Küme
Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır. ⓘ
Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir. ⓘ
Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir. ⓘ
Kümeler modern matematikte her yerde bulunur. Aslında, küme teorisi, daha spesifik olarak Zermelo-Fraenkel küme teorisi, 20. yüzyılın ilk yarısından bu yana matematiğin tüm dalları için titiz temeller sağlamanın standart yolu olmuştur. ⓘ
Tarihçe
Küme kavramı matematikte 19. yüzyılın sonlarında ortaya çıkmıştır. Küme için kullanılan Almanca sözcük olan Menge, Bernard Bolzano tarafından Paradoxes of the Infinite adlı eserinde kullanılmıştır.
Küme teorisinin kurucularından Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre adlı eserinin başında aşağıdaki tanımı vermiştir:
Küme, algımızın ya da düşüncemizin belirli, farklı nesnelerinin bir bütün halinde bir araya getirilmesidir - ki bunlara kümenin elemanları denir. ⓘ
Bertrand Russell kümeye sınıf demiştir: ⓘ
Matematikçiler manifold, agregat, menge, ensemble ya da eşdeğer bir isimle adlandırdıkları şeylerle uğraşırken, özellikle ilgili terim sayısının sonlu olduğu durumlarda, söz konusu nesneyi (ki bu aslında bir sınıftır) terimlerinin sayılmasıyla tanımlanmış ve muhtemelen tek bir terimden oluşmuş olarak görmek yaygındır. ⓘ
Naif küme teorisi
Bir kümenin en önde gelen özelliği, üye olarak da adlandırılan elemanlara sahip olabilmesidir. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha açık bir ifadeyle, A ve B kümeleri, eğer A'nın her elemanı B'nin bir elemanı ise ve B'nin her elemanı A'nın bir elemanı ise eşittir; bu özelliğe kümelerin uzantısallığı denir. ⓘ
Basit küme kavramının matematikte son derece yararlı olduğu kanıtlanmıştır, ancak kümelerin nasıl oluşturulabileceği konusunda herhangi bir kısıtlama getirilmezse paradokslar ortaya çıkar:
- Russell paradoksu, "kendini içermeyen tüm kümelerin kümesi "nin, yani {x | x bir kümedir ve x ∉ x}'in var olamayacağını gösterir.
- Cantor'un paradoksu "tüm kümelerin kümesi "nin var olamayacağını gösterir. ⓘ
Naif küme teorisi, bir kümeyi farklı elemanların iyi tanımlanmış herhangi bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak iyi tanımlanmış teriminin belirsizliğinden kaynaklanan sorunlar ortaya çıkar. ⓘ
Aksiyomatik küme teorisi
Naif küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana bu paradoksları çözmeye yönelik müteakip çabalarda, kümelerin özellikleri aksiyomlarla tanımlanmıştır. Aksiyomatik küme teorisi, küme kavramını ilkel bir kavram olarak ele alır. Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantık kullanarak kümeler hakkındaki belirli matematiksel önermelerin (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak Gödel'in eksiklik teoremlerine göre, birinci dereceden mantığı kullanarak böyle bir aksiyomatik küme teorisinin paradokstan arınmış olduğunu kanıtlamak mümkün değildir. ⓘ
Kümeler nasıl tanımlanır ve küme gösterimi
Matematiksel metinlerde kümeler genellikle A, B, C gibi italik büyük harflerle gösterilir. Bir küme, özellikle elemanları kendileri küme olduğunda, bir koleksiyon veya aile olarak da adlandırılabilir. ⓘ
Roster gösterimi
Roster veya numaralandırma notasyonu, bir kümeyi virgülle ayrılmış küme parantezleri arasında öğelerini listeleyerek tanımlar:
Bir kümede önemli olan tek şey her bir elemanın kümenin içinde olup olmadığıdır, bu nedenle roster gösteriminde elemanların sıralaması önemsizdir (bunun aksine, bir dizide, bir tuple'da veya bir kümenin permütasyonunda terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, {2, 4, 6} ve {4, 6, 4, 2} aynı kümeyi temsil eder. ⓘ
