Fonksiyon

Matematikte, bir X kümesinden bir Y kümesine bir fonksiyon, X'in her bir elemanına Y'nin tam olarak bir elemanını atar. X kümesine fonksiyonun alanı ve Y kümesine fonksiyonun kod alanı denir. ⓘ

Fonksiyonlar başlangıçta değişken bir niceliğin başka bir niceliğe nasıl bağlı olduğunun idealleştirilmesiydi. Örneğin, bir gezegenin konumu zamanın bir fonksiyonudur. Tarihsel olarak, kavram 17. yüzyılın sonunda sonsuz küçükler hesabı ile detaylandırıldı ve 19. yüzyıla kadar, dikkate alınan fonksiyonlar türevlenebilirdi (yani, yüksek derecede düzenliliğe sahiplerdi). Fonksiyon kavramı 19. yüzyılın sonunda küme teorisi açısından resmileştirildi ve bu, kavramın uygulama alanlarını büyük ölçüde genişletti. ⓘ

Bir fonksiyon çoğunlukla f, g ve h gibi harflerle gösterilir ve bir f fonksiyonunun alanının bir x elemanındaki değeri f(x) ile gösterilir; belirli bir giriş değerinde fonksiyon değerlendirmesinden kaynaklanan sayısal değer, x'in bu değerle değiştirilmesiyle gösterilir; örneğin, f'nin x = 4'teki değeri f(4) ile gösterilir. Fonksiyon isimlendirilmediğinde ve bir E ifadesi ile temsil edildiğinde, fonksiyonun örneğin x = 4'teki değeri E|_x=4 ile gösterilebilir. Örneğin, x'i 4'e eşleyen fonksiyonun 4'teki değeri $(x+1)^{2}$ ile gösterilebilir $\left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}$ (25 ile sonuçlanır). ⓘ

Bir fonksiyon, fonksiyonun grafiği olarak adlandırılan ve fonksiyonu göstermenin popüler bir yolu olan tüm çiftlerin (x, f (x)) kümesi ile benzersiz bir şekilde temsil edilir. Domain ve codomain reel sayı kümeleri olduğunda, bu çiftlerin her biri düzlemdeki bir noktanın Kartezyen koordinatları olarak düşünülebilir. ⓘ

Fonksiyonlar bilimde, mühendislikte ve matematiğin çoğu alanında yaygın olarak kullanılmaktadır. Fonksiyonların matematiğin çoğu alanında "araştırmanın merkezi nesneleri" olduğu söylenmiştir. ⓘ

Metaforik olarak bir "makine" veya "kara kutu" olarak tanımlanan ve her girdi için karşılık gelen bir çıktı veren bir fonksiyonun şematik tasviri ⓘ

Kırmızı eğri bir fonksiyonun grafiğidir, çünkü herhangi bir dikey çizginin eğri ile tam olarak bir kesişme noktası vardır. ⓘ

Dört renkli şekilden herhangi birini rengiyle ilişkilendiren bir fonksiyon. ⓘ

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Bir işlem türüdür. Dört işlemden sonra gelir. ⓘ

Tanım

Etki alanı X = {1, 2, 3} ve kod alanı Y = {A, B, C, D} olan ve {(1, D), (2, C), (3, C)} sıralı çiftler kümesi ile tanımlanan bir fonksiyonun diyagramı. Görüntü/aralık {C, D} kümesidir.

---

---

---

Bu diyagram, {(1,D), (2,B), (2,C)} çiftleri kümesini temsil eder ve bir fonksiyon tanımlamaz. Bunun bir nedeni, 2'nin bu kümenin (2, B) ve (2, C) olmak üzere birden fazla sıralı çiftinin ilk elemanı olmasıdır. Kendi başlarına yeterli olan diğer iki neden ise, ne 3'ün ne de 4'ün bu kümedeki herhangi bir sıralı çiftin ilk elemanı (giriş) olmamasıdır.

Bir X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon, X'in her bir elemanına Y'nin bir elemanının atanmasıdır. X kümesine fonksiyonun etki alanı ve Y kümesine fonksiyonun kod alanı denir. ⓘ

Bir fonksiyon, etki alanı ve kod alanı, f: X→Y gösterimiyle bildirilir ve bir f fonksiyonunun X'in bir x elemanındaki değeri, f(x) ile gösterilir, x'in f altındaki görüntüsü veya f'nin x argümanına uygulanan değeri olarak adlandırılır. ⓘ

Bazı yazarlar "haritalar" ve "fonksiyonlar" arasında bir ayrım yapsa da, fonksiyonlar harita veya eşleme olarak da adlandırılır (bkz. § Diğer terimler). ⓘ

İki f ve g fonksiyonu, etki alanı ve kodomain kümeleri aynı ise ve çıktı değerleri tüm etki alanında aynı ise eşittir. Daha resmi olarak, f: X → Y ve g: X → Y verildiğinde, f = g ancak ve ancak tüm x ∈ X için f(x) = g(x) ise vardır. ⓘ

Bir fonksiyon tanımlandığında etki alanı ve kod alanı her zaman açıkça verilmez ve bazı (muhtemelen zor) hesaplamalar olmadan, kişi yalnızca etki alanının daha büyük bir kümede yer aldığını bilebilir. Tipik olarak, bu durum matematiksel analizde ortaya çıkar; burada "X'ten Y'ye bir fonksiyon" genellikle etki alanı olarak X'in uygun bir alt kümesine sahip olabilen bir fonksiyonu ifade eder. Örneğin, "reellerden reellere bir fonksiyon" reel bir değişkenin reel değerli bir fonksiyonunu ifade edebilir. Ancak, "reellerden reellere doğru bir fonksiyon", fonksiyonun tanım kümesinin reel sayıların tüm kümesi olduğu anlamına gelmez, sadece tanım kümesinin boş olmayan bir açık aralık içeren bir reel sayılar kümesi olduğu anlamına gelir. Böyle bir fonksiyona kısmi fonksiyon denir. Örneğin, eğer f, tanım kümesi ve kod kümesi gerçel sayılar olan bir fonksiyon ise, x değerini g(x) = 1/f(x) değerine eşleyen bir fonksiyon, gerçellerden gerçellere bir g fonksiyonudur ve tanım kümesi x gerçellerinin kümesidir, öyle ki f(x) ≠ 0 olsun. ⓘ

Bir fonksiyonun aralığı veya görüntüsü, etki alanındaki tüm elemanların görüntülerinin kümesidir. ⓘ

Toplam, tek değerli ilişki

X ve Y kümelerinin Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesi, bu iki küme arasında R ⊆ X × Y ikili bağıntısını tanımlar. Keyfi bir bağıntının, yukarıda verilen bir fonksiyon için gerekli koşulları ihlal eden çiftler içerebileceği açıktır. ⓘ

Bir ikili bağıntı aşağıdaki durumlarda tek değerlidir (sağ-eşsiz olarak da adlandırılır)

$\forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.$ ⓘ

İkili bir ilişki aşağıdaki durumlarda toplamdır

$\forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.$ ⓘ

Kısmi bir fonksiyon tek değerli ikili bir ilişkidir ve bir fonksiyon tek değerli ve toplam olan ikili bir ilişkidir. ⓘ

Fonksiyonların ve fonksiyon bileşimlerinin çeşitli özellikleri bağıntı dilinde yeniden formüle edilebilir. Örneğin, R^T ⊆ Y × X ters bağıntısı tek değerli ise bir fonksiyon enjektiftir; burada ters bağıntı R^T = {(y, x) | (x, y) ∈ R} olarak tanımlanır. ⓘ

Küme üstelleştirme

Bir kümedeki tüm fonksiyonların kümesi $X$ bir kümeye $Y$ genellikle şu şekilde gösterilir

$Y^{X},$

olarak okunur $Y$ güce $X$. ⓘ

Bu gösterim, bir kopyalar ailesinin Kartezyen çarpımı için kullanılan gösterimle aynıdır. $Y$ tarafından endekslenmiştir $X$:

$Y^{X}=\prod _{x\in X}Y.$ ⓘ

Bu iki gösterimin özdeşliği, bir fonksiyonun $f$ indisinin bileşeni olacak şekilde Kartezyen çarpımın elemanı ile tanımlanabilir. $x$ o $f(x)$. ⓘ

Ne zaman $Y$ iki unsuru vardır, $Y^{X}$ genellikle şu şekilde gösterilir $2^{X}$ kümesi ile özdeşleştirilebilir ve X'in güç kümesi olarak adlandırılır. $X$'yi her bir alt küme ile ilişkilendiren bire-bir yazışma aracılığıyla $S\subseteq X$ fonksiyon $f$ öyle ki $f(x)=1$ Eğer $x\in X$ ve $f(x)=0$ Aksi takdirde. ⓘ

Notasyon

Fonksiyonları ifade etmek için çeşitli standart yollar vardır. En yaygın kullanılan gösterim, aşağıda açıklanan ilk gösterim olan fonksiyonel gösterimdir. ⓘ

