İndüktans

Endüktans ⓘ
Ortak semboller	L
SI birimi	henry (H)
SI temel birimlerinde	kg⋅m2⋅s-2⋅A-2
Türevleri diğer miktarlar	L = V / ( I / t ) L = Φ / I
Boyut	M1-L2-T-2-I-2

Endüktans, bir elektrik iletkeninin içinden geçen elektrik akımındaki bir değişikliğe karşı koyma eğilimidir. Elektrik akımının akışı iletken etrafında bir manyetik alan yaratır. Alanın gücü akımın büyüklüğüne bağlıdır ve akımdaki herhangi bir değişikliği takip eder. Faraday'ın indüksiyon yasasına göre, bir devre boyunca manyetik alandaki herhangi bir değişiklik, elektromanyetik indüksiyon olarak bilinen bir süreç olan iletkenlerde bir elektromotor kuvvet (EMF) (voltaj) indükler. Değişen akım tarafından oluşturulan bu indüklenmiş voltaj, akımdaki değişime karşı koyma etkisine sahiptir. Bu Lenz yasası ile ifade edilir ve gerilim geri EMF olarak adlandırılır. ⓘ

Endüktans, indüklenen gerilimin buna neden olan akımın değişim oranına oranı olarak tanımlanır. Devre iletkenlerinin geometrisine ve yakındaki malzemelerin manyetik geçirgenliğine bağlı olan bir orantı faktörüdür. Bir devreye endüktans eklemek için tasarlanmış elektronik bir bileşene endüktör denir. Tipik olarak bir bobin veya tel sarmalından oluşur. ⓘ

Endüktans terimi Oliver Heaviside tarafından Mayıs 1884'te ortaya atılmıştır. Sembolü kullanmak gelenekseldir $L$ fizikçi Heinrich Lenz'in onuruna endüktans için kullanılmıştır. SI sisteminde endüktans birimi henry (H) olup, akım saniyede bir amper hızında değişirken bir voltluk gerilime neden olan endüktans miktarıdır. Adını, Faraday'dan bağımsız olarak endüktansı keşfeden Joseph Henry'den almıştır. ⓘ

Bir devredeki öz indüksiyon L, niceliksel olarak SI birimleri kullanılarak (Weber bölü Amper, yani Henry) şu şekilde ifade edilir:

$\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}$

burada v voltajı Volt birimiyle ve i akımı Amper birimiyle ifade edilmiştir. Bu denklemin en basit çözümü için ya sabit bir akım düşünülmelidir ya da zamana bağlı olarak doğrusal değişen bir akım düşünülmelidir. Birincisinde voltaj sıfırdır, ikincisinde ise sabit bir voltaj değeri vardır. ⓘ

Durumu genelleştirecek olursak, K sayıda elektrik devresi düşünelim ve bunların elektrik akımları i_m, voltajları ise v_m olsun, buna göre:

$\displaystyle v_{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {di_{n}}{dt}}.$ ⓘ

Burada indüktans simetrik bir matristir. Köşegende bulunan katsayılar L_m,m öz indüksiyon katsayılarıdır, diğer katsayılarsa karşılıklı indüktans katsayılarıdır. Doğrusal olmayan özelliklere sahip hiçbir mıknatıslanabilir madde olmadığında bu indüktans katsayıları sabittir. Bu, doğrudan Maxwell denklemlerinin alanlarda ve akım yoğunluklarındaki doğrusallığının (lineer) doğrudan bir sonucudur. Doğrusal olmayan durumlarda ise indüksiyon katsayıları akımın bir fonksiyonu şeklinde ifade edilir, bakınız doğrusal olmayan indüktans ⓘ

Tarih

Elektromanyetizmanın bir yönü olan elektromanyetik indüksiyonun tarihi, eskilerin gözlemleriyle başlamıştır: elektrik yükü veya statik elektrik (kehribara ipek sürtme), elektrik akımı (şimşek) ve manyetik çekim (lodestone). Bu doğa güçlerinin birliğinin anlaşılması ve elektromanyetizmanın bilimsel teorisi 18. yüzyılın sonlarında başlamıştır. ⓘ

Elektromanyetik indüksiyon ilk olarak 1831 yılında Michael Faraday tarafından tanımlanmıştır. Faraday deneyinde, iki teli demir bir halkanın zıt taraflarına sardı. Tellerden birinden akım geçmeye başladığında, bir tür dalganın halkadan geçerek karşı tarafta elektriksel bir etkiye yol açmasını bekliyordu. Bir galvanometre kullanarak, bir pilin ilk bobine her bağlanışında veya çıkarılışında ikinci tel bobininde geçici bir akım akışı gözlemledi. Bu akım, pil bağlandığında ve çıkarıldığında meydana gelen manyetik akıdaki değişim tarafından indükleniyordu. Faraday elektromanyetik indüksiyonun başka tezahürlerini de buldu. Örneğin, bir çubuk mıknatısı bir tel bobininin içine ve dışına hızla kaydırdığında geçici akımlar gördü ve çubuk mıknatısın yakınındaki bir bakır diski kayan bir elektrik kablosuyla ("Faraday'ın diski") döndürerek sabit (DC) bir akım üretti. ⓘ

Endüktans kaynağı

Bir akım $i$ Bir iletkenden akan manyetik alan, iletkenin etrafında Ampere'in devre yasası ile tanımlanan bir manyetik alan oluşturur. Bir devreden geçen toplam manyetik akı $\Phi$ manyetik akı yoğunluğunun dik bileşeni ile akım yolunu kapsayan yüzeyin alanının çarpımına eşittir. Akım değişirse, manyetik akı $\Phi$ devre boyunca değişir. Faraday'ın indüksiyon yasasına göre, bir devre boyunca akıdaki herhangi bir değişiklik bir elektromotor kuvveti (EMF) veya voltajı indükler ${\mathcal {E}}$ akı değişim oranı ile orantılı olarak devrede ⓘ

$${\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)$$

ⓘ

Denklemdeki negatif işaret, indüklenen voltajın, onu yaratan akımdaki değişikliğe karşıt bir yönde olduğunu gösterir; buna Lenz yasası denir. Bu nedenle potansiyele geri EMF denir. Eğer akım artıyorsa, gerilim iletkenin akımın girdiği ucunda pozitif, çıktığı ucunda ise negatiftir ve akımı azaltma eğilimindedir. Akım azalıyorsa, voltaj akımın iletkeni terk ettiği uçta pozitiftir ve akımı koruma eğilimindedir. Öz-indüktans, genellikle sadece indüktans olarak adlandırılır, $L$ indüklenen gerilim ile akımın değişim oranı arasındaki orandır ⓘ

$$v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;$$

ⓘ

Dolayısıyla endüktans, manyetik alanı nedeniyle devre boyunca akımdaki değişikliklere karşı çıkma eğiliminde olan bir iletken veya devrenin bir özelliğidir. SI sistemindeki endüktans birimi, adını Amerikalı bilim adamı Joseph Henry'den alan henry (H) olup, akım saniyede bir amper hızında değişirken bir voltluk bir voltaj üreten endüktans miktarıdır. ⓘ

