β,λ) kümesi elipsoidal-harmonik koordinatları veya basitçe elipsoidal koordinatları tanımlar (bu terim jeodezik koordinatı ifade etmek için de kullanılır). Bu koordinatlar, dönen elipsoidal bir cisim için yerçekimi alanı modellerinde doğal seçimdir. Yukarıdakiler iki eksenli bir elipsoid (oblate spheroidal koordinatlarda olduğu gibi bir sferoid) için geçerlidir; bir genelleme için üç eksenli elipsoidal koordinatlara bakınız. ⓘ

Koordinat dönüşümleri

Yukarıdaki koordinat sistemleri ve ayrıca Kartezyen koordinatlar arasındaki ilişkiler burada sunulmamıştır. Jeodezik ve Kartezyen koordinatlar arasındaki dönüşüm Coğrafi koordinat dönüşümünde bulunabilir. Kartezyen ve küresel kutupların ilişkisi Küresel koordinat sisteminde verilmiştir. Kartezyen ve elipsoidal koordinatların ilişkisi Torge'de tartışılmıştır. ⓘ

Astronomik enlem

Astronomik enlem (Φ), ekvator düzlemi ile yüzeydeki bir noktadaki gerçek dikey yön arasındaki açıdır. Bir çekül doğrultusu olan gerçek dikey, aynı zamanda o enlemdeki yerçekimi doğrultusudur (yerçekimi ivmesi (kütle bazlı) ve merkezkaç ivmesinin sonucu). Astronomik enlem, zenit ile deklinasyonu doğru olarak bilinen yıldızlar arasında ölçülen açılardan hesaplanır. ⓘ

Genel olarak yüzeydeki bir noktadaki gerçek dikey, referans elipsoidinin normali ya da jeoidin normali ile tam olarak çakışmaz. Astronomik ve jeodezik normaller arasındaki açıya düşey sapma denir ve genellikle birkaç saniyelik bir yaydır ancak jeodezide önemlidir. Jeoid normalinden farklı olmasının nedeni, jeoidin "ortalama deniz seviyesinde" idealize edilmiş, teorik bir şekil olmasıdır. Yeryüzünün gerçek yüzeyindeki noktalar genellikle bu idealleştirilmiş jeoid yüzeyinin üstünde veya altındadır ve burada gerçek dikey biraz değişebilir. Ayrıca, belirli bir zamanda bir noktadaki gerçek dikey, teorik jeoidin ortalamasını aldığı gelgit kuvvetlerinden etkilenir. ⓘ

Astronomik enlem, astronomların gök ekvatorunun kuzey/güneyindeki yıldızların açısal konumunu belirlemek için benzer şekilde kullandıkları koordinat olan deklinasyonla (bkz. ekvator koordinatları) ya da astronomların ekliptiğin kuzey/güneyindeki yıldızların açısal konumunu belirlemek için kullandıkları koordinat olan ekliptik enlemle (bkz. ekliptik koordinatlar) karıştırılmamalıdır. ⓘ

Etkileri

Enlem; iklimi güneş ışınlarının düşme açısını, sıcaklık dağılışını, denizlerin tuzluluk oranlarını, gece ile gündüz arasındaki zaman farkını, kalıcı kar sınırı yükseltisini, yerleşme ve tarım faaliyetlerinin sınırını, bitki örtüsü çeşitliliğini, toprak çeşidini, akarsu rejimlerini, tarım ürünleri çeşitliliğini, yerleşme biçimini, hayvanların dağılışını, vs. etkiler. ⓘ

• Güneş ışınlarının düşme açısı kutuplara doğru küçülür. Işınların atmosferdeki yolu uzar. Tutulma artar ve sıcaklık da kutuplara doğru azalır.
• Denizlerin sıcaklığı ve tuzluluğu kutuplara doğru azalır.
• Matematik iklim kuşakları oluşur
• Bitki örtüsü kutuplara doğru aralıksız kuşaklar oluşturur.
• Tarımın yükselti sınırı, Toktağan kar sınırı (Daimi kar sınırı), Orman üst sınırı kutuplara doğru azalır.
• Akarsuların donma süresi kutuplara doğru kısalır.
• Gece-gündüz arasındaki zaman farkı kutuplara doğru artar. ⓘ