Fonksiyonel gösterim

İşlevsel gösterimde, işleve hemen f gibi bir ad verilir ve tanımı, x cinsinden bir formül kullanılarak f'nin açık argüman x'e ne yaptığı ile verilir. Örneğin, girdi olarak gerçek bir sayı alan ve bu sayı artı 1 çıktısı veren işlev şu şekilde gösterilir ⓘ

$f(x)=x+1$. ⓘ

Bir fonksiyon bu gösterimde tanımlanırsa, tanım kümesi ve kod kümesinin her ikisi de örtük olarak $\mathbb {R}$reel sayılar kümesidir. Eğer formül tüm gerçel sayılarda değerlendirilemiyorsa, o zaman etki alanı dolaylı olarak gerçel sayılar kümesinin maksimal alt kümesi olarak alınır. $\mathbb {R}$ Formülün değerlendirilebileceği alan; bkz. bir fonksiyonun alanı. ⓘ

Daha karmaşık bir örnek ise fonksiyon ⓘ

$f(x)=\sin(x^{2}+1)$. ⓘ

Bu örnekte, f fonksiyonu girdi olarak bir gerçek sayı alır, karesini alır, sonra sonuca 1 ekler, sonra sonucun sinüsünü alır ve nihai sonucu çıktı olarak döndürür. ⓘ

Fonksiyonu ifade eden sembol birkaç karakterden oluştuğunda ve herhangi bir belirsizlik ortaya çıkmadığında, fonksiyonel gösterimin parantezleri atlanabilir. Örneğin, sin(x) yerine sin x yazmak yaygındır. ⓘ

Fonksiyonel gösterim ilk olarak 1734 yılında Leonhard Euler tarafından kullanılmıştır. Yaygın olarak kullanılan bazı fonksiyonlar birkaç harften oluşan bir sembolle temsil edilir (genellikle iki veya üç, genellikle adlarının kısaltması). Bu durumda, tek harfli semboller için italik yazı tipinin aksine, sinüs fonksiyonu için "sin" gibi bir roman tipi kullanılır. ⓘ

Bu gösterimi kullanırken, f(x) gösteriminin f'nin x'teki değerine ya da fonksiyonun kendisine atıfta bulunabileceği bir gösterim suistimaliyle sık sık karşılaşılır. Eğer x değişkeni önceden bildirilmişse, o zaman f(x) gösterimi açık bir şekilde f'nin x'deki değeri anlamına gelir. Aksi takdirde, gösterimi her ikisinin de aynı anda olduğu şeklinde anlamak yararlıdır; bu, f ve g fonksiyonlarının bileşimini f(g(x)) gösterimi ile kısa ve öz bir şekilde ifade etmeyi sağlar. ⓘ

Bununla birlikte, f ve f(x)'i ayırt etmek, fonksiyonların kendilerinin başka fonksiyonlar için girdi görevi gördüğü durumlarda önemli hale gelebilir. (Başka bir fonksiyonu girdi olarak alan bir fonksiyona fonksiyonel denir.) Aşağıda ayrıntıları verilen diğer fonksiyon gösterim yaklaşımları bu sorunu önler ancak daha az kullanılır. ⓘ

Ok gösterimi

Ok gösterimi, fonksiyona bir isim verilmesini gerektirmeden, bir fonksiyonun kuralını satır içi olarak tanımlar. Örneğin, $x\mapsto x+1$ girdi olarak bir gerçek sayı alan ve bu sayı artı 1 çıktısı veren fonksiyondur. Yine bir domain ve kodomain $\mathbb {R}$ ima edilmektedir. ⓘ

Etki alanı ve kodomain de açıkça belirtilebilir, örneğin:

${\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}$ ⓘ

Bu, tamsayılardan tamsayılara giden ve girdisinin karesini döndüren bir sqr fonksiyonu tanımlar. ⓘ

Ok gösteriminin yaygın bir uygulaması olarak, varsayalım ki $f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)$ iki değişkenli bir fonksiyondur ve kısmen uygulanmış bir fonksiyona atıfta bulunmak istiyoruz $X\to Y$ ikinci argümanı t₀ değerine sabitleyerek ve yeni bir fonksiyon adı eklemeden üretilir. Söz konusu harita şu şekilde gösterilebilir $x\mapsto f(x,t_{0})$ ok gösterimini kullanarak. İfade $x\mapsto f(x,t_{0})$ (okuyun: "x'i f(x, t₀)'a götüren harita") bu yeni fonksiyonu sadece bir argümanla temsil ederken, f(x₀, t₀) ifadesi f fonksiyonunun (x₀, t₀) noktasındaki değerini ifade eder. ⓘ

Dizin gösterimi

Dizin gösterimi genellikle fonksiyonel gösterim yerine kullanılır. Yani, f (x) yazmak yerine şöyle yazılır $f_{x}.$ ⓘ

Bu durum genellikle etki alanı doğal sayılar kümesi olan fonksiyonlar için geçerlidir. Böyle bir fonksiyona dizi denir ve bu durumda eleman $f_{n}$ dizinin n'inci elemanı olarak adlandırılır. ⓘ

İndeks gösterimi, parametre olarak adlandırılan bazı değişkenleri "gerçek değişkenlerden" ayırmak için de sıklıkla kullanılır. Aslında parametreler, bir problemin incelenmesi sırasında sabit olduğu düşünülen belirli değişkenlerdir. Örneğin, harita $x\mapsto f(x,t)$ (yukarıya bakın) gösterilecektir $f_{t}$ dizin gösterimini kullanarak, eğer haritalar koleksiyonunu tanımlarsak $f_{t}$ formülü ile $f_{t}(x)=f(x,t)$ herkes için $x,t\in X$. ⓘ

Nokta gösterimi

Notasyonda $x\mapsto f(x),$ x sembolü herhangi bir değeri temsil etmez, sadece bir yer tutucudur, yani x okun solundaki herhangi bir değerle değiştirilirse, okun sağındaki aynı değerle değiştirilmelidir. Bu nedenle, x herhangi bir sembolle, genellikle bir " ⋅ " ile değiştirilebilir. Bu, f (⋅) fonksiyonunu x'teki f (x) değerinden ayırt etmek için yararlı olabilir. ⓘ

Örneğin, $a(\cdot )^{2}$ fonksiyonu için geçerli olabilir $x\mapsto ax^{2}$ve ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ değişken üst sınıra sahip bir integral tarafından tanımlanan bir fonksiyon anlamına gelebilir: ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$. ⓘ

Özel gösterimler

Matematiğin alt disiplinlerinde fonksiyonlar için özelleşmiş başka gösterimler de vardır. Örneğin, lineer cebir ve fonksiyonel analizde, lineer formlar ve üzerinde hareket ettikleri vektörler, altta yatan dualiteyi göstermek için bir dual çift kullanılarak gösterilir. Bu, kuantum mekaniğindeki bra-ket gösteriminin kullanımına benzer. Mantık ve hesaplama teorisinde, fonksiyon soyutlama ve uygulama temel kavramlarını açıkça ifade etmek için lambda kalkülüsünün fonksiyon gösterimi kullanılır. Kategori teorisi ve homolojik cebirde, fonksiyon ağları, yukarıda açıklanan fonksiyonlar için ok gösterimini genişleten ve genelleştiren değişmeli diyagramlar kullanılarak kendilerinin ve bileşimlerinin birbirleriyle nasıl gidip geldikleri açısından tanımlanır. ⓘ

Diğer terimler

Dönem	"İşlev" ile arasındaki fark ⓘ
Harita/Haritalama	Yok; terimler eş anlamlıdır.
	Bir harita, kod alanı olarak herhangi bir kümeye sahip olabilirken, bazı bağlamlarda, tipik olarak eski kitaplarda, bir fonksiyonun kod alanı özellikle reel veya karmaşık sayılar kümesidir.
	Alternatif olarak, bir harita özel bir yapıyla ilişkilendirilir (örneğin, tanımında açıkça yapılandırılmış bir kod alanı belirtilerek). Örneğin, doğrusal bir harita.
Homomorfizm	Aynı türden iki yapı arasında, yapının işlemlerini koruyan bir fonksiyon (örneğin bir grup homomorfizmi).
Morfizm	Homomorfizmaların herhangi bir kategoriye genelleştirilmesi, kategorinin nesneleri kümeler olmasa bile (örneğin, bir grup, grubun elemanlarını morfizmalar olarak içeren tek bir nesneye sahip bir kategori tanımlar; bu örnek ve diğer benzerleri için Kategori (matematik) § Örnekler bölümüne bakınız).