Tüm iletkenler, pratik elektrikli cihazlarda arzu edilen veya zararlı etkilere sahip olabilen bir miktar endüktansa sahiptir. Bir devrenin endüktansı akım yolunun geometrisine ve yakındaki malzemelerin manyetik geçirgenliğine bağlıdır; bir iletkenin yakınındaki demir gibi daha yüksek geçirgenliğe sahip ferromanyetik malzemeler manyetik alanı ve endüktansı artırma eğilimindedir. Belirli bir akım tarafından üretilen devre boyunca akıyı (toplam manyetik alan) artıran bir devrede yapılan herhangi bir değişiklik endüktansı artırır, çünkü endüktans aynı zamanda manyetik akının akıma oranına eşittir ⓘ

$$L={\Phi (i) \over i}$$

ⓘ

Bir indüktör, bir devreye endüktans eklemek için manyetik akıyı artırmak üzere şekillendirilmiş bir iletkenden oluşan elektrikli bir bileşendir. Tipik olarak bir bobin veya helezon şeklinde sarılmış bir telden oluşur. Sarmal bir tel, aynı uzunluktaki düz bir telden daha yüksek bir endüktansa sahiptir, çünkü manyetik alan çizgileri devreden birden çok kez geçer, birden çok akı bağlantısına sahiptir. Endüktans, tam akı bağlantısı varsayıldığında, bobindeki sarım sayısının karesi ile orantılıdır. ⓘ

Bir bobinin endüktansı, merkezdeki deliğe ferromanyetik malzemeden manyetik bir çekirdek yerleştirilerek artırılabilir. Bobinin manyetik alanı çekirdeğin malzemesini manyetize ederek manyetik alanlarını hizalar ve çekirdeğin manyetik alanı bobininkine eklenerek bobinden geçen akıyı artırır. Buna ferromanyetik çekirdekli indüktör denir. Manyetik bir çekirdek, bir bobinin endüktansını binlerce kat artırabilir. ⓘ

Birden fazla elektrik devresi birbirine yakın yerleştirilmişse, birinin manyetik alanı diğerinden geçebilir; bu durumda devrelerin endüktif olarak bağlandığı söylenir. Faraday'ın indüksiyon yasası nedeniyle, bir devredeki akımdaki bir değişiklik, başka bir devrede manyetik akıda bir değişikliğe neden olabilir ve böylece başka bir devrede bir voltaj indükleyebilir. Endüktans kavramı bu durumda karşılıklı endüktans tanımlanarak genelleştirilebilir $M_{k,\ell }$ devre $k$ ve devre $\ell$ devrede indüklenen gerilimin oranı olarak $\ell$ devredeki akımın değişim oranına $k$. Bir transformatörün arkasındaki prensip budur. Bir iletkenin kendi üzerindeki etkisini tanımlayan özelliğe daha kesin olarak öz endüktans denir ve değişen akımla bir iletkenin yakındaki iletkenler üzerindeki etkilerini tanımlayan özelliklere karşılıklı endüktans denir. ⓘ

Öz endüktans ve manyetik enerji

Endüktanslı bir iletkenden geçen akım artıyorsa, bir gerilim $v(t)$ İletkenin direncinin neden olduğu voltaj düşüşüne ek olarak, iletken boyunca akıma zıt bir polarite ile indüklenir. Devreden akan yükler potansiyel enerji kaybeder. Bu "potansiyel tepenin" üstesinden gelmek için gereken dış devreden gelen enerji, iletken etrafındaki artan manyetik alanda depolanır. Bu nedenle, bir indüktör enerjiyi manyetik alanında depolar. Herhangi bir zamanda $t$ güç $p(t)$ depolanan enerjinin değişim oranına eşit olan manyetik alana akan $U$'nin çarpımıdır. $i(t)$ ve voltaj $v(t)$ iletken boyunca ⓘ

$$p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)$$

ⓘ

Yukarıdaki (1)'den ⓘ

$${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}$$

ⓘ

Akım olmadığında manyetik alan da yoktur ve depolanan enerji sıfırdır. Direnç kayıpları ihmal edildiğinde, enerji $U$ (SI cinsinden joule olarak ölçülür) bir akım ile bir endüktans tarafından depolanır $I$ Endüktansın içinden geçen akımı sıfırdan kurmak için gereken iş miktarına ve dolayısıyla manyetik alana eşittir. Bu şu şekilde verilir:

$$U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,$$

ⓘ

Eğer endüktans $L(i)$ akım aralığı boyunca sabittir, depolanan enerji ⓘ

$${\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}$$

ⓘ

Dolayısıyla endüktans, belirli bir akım için manyetik alanda depolanan enerjiyle de orantılıdır. Bu enerji, akım sabit kaldığı sürece depolanır. Akım azalırsa, manyetik alan azalır ve iletkende ters yönde, akımın girdiği uçta negatif ve çıktığı uçta pozitif bir voltaj indükler. Bu, depolanmış manyetik enerjiyi dış devreye geri döndürür. ⓘ

Manyetik nüveli bir indüktörde olduğu gibi iletkenin yakınında ferromanyetik malzemeler bulunuyorsa, yukarıdaki sabit indüktans denklemi yalnızca manyetik akının doğrusal bölgeleri için, indüktansın yaklaşık olarak sabit olduğu ferromanyetik malzemenin doyuma ulaştığı seviyenin altındaki akımlarda geçerlidir. Eğer indüktördeki manyetik alan nüvenin doyuma ulaştığı seviyeye yaklaşırsa, indüktans akımla birlikte değişmeye başlar ve integral denklemi kullanılmalıdır. ⓘ

Endüktif reaktans

Gerilim ($v$, mavi) ve akım ($i$, kırmızı) alternatif akım uygulanan ideal bir indüktördeki dalga şekilleri. Akım gerilimi 90° geciktirir ⓘ