Çok elemanlı kümeler için, özellikle örtük bir örüntüyü takip edenler için, üye listesi bir üç nokta '...' kullanılarak kısaltılabilir. Örneğin, ilk bin pozitif tam sayının kümesi liste gösteriminde şu şekilde belirtilebilir
Kadro gösteriminde sonsuz kümeler
Sonsuz küme, sonsuz eleman listesine sahip bir kümedir. Liste gösteriminde sonsuz bir kümeyi tanımlamak için, listenin sonsuza kadar devam ettiğini belirtmek üzere listenin sonuna veya her iki ucuna bir üç nokta konur. Örneğin, negatif olmayan tam sayılar kümesi
ve tüm tam sayıların kümesi
Anlamsal tanım
Bir kümeyi tanımlamanın bir başka yolu da elemanların ne olduğunu belirlemek için bir kural kullanmaktır:
Böyle bir tanıma semantik tanımlama denir. ⓘ
Küme oluşturucu gösterimi
Küme oluşturucu notasyonu, bir kümeyi, elemanlar üzerindeki bir koşul tarafından belirlenen daha büyük bir kümeden bir seçim olarak belirtir. Örneğin, bir F kümesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
Bu gösterimde, dikey çubuk "|" "öyle ki" anlamına gelir ve tanım "F, n 0 ila 19 aralığında bir tamsayı olmak üzere tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çubuk yerine iki nokta üst üste ":" kullanmaktadır. ⓘ
Tanımlama yöntemlerinin sınıflandırılması
Felsefe, tanım türlerini sınıflandırmak için özel terimler kullanır:
- Kapsamlı bir tanım, üyeliği belirlemek için bir kural kullanır. Semantik tanımlar ve küme oluşturucu notasyonu kullanan tanımlar buna örnektir.
- Genişlemeli bir tanım, bir kümeyi tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar. Bu tür tanımlar numaralandırıcı olarak da adlandırılır.
- Dışa dönük bir tanım, bir kümeyi eleman örnekleri vererek tanımlayan bir tanımdır; üç nokta içeren bir liste buna örnek olabilir. ⓘ
Üyelik
Eğer B bir küme ve x de B'nin bir elemanı ise, bu ifade kısaltılmış olarak x ∈ B şeklinde yazılır ve "x B'ye aittir" veya "x B'dedir" şeklinde de okunabilir. "y, B'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ B şeklinde yazılır, bu da "y, B'de değildir" şeklinde okunabilir. ⓘ
Örneğin, A = {1, 2, 3, 4}, B = {mavi, beyaz, kırmızı} ve F = {n | n bir tam sayıdır ve 0 ≤ n ≤ 19} kümelerine göre,
Boş Küme
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla ile gösterilmektedir. ⓘ
Önemli Not: kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir. ⓘ
Singleton kümeler
Tekil küme, tam olarak bir elemanı olan kümedir; böyle bir küme birim küme olarak da adlandırılabilir. Böyle bir küme {x} şeklinde yazılabilir, burada x bir elemandır. x} kümesi ve x elemanı farklı anlamlara gelir; Halmos, şapka içeren bir kutunun şapka ile aynı şey olmadığı benzetmesini yapar. ⓘ
Alt kümeler
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B'de de bulunuyorsa, A, B'nin bir alt kümesi olarak tanımlanır veya B'de içerilir, A ⊆ B veya B ⊇ A olarak yazılır. İkinci gösterim B, A'yı içerir, B, A'yı içerir veya B, A'nın bir üst kümesidir şeklinde okunabilir. ⊆ ile kurulan kümeler arasındaki ilişkiye içerme veya kapsama denir. İki küme birbirini içeriyorsa eşittir: A ⊆ B ve B ⊆ A, A = B'ye eşdeğerdir. ⓘ
A, B'nin bir alt kümesi ise, ancak A, B'ye eşit değilse, A'ya B'nin uygun bir alt kümesi denir. Bu, A ⊊ B olarak yazılabilir. Benzer şekilde, B ⊋ A, B'nin A'nın uygun bir üst kümesi olduğu anlamına gelir, yani B, A'yı içerir ve A'ya eşit değildir. ⓘ
Üçüncü bir operatör çifti ⊂ ve ⊃ farklı yazarlar tarafından farklı şekilde kullanılır: bazı yazarlar A'nın B'nin herhangi bir alt kümesi olduğunu (ve mutlaka uygun bir alt küme olması gerekmediğini) ifade etmek için A ⊂ B ve B ⊃ A'yı kullanırken, diğerleri A'nın B'nin uygun bir alt kümesi olduğu durumlar için A ⊂ B ve B ⊃ A'yı ayırır. ⓘ
Örnekler:
- Tüm insanlar kümesi, tüm memeliler kümesinin uygun bir alt kümesidir.