Bir fonksiyon genellikle harita veya eşleme olarak da adlandırılır, ancak bazı yazarlar "harita" ve "fonksiyon" terimleri arasında bir ayrım yapar. Örneğin, "harita" terimi genellikle bir tür özel yapıya sahip bir "fonksiyon" için ayrılmıştır (örneğin, manifoldların haritaları). Özellikle harita, kısa ve öz olması için homomorfizm yerine sıklıkla kullanılır (örneğin, G'den H'ye grup homomorfizmi yerine doğrusal harita veya G'den H'ye harita). Bazı yazarlar eşleme kelimesini, kodomain yapısının fonksiyonun tanımına açıkça ait olduğu durumlar için saklı tutmaktadır. ⓘ

Serge Lang gibi bazı yazarlar "fonksiyon" kelimesini sadece kod alanının reel veya karmaşık sayıların bir alt kümesi olduğu eşlemeler için kullanmakta ve daha genel fonksiyonlar için eşleme terimini kullanmaktadır. ⓘ

Dinamik sistemler teorisinde bir harita, ayrık dinamik sistemler oluşturmak için kullanılan bir evrim fonksiyonunu ifade eder. Poincaré haritasına da bakınız. ⓘ

Hangi harita tanımı kullanılırsa kullanılsın, domain, codomain, injective, continuous gibi ilgili terimler bir fonksiyonla aynı anlama sahiptir. ⓘ

Bir fonksiyonun belirtilmesi

Bir fonksiyon verildiğinde $f$tanım gereği, her bir elemana $x$ fonksiyonunun etki alanının $f$değeriyle ilişkilendirilmiş benzersiz bir öğe vardır. $f(x)$ . $f$ at $x$. Nasıl olduğunu belirtmenin veya tanımlamanın birkaç yolu vardır $x$ ile ilgilidir $f(x)$hem açıkça hem de dolaylı olarak. Bazen bir teorem veya aksiyom, daha kesin bir tanımlama yapmadan bazı özelliklere sahip bir fonksiyonun varlığını ileri sürer. Genellikle, belirtim veya tanımlama fonksiyonun tanımı olarak adlandırılır $f$. ⓘ

Fonksiyon değerlerini listeleyerek

Sonlu bir küme üzerinde, bir fonksiyon, alanın elemanlarıyla ilişkili olan kodomain elemanlarını listeleyerek tanımlanabilir. Örneğin, eğer $A=\{1,2,3\}$'den sonra bir fonksiyon tanımlanabilir $f\colon A\to \mathbb {R}$ tarafından $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$ ⓘ

Bir formül ile

Fonksiyonlar genellikle aritmetik işlemlerin ve önceden tanımlanmış fonksiyonların bir kombinasyonunu tanımlayan bir formülle tanımlanır; böyle bir formül, alanın herhangi bir elemanının değerinden fonksiyonun değerinin hesaplanmasına izin verir. Örneğin, yukarıdaki örnekte, $f$ formülü ile tanımlanabilir $f(n)=n+1$için $n\in \{1,2,3\}$. ⓘ

Bir fonksiyon bu şekilde tanımlandığında, etki alanının belirlenmesi bazen zor olabilir. Fonksiyonu tanımlayan formül bölme işlemi içeriyorsa, paydası sıfır olan değişken değerleri tanım alanından çıkarılmalıdır; bu nedenle, karmaşık bir fonksiyon için tanım alanının belirlenmesi yardımcı fonksiyonların sıfırlarının hesaplanmasından geçer. Benzer şekilde, bir fonksiyonun tanımında karekökler ortaya çıkarsa $\mathbb {R}$ için $\mathbb {R} ,$ etki alanı, kareköklerin argümanlarının negatif olmadığı değişken değerlerinin kümesine dahil edilir. ⓘ

Örneğin, $f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ bir fonksiyon tanımlar $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ etki alanı $\mathbb {R} ,$ Çünkü $1+x^{2}$ x gerçek bir sayı ise her zaman pozitiftir. Diğer taraftan, $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ reellerden reellere, tanım alanı [-1, 1] aralığına indirgenmiş bir fonksiyon tanımlar. (Eski metinlerde böyle bir alan, fonksiyonun tanım alanı olarak adlandırılırdı). ⓘ

Fonksiyonlar genellikle kendilerini tanımlayan formüllerin doğasına göre sınıflandırılır:

• İkinci dereceden bir fonksiyon şöyle yazılabilen bir fonksiyondur $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ burada a, b, c sabitlerdir.
• Daha genel olarak, bir polinom fonksiyonu, yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayılara üs alma işlemlerini içeren bir formülle tanımlanabilen bir fonksiyondur. Örneğin, $f(x)=x^{3}-3x-1,$ ve $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.$
• Rasyonel bir fonksiyon da aynıdır, bölmelere de izin verilir, örneğin $f(x)={\frac {x-1}{x+1}},$ ve $f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.$
• Cebirsel bir fonksiyon da aynıdır, n'inci köklere ve polinomların köklerine de izin verilir.
• Temel bir fonksiyon da aynıdır, logaritma ve üstel fonksiyonlara izin verilir. ⓘ

Ters ve örtük fonksiyonlar

Bir fonksiyon $f\colon X\to Y,$ X tanım kümesi ve Y kod kümesi ile, Y'deki her y için, X'te y = f(x) olacak şekilde bir ve yalnızca bir x elemanı varsa, bijective'dir. Bu durumda, f'nin ters fonksiyonu $f^{-1}\colon Y\to X$ bu haritalar $y\in Y$ öğesine $x\in X$ öyle ki y = f(x) olsun. Örneğin, doğal logaritma pozitif reel sayılardan reel sayılara doğru iki yönlü bir fonksiyondur. Dolayısıyla, reel sayıları pozitif sayılara eşleyen ve üstel fonksiyon olarak adlandırılan bir tersi vardır. ⓘ

Eğer bir fonksiyon $f\colon X\to Y$ bijective değilse, alt kümelerin seçilebileceği ortaya çıkabilir $E\subseteq X$ ve $F\subseteq Y$ Öyle ki, f'nin E'ye kısıtlaması E'den F'ye bir bijeksiyondur ve dolayısıyla bir tersi vardır. Ters trigonometrik fonksiyonlar bu şekilde tanımlanır. Örneğin, kosinüs fonksiyonu, kısıtlama yoluyla, [0, π] aralığından [-1, 1] aralığına bir bieksiyon oluşturur ve ters fonksiyonu, arccosine olarak adlandırılır, [-1, 1]'i [0, π]'ye eşler. Diğer ters trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanımlanır. ⓘ

Daha genel olarak, iki X ve Y kümesi arasında ikili bir R bağıntısı verildiğinde, E, X'in bir alt kümesi olsun, öyle ki, her $x\in E,$ biraz var $y\in Y$ Öyle ki x R y. Eğer her y için böyle bir y seçmeye izin veren bir kriter varsa $x\in E,$ bu bir fonksiyon tanımlar $f\colon E\to Y,$ örtük fonksiyon olarak adlandırılır, çünkü R bağıntısı tarafından örtük olarak tanımlanır. ⓘ

Örneğin, birim çemberin denklemi $x^{2}+y^{2}=1$ reel sayılar üzerinde bir bağıntı tanımlar. Eğer -1 < x < 1 ise, y'nin biri pozitif diğeri negatif olmak üzere iki olası değeri vardır. x = ± 1 için, bu iki değerin her ikisi de 0'a eşit olur. Aksi takdirde, y'nin olası bir değeri yoktur. Bu, denklemin [-1, 1] tanım alanına ve [0, +∞) ve (-∞, 0] kod alanlarına sahip iki örtük fonksiyon tanımladığı anlamına gelir. ⓘ

Bu örnekte, denklem y cinsinden çözülebilir ve $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$ Ancak daha karmaşık örneklerde bu mümkün değildir. Örneğin, ilişki $y^{5}+y+x=0$ y'yi x'in örtük bir fonksiyonu olarak tanımlar ve buna Bring radikali denir. $\mathbb {R}$ etki alanı ve aralık olarak. Bring radikali dört aritmetik işlem ve n'inci kökler cinsinden ifade edilemez. ⓘ

Kapalı fonksiyon teoremi, bir noktanın komşuluğunda kapalı bir fonksiyonun varlığı ve tekliği için hafif türevlenebilirlik koşulları sağlar. ⓘ

Diferansiyel hesabı kullanma

Birçok fonksiyon başka bir fonksiyonun türevi olarak tanımlanabilir. Bu, x = 1 için 0 olan 1/x'in antiderivatifi olan doğal logaritmanın durumudur. Bir başka yaygın örnek de hata fonksiyonudur. ⓘ

Daha genel olarak, çoğu özel fonksiyon da dahil olmak üzere birçok fonksiyon, diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak tanımlanabilir. En basit örnek muhtemelen, türevine eşit olan ve x = 0 için 1 değerini alan tek fonksiyon olarak tanımlanabilen üstel fonksiyondur. ⓘ