Sinüzoidal bir alternatif akım (AC) doğrusal bir endüktans üzerinden geçerken, indüklenen geri-EMF de sinüzoidaldir. Eğer endüktansın içinden geçen akım $i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)$Yukarıdaki (1)'den, üzerindeki gerilim

$${\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}$$

ⓘ

nerede $I_{\text{peak}}$ amper cinsinden sinüzoidal akımın genliğidir (tepe değeri), $\omega =2\pi f$ alternatif akımın açısal frekansıdır ve $f$ hertz cinsinden frekansı ve $L$ endüktans değeridir. ⓘ

Böylece endüktans boyunca gerilimin genliği (tepe değeri) ⓘ

$$V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}$$

ⓘ

Endüktif reaktans, bir indüktörün alternatif bir akıma karşı koymasıdır. Bir dirençteki elektrik direncine benzer şekilde, alternatif voltajın genliğinin (tepe değeri) bileşendeki akıma oranı olarak tanımlanır ⓘ

$$X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L$$

ⓘ

Reaktans ohm birimine sahiptir. Bir indüktörün endüktif reaktansının frekansla orantılı olarak arttığı görülebilir $f$Bu nedenle bir indüktör, frekans arttıkça belirli bir uygulanan AC voltajı için daha az akım iletir. Akım artarken indüklenen gerilim en büyük olduğundan, gerilim ve akım dalga biçimleri faz dışıdır; gerilim tepe noktaları her döngüde akım tepe noktalarından daha önce meydana gelir. Akım ve indüklenen gerilim arasındaki faz farkı şöyledir $\phi ={\tfrac {1}{2}}\pi$ radyan veya 90 derece, ideal bir indüktörde akımın voltajı 90° geciktirdiğini gösterir. ⓘ

Endüktansın hesaplanması

En genel durumda, endüktans Maxwell denklemlerinden hesaplanabilir. Birçok önemli durum basitleştirmeler kullanılarak çözülebilir. Deri etkisi ile birlikte yüksek frekanslı akımların dikkate alındığı durumlarda, yüzey akım yoğunlukları ve manyetik alan Laplace denkleminin çözülmesiyle elde edilebilir. İletkenlerin ince teller olduğu durumlarda, öz endüktans hala tel yarıçapına ve tel içindeki akım dağılımına bağlıdır. Bu akım dağılımı, diğer uzunluk ölçeklerinden çok daha küçük bir tel yarıçapı için yaklaşık olarak sabittir (telin yüzeyinde veya hacminde). ⓘ

Düz tek bir telin endüktansı

Pratik bir konu olarak, daha uzun teller daha fazla endüktansa sahiptir ve daha kalın teller, elektrik dirençlerine benzer şekilde daha az endüktansa sahiptir (her ne kadar ilişkiler doğrusal olmasa da ve uzunluk ve çapın dirençle olan ilişkilerinden farklı olsa da). ⓘ

Kabloyu devrenin diğer parçalarından ayırmak, herhangi bir formülün sonuçlarında bazı kaçınılmaz hatalar ortaya çıkarır. Bu endüktanslar genellikle "kısmi endüktanslar" olarak adlandırılır, bunun nedeni kısmen tüm devre endüktansına ihmal edilen diğer katkıların dikkate alınmasını teşvik etmektir. ⓘ

Pratik formüller

Aşağıdaki formüllerin türetilmesi için Rosa'ya (1908) bakınız. Düz bir telin toplam düşük frekans endüktansı (iç artı dış)

$$L_{\text{DC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]$$

ⓘ

nerede

• $L_{\text{DC}}$ nanohenry (nH veya 10-9H) cinsinden "düşük frekans" veya DC endüktansıdır,
• $\ell$ telin metre cinsinden uzunluğudur,
• $r$ telin metre cinsinden yarıçapıdır (dolayısıyla çok küçük bir ondalık sayıdır),
• sabit $200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}$ boş alanın geçirgenliğidir ve genellikle $\mu _{\text{o}}$, bölü $2\pi$Manyetik olarak reaktif yalıtımın olmadığı durumlarda μ0 = 4π×10-7 H/m klasik tanımı kullanıldığında 2₀0 değeri tamdır ve 2019'da yeniden tanımlanan SI değeri μ₀ = 1.25663706212(19)×10-6 H/m kullanıldığında 7 ondalık basamağa kadar doğrudur. ⓘ

0,75 sabiti birkaç parametre değerinden sadece biridir; farklı frekans aralıkları, farklı şekiller veya aşırı uzun tel uzunlukları biraz daha farklı bir sabit gerektirir (aşağıya bakınız). Bu sonuç, yarıçapın aşağıdaki gibi olduğu varsayımına dayanmaktadır $r$ uzunluğundan çok daha azdır. $\ell$Bu, teller ve çubuklar için ortak bir durumdur. Diskler veya kalın silindirler biraz farklı formüllere sahiptir. ⓘ

Yeterince yüksek frekanslar için deri etkileri iç akımların kaybolmasına neden olur ve geriye sadece iletkenin yüzeyindeki akımlar kalır; alternatif akım için endüktans, $L_{\text{AC}}$ daha sonra çok benzer bir formülle verilir:

$$L_{\text{AC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]$$

burada değişkenler $\ell$ ve $r$ yukarıdaki ile aynıdır; yukarıda 0,75 olan sabit terimin şimdi 1 olarak değiştiğine dikkat ediniz. ⓘ

Günlük deneyimlerden bir örnek verecek olursak, 10 m uzunluğunda, 18 gauge telden yapılmış bir lamba kablosunun iletkenlerinden sadece biri, düz bir şekilde uzatıldığında yaklaşık 19 μH'lik bir endüktansa sahip olacaktır. ⓘ

İki paralel düz telin karşılıklı endüktansı

Dikkate alınması gereken iki durum vardır:

1. Akım her telde aynı yönde hareket eder ve
2. Akım tellerde zıt yönlerde hareket eder.

Tellerdeki akımların eşit olması gerekmez, ancak genellikle bir telin kaynak, diğerinin dönüş olduğu tam bir devre durumunda olduğu gibi eşittirler. ⓘ

İki tel döngüsünün karşılıklı endüktansı

Bu, tek tip düşük frekanslı akım taşıyan paradigmatik iki döngülü silindirik bobinin genelleştirilmiş durumudur; döngüler, farklı uzunluklara, uzayda herhangi bir yönelime sahip olabilen ve farklı akımlar taşıyabilen bağımsız kapalı devrelerdir. Bununla birlikte, integralde yer almayan hata terimleri ancak döngülerin geometrileri çoğunlukla düzgün ve dışbükey ise küçüktür: çok fazla kıvrım, keskin köşe, sarmal, çaprazlama, paralel segment, içbükey boşluk veya diğer topolojik "yakın" deformasyonlara sahip değildirler. Üç boyutlu manifold entegrasyon formülünün bir çift eğri integraline indirgenmesi için gerekli bir ön koşul, akım yollarının ipliksi devreler, yani telin yarıçapının uzunluğuna kıyasla ihmal edilebilir olduğu ince teller olmasıdır. ⓘ