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}. ⓘ
Boş küme her kümenin bir alt kümesidir ve her küme kendisinin bir alt kümesidir:
- ∅ ⊆ A.
- A ⊆ A. ⓘ
Euler ve Venn diyagramları
Euler diyagramı, bir kümeler koleksiyonunun grafiksel bir gösterimidir; her küme, elemanları içinde olacak şekilde bir döngü ile çevrelenmiş düzlemsel bir bölge olarak gösterilir. Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise, A'yı temsil eden bölge tamamen B'yi temsil eden bölgenin içinde yer alır. ⓘ
Buna karşılık Venn diyagramı, n kümenin grafiksel bir gösterimidir; burada n döngü düzlemi 2n bölgeye ayırır, öyle ki n kümeden bazılarını seçmenin her yolu için (muhtemelen hepsi veya hiçbiri), seçilen tüm kümelere ait olan ve diğerlerinin hiçbirine ait olmayan öğeler için bir bölge vardır. Örneğin, kümeler A, B ve C ise, A ve C'nin içinde ve B'nin dışında olan elemanlar için bir bölge olmalıdır (bu tür elemanlar mevcut olmasa bile). ⓘ
Matematikte özel sayı kümeleri
Matematikçilerin çok sık atıfta bulundukları matematiksel öneme sahip öyle kümeler vardır ki, bunları tanımlamak için özel isimler ve notasyonel kurallar edinmişlerdir. ⓘ
Bu önemli kümelerin çoğu matematiksel metinlerde kalın (örn. ) veya karatahta kalın (örn. ) yazı karakteri kullanılarak gösterilir. Bunlar şunları içerir
- veya , tüm doğal sayıların kümesi: (genellikle yazarlar 0'ı hariç tutarlar);
- veya , tüm tam sayılar kümesi (pozitif, negatif veya sıfır): ;
- veya , tüm rasyonel sayıların kümesi (yani, tüm düzgün ve düzgün olmayan kesirlerin kümesi): . Örneğin, -7/4 ∈ Q ve 5 = 5/1 ∈ Q;
- veya , tüm rasyonel sayılar ve tüm irrasyonel sayılar dahil olmak üzere tüm reel sayıların kümesi (aşağıdaki gibi cebirsel sayıları içerir kesir olarak yeniden yazılamayan sayıların yanı sıra π ve e gibi transandantal sayılar);
- veya , tüm karmaşık sayıların kümesi: C = {a + bi | a, b ∈ R}, örneğin, 1 + 2i ∈ C. ⓘ
Yukarıdaki sayı kümelerinin her birinin sonsuz sayıda elemanı vardır. Her biri, altında listelenen kümelerin bir alt kümesidir. ⓘ
Pozitif veya negatif sayı kümeleri bazen sırasıyla üst simge artı ve eksi işaretleriyle gösterilir. Örneğin, pozitif rasyonel sayılar kümesini temsil eder. ⓘ
Fonksiyonlar
Bir A kümesinden bir B kümesine bir fonksiyon (veya eşleme), A'nın her bir "girdi" elemanına B'nin bir elemanı olan bir "çıktı" atayan bir kuraldır; daha resmi olarak, bir fonksiyon, A'nın her bir elemanını B'nin tam olarak bir elemanıyla ilişkilendiren özel bir ilişki türüdür.