Kuvvet serileri, yakınsadıkları alan üzerindeki fonksiyonları tanımlamak için kullanılabilir. Örneğin, üstel fonksiyon şu şekilde verilir $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$. Bununla birlikte, bir serinin katsayıları oldukça keyfi olduğundan, yakınsak bir serinin toplamı olan bir fonksiyon genellikle başka türlü tanımlanır ve katsayıların dizisi başka bir tanıma dayalı bazı hesaplamaların sonucudur. Daha sonra, fonksiyonun etki alanını genişletmek için kuvvet serileri kullanılabilir. Tipik olarak, bir reel değişken için bir fonksiyon, bazı aralıklardaki Taylor serilerinin toplamı ise, bu kuvvet serisi, alanı hemen serinin yakınsama diski olan karmaşık sayıların bir alt kümesine genişletmeye izin verir. Daha sonra analitik devamlılık, neredeyse tüm karmaşık düzlemi içerecek şekilde alanın daha da genişletilmesine izin verir. Bu süreç, genellikle karmaşık bir sayının logaritma, üstel ve trigonometrik fonksiyonlarını tanımlamak için kullanılan yöntemdir. ⓘ

Yineleme ile

Alanı negatif olmayan tamsayılar olan ve dizi olarak bilinen fonksiyonlar genellikle yineleme bağıntılarıyla tanımlanır. ⓘ

Negatif olmayan tamsayılar üzerinde faktöriyel fonksiyonu ($n\mapsto n!$) temel bir örnektir, çünkü yineleme bağıntısı ile tanımlanabilir

$n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,$

ve başlangıç koşulu

$0!=1.$ ⓘ

Bir işlevi temsil etme

Bir grafik genellikle bir fonksiyonun sezgisel bir resmini vermek için kullanılır. Bir grafiğin bir fonksiyonu anlamaya nasıl yardımcı olduğuna bir örnek olarak, bir fonksiyonun arttığını veya azaldığını grafiğinden görmek kolaydır. Bazı fonksiyonlar çubuk grafiklerle de gösterilebilir. ⓘ

Grafikler ve çizimler

Her yılı ABD motorlu araç ölüm sayısıyla eşleştiren fonksiyon, çizgi grafik olarak gösterilmiştir ⓘ

Aynı işlev, çubuk grafik olarak gösterilmiştir ⓘ

Bir fonksiyon verildiğinde $f\colon X\to Y,$ grafiği resmi olarak şu kümedir ⓘ

$G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.$ ⓘ

X ve Y'nin gerçel sayıların alt kümeleri olduğu (veya bu tür alt kümelerle, örneğin aralıklarla özdeşleştirilebildiği) sık karşılaşılan durumda, bir eleman $(x,y)\in G$ Kartezyen düzlem gibi 2 boyutlu bir koordinat sisteminde x, y koordinatlarına sahip bir nokta ile tanımlanabilir. Bunun parçaları, fonksiyonu (parçalarını) temsil eden bir çizim oluşturabilir. Çizimlerin kullanımı o kadar yaygındır ki bunlara fonksiyonun grafiği de denir. Fonksiyonların grafiksel gösterimleri diğer koordinat sistemlerinde de mümkündür. Örneğin, kare fonksiyonunun grafiği ⓘ

$x\mapsto x^{2},$ ⓘ

koordinatlarına sahip tüm noktalardan oluşan $(x,x^{2})$ için $x\in \mathbb {R} ,$ Kartezyen koordinatlarda gösterildiğinde, iyi bilinen parabolü verir. Eğer aynı ikinci dereceden fonksiyon $x\mapsto x^{2},$ sayı çiftlerinden oluşan aynı biçimsel grafik, bunun yerine kutupsal koordinatlarda çizilir $(r,\theta )=(x,x^{2}),$ Elde edilen çizim Fermat'ın spiralidir. ⓘ

Tablolar

Bir fonksiyon bir değerler tablosu olarak gösterilebilir. Bir fonksiyonun etki alanı sonlu ise, fonksiyon bu şekilde tamamen belirtilebilir. Örneğin, çarpma fonksiyonu $f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R}$ olarak tanımlanır $f(x,y)=xy$ bilinen çarpım tablosu ile temsil edilebilir ⓘ

y x	1	2	3	4	5 ⓘ
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Öte yandan, bir fonksiyonun etki alanı sürekliyse, bir tablo fonksiyonun etki alanının belirli değerlerindeki değerlerini verebilir. Ara bir değere ihtiyaç duyulursa, fonksiyonun değerini tahmin etmek için enterpolasyon kullanılabilir. Örneğin, sinüs fonksiyonu için bir tablonun bir kısmı, değerler 6 ondalık basamağa yuvarlanmış olarak aşağıdaki gibi verilebilir:

x	sin x ⓘ
1.289	0.960557
1.290	0.960835
1.291	0.961112
1.292	0.961387
1.293	0.961662

El hesap makinelerinin ve kişisel bilgisayarların ortaya çıkmasından önce, bu tür tablolar genellikle logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi fonksiyonlar için derlenir ve yayınlanırdı. ⓘ

Çubuk grafik

Çubuk grafikler genellikle etki alanı sonlu bir küme, doğal sayılar veya tam sayılar olan fonksiyonları temsil etmek için kullanılır. Bu durumda, alanın bir x elemanı x ekseninin bir aralığı ile temsil edilir ve fonksiyonun karşılık gelen değeri, f(x), tabanı x'e karşılık gelen aralık olan ve yüksekliği f(x) olan bir dikdörtgenle temsil edilir (muhtemelen negatiftir, bu durumda çubuk x ekseninin altına uzanır). ⓘ

Genel özellikler

Bu bölümde, fonksiyonların etki alanı ve kodomainin belirli özelliklerinden bağımsız olan genel özellikleri açıklanmaktadır. ⓘ

Standart fonksiyonlar

Sıklıkla karşılaşılan bir dizi standart fonksiyon vardır:

• Her X kümesi için, boş kümeden X'e giden boş fonksiyon ya da boş harita olarak adlandırılan benzersiz bir fonksiyon vardır. Boş fonksiyonun varlığı, teorinin tutarlılığı ve birçok ifadede boş küme ile ilgili istisnalardan kaçınmak için gerekli olan bir konvansiyondur.
• Her X kümesi ve her tekil {s} kümesi için, X'in her elemanını s'ye eşleyen X'ten {s}'ye tek bir fonksiyon vardır. X boş küme olmadığı sürece bu bir surjeksiyondur (aşağıya bakınız).
• Bir fonksiyon verildiğinde $f\colon X\to Y,$ f'nin görüntüsü üzerine kanonik surjeksiyonu $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ X'ten f(X)'e x'i f(x) ile eşleyen fonksiyondur.
• Bir X kümesinin her A alt kümesi için, A'nın X'e içerme haritası, A'nın her elemanını kendisine eşleyen enjektif (aşağıya bakınız) fonksiyondur.
• Bir X kümesi üzerindeki kimlik fonksiyonu, genellikle id_X ile gösterilir, X'in kendisine dahil edilmesidir. ⓘ

Fonksiyon bileşimi

İki fonksiyon verildiğinde $f\colon X\to Y$ ve $g\colon Y\to Z$ öyle ki g'nin etki alanı f'nin kod alanı olsun, bunların bileşimi $g\circ f\colon X\rightarrow Z$ tarafından tanımlanan

$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$ ⓘ

Yani, değeri $g\circ f$ y = f(x) elde etmek için önce f'yi x'e uygulayarak ve sonra g(y) = g(f(x)) elde etmek için g'yi sonuç y'ye uygulayarak elde edilir. Notasyonda ilk uygulanan fonksiyon her zaman sağda yazılır. ⓘ

Bileşim $g\circ f$ fonksiyonlar üzerinde bir işlemdir ve yalnızca ilk fonksiyonun kodomeni ikincisinin tanım kümesi ise tanımlanır. Her ikisi de $g\circ f$ ve $f\circ g$ bu koşulları sağladığında, bileşimin değişmeli olması gerekmez, yani fonksiyonlar $g\circ f$ ve $f\circ g$ eşit olmak zorunda değildir, ancak aynı argüman için farklı değerler verebilir. Örneğin, f(x) = x² ve g(x) = x + 1 olsun, o zaman $g(f(x))=x^{2}+1$ ve $f(g(x))=(x+1)^{2}$ sadece $x=0.$ ⓘ

Fonksiyon bileşimi şu anlamda birleştiricidir $(h\circ g)\circ f$ ve $h\circ (g\circ f)$ tanımlanmışsa, diğeri de tanımlanmıştır ve eşittirler. Böylece, biri şöyle yazar

$h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$ ⓘ

Özdeşlik fonksiyonları $\operatorname {id} _{X}$ ve $\operatorname {id} _{Y}$ X'ten Y'ye fonksiyonlar için sırasıyla bir sağ özdeşlik ve bir sol özdeşliktir. Yani, eğer f tanım kümesi X ve kod kümesi Y olan bir fonksiyon ise $f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.$ ⓘ

• 

  Bileşik bir fonksiyon g(f(x)), iki "makinenin" birleşimi olarak görselleştirilebilir.