Bir ipliksi devrenin karşılıklı endüktansı $m$ filamentli bir devre üzerinde $n$ çift integralli Neumann formülü ile verilir

$$L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}$$

ⓘ

nerede

• $C_{m}$ ve $C_{n}$ teller tarafından takip edilen eğrilerdir.
• $\mu _{0}$ serbest uzayın geçirgenliğidir (4π × 10-7 H/m)
• $\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}$ C_m devresindeki telin küçük bir artışıdır
• $\mathbf {x} _{m}$ 'nin konumudur. $d\mathbf {x} _{m}$ uzayda
• $\mathrm {d} \mathbf {x} _{n}$ Cn devresindeki telin küçük bir artışıdır
• $\mathbf {x} _{n}$ 'nin konumudur. $d\mathbf {x} _{n}$ uzayda ⓘ

Türetme

$$M_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}$$

nerede

• $\Phi _{ij}\ \,$ tarafından özetlenen elektrik devresi nedeniyle ith yüzeyinden geçen manyetik akıdır. $C_{j}$
• $I_{j}$ üzerinden geçen akımdır. $j$inci tel, bu akım manyetik akıyı oluşturur $\Phi _{ij}\ \,$aracılığıyla $i$inci yüzey.

$$\Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}$$

nerede

• $C_{i}$ yüzeyi çevreleyen eğridir $S_{i}$ve $S_{i}$ kenarı olan herhangi bir keyfi yönlendirilebilir alandır. $C_{i}$
• $\mathbf {B} _{j}$ 'den kaynaklanan manyetik alan vektörüdür. $j$-inci akım (devrenin $C_{j}$).
• $\mathbf {A} _{j}$ 'den kaynaklanan vektör potansiyelidir. $j$-inci akım. ⓘ

Stokes teoremi 3. eşitlik adımı için kullanılmıştır. ⓘ

Son eşitlik adımı için, aşağıdaki geciktirilmiş potansiyel ifadesini kullandık $A_{j}$ ve geciktirilmiş zamanın etkisini göz ardı ediyoruz (devrelerin geometrisinin taşıdıkları akımın dalga boyuna kıyasla yeterince küçük olduğunu varsayarak). Bu aslında bir yaklaşım adımıdır ve yalnızca ince tellerden yapılmış yerel devreler için geçerlidir. ⓘ

Bir tel döngünün öz endüktansı

Biçimsel olarak, bir tel döngünün öz endüktansı yukarıdaki denklem ile verilecektir $m=n$. Ancak, burada $1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ sonsuz hale gelir ve logaritmik olarak ıraksak bir integral ortaya çıkar. Bu, sonlu tel yarıçapını almayı gerektirir $a$ ve teldeki akım dağılımını dikkate alır. Geriye tüm noktalar üzerindeki integralin katkısı ve bir düzeltme terimi kalmaktadır, ⓘ

$$L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {d\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right]+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,\ell \,Y+O\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a$$

ⓘ

nerede

• $\mathbf {s}$ ve $\mathbf {s} '$ eğriler boyunca mesafelerdir $C$ ve $C'$ sırasıyla
• $a$ telin yarıçapıdır
• $\ell$ telin uzunluğudur
• $Y$ teldeki akımın dağılımına bağlı olan bir sabittir: $Y=0$ Akım telin yüzeyinden aktığında (toplam deri etkisi), $Y={\tfrac {1}{2}}$ Akım telin enine kesiti üzerinde eşit olduğunda.
• $O$ bir hata terimidir $O(\mu _{0}a)$ döngü keskin köşelere sahip olduğunda ve $O\left(\mu _{0}a^{2}/\ell \right)$düzgün bir eğri olduğunda. Bunlar, tel yarıçapına kıyasla uzun olduğunda küçüktür. ⓘ

Bir solenoidin endüktansı

Bir solenoid uzun, ince bir bobindir; yani uzunluğu çapından çok daha büyük olan bir bobin. Bu koşullar altında ve herhangi bir manyetik malzeme kullanılmadan, manyetik akı yoğunluğu $B$ bobin içinde pratik olarak sabittir ve şu şekilde verilir

$$\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\ N\ i}{\ell }}$$

ⓘ

nerede $\mu _{0}$ manyetik sabittir, $N$ dönüş sayısı, $i$ mevcut ve $l$ bobinin uzunluğu. Uç etkileri göz ardı edildiğinde, bobinden geçen toplam manyetik akı, akı yoğunluğunun çarpılmasıyla elde edilir $B$ kesit alanı ile $A$:

$$\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\ N\ i\ A}{\ell }},$$

ⓘ

Bu endüktans tanımı ile birleştirildiğinde $\displaystyle L={\frac {N\ \Phi }{i}}$'e göre, bir solenoidin endüktansı şu şekilde verilir:

$$\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\ N^{2}\ A}{\ell }}.$$

ⓘ

Bu nedenle, hava çekirdekli bobinler için endüktans, bobin geometrisinin ve dönüş sayısının bir fonksiyonudur ve akımdan bağımsızdır. ⓘ

Koaksiyel bir kablonun endüktansı

İç iletken yarıçapa sahip olsun $r_{i}$ ve geçirgenlik $\mu _{i}$, iç ve dış iletken arasındaki dielektrik geçirgenliğe sahip olsun $\mu _{d}$ve dış iletken iç yarıçapa sahip olsun $r_{o1}$, dış yarıçap $r_{o2}$ve geçirgenlik $\mu _{0}$. Bununla birlikte, tipik bir koaksiyel hat uygulaması için, dirençli deri etkisinin ihmal edilemeyeceği frekanslarda (DC olmayan) sinyalleri geçirmekle ilgileniyoruz. Çoğu durumda, iç ve dış iletken terimleri ihmal edilebilir, bu durumda yaklaşık olarak ⓘ

$$L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\quad \approx \quad {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}$$

ⓘ

Çok katmanlı bobinlerin endüktansı

En pratik hava çekirdekli indüktörler, dönüşler arasındaki ortalama mesafeyi en aza indirmek için kare kesitli çok katmanlı silindirik bobinlerdir (dairesel kesitler daha iyi olurdu ancak oluşturulması daha zordur). ⓘ