- A'nın herhangi iki farklı elemanını B'nin farklı elemanlarına eşliyorsa enjektiftir (veya bire-birdir),
- B'nin her elemanı için A'nın ona eşlenen en az bir elemanı varsa ve
- Fonksiyon hem injektif hem de sürjektif ise bijektif (veya bire bir karşılık) - bu durumda, A'nın her elemanı B'nin benzersiz bir elemanı ile eşleştirilir ve B'nin her elemanı A'nın benzersiz bir elemanı ile eşleştirilir, böylece eşleştirilmemiş eleman yoktur.
Enjektif bir fonksiyona enjeksiyon, surjektif bir fonksiyona surjeksiyon ve bijektif bir fonksiyona bijeksiyon veya bire bir karşılık denir. ⓘ
Kardinalite
Bir S kümesinin kardinalitesi, |S| olarak gösterilir, S'nin üyelerinin sayısıdır. Örneğin, B = {mavi, beyaz, kırmızı} ise, |B| = 3'tür. Kadro gösteriminde tekrarlanan üyeler sayılmaz, bu nedenle |{mavi, beyaz, kırmızı, mavi, beyaz}| = 3'tür. ⓘ
Daha açık bir ifadeyle, aralarında bire bir örtüşme varsa iki küme aynı kardinaliteyi paylaşır. ⓘ
Boş kümenin kardinalitesi sıfırdır. ⓘ
Sonsuz kümeler ve sonsuz kardinalite
Bazı kümelerin elemanlarının listesi sonsuz ya da sınırsızdır. Örneğin, küme doğal sayılar sonsuzdur. Aslında, yukarıdaki bölümde bahsedilen tüm özel sayı kümeleri sonsuzdur. Sonsuz kümeler sonsuz kardinaliteye sahiptir. ⓘ
Bazı sonsuz kardinaliteler diğerlerinden daha büyüktür. Küme teorisinin tartışmasız en önemli sonuçlarından biri, reel sayılar kümesinin doğal sayılar kümesinden daha büyük kardinaliteye sahip olmasıdır. Kardinalitesi doğal sayılar kümesinin kardinalitesine eşit ya da daha az olan kümeler sayılabilir kümeler olarak adlandırılır; bunlar ya sonlu kümeler ya da sayılabilir sonsuz kümelerdir (aynı kardinaliteye sahip ); bazı yazarlar "sayılabilir" ifadesini "sayılabilir sonsuz" anlamında kullanmaktadır. Kardinalitesi kesinlikle aşağıdakilerden daha büyük olan kümeler sayılamayan kümeler olarak adlandırılır. ⓘ
Bununla birlikte, bir doğrunun kardinalitesinin (yani, bir doğru üzerindeki noktaların sayısının), bu doğrunun herhangi bir parçasının, tüm düzlemin ve aslında herhangi bir sonlu boyutlu Öklid uzayının kardinalitesi ile aynı olduğu gösterilebilir. ⓘ
Süreklilik hipotezi
Georg Cantor tarafından 1878 yılında formüle edilen süreklilik hipotezi, kardinalitesi doğal sayıların kardinalitesi ile düz bir çizginin kardinalitesi arasında olan hiçbir küme olmadığını ifade eder. 1963 yılında Paul Cohen, süreklilik hipotezinin Zermelo-Fraenkel küme teorisi ile seçim aksiyomundan oluşan ZFC aksiyom sisteminden bağımsız olduğunu kanıtlamıştır. (ZFC, aksiyomatik küme teorisinin en yaygın olarak çalışılan versiyonudur). ⓘ
Güç kümeleri
Bir S kümesinin güç kümesi, S'nin tüm alt kümelerinin kümesidir. Boş küme ve S'nin kendisi S'nin güç kümesinin elemanlarıdır, çünkü bunların her ikisi de S'nin alt kümeleridir. Örneğin, {1, 2, 3} kümesinin güç kümesi {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} şeklindedir. Bir S kümesinin güç kümesi genellikle P(S) veya 2S olarak yazılır. ⓘ