• 

  Bir fonksiyon bileşiminin basit bir örneği

• 

  Başka bir bileşim. Bu örnekte, . ⓘ

Görüntü ve ön görüntü

Bırakın $f\colon X\to Y.$ X alanının bir x elemanının f altındaki görüntüsü f(x)'tir. A, X'in herhangi bir alt kümesi ise, A'nın f altındaki görüntüsü, f(A) olarak gösterilir, A'nın elemanlarının tüm görüntülerinden oluşan Y kod alanının alt kümesidir, yani,

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.$ ⓘ

f'nin görüntüsü tüm alanın, yani f(X)'in görüntüsüdür. Buna f'nin aralığı da denir, ancak aralık terimi kodomain'i de ifade edebilir. ⓘ

Öte yandan, Y kod alanının bir y elemanının f altındaki ters görüntüsü veya ön görüntüsü, f altındaki görüntüleri y'ye eşit olan X alanının tüm elemanlarının kümesidir. sembollerde, y'nin ön görüntüsü şu şekilde gösterilir $f^{-1}(y)$ ve denklem tarafından verilir

$f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.$

Benzer şekilde, Y kod alanının bir B alt kümesinin ön görüntüsü, B'nin elemanlarının ön görüntülerinin kümesidir, yani görüntüleri B'ye ait olan X'in tüm elemanlarından oluşan X alanının alt kümesidir. $f^{-1}(B)$ ve denklem tarafından verilir

$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.$

Örneğin, ön görüntüsü $\{4,9\}$ kare fonksiyonu altındaki küme $\{-3,-2,2,3\}$. ⓘ

Bir fonksiyonun tanımı gereği, tanım kümesinin bir x elemanının görüntüsü her zaman kod kümesinin tek bir elemanıdır. Ancak, ön görüntü $f^{-1}(y)$ kod alanının bir y elemanı boş olabilir veya herhangi bir sayıda eleman içerebilir. Örneğin, f tamsayılardan kendilerine doğru her tamsayıyı 0'a eşleyen bir fonksiyon ise, o zaman $f^{-1}(0)=\mathbb {Z}$. ⓘ

Eğer $f\colon X\to Y$ bir fonksiyon, A ve B X'in alt kümeleri ve C ve D Y'nin alt kümeleri ise, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• $A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$
• $C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$
• $A\subseteq f^{-1}(f(A))$
• $C\supseteq f(f^{-1}(C))$
• $f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$
• $f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$ ⓘ

Kodomain'in bir y elemanının f tarafından ön görüntüsü, bazı bağlamlarda, y'nin f altındaki lifi olarak adlandırılır. ⓘ

Eğer bir f fonksiyonunun bir tersi varsa (aşağıya bakınız), bu ters şu şekilde gösterilir $f^{-1}.$ Bu durumda $f^{-1}(C)$ ile görüntüyü gösterebilir. $f^{-1}$ veya C'nin f ile ön görüntüsü. Bu kümeler eşit olduğundan bu bir sorun değildir. Gösterim $f(A)$ ve $f^{-1}(C)$ gibi bazı alt kümeleri eleman olarak içeren kümeler söz konusu olduğunda belirsiz olabilir. $\{x,\{x\}\}.$ Bu durumda, örneğin köşeli parantez kullanarak biraz özen gösterilmesi gerekebilir $f[A],f^{-1}[C]$ alt kümelerin imajları ve ön imajları için ve elemanların imajları ve ön imajları için sıradan parantezler. ⓘ

İnjektif, surjektif ve bijektif fonksiyonlar

Bırakın $f\colon X\to Y$ bir fonksiyon olsun. ⓘ

X'in herhangi iki farklı a ve b elemanı için f(a) ≠ f(b) ise f fonksiyonu enjektiftir (veya bire-birdir veya bir enjeksiyondur). $y\in Y,$ ön görüntü $f^{-1}(y)$ en fazla bir eleman içerir. Boş bir fonksiyon her zaman enjektiftir. Eğer X boş küme değilse, f ancak ve ancak aşağıdaki gibi bir fonksiyon varsa enjektiftir $g\colon Y\to X$ öyle ki $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ yani, f'nin bir sol tersi varsa. Kanıt: Eğer f enjektif ise, g'yi tanımlamak için bir eleman seçilir $x_{0}$ X içinde (X'in boş olmadığı varsayıldığı için var olan) ve g'yi şu şekilde tanımlar $g(y)=x$ Eğer $y=f(x)$ ve $g(y)=x_{0}$ Eğer $y\not \in f(X).$ Tersine, eğer $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ ve $y=f(x),$ sonra $x=g(y),$ ve böylece $f^{-1}(y)=\{x\}.$ ⓘ

f fonksiyonu, aralığı aşağıdaki gibi ise surjektiftir (veya onto, veya bir surjeksiyondur) $f(X)$ kod alanına eşittir $Y$yani, eğer her bir eleman için $y$ kod alanının bir elemanı varsa $x$ öyle ki $f(x)=y$ (başka bir deyişle, ön görüntü $f^{-1}(y)$ her $y\in Y$ boş değildir). Modern matematikte alışılageldiği üzere, seçim aksiyomu varsayılırsa, f ancak ve ancak aşağıdaki gibi bir fonksiyon varsa süpjektiftir $g\colon Y\to X$ öyle ki $f\circ g=\operatorname {id} _{Y},$ Yani, eğer f'nin bir doğru tersi varsa. Seçim aksiyomu gereklidir, çünkü eğer f süpjektif ise, g şu şekilde tanımlanır $g(y)=x,$ nerede $x$ 'nin keyfi olarak seçilmiş bir elemanıdır. $f^{-1}(y).$ ⓘ

f fonksiyonu hem injektif hem de surjektif ise bijektiftir (ya da bijeksiyon veya bire bir karşılıktır). Yani, f eğer herhangi bir $y\in Y,$ ön görüntü $f^{-1}(y)$ tam olarak bir eleman içerir. f fonksiyonu, ancak ve ancak bir ters fonksiyon, yani bir fonksiyon kabul ediyorsa bijective'dir. $g\colon Y\to X$ öyle ki $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ ve $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.$ (Surjections durumunun aksine, bu seçim aksiyomunu gerektirmez; ispatı basittir). ⓘ

Her fonksiyon $f\colon X\to Y$ bileşimi olarak faktörize edilebilir $i\circ s$ Burada s, X'in f(X) üzerine kanonik surjeksiyonu ve i, f(X)'in Y'ye kanonik enjeksiyonudur. Bu, f'nin kanonik çarpanlara ayrılmasıdır. ⓘ

"Bire-bir" ve "üzerine" eski İngilizce literatürde daha yaygın olan terimlerdir; "injektif", "surjektif" ve "bijektif" 20. yüzyılın ikinci çeyreğinde Bourbaki grubu tarafından Fransızca sözcükler olarak türetilmiş ve İngilizceye aktarılmıştır. Dikkat edilmesi gereken bir nokta olarak, "bire-bir fonksiyon" enjektif bir fonksiyon iken, "bire-bir tekabüliyet" bijektif bir fonksiyon anlamına gelir. Ayrıca, "f, X'i Y'ye eşler" ifadesi, "f, X'i B'ye eşler" ifadesinden farklıdır, çünkü birincisi f'nin süpjektif olduğunu ima ederken, ikincisi f'nin doğası hakkında hiçbir iddiada bulunmaz. Karmaşık bir akıl yürütmede, bir harflik fark kolayca gözden kaçabilir. Bu eski terminolojinin kafa karıştırıcı doğası nedeniyle, bu terimler daha simetrik olma avantajına da sahip olan Bourbakian terimlerine göre popülerliğini yitirmiştir. ⓘ

Kısıtlama ve genişletme

Eğer $f\colon X\to Y$ bir fonksiyon ve S X'in bir alt kümesi ise, o zaman $f$ S'ye, gösterilir $f|_{S}$, S'den Y'ye şu şekilde tanımlanan fonksiyondur

$f|_{S}(x)=f(x)$

Kısıtlamalar kısmi ters fonksiyonları tanımlamak için kullanılabilir: eğer bir fonksiyonun etki alanının bir S alt kümesi varsa $f$ öyle ki $f|_{S}$ 'nin kanonik sureksiyonu enjektiftir. $f|_{S}$ görüntüsü üzerine $f|_{S}(S)=f(S)$ bir bijeksiyondur ve bu nedenle $f(S)$ Bir uygulama ters trigonometrik fonksiyonların tanımıdır. Örneğin, kosinüs fonksiyonu [0, π] aralığına kısıtlandığında enjektiftir. Bu kısıtlamanın görüntüsü [-1, 1] aralığıdır ve bu nedenle kısıtlamanın [-1, 1]'den [0, π]'ye bir ters fonksiyonu vardır, buna arccosine denir ve arccos olarak gösterilir. ⓘ