Doğrusal olmayan indüktans

Birçok indüktörün yapımında manyetik malzemeler kullanılmaktadır. Bu malzemeler yeterince büyük bir alan üzerinde doygunluk etkisi nedeniyle doğrusal olmayan manyetik geçirgenlik değerlerine sahiptir. Bu da indüktansın uygulanan akımın bir fonksiyonu olmasına neden olur. Faraday Yasası burada hala geçerlidir, ancak indüktans belirsizdir ve siz devre parametrelerini ve manyetik akıyı hesaplasanız da farklı sonuçlar verir. ⓘ

Sekant veya büyük sinyal indüktansı akı hesaplamalarında kullanılır. Şöyle tanımlanmıştır:

$L_{s}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {N\Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}$ ⓘ

Diğer taraftan diferansiyel veya küçük sinyal indüktansı, voltaj hesaplanmasında kullanılır. Şöyle tanımlanmıştır:

$L_{d}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {d(N\Phi )}{di}}={\frac {d\Lambda }{di}}$ ⓘ

Diferansiyel indüktanstan elde edilen doğrusal olmayan indüktörün devre voltajı Faraday Yasası ve kalkülüsteki zincir kuralı ile gösterilir. ⓘ

$v(t)={\frac {d\Lambda }{dt}}={\frac {d\Lambda }{di}}{\frac {di}{dt}}=L_{d}(i){\frac {di}{dt}}$ ⓘ

Doğrusal olmayan karşılıklı indüktans için benzer tanımlar vardır. ⓘ

Karşılıklı endüktans

Karşılıklı endüktans, bir döngü veya bobinde indüklenen EMF ile başka bir döngü veya bobindeki akımın değişim oranı arasındaki oran olarak tanımlanır. Karşılıklı endüktans M sembolü ile gösterilir. ⓘ

Karşılıklı endüktansın türetilmesi

Yukarıdaki endüktans denklemleri Maxwell denklemlerinin bir sonucudur. İnce tellerden oluşan elektrik devrelerinin önemli durumu için türetme basittir. ⓘ

Bir sistemde $K$ her biri bir veya birkaç tel dönüşlü tel döngüler, döngünün akı bağlantısı $m$, $\lambda _{m}$tarafından verilir.

$$\displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.$$

ⓘ

İşte $N_{m}$ döngüdeki dönüş sayısını ifade eder $m$; $\Phi _{m}$ döngü boyunca manyetik akıdır $m$ve $L_{m,n}$ aşağıda açıklanan bazı sabitlerdir. Bu denklem Ampere yasasından çıkar: manyetik alanlar ve akılar akımların doğrusal fonksiyonlarıdır. Faraday'ın indüksiyon yasasına göre ⓘ

$$\displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},$$

ⓘ

nerede $v_{m}$ devrede indüklenen gerilimi ifade eder $m$. Bu, katsayılar aşağıdaki gibi ise yukarıdaki endüktans tanımı ile uyumludur $L_{m,n}$ endüktans katsayıları ile özdeşleştirilir. Çünkü toplam akımlar $N_{n}\ i_{n}$ katkıda bulunmak $\Phi _{m}$ aynı zamanda $L_{m,n}$ dönüşlerin çarpımı ile orantılıdır $N_{m}\ N_{n}$. ⓘ

Karşılıklı endüktans ve manyetik alan enerjisi

Yukarıdaki vm denkle_minin i_mdt ile çarpılması ve m üzerinden toplanması, dt zaman aralığında sisteme aktarılan enerjiyi verir,

$$\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}{\overset {!}{=}}\sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.$$

ⓘ

Bu, akımların neden olduğu manyetik alan enerjisi W'nin değişimi ile uyumlu olmalıdır. Bütünleştirilebilirlik koşulu ⓘ

$$\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}$$

ⓘ

L_m,n = L_n,m gerektirir. Endüktans matrisi, L_m,n, bu nedenle simetriktir. Enerji transferinin integrali, akımların bir fonksiyonu olarak manyetik alan enerjisidir,

$$\displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.$$

ⓘ

Bu denklem aynı zamanda Maxwell denklemlerinin doğrusallığının doğrudan bir sonucudur. Değişen elektrik akımlarını manyetik alan enerjisinin artması ya da azalması ile ilişkilendirmek faydalı olacaktır. Karşılık gelen enerji transferi bir voltaj gerektirir veya üretir. Manyetik alan enerjisi (1/2)Li² olan K = 1 durumundaki mekanik bir benzetme, kütlesi M, hızı u ve kinetik enerjisi (1/2)Mu² olan bir cisimdir. Kütle (endüktans) ile çarpılan hız (akım) değişim oranı bir kuvvet (elektrik voltajı) gerektirir veya üretir. ⓘ

Karşılıklı bağlı iki indüktörün devre şeması. Sargılar arasındaki iki dikey çizgi transformatörün ferromanyetik bir çekirdeğe sahip olduğunu göstermektedir. "n:m" sol indüktörün sarım sayısı ile sağ indüktörün sarım sayısı arasındaki oranı gösterir. Bu resim aynı zamanda nokta konvansiyonunu da göstermektedir. ⓘ

Karşılıklı indüktans, bir indüktördeki akım değişikliği yakındaki başka bir indüktörde bir voltaj indüklediğinde ortaya çıkar. Transformatörlerin çalışma mekanizması olarak önemlidir, ancak bir devredeki iletkenler arasında istenmeyen kuplajlara da neden olabilir. ⓘ

Karşılıklı endüktans, $M_{ij}$aynı zamanda iki indüktör arasındaki kuplajın bir ölçüsüdür. Devreye göre karşılıklı endüktans $i$ devre üzerinde $j$ çift integral Neumann formülü ile verilir, hesaplama tekniklerine bakınız ⓘ

Karşılıklı endüktans da bir ilişkiye sahiptir:

$$M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!$$

nerede ⓘ

• $M_{21}$ karşılıklı indüktans olup, alt simge bobin 1'deki akım nedeniyle bobin 2'de indüklenen voltajın ilişkisini belirtir.
• $N_{1}$ bobin 1'deki sarım sayısıdır,
• $N_{2}$ bobin 2'deki sarım sayısıdır,
• $P_{21}$ akı tarafından işgal edilen alanın geçirgenliğidir. ⓘ

