Eğim

Eğim: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$ ⓘ

Matematikte, bir doğrunun eğimi veya gradyanı, doğrunun hem yönünü hem de dikliğini tanımlayan bir sayıdır. Eğim genellikle m harfi ile gösterilir; m harfinin eğim için neden kullanıldığı sorusunun net bir cevabı yoktur, ancak İngilizce'deki en eski kullanımı, düz bir çizginin denklemini "y = mx + b" olarak yazan O'Brien'da (1844) görülür ve ayrıca "y = mx + c" olarak yazan Todhunter'da (1888) da bulunabilir. ⓘ

Eğim, bir doğru üzerindeki (herhangi) iki farklı nokta arasındaki "dikey değişimin" "yatay değişime" oranı bulunarak hesaplanır. Bazen oran, aynı çizgi üzerindeki her iki farklı nokta için aynı sayıyı veren bir bölüm ("koşu üzerinde yükselme") olarak ifade edilir. Azalan bir çizginin negatif bir "yükselişi" vardır. Çizgi pratik olabilir - bir yol araştırmacısı tarafından belirlendiği gibi veya bir yolu veya bir çatıyı modelleyen bir diyagramda bir açıklama veya bir plan olarak. ⓘ

Bir çizginin dikliği, eğimi veya derecesi eğimin mutlak değeri ile ölçülür. Daha büyük mutlak değere sahip bir eğim daha dik bir çizgiyi gösterir. Bir çizginin yönü artan, azalan, yatay ya da dikey olabilir.

• Bir doğru soldan sağa doğru yükseliyorsa artıyor demektir. Eğim pozitiftir, yani $m>0$.
• Bir çizgi soldan sağa doğru iniyorsa azalıyor demektir. Eğim negatiftir, yani. $m<0$.
• Eğer bir doğru yatay ise eğim sıfırdır. Bu sabit bir fonksiyondur.
• Eğer bir çizgi dikey ise eğim tanımsızdır (aşağıya bakınız). ⓘ

Bir yolun iki nokta arasındaki yüksekliği, yolun bu iki noktadaki, örneğin y₁ ve y₂, yükseklikleri arasındaki farktır ya da başka bir deyişle, yükseklik (y₂ - y₁) = Δy'dir. Dünya'nın eğriliğinin ihmal edilebildiği nispeten kısa mesafeler için koşu, düz, yatay bir çizgi boyunca ölçülen sabit bir noktadan olan mesafe farkıdır veya başka bir deyişle koşu (x₂ - x₁) = Δx'dir. Burada iki nokta arasındaki yolun eğimi basitçe, yükseklik değişiminin çizgi üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki yatay mesafeye oranı olarak tanımlanır. ⓘ

Matematiksel dilde, doğrunun m eğimi şöyledir

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ ⓘ

Eğim kavramı doğrudan coğrafya ve inşaat mühendisliğindeki eğimlere uygulanır. Trigonometri aracılığıyla, bir doğrunun m eğimi, teğet fonksiyonu ile eğim açısı θ ile ilişkilendirilir

$m=\tan(\theta )$ ⓘ

Dolayısıyla, 45° yükselen bir doğrunun eğimi +1 ve 45° düşen bir doğrunun eğimi -1'dir. ⓘ

Bu pratik tanımın bir genellemesi olarak, diferansiyel hesap matematiği bir eğrinin bir noktadaki eğimini, o noktadaki teğet doğrusunun eğimi olarak tanımlar. Eğri bir diyagramdaki bir dizi nokta veya noktaların koordinatlarının bir listesi ile verildiğinde, eğim bir noktada değil, verilen herhangi iki nokta arasında hesaplanabilir. Eğri sürekli bir fonksiyon olarak, belki de cebirsel bir ifade olarak verildiğinde, diferansiyel hesap eğrinin ortasındaki herhangi bir noktada eğrinin eğimi için bir formül veren kurallar sağlar. ⓘ

Eğim kavramının bu şekilde genelleştirilmesi, yatay ya da dikey olan statik yapıların çok ötesine geçen, ancak zamanla değişebilen, eğriler halinde hareket edebilen ve diğer faktörlerin değişim oranına bağlı olarak değişebilen çok karmaşık yapıların planlanmasına ve inşa edilmesine olanak tanır. Böylece, basit eğim fikri, hem teknoloji hem de yapılı çevre açısından modern dünyanın ana temellerinden biri haline gelir. ⓘ

Bir doğrunun eğimi m = Δy/Δx şeklinde tanımlanır. ⓘ

Tanım

Y = (3/2)x - 1 için eğim gösterilmiştir. Büyütmek için tıklayın ⓘ

Koordinat sistemindeki bir doğrunun eğimi, f(x)=-12x+2'den f(x)=12x+2'ye ⓘ

x ve y eksenlerini içeren düzlemdeki bir doğrunun eğimi genellikle m harfi ile gösterilir ve doğru üzerindeki iki farklı nokta arasında y koordinatındaki değişimin x koordinatındaki ilgili değişime bölünmesi olarak tanımlanır. Bu, aşağıdaki denklem ile tanımlanır:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.$

(Yunanca delta harfi, Δ, matematikte yaygın olarak "fark" veya "değişim" anlamında kullanılır). ⓘ

Verilen iki nokta $(x_{1},y_{1})$ ve $(x_{2},y_{2})$'deki değişim $x$ birinden diğerine $x_{2}-x_{1}$ (çalıştır), değişim ise $y$ o $y_{2}-y_{1}$ (yükselme). Her iki büyüklük yukarıdaki denklemde yerine konduğunda formül elde edilir:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Formül, dikey bir çizgi için başarısız olur, paralel $y$ ekseninde (bkz. Sıfıra bölme), eğimin sonsuz olarak alınabileceği, dolayısıyla dikey bir çizginin eğiminin tanımsız olduğu kabul edilir. ⓘ

Örnekler

Bir doğrunun iki noktadan geçtiğini varsayalım: P = (1, 2) ve Q = (13, 8). Aradaki farkı bölerek $y$-koordinatları arasındaki farka göre $x$-koordinatlarını kullanarak doğrunun eğimini elde edebiliriz:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$.