Eğer S'nin n elemanı varsa, P(S)'nin 2n elemanı vardır. Örneğin, {1, 2, 3} üç elemana sahiptir ve güç kümesi yukarıda gösterildiği gibi 23 = 8 elemana sahiptir. ⓘ
Eğer S sonsuz ise (sayılabilir ya da sayılamaz), o zaman P(S) sayılamazdır. Dahası, güç kümesi her zaman orijinal kümeden kesinlikle "daha büyüktür", yani S'nin elemanlarını P(S)'nin elemanlarıyla eşleştirmeye yönelik herhangi bir girişim P(S)'nin bazı elemanlarını eşleştirmeden bırakacaktır. (Hiçbir zaman S'den P(S)'ye bir bijeksiyon yoktur.) ⓘ
Bölümler
Bir S kümesinin bölümü, S'nin boş olmayan alt kümelerinden oluşan bir kümedir; öyle ki S'deki her x elemanı bu alt kümelerden tam olarak birinde bulunur. Yani, alt kümeler ikili olarak ayrıktır (yani bölümün herhangi iki kümesi ortak hiçbir eleman içermez) ve bölümün tüm alt kümelerinin birleşimi S'dir. ⓘ
Temel işlemler
Verilen kümelerden yeni kümeler oluşturmak için birkaç temel işlem vardır. ⓘ
Birleşimler
İki küme birleştirilebilir: A ve B'nin birleşimi, A ∪ B ile gösterilir, A'nın veya B'nin veya her ikisinin üyesi olan tüm şeylerin kümesidir. ⓘ
Örnekler:
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
- {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. ⓘ
Birleşimlerin bazı temel özellikleri:
- A ∪ B = B ∪ A.
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
- A ⊆ (A ∪ B).
- A ∪ A = A.
- A ∪ ∅ = A.
- A ⊆ B ancak ve ancak A ∪ B = B ise. ⓘ
Kesişimler
İki kümenin hangi üyelerinin "ortak" olduğunu belirleyerek de yeni bir küme oluşturulabilir. A ve B'nin kesişimi, A ∩ B ile gösterilir, hem A hem de B'nin üyesi olan tüm şeylerin kümesidir. A ∩ B = ∅ ise, A ve B'nin ayrık olduğu söylenir. ⓘ
Örnekler:
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
- {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅. ⓘ
Kesişimlerin bazı temel özellikleri:
- A ∩ B = B ∩ A.
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
- A ∩ B ⊆ A.
- A ∩ A = A.
- A ∩ ∅ = ∅.
- A ⊆ B ancak ve ancak A ∩ B = A ise. ⓘ
Tamamlayıcılar
İki küme aynı zamanda "çıkarılabilir". A \ B (veya A - B) ile gösterilen B'nin A'daki göreli tümleyeni (A ve B'nin küme teorik farkı olarak da adlandırılır), A'nın üyesi olan ancak B'nin üyesi olmayan tüm elemanların kümesidir. {1, 2, 3} kümesinden yeşil elemanı çıkarmak gibi, kümede olmayan bir kümenin üyelerini "çıkarmak" geçerlidir; bunu yapmak kümedeki elemanları etkilemeyecektir. ⓘ
Bazı ortamlarda, tartışılan tüm kümeler belirli bir evrensel U kümesinin alt kümeleri olarak kabul edilir. Bu gibi durumlarda, U \ A, A'nın mutlak tümleyeni veya basitçe tümleyeni olarak adlandırılır ve A′ veya Ac ile gösterilir.
- A′ = U \ A ⓘ
Örnekler:
- {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
- {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
- Eğer U tam sayılar kümesi, E çift tam sayılar kümesi ve O tek tam sayılar kümesi ise, U \ E = E′ = O olur. ⓘ
Tümleyenlerin bazı temel özellikleri aşağıdakileri içerir:
- A ≠ B için A \ B ≠ B \ A.
- A ∪ A′ = U.
- A ∩ A′ = ∅.
- (A′)′ = A.
- ∅ \ A = ∅.
- A \ ∅ = A.
- A \ A = ∅.
- A \ U = ∅.
- A \ A′ = A ve A′ \ A = A′.
- U′ = ∅ ve ∅′ = U.