Bir kez karşılıklı endüktans, $M$belirlenirse, bir devrenin davranışını tahmin etmek için kullanılabilir:

$$v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}$$

nerede ⓘ

• $v_{1}$ ilgili indüktör üzerindeki voltajdır;
• $L_{1}$ ilgili indüktörün endüktansıdır;
• ${\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t$ ilgili indüktörden geçen akımın zamana göre türevidir, 1 olarak etiketlenmiştir;
• ${\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t$ birinci indüktöre bağlı olan 2 etiketli indüktörden geçen akımın zamana göre türevidir; ve
• $M$ karşılıklı endüktans değeridir. ⓘ

Eksi işareti, akımın $i_{2}$ diyagramda tanımlanmıştır. Her iki akım da noktalara girecek şekilde tanımlandığında $M$ pozitif olacaktır (denklem bunun yerine artı işaretiyle okunacaktır). ⓘ

Bağlantı katsayısı

Kuplaj katsayısı, açık devre gerçek voltaj oranının, tüm akının bir manyetik devreden diğerine kuplajlanması durumunda elde edilecek orana oranıdır. Kuplaj katsayısı karşılıklı endüktans ve öz endüktans ile aşağıdaki şekilde ilişkilidir. İki portlu matriste ifade edilen iki eşzamanlı denklemden açık devre gerilim oranı olarak bulunur:

$${V_{2} \over V_{1}}({\text{open circuit}})={M \over L_{1}}$$

nerede ⓘ

• $M^{2}=M_{1}M_{2}$ ⓘ

tüm akının kuplajlı olması durumunda oran, dönüşlerin oranıdır, dolayısıyla endüktansların karekökünün oranıdır ⓘ

$${V_{2} \over V_{1}}({\text{max coupled}})={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}$$

ⓘ

Böylece, ⓘ

$$M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}$$

nerede ⓘ

• $k$ bağlantı katsayısıdır,
• $L_{1}$ birinci bobinin endüktansıdır ve
• $L_{2}$ ikinci bobinin endüktansıdır. ⓘ

Kuplaj katsayısı, keyfi endüktansa sahip endüktörlerin belirli bir yönü arasındaki ilişkiyi belirtmek için uygun bir yoldur. Çoğu yazar aralığı şu şekilde tanımlar $0\leq k<1$ancak bazıları bunu şu şekilde tanımlar $-1<k<1\,$. Negatif değerlere izin vermek $k$ bobin bağlantılarının ve sargıların yönünün faz değişimlerini yakalar. ⓘ

Matris gösterimi

Karşılıklı bağlı indüktörler iki portlu ağ parametre matris gösterimlerinden herhangi biri ile tanımlanabilir. En doğrudan olanı, aşağıdakiler tarafından verilen z parametreleridir ⓘ

$$[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}$$

ⓘ

nerede $s$ karmaşık frekans değişkenidir, $L_{1}$ ve $L_{2}$ sırasıyla birincil ve ikincil bobinin endüktanslarıdır ve $M$ bobinler arasındaki karşılıklı endüktans değeridir. ⓘ

Eşdeğer devreler

T-devresi

Karşılıklı kuplajlı indüktörlerin T eşdeğer devresi ⓘ

Karşılıklı bağlı indüktörler, gösterildiği gibi indüktörlerden oluşan bir T devresi ile eşdeğer olarak temsil edilebilir. Eğer kuplaj güçlüyse ve endüktörler eşit olmayan değerlere sahipse, düşürücü taraftaki seri endüktör negatif bir değer alabilir. ⓘ

Bu, iki portlu bir ağ olarak analiz edilebilir. Çıkış keyfi bir empedans ile sonlandırılır, $Z$, gerilim kazancı, $A_{v}$tarafından verilir, ⓘ

$$A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}$$

ⓘ

nerede $k$ bağlantı sabitidir ve $s$ yukarıdaki gibi karmaşık frekans değişkenidir. Sıkıca bağlanmış indüktörler için $k=1$ bu şu anlama gelir ⓘ

$$A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}$$

ⓘ

Bu da yük empedansından bağımsızdır. Eğer indüktörler aynı çekirdek üzerine ve aynı geometride sarılmışsa, bu ifade iki indüktörün dönüş oranına eşittir çünkü indüktans dönüş oranının karesiyle orantılıdır. ⓘ

Ağın giriş empedansı şu şekilde verilir, ⓘ

$$Z_{\mathrm {in} }={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}{\Biggl (}1+{\frac {\left(1-k^{2}\right)}{\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\Biggr )}$$

ⓘ

İçin $k=1$ bu şu anlama gelir ⓘ

$$Z_{\mathrm {in} }={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}$$

ⓘ

Böylece, akım kazancı, $A_{i}$ ek koşul sağlanmadığı sürece yükten bağımsız değildir ⓘ

$$|sL_{2}|\gg |Z|$$

ⓘ

karşılanırsa, bu durumda, ⓘ

$$Z_{\mathrm {in} }\approx {L_{1} \over L_{2}}Z$$

ⓘ

ve ⓘ

$$A_{\mathrm {i} }\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\mathrm {v} }}$$

ⓘ

π-devresi

π kuplajlı indüktörlerin eşdeğer devresi ⓘ

Alternatif olarak, iki kuplajlı indüktör, her portta isteğe bağlı ideal transformatörlerle bir π eşdeğer devresi kullanılarak modellenebilir. Devre bir T-devresinden daha karmaşık olsa da, ikiden fazla kuplajlı indüktörden oluşan devrelere genelleştirilebilir. Eşdeğer devre elemanları $L_{\text{s}}$, $L_{\text{p}}$ fiziksel anlama sahiptir ve sırasıyla bağlantı yollarının manyetik relüktanslarını ve sızıntı yollarının manyetik relüktanslarını modellemektedir. Örneğin, bu elemanlardan akan elektrik akımları kuplaj ve kaçak manyetik akılara karşılık gelir. İdeal transformatörler matematiksel formülleri basitleştirmek için tüm öz endüktansları 1 Henry'ye normalleştirir. ⓘ

Eşdeğer devre elemanı değerleri kuplaj katsayılarından şu şekilde hesaplanabilir ⓘ

$${\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\L_{P_{i}}&={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}$$