Fonksiyon kısıtlaması, fonksiyonları birbirine "yapıştırmak" için de kullanılabilir. İzin verin ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ X'in alt kümelerin birleşimi olarak ayrıştırılması olsun ve bir fonksiyonun $f_{i}\colon U_{i}\to Y$ her biri üzerinde tanımlanır $U_{i}$ öyle ki her bir çift için $i,j$ kısıtlamaları, endekslerin $f_{i}$ ve $f_{j}$ için $U_{i}\cap U_{j}$ eşittir. O zaman bu benzersiz bir fonksiyon tanımlar $f\colon X\to Y$ öyle ki $f|_{U_{i}}=f_{i}$ Manifoldlar üzerindeki fonksiyonlar bu şekilde tanımlanır. ⓘ

Bir f fonksiyonunun uzantısı, f'nin g'nin bir kısıtlaması olduğu bir g fonksiyonudur. Bu kavramın tipik bir kullanımı, alanı karmaşık düzlemin küçük bir parçası olan fonksiyonları, alanı neredeyse tüm karmaşık düzlem olan fonksiyonlara genişletmeye izin veren analitik devam sürecidir. ⓘ

Reel doğrunun homografilerini incelerken karşılaşılan bir başka klasik fonksiyon uzantısı örneği. Homografi bir fonksiyondur $h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ Öyle ki ad - bc ≠ 0 olsun. Etki alanı, ad - bc ≠ 0'dan farklı tüm reel sayıların kümesidir. $-d/c,$ 'den farklı tüm reel sayıların kümesidir ve görüntüsü $a/c.$ Eğer biri reel doğruyu ∞'u dahil ederek izdüşümsel olarak genişletilmiş reel doğruya genişletirse, h'yi genişletilmiş reel doğrunun kendisine bir bieksiyon olarak genişletebilir. $h(\infty )=a/c$ ve $h(-d/c)=\infty$. ⓘ

Eğer $f:A\longrightarrow B$ bir fonksiyonsa ve $A_{1}\subseteq A$, $A$'nın bir altkümesiyse, o zaman $f$ fonksiyonunu $A_{1}$ altkümesine kısıtlayabiliriz, yani $f$'nin sadece $A_{1}$ kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon ⓘ

$f_{|A_{1}}:A_{1}\longrightarrow B$ ⓘ

olarak yazılır ve bu fonksiyona $f$'nin $A_{1}$'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer $A_{2}\subseteq A_{1}\subseteq A$ ise $(f_{|A_{1}})_{|A_{2}}=f_{|A_{2}}$ eşitliği geçerlidir. ⓘ

Çok değişkenli fonksiyon

İkili işlem, her bir çifte atama yapan iki değişkenli bir fonksiyonun tipik bir örneğidir $(x,y)$ Sonuç $x\circ y$. ⓘ

Çok değişkenli bir fonksiyon veya birkaç değişkenli bir fonksiyon, birkaç argümana bağlı olan bir fonksiyondur. Bu tür fonksiyonlara sıkça rastlanır. Örneğin, bir arabanın yoldaki konumu, kat ettiği zamanın ve ortalama hızının bir fonksiyonudur. ⓘ

Daha resmi olarak, n değişkenli bir fonksiyon, etki alanı n-tuplelardan oluşan bir küme olan bir fonksiyondur. Örneğin, tamsayıların çarpımı iki değişkenli bir fonksiyondur ya da iki değişkenli bir fonksiyondur, etki alanı tüm tamsayı çiftlerinin (2-tuples) kümesidir ve kodomeni tamsayılar kümesidir. Aynı durum her ikili işlem için de geçerlidir. Daha genel olarak, her matematiksel işlem çok değişkenli bir fonksiyon olarak tanımlanır. ⓘ

Kartezyen çarpım $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ n kümenin $X_{1},\ldots ,X_{n}$ tüm n-tuplelerin kümesidir $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ öyle ki $x_{i}\in X_{i}$ ile her i için $1\leq i\leq n$. Bu nedenle, n değişkenli bir fonksiyon

$f\colon U\to Y,$

burada U etki alanı şu biçime sahiptir

$U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.$

Fonksiyon gösterimini kullanırken, genellikle çiftleri çevreleyen parantezler atlanır ve şöyle yazılır $f(x_{1},x_{2})$ yerine $f((x_{1},x_{2})).$ ⓘ

Bütün bu durumlarda $X_{i}$ kümesine eşittir $\mathbb {R}$ gerçel sayılardan oluşuyorsa, birden fazla gerçel değişkenin bir fonksiyonu vardır. Eğer $X_{i}$ kümesine eşittir $\mathbb {C}$ karmaşık sayıların bir fonksiyonu varsa, birden fazla karmaşık değişkenin bir fonksiyonu vardır. ⓘ

Kod alanı kümelerin çarpımı olan fonksiyonları da dikkate almak yaygındır. Örneğin, Öklid bölme işlemi, b ≠ 0 olan her tamsayı çiftini (a, b) bölüm ve kalan olarak adlandırılan bir tamsayı çiftine eşler:

${\begin{aligned}{\text{Euclidean division}}\colon \quad \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})&\to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\(a,b)&\mapsto (\operatorname {quotient} (a,b),\operatorname {remainder} (a,b)).\end{aligned}}$

Kodomain bir vektör uzayı da olabilir. Bu durumda, vektör değerli bir fonksiyondan bahsedilir. Eğer alan bir Öklid uzayında ya da daha genel olarak bir manifoldda yer alıyorsa, vektör değerli bir fonksiyon genellikle vektör alanı olarak adlandırılır. ⓘ

Kalkülüste

Fonksiyon fikri, 17. yüzyılda başlayarak, yeni sonsuz küçükler hesabı için temel oluşturmuştur (bkz. Fonksiyon kavramının tarihi). O zamanlar, yalnızca bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonları dikkate alınıyordu ve tüm fonksiyonların düzgün olduğu varsayılıyordu. Ancak tanım kısa süre içinde birden fazla değişkenli fonksiyonlara ve karmaşık değişkenli fonksiyonlara genişletildi. 19'uncu yüzyılın ikinci yarısında, bir fonksiyonun matematiksel olarak kesin tanımı ortaya konmuş ve keyfi etki alanları ve kodomainleri olan fonksiyonlar tanımlanmıştır. ⓘ

Fonksiyonlar artık matematiğin tüm alanlarında kullanılmaktadır. Kalkülüs dersine girişte, fonksiyon kelimesi herhangi bir niteleme yapılmaksızın kullanıldığında, tek bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu anlamına gelir. Bir fonksiyonun daha genel tanımı genellikle STEM ana dallarına sahip ikinci veya üçüncü sınıf üniversite öğrencilerine tanıtılır ve son sınıflarında gerçek analiz ve karmaşık analiz gibi derslerde daha geniş ve daha titiz bir ortamda kalkülüs ile tanışırlar. ⓘ

Reel fonksiyon

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği ⓘ

Bir polinom fonksiyonunun grafiği, burada ikinci dereceden bir fonksiyon. ⓘ

İki trigonometrik fonksiyonun grafiği: sinüs ve kosinüs. ⓘ

Reel fonksiyon, reel bir değişkenin reel değerli bir fonksiyonudur, yani kod alanı reel sayılar alanı olan ve alanı bir aralık içeren bir reel sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Bu bölümde, bu fonksiyonlar basitçe fonksiyon olarak adlandırılacaktır. ⓘ

Matematikte ve uygulamalarında en yaygın olarak ele alınan fonksiyonlar bazı düzenliliklere sahiptir, yani sürekli, türevlenebilir ve hatta analitiktirler. Bu düzenlilik, bu fonksiyonların grafikleriyle görselleştirilebilmesini sağlar. Bu bölümde, tüm fonksiyonlar bazı aralıklarda türevlenebilirdir. ⓘ

Fonksiyonlar noktasal işlemlerden yararlanır, yani f ve g fonksiyonlar ise, toplamları, farkları ve çarpımları şu şekilde tanımlanan fonksiyonlardır

${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.$

Elde edilen fonksiyonların tanım kümeleri f ve g tanım kümelerinin kesişimidir. İki fonksiyonun bölümü benzer şekilde şu şekilde tanımlanır

${\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},$

ancak elde edilen fonksiyonun etki alanı, f ve g'nin etki alanlarının kesişiminden g'nin sıfırlarının çıkarılmasıyla elde edilir. ⓘ

Polinom fonksiyonları polinomlar tarafından tanımlanır ve etki alanları tüm reel sayılar kümesidir. Sabit fonksiyonları, doğrusal fonksiyonları ve ikinci dereceden fonksiyonları içerirler. Rasyonel fonksiyonlar, iki polinom fonksiyonun bölümleridir ve etki alanları, sıfıra bölünmeyi önlemek için sonlu sayıda çıkarılmış gerçek sayılardır. En basit rasyonel fonksiyon $x\mapsto {\frac {1}{x}},$ Grafiği bir hiperbol olan ve alanı 0 hariç tüm reel doğru olan. ⓘ