- A \ B = A ∩ B′.
- A ⊆ B ise A \ B = ∅. ⓘ
Tümleyenin bir uzantısı, A, B kümeleri için aşağıdaki gibi tanımlanan simetrik farktır
Kartezyen çarpım
Bir kümenin her elemanı başka bir kümenin her elemanı ile ilişkilendirilerek yeni bir küme oluşturulabilir. İki A ve B kümesinin Kartezyen çarpımı, A × B ile gösterilir, a'nın A'nın bir üyesi ve b'nin B'nin bir üyesi olduğu tüm sıralı çiftlerin (a, b) kümesidir. ⓘ
Örnekler:
- {1, 2} × {kırmızı, beyaz, yeşil} = {(1, kırmızı), (1, beyaz), (1, yeşil), (2, kırmızı), (2, beyaz), (2, yeşil)}.
- {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
- {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}. ⓘ
Kartezyen çarpımların bazı temel özellikleri:
- A × ∅ = ∅.
- A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
- (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
A ve B sonlu kümeler olsun; o zaman Kartezyen çarpımın kardinalitesi kardinalitelerin çarpımıdır:
- |A × B| = |B × A| = |A| × |B|. ⓘ
Uygulamalar
Kümeler modern matematikte her yerde bulunur. Örneğin, soyut cebirdeki gruplar, alanlar ve halkalar gibi yapılar, bir veya daha fazla işlem altında kapalı kümelerdir. ⓘ
Naif küme teorisinin ana uygulamalarından biri bağıntıların oluşturulmasıdır. Bir A alanından bir B kod alanına olan bir bağıntı, A × B Kartezyen çarpımının bir alt kümesidir. Örneğin, aynı isimli oyundaki şekillerin S = {taş, kağıt, makas} kümesi göz önüne alındığında, S'den S'ye "atar" bağıntısı B = {(makas,kağıt), (kağıt,taş), (taş,makas)} kümesidir; böylece (x,y) çifti B'nin bir üyesiyse x oyunda y'yi atar. Başka bir örnek, x'in gerçek olduğu tüm (x, x2) çiftlerinin F kümesidir. Bu ilişki R × R'nin bir alt kümesidir, çünkü tüm kareler kümesi tüm gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir. R'deki her x için F'de bir ve yalnızca bir çift (x,...) bulunduğundan, buna fonksiyon denir. Fonksiyonel gösterimde bu bağıntı F(x) = x2 şeklinde yazılabilir. ⓘ
İçerme ve dışlama ilkesi
İçerme-dışlama ilkesi, her bir kümenin boyutu ve kesişimlerinin boyutu biliniyorsa, iki kümenin birleşimindeki eleman sayısını saymak için kullanılabilen bir sayma tekniğidir. Sembolik olarak şu şekilde ifade edilebilir
İlkenin daha genel bir biçimi, kümelerin herhangi bir sonlu birleşiminin kardinalitesini bulmak için kullanılabilir:
De Morgan yasaları
Augustus De Morgan kümeler hakkında iki yasa belirtmiştir. ⓘ
Eğer A ve B herhangi iki küme ise,
- (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
A'nın B ile birleşiminin tümleyeni, B'nin tümleyeni ile kesişen A'nın tümleyenine eşittir.
- (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
B ile kesişen A'nın tümleyeni, B'nin tümleyeniyle birleşen A'nın tümleyenine eşittir. ⓘ
Küme Kavramının Kökeni
Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır. İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır. ⓘ
Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi. ⓘ
Kümelerin Gösterimi
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
- Liste Yöntemi: Kümenin elemanları sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, ise, tür.
- Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Burada "" ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade biçiminde de yazılmaktadır.
- Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir. ⓘ
Eşit Küme ve Denk Küme
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
- A kümesi B kümesine eşit ise biçiminde gösterilir.
- C kümesi D kümesine denk ise biçiminde gösterilir.
Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. ⓘ
Ayrıca Bakınız
- Öge
- Gönderme (Fonksiyon)
- Bağıntı
- Kümeler kuramı
- Belirtisiz (Bulanık) Küme ⓘ