ⓘ

Burada bağlantı katsayısı matrisi ve kofaktörleri aşağıdaki gibi tanımlanır ⓘ

$$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad$$

ve $\quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.$ ⓘ

İki kuplajlı indüktör için bu formüller şu şekilde basitleşir

$$L_{S_{12}}={\dfrac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad$$

ve $\quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,$ ⓘ

ve üç kuplajlı indüktör için (kısalık için sadece $L_{\text{s12}}$ ve $L_{\text{p1}}$) ⓘ

$$L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad$$

ve $\quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.$ ⓘ

Rezonans transformatörü

Bir kondansatör bir transformatörün bir sargısı boyunca bağlandığında, sargıyı ayarlı bir devre (rezonans devresi) haline getirir, buna tek ayarlı transformatör denir. Her bir sargıya bir kondansatör bağlandığında, buna çift ayarlı transformatör denir. Bu rezonans transformatörleri, bir rezonans devresine benzer şekilde salınan elektrik enerjisini depolayabilir ve böylece rezonans frekanslarına yakın frekansların birincilden ikincil sargıya geçmesine izin veren, ancak diğer frekansları engelleyen bir bant geçiren filtre olarak işlev görür. İki sargı arasındaki karşılıklı endüktans miktarı, devrenin Q faktörü ile birlikte frekans tepki eğrisinin şeklini belirler. Çift ayarlı transformatörün avantajı, basit ayarlı bir devreden daha geniş bir bant genişliğine sahip olabilmesidir. Çift ayarlı devrelerin kuplajı, kuplaj katsayısının değerine bağlı olarak gevşek, kritik veya aşırı kuplajlı olarak tanımlanır $k$. İki ayarlı devre karşılıklı endüktans yoluyla gevşek bir şekilde bağlandığında, bant genişliği dardır. Karşılıklı endüktans miktarı arttıkça, bant genişliği büyümeye devam eder. Karşılıklı endüktans kritik kuplajın ötesine geçtiğinde, frekans tepki eğrisindeki tepe iki tepe noktasına ayrılır ve kuplaj arttıkça iki tepe noktası birbirinden uzaklaşır. Bu durum aşırı kuplaj olarak bilinir. ⓘ

Güçlü bir şekilde bağlanmış kendinden rezonanslı bobinler, orta menzilli mesafelerdeki (iki metreye kadar) cihazlar arasında kablosuz güç aktarımı için kullanılabilir. Aktarılan gücün yüksek bir yüzdesi için güçlü kuplaj gereklidir, bu da frekans yanıtında tepe bölünmesine neden olur. ⓘ

İdeal transformatörler

Ne zaman $k=1$'de indüktör yakından bağlı olarak adlandırılır. Buna ek olarak, öz endüktanslar sonsuza giderse, indüktör ideal bir transformatör haline gelir. Bu durumda gerilimler, akımlar ve sarım sayısı aşağıdaki şekilde ilişkilendirilebilir:

$$V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}$$

nerede ⓘ

• $V_{\text{s}}$ sekonder indüktör üzerindeki gerilimdir,
• $V_{\text{p}}$ birincil indüktör (bir güç kaynağına bağlı olan) üzerindeki voltajdır,
• $N_{\text{s}}$ sekonder indüktördeki dönüş sayısıdır ve
• $N_{\text{p}}$ birincil indüktördeki dönüş sayısıdır. ⓘ

Tersine akım:

$$I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}$$

nerede ⓘ

• $I_{\text{s}}$ ikincil indüktörden geçen akımdır,
• $I_{\text{p}}$ birincil indüktörden (bir güç kaynağına bağlı olan) geçen akımdır,
• $N_{\text{s}}$ sekonder indüktördeki dönüş sayısıdır ve
• $N_{\text{p}}$ birincil indüktördeki dönüş sayısıdır. ⓘ

Bir indüktörden geçen güç diğerinden geçen güçle aynıdır. Bu denklemler akım veya gerilim kaynaklarının zorlamalarını ihmal eder. ⓘ

İnce tel şekillerinin öz endüktansı

Aşağıdaki tabloda ince silindirik iletkenlerden (tellerden) yapılmış çeşitli basit şekillerin öz endüktans formülleri listelenmektedir. Genel olarak bunlar yalnızca tel yarıçapı $a$ şeklin boyutlarından çok daha küçükse ve yakınında ferromanyetik malzeme yoksa (manyetik çekirdek yoksa). ⓘ

İnce tel şekillerinin öz endüktansı ⓘ

Tip	Endüktans	Yorum
Tek katmanlı solenoid	Wheeler'ın iyi bilinen yaklaşım formülü current-sheet model hava çekirdekli bobin için: ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}$ (İngilizce)      ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{45D+100\ell }}$ (cgs) Bu formül, aşağıdaki durumlarda %1'den fazla olmayan bir hata verir $\ell >0.4\,D~.$	${\mathcal {L}}$ μH cinsinden endüktans (10-6Henry) $N$ dönüş sayısı $D$ çap inç (inç) (cm) $\ell$ uzunluk inç (inç) (cm)
Koaksiyel kablo (HF)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ell \ln \left({\frac {b}{a}}\right)$	$b$: Dış kond. iç yarıçapı $a$: İç iletken yarıçapı $\ell$: Uzunluk $\mu _{0}$: tablo dipnotuna bakınız.
Dairesel döngü	${\mathcal {L}}=\mu _{0}\ r\ \left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]$	$r$: Döngü yarıçapı $a$: Tel yarıçapı $\mu _{0},Y$: tablo dipnotlarına bakınız.
Dikdörtgen yapılmış yuvarlak tel	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ \ell _{1}\ln \left({\frac {2\ell _{1}}{a}}\right)+\ell _{2}\ \ln \left({\frac {2\ell _{2}}{a}}\right)+2{\sqrt {\ell _{1}^{2}+\ell _{2}^{2}\ }}$ $\qquad -\ell _{1}\ \sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)-\ell _{2}\sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)$ $\qquad -\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\ \right)\left(\ell _{1}+\ell _{2}\right)\ {\biggr ]}$	$\ell _{1},\ell _{2}$: Yan uzunluklar $\ \ell _{1}\gg a,\ell _{2}\gg a\$ $a$: Tel yarıçapı $\mu _{0},Y$: tablo dipnotlarına bakınız.
Paralel çift teller	${\mathcal {L}}={\frac {\ \mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \left[\ln \left({\frac {s}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]$	$a$: Tel yarıçapı $s$: Ayırma mesafesi, $s\geq 2a$ $\ell$: Çift uzunluğu $\mu _{0},Y$: tablo dipnotlarına bakınız.
Paralel çift teller (HF)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \cosh ^{-1}\left({\frac {s}{2a}}\right)$ $\quad ={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{2a}}+{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)$$\quad \approx \quad {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{a}}\right)$	$a$: Tel yarıçapı $d$: Ayırma mesafesi, $s\geq 2a$ $\ell$: Çiftin uzunluğu (her biri) $\mu _{0}$: tablo dipnotuna bakınız.