Reel türevlenebilir bir fonksiyonun türevi reel bir fonksiyondur. Sürekli bir reel fonksiyonun antiderivatifi, orijinal fonksiyonun türevi olan bir reel fonksiyondur. Örneğin, fonksiyon $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ pozitif reel sayılar üzerinde sürekli ve hatta türevlenebilirdir. Dolayısıyla, x = 1 için sıfır değerini alan bir antiderivatif, doğal logaritma adı verilen türevlenebilir bir fonksiyondur. ⓘ

Bir f reel fonksiyonu bir aralıkta monotoniktir, eğer ${\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$ aralıktaki x ve y seçimine bağlı değildir. Fonksiyon aralıkta türevlenebilirse, türevin işareti aralıkta sabitse monotoniktir. Eğer bir f reel fonksiyonu I aralığında monoton ise, f(I) tanım alanına ve I görüntüsüne sahip bir reel fonksiyon olan bir ters fonksiyona sahiptir. Trigonometrik fonksiyonların monoton olduğu trigonometrik fonksiyonlar açısından ters trigonometrik fonksiyonlar bu şekilde tanımlanır. Başka bir örnek: doğal logaritma pozitif reel sayılar üzerinde monotoniktir ve görüntüsü tüm reel doğrudur; bu nedenle reel sayılar ile pozitif reel sayılar arasında bir bijeksiyon olan bir ters fonksiyona sahiptir. Bu ters fonksiyon üstel fonksiyondur. ⓘ

Diğer birçok reel fonksiyon ya örtük fonksiyon teoremiyle (ters fonksiyon özel bir örnektir) ya da diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak tanımlanır. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonları doğrusal diferansiyel denklemin çözümleridir

$y+y=0$

öyle ki

$\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.$ ⓘ

Vektör değerli fonksiyon

Bir fonksiyonun kod alanının elemanları vektörler olduğunda, fonksiyonun vektör değerli bir fonksiyon olduğu söylenir. Bu fonksiyonlar, örneğin fiziksel özelliklerin modellenmesi gibi uygulamalarda özellikle kullanışlıdır. Örneğin, bir akışkanın her bir noktasını hız vektörüyle ilişkilendiren fonksiyon vektör değerli bir fonksiyondur. ⓘ

Bazı vektör değerli fonksiyonlar aşağıdakilerin bir alt kümesi üzerinde tanımlanır $\mathbb {R} ^{n}$ veya geometrik veya topolojik özelliklerini paylaşan diğer uzaylar $\mathbb {R} ^{n}$manifoldlar gibi. Bu vektör değerli fonksiyonlara vektör alanları adı verilir. ⓘ

Fonksiyon uzayı

Matematiksel analizde ve daha spesifik olarak fonksiyonel analizde bir fonksiyon uzayı, belirli bir özelliği paylaşan ve topolojik bir vektör uzayı oluşturan skaler değerli veya vektör değerli fonksiyonlar kümesidir. Örneğin, kompakt bir desteğe sahip (yani, bazı kompakt kümelerin dışında sıfır olan) gerçek düzgün fonksiyonlar, dağılımlar teorisinin temelinde yer alan bir fonksiyon uzayı oluşturur. ⓘ

Fonksiyon uzayları, fonksiyonların özelliklerini incelemek için cebirsel ve topolojik özelliklerinin kullanılmasına izin vererek ileri matematiksel analizde temel bir rol oynar. Örneğin, adi veya kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili tüm teoremler fonksiyon uzaylarının incelenmesi sonucunda ortaya çıkmıştır. ⓘ

Çok değerli fonksiyonlar

Negatif olmayan tüm reel sayıların iki karekökü birlikte tek bir düzgün eğri oluşturur. ⓘ

Reel veya karmaşık değişkenlerin fonksiyonlarını belirlemek için kullanılan çeşitli yöntemler, bir noktada veya bir noktanın komşuluğunda fonksiyonun yerel bir tanımından başlar ve daha sonra süreklilik yoluyla fonksiyonu çok daha geniş bir alana genişletir. Sıklıkla, bir başlangıç noktası için $x_{0},$ fonksiyon için birkaç olası başlangıç değeri vardır. ⓘ

Örneğin, karekökü kare fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak tanımlarken, herhangi bir pozitif reel sayı için $x_{0},$ karekök değeri için iki seçenek vardır, bunlardan biri pozitiftir ve şu şekilde gösterilir ${\sqrt {x_{0}}},$ ve bir diğeri negatif olan ve $-{\sqrt {x_{0}}}.$ Bu seçenekler, her ikisi de negatif olmayan reel sayıları alan olarak alan ve negatif olmayan ya da pozitif olmayan reel sayıları görüntü olarak alan iki sürekli fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyonların grafiklerine bakıldığında, birlikte tek bir düzgün eğri oluşturdukları görülebilir. Bu nedenle, bu iki karekök fonksiyonunu, pozitif x için iki değeri olan, 0 için bir değeri olan ve negatif x için hiçbir değeri olmayan tek bir fonksiyon olarak düşünmek genellikle yararlıdır. ⓘ

Yukarıdaki örnekte, bir seçenek, pozitif karekök, diğerinden daha doğaldır. Genel olarak durum böyle değildir. Örneğin, y'yi x'in bir köküne eşleyen örtük fonksiyonu ele alalım $x^{3}-3x-y=0$ (sağdaki şekle bakınız). y = 0 için aşağıdakilerden biri seçilebilir $0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}$ Örtük fonksiyon teoremine göre, her bir seçim bir fonksiyon tanımlar; ilki için (maksimal) alan [-2, 2] aralığı ve görüntü [-1, 1]; ikincisi için alan [-2, ∞) ve görüntü [1, ∞); sonuncusu için alan (-∞, 2] ve görüntü (-∞, -1]. Üç grafik birlikte düzgün bir eğri oluşturduğundan ve bir seçeneği tercih etmek için bir neden olmadığından, bu üç fonksiyon genellikle -2 < y < 2 için üç değere ve y ≤ -2 ve y ≥ -2 için yalnızca bir değere sahip olan tek bir çok değerli y fonksiyonu olarak kabul edilir. ⓘ

Çok değerli fonksiyonlar kavramının kullanışlılığı, karmaşık fonksiyonlar, tipik olarak analitik fonksiyonlar ele alındığında daha net anlaşılır. Karmaşık bir fonksiyonun analitik devamlılıkla genişletilebileceği alan genellikle neredeyse tüm karmaşık düzlemden oluşur. Bununla birlikte, etki alanı iki farklı yolla genişletildiğinde, genellikle farklı değerler elde edilir. Örneğin, karekök fonksiyonunun alanı, pozitif hayali kısımları olan karmaşık sayılardan oluşan bir yol boyunca genişletildiğinde, -1'in karekökü için i elde edilirken; negatif hayali kısımları olan karmaşık sayılar boyunca genişletildiğinde -i elde edilir. Problemi çözmenin genellikle iki yolu vardır. Biri, dal kesimi olarak adlandırılan bazı eğriler boyunca sürekli olmayan bir fonksiyon tanımlayabilir. Böyle bir fonksiyona fonksiyonun temel değeri denir. Diğer yol ise, izole tekillikler dışında her yerde analitik olan, ancak bir tekillik etrafında kapalı bir döngü takip edildiğinde değeri "sıçrayabilen" çok değerli bir fonksiyona sahip olunduğunu düşünmektir. Bu sıçrama monodromi olarak adlandırılır. ⓘ

Matematiğin temelleri ve küme teorisinde

Bu makalede verilen fonksiyon tanımı küme kavramını gerektirmektedir, çünkü bir fonksiyonun tanım kümesi ve kod kümesi bir küme olmalıdır. Bu, olağan matematikte bir sorun değildir, çünkü etki alanı açıkça tanımlanmamış olsa bile, yalnızca etki alanı ve kodomeni kümeler olan ve iyi tanımlanmış fonksiyonları dikkate almak genellikle zor değildir. Ancak, bazen daha genel fonksiyonları göz önünde bulundurmak faydalı olabilir. ⓘ

Örneğin, tekil küme bir fonksiyon olarak düşünülebilir $x\mapsto \{x\}.$ Etki alanı tüm kümeleri içerecektir ve bu nedenle bir küme olmayacaktır. Olağan matematikte, bir etki alanı belirtilerek bu tür bir sorundan kaçınılır, bu da birçok tekil fonksiyona sahip olunduğu anlamına gelir. Bununla birlikte, matematiğin temellerini oluştururken, etki alanı, kod alanı veya her ikisi de belirtilmemiş fonksiyonları kullanmak gerekebilir ve bazı yazarlar, genellikle mantıkçılar, bu zayıf şekilde belirtilmiş fonksiyonlar için kesin tanımlar verirler. ⓘ