$Y$ teldeki akımın dağılımına bağlı olan 0 ile 1 arasında yaklaşık sabit bir değerdir: $Y=0$ Akım sadece telin yüzeyinden aktığında (tam deri etkisi), $Y=1$ akım telin enine kesitine eşit olarak yayıldığında (doğru akım). Yuvarlak teller için Rosa (1908) aşağıdaki formüle eşdeğer bir formül vermektedir:

$$Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}$$

ⓘ

nerede ⓘ

• $\omega =2\pi f$ saniyede radyan cinsinden açısal frekanstır;
• $\mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}$ telin net manyetik geçirgenliğidir;
• $\sigma$ telin özgül iletkenliğidir; ve
• $a$ tel yarıçapıdır. ⓘ

${\mathcal {O}}(x)$ daha basit hale getirmek için formülden çıkarılan küçük terim(ler)i temsil eder. Sembolü okuyun "$+{\mathcal {O}}(x)$" ifadesini "artı küçük düzeltmeler" şeklinde değiştirmiştir. $x$. Ayrıca bakınız Büyük O notasyonu. ⓘ

Ayrıca bakınız

• Alternatif akım
• Nokta Kuralı
• Eddy akımı
• Elektromanyetik indüksiyon
• Elektrik
• Faraday'ın indüksiyon yasası
• Jiratör
• İndiktör
• Kaçak indüktans
• LC devresi
• Manyetomotor kuvveti
• RLC devresi
• RL devresi
• SI elektromanyetizma birimleri
• Solenoid
• Transformatör
• Kinetik indüktans ⓘ

Genel kaynaklar

• Frederick W. Grover (1952). Inductance Calculations. Dover Publications, New York.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Wangsness, Roald K. (1986). Electromagnetic Fields (2nd bas.). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.
• Hughes, Edward. (2002). Electrical & Electronic Technology (8th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X.
• Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• Heaviside O., Electrical Papers. Vol.1. – L.; N.Y.: Macmillan, 1892, p. 429-560.
• F. Langford-Smith, editor, 1953, Radiotron Designer's Handbook, 4th Edition, Wireless Press for Amalgamated Wireless Valve Company PTY, LTD, Sydney, Australia together with Eectron Tube Division of the Radio Corporation of America [RCA], Harrison, N. J. No Library of Congress Card Catalog Number or ISBN. Chapter 10 pp. 429–448 Calculation of Inductance includes a wealth of approximate formulas and nomographs for single-layer solenoids of various coil diameters and pitch of windings and lengths, the effects of screens, formulas and nomographs for multilayer coils (long and short), for toroidal coils, for flat spirals, and a nomograph for the mutual inductance between coaxial solenoids. With 56 references. ⓘ

• Frederick W. Grover (1952). Endüktans Hesaplamaları. Dover Publications, New York.
• Griffiths, David J. (1998). Elektrodinamiğe Giriş (3. baskı). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Wangsness, Roald K. (1986). Elektromanyetik Alanlar (2. baskı). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.
• Hughes, Edward. (2002). Elektrik ve Elektronik Teknolojisi (8. baskı). Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X.
• Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• Heaviside O., Electrical Papers. Cilt 1. - L.; N.Y: Macmillan, 1892, s. 429-560.
• Fritz Langford-Smith, editör (1953). Radiotron Tasarımcısının El Kitabı, 4. Baskı, Amalgamated Wireless Valve Company Pty, Ltd. Bölüm 10, "Endüktansın Hesaplanması" (s. 429-448), bobinler, solenoidler ve karşılıklı endüktans için zengin formüller ve nomograflar içerir.
• F. W. Sears ve M. W. Zemansky 1964 Üniversite Fiziği: Üçüncü Baskı (Tam Cilt), Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA, LCCC 63-15265 (ISBN yok). ⓘ

Karşılıklı indüktans

Bir i ince tel devresinin, başka bir j ince tel devresi üzerindeki karşılıklı indüktansı çift katlı Neumann formülü olarak bulunur:

$M_{ij}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{i}}\oint _{C_{j}}{\frac {d\mathbf {x} _{i}\cdot d\mathbf {x} _{j}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}$

μ₀ manyetik sabittir (4π×10⁻⁷ H/m), C_i ve C_j teller tarafından oluşturulan eğrilerdir, R_ij iki nokta arasındaki uzaklıktır. Sembolü μ ₀ ifade eder manyetik sabit (4π×10⁻⁷H/m),C_i veC_j teller tarafından yayılmış eğrileri. Bakınız: bu denklemin türetilmesi. ⓘ

Görüntü yöntemi

Bazı durumlarda farklı akım dağılımları uzayın bazı yerlerinde aynı manyetik alanı üretir. Bu gerçek öz indüktansı ilişkilendirmek için kullanılabilir. (görüntü yöntemi) Örnek olarak iki sistem düşünün:

• Mükemmel iletken bir duvarda d/2 uzaklıkta bir tel
• Aralıarında d kadar uzaklık bulunan ve zıt yönde akımlar taşıyan iki tel ⓘ

İki sistemin de manyetik alanı bir birinin aynısıdır. Manyetik alan enerjisi ve ikinci sisteminin indüktansı böylece ilk sistemin iki katı olur. ⓘ

İndüktans ve kapasitans arasındaki ilişki

İletim hatları adı verilen özel durumda, yani kesit alanları rastgele ama sabit olan iki paralel mükemmel iletken durumunda, indüktans bölü uzunluk L' ve sığa (kapasitans) bölü uzunluk C' birbirleriyle bağıntılıdır,

$\displaystyle L'C'={\varepsilon \mu }.$ ⓘ

Burada ε ve µ sırasıyla iletkenlerin yerleştirildiği ortamın dielektrik sabiti ve manyetik geçirgenliğidir. İletkenler içerisinde elektrik alan ve manyetik alan yoktur (kusursuz yüzey etkisi, yüksek frekans).Akım bir çizgiden akar ve bir diğerinden geri gelir. Sinyaller iletkenleri saran iletken olmayan ortamda elektromanyetik radyasyon hızında iletim hattı boyunca yayılır. ⓘ

Fazör devre analizi ve empedans

Fazör kullanırsak, bir indüktansın eş değer impedansı şöyle bulunur: ⓘ

$Z_{L}=V/I=jL\omega \,$

burada

j imajiner birim,

L indüktans,

ω = 2πf açısal frekans,

f frekans,

Lω = X_L indükleyen reaktans. ⓘ