Bu genelleştirilmiş fonksiyonlar, matematiğin temellerine ilişkin bir formalizasyonun geliştirilmesinde kritik öneme sahip olabilir. Örneğin, Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi, tüm kümelerin koleksiyonunun bir sınıf olduğu küme teorisinin bir uzantısıdır. Bu teori, şu şekilde ifade edilebilecek değiştirme aksiyomunu içerir: Eğer X bir küme ve F bir fonksiyon ise, F[X] bir kümedir. ⓘ

Bilgisayar bilimlerinde

Bilgisayar programcılığında fonksiyon, genel olarak, soyut fonksiyon kavramını uygulayan bir bilgisayar programı parçasıdır. Yani, her girdi için bir çıktı üreten bir program birimidir. Bununla birlikte, birçok programlama dilinde, herhangi bir çıktı olmadığında ve işlevsellik sadece bilgisayar belleğindeki bazı verileri değiştirmekten ibaret olduğunda bile, her alt rutin bir fonksiyon olarak adlandırılır. ⓘ

Fonksiyonel programlama, yalnızca matematiksel fonksiyonlar gibi davranan alt rutinler kullanarak program oluşturmayı içeren programlama paradigmasıdır. Örneğin if_then_else, argüman olarak üç fonksiyon alan ve ilk fonksiyonun sonucuna bağlı olarak (doğru veya yanlış) ikinci veya üçüncü fonksiyonun sonucunu döndüren bir fonksiyondur. Fonksiyonel programlamanın önemli bir avantajı, iyi kurulmuş bir teori olan lambda kalkülüsüne (aşağıya bakınız) dayandığı için program ispatlarını kolaylaştırmasıdır. ⓘ

Bilgisayar dili terminolojisi dıĢında, "fonksiyon" bilgisayar bilimlerinde olağan matematiksel anlama sahiptir. Bu alanda en çok ilgi çeken özellik, bir fonksiyonun hesaplanabilirliğidir. Bu kavrama ve ilgili algoritma kavramına kesin bir anlam kazandırmak için, eskileri genel özyinelemeli fonksiyonlar, lambda hesabı ve Turing makinesi olmak üzere çeşitli hesaplama modelleri ortaya atılmıştır. Hesaplanabilirlik teorisinin temel teoremi, bu üç hesaplama modelinin aynı hesaplanabilir fonksiyonlar kümesini tanımladığı ve şimdiye kadar önerilen diğer tüm hesaplama modellerinin aynı hesaplanabilir fonksiyonlar kümesini veya daha küçük bir kümeyi tanımladığıdır. Church-Turing tezi, hesaplanabilir bir fonksiyonun felsefi olarak kabul edilebilir her tanımının aynı fonksiyonları tanımladığı iddiasıdır. ⓘ

Genel özyinelemeli fonksiyonlar, tam sayılardan tam sayılara doğru tanımlanabilen kısmi fonksiyonlardır.

• sabit fonksiyonlar,
• halefi ve
• projeksi̇yon fonksi̇yonlari

operatörler aracılığıyla

• Kompozisyon,
• ilkel özyineleme ve
• minimizasyon.

Sadece tamsayılardan tamsayılara fonksiyonlar için tanımlanmış olmalarına rağmen, aşağıdaki özelliklerin bir sonucu olarak herhangi bir hesaplanabilir fonksiyonu modelleyebilirler:

• Bir hesaplama, sonlu sembol dizilerinin (sayı basamakları, formüller, ...) manipülasyonudur,
• her sembol dizisi bir bit dizisi olarak kodlanabilir,
• bir bit dizisi, bir tamsayının ikili gösterimi olarak yorumlanabilir. ⓘ

Lambda hesabı, küme teorisini kullanmadan hesaplanabilir fonksiyonları tanımlayan bir teoridir ve fonksiyonel programlamanın teorik arka planıdır. Değişkenler, fonksiyon tanımları (𝜆-terimler) ya da fonksiyonların terimlere uygulamaları olan terimlerden oluşur. Terimler, teorinin aksiyomları olan ve hesaplama kuralları olarak yorumlanabilecek bazı kurallar (α-eşdeğerlik, β-indirgeme ve η-dönüştürme) aracılığıyla manipüle edilir. ⓘ

Lambda kalkülüsü orijinal formunda bir fonksiyonun etki alanı ve kod alanı kavramlarını içermez. Kabaca söylemek gerekirse, bunlar tipli lambda kalkülüsünde tip adı altında teoriye dahil edilmiştir. Çoğu tipli lambda kalkülüsü türü, tipli olmayan lambda kalkülüsünden daha az fonksiyon tanımlayabilir. ⓘ

Bilgisayarda göndermelere Türkçede genellikle fonksiyon adı verilir.

• Bilgisayar biliminde hesaplanabilir fonksiyonlar, birbirine eşdeğer olan Church ve Turing Tezleri ile incelenir.
• Girdisi ve çıktısı mantıksal (ikili ya da Boolean) olan fonksiyonlar, BDD'ler yardımıyla gösterilebilir. ⓘ

Fonksiyon eşitliği

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her $x$ için $f(x)=g(x)$ olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur. ⓘ

Durağan (sabit) fonksiyonlar

$A$ ve $B$ iki küme olsun ve $b\in B$ olsun. $A$'nın her elemanını $B$'nin bu $b$ elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. $b$ değerini alan sabit fonksiyonu $c_{b}$ olarak gösterirsek, o zaman $c_{b}<zvxcvcxvcxvcxvcvxcbcv:A\longrightarrow B$ fonksiyonu, her $x\in A$ için $c_{b}(x)=b$ kuralıyla tanımlanır. Not: $A$ ve $B$ kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, $c_{b}$ yerine $c_{b,A,B}$ yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit $b$ fonksiyonu" adı verilir. ⓘ

Bileşke mümkün olduğunda $c_{b}\circ f=c_{b}$'dir. Ama $f\circ c_{b}=c_{f(c)}$'dir. ⓘ

Eğer $A$ ya da $B$'nin tek bir elemanı varsa, o zaman $A$'dan $B$'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır. ⓘ

Boş fonksiyon

Eğer $A\neq \emptyset$ ve $B=\emptyset$ ise, $A$'dan $B$'ye giden bir fonksiyon yoktur. ⓘ

Eğer $A=\emptyset$ ise, $B$ hangi küme olursa olsun, $A$'dan $B$'ye giden bir ve tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak. ⓘ

Özdeşlik fonksiyonu

Eğer $A$ bir kümeyse, her $x\in A$ için Id$_{A}(x)=x$ kuralıyla tanımlanan Id$_{A}:A\longrightarrow A$ fonksiyonuna $A$'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. ⓘ

Gönderme örnekleri

• Doğal sayılarda bir sayının ardılı bir göndermedir.

$g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\ A(x)=x+1$

• İki değişkenli göndermeler de vardır.

$h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x,y)=x^{2}-y^{2}$

• Verilen sıraya karşılık gelen çift sayıyı söyleyen bağıntı bir göndermedir: f(n)=2n.
• Bir küme üzerinde tanımlı bir ikili işlem, göndermedir: f(x,y)=x+y.
• Diziler birer göndermedir.

$f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ için $f(x,y)=x+\mathbf {i} y$ yani $\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ⓘ

Tanım

A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir. $F\subseteq A\times B$ $\forall a,b,c~((a,b)\in F\wedge (a,c)\in F)\Rightarrow (b=c)$ ⓘ

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir. ⓘ

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir: $f:A\rightarrow B$ göndermesi için, $f=\{(x,y)|\forall x\in A\wedge \exists !y\in B\}$

buradaki $\exists !$ sembolü y nin biricik olduğunu ifade eder. ⓘ

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır. ⓘ

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir. ⓘ

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir. ⓘ

${\text{mutlak}}(x)={\begin{cases}-x&x<0\\~x&x\geq 0\\\end{cases}}$ ⓘ

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Mesela Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir. ⓘ

$f(n)={\begin{cases}n&0\leq n\leq 1\\f(n-1)+f(n-2)&n>1.\\\end{cases}}$ ⓘ

Böylece $\mathbb {N}$'den $\mathbb {N}$'ye giden bir $n\mapsto f_{n}$ fonksiyonu tanımlanır. ⓘ

Göndermelerin kümesel özellikleri

$f:A\rightarrow B$ şeklinde tanımlı bir gönderme,

• Birebir ise, A kümesinde tanımlı olduğu her değeri B kümesinden ayrı bir ögeye eşler. Matematiksel olarak; her x1, x2 €A için f(x1)=f(x2) => x1=x2
• İçine ise B kümesinde, eşlenmemiş en az bir değer vardır.
• Örten ise A kümesindeki bütün ögeler için tanımlıdır.

Matematiksel olarak; her y € B için en az bir x€A vardır öyle ki; f(x)=y'dir. ⓘ