Eğim pozitif olduğu için doğrunun yönü artmaktadır. m| < 1 olduğundan, eğim çok dik değildir (eğim < 45°). ⓘ

Başka bir örnek olarak, (4, 15) ve (3, 21) noktalarından geçen bir doğru düşünün. O zaman doğrunun eğimi

$m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.$

Eğim negatif olduğu için doğrunun yönü azalmaktadır. m| > 1 olduğundan, bu düşüş oldukça diktir (düşüş > 45°). ⓘ

Cebir ve geometri

• Eğer $y$' 'nin doğrusal bir fonksiyonudur. $x$'nin katsayısı, daha sonra $x$ fonksiyonun çizilmesiyle oluşturulan doğrunun eğimidir. Bu nedenle, doğrunun denklemi şu şekilde verilirse

$y=mx+b$

sonra $m$ eğimdir. Bir doğrunun denkleminin bu formuna eğim-kesişim formu denir, çünkü $b$ doğrunun y-kesimi olarak yorumlanabilir, yani $y$-çizgisinin kesiştiği koordinat $y$-ekseni. ⓘ

• Eğer eğim $m$ bir çizgi ve bir noktanın $(x_{1},y_{1})$ doğru üzerinde her ikisi de biliniyorsa, doğrunun denklemi nokta-eğim formülü kullanılarak bulunabilir:

$y-y_{1}=m(x-x_{1}).$ ⓘ

• Doğrusal denklem tarafından tanımlanan doğrunun eğimi

$ax+by+c=0$

o

$-{\frac {a}{b}}$. ⓘ

• İki doğru ancak ve ancak aynı doğru değilse (çakışık) ve eğimleri eşitse ya da her ikisi de dikeyse ve bu nedenle her ikisinin de tanımsız eğimleri varsa paraleldir. İki doğru, eğimlerinin çarpımı -1 ise veya birinin eğimi 0 (yatay bir doğru) ve diğerinin tanımsız bir eğimi (dikey bir doğru) varsa diktir.
• Bir doğrunun x ekseni ile yaptığı -90° ile 90° arasındaki θ açısı, m eğimi ile aşağıdaki gibi ilişkilidir:

$m=\tan(\theta )$

ve

$\theta =\arctan(m)$   (bu tanjantın ters fonksiyonudur; ters trigonometrik fonksiyonlara bakınız). ⓘ

Örnekler

Örneğin, (2,8) ve (3,20) noktalarından geçen bir doğru düşünün. Bu doğrunun eğimi, m, şöyledir

${\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.$

Daha sonra doğrunun denklemi nokta-eğim formunda yazılabilir:

$y-8=12(x-2)=12x-24$

veya:

$y=12x-16.$

Bu doğrunun x ekseni ile yaptığı -90° ve 90° arasındaki θ açısı

$\theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.$ ⓘ

İki doğruyu göz önünde bulundurun: y = -3x + 1 ve y = -3x - 2. Her iki doğrunun da eğimi m = -3. Aynı doğru değiller. Yani paralel doğrulardır. ⓘ

y = -3x + 1 ve y = x/3 - 2 doğrularını göz önünde bulundurun. İlk doğrunun eğimi m₁ = -3'tür. İkinci doğrunun eğimi m₂ = 1/3'tür. Bu iki eğimin çarpımı -1'dir. Yani bu iki doğru birbirine diktir. ⓘ

İstatistik

İstatistikte, belirli bir veri örneği için en küçük kareler regresyonu en iyi uyum doğrusunun gradyanı şu şekilde yazılabilir:

$m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}$,

Bu m miktarı, doğru için regresyon eğimi olarak adlandırılır $y=mx+c$. Miktar $r$ Pearson'ın korelasyon katsayısıdır, $s_{y}$ y değerlerinin standart sapması ve $s_{x}$ x değerlerinin standart sapmasıdır. Bu, kovaryansların oranı olarak da yazılabilir:

$m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}$ ⓘ

Bir karayolu veya demiryolunun eğimi

Ana maddeler: Derece (eğim), Derece ayrımı

Bir yolun veya demiryolunun dikliğini tanımlamanın iki yaygın yolu vardır. Bunlardan biri 0° ile 90° arasındaki açı (derece cinsinden), diğeri ise yüzde cinsinden eğimdir. Ayrıca bakınız dik eğimli demiryolu ve raflı demiryolu. ⓘ

Yüzde olarak verilen bir eğimi derece cinsinden bir açıya dönüştürmek ve tersini yapmak için kullanılan formüller şunlardır:

${\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)$  , (bu tanjantın ters fonksiyonudur; bkz. trigonometri)

ve

${\mbox{slope}}=100\%\cdot \tan({\mbox{angle}}),$

Burada açı derece cinsindendir ve trigonometrik fonksiyonlar derece cinsinden çalışır. Örneğin, %100 veya 1000‰'lik bir eğim 45°'lik bir açıdır. ⓘ

Üçüncü bir yol ise bir birimlik yükselişi 10, 20, 50 veya 100 yatay birim olarak vermektir, örn. 1:10. 1:20, 1:50 veya 1:100 (veya "10'da 1", "20'de 1" vb.) 1:10'un 1:20'den daha dik olduğuna dikkat edin. Örneğin, %20'lik diklik 1:5 veya 11,3° açılı bir eğim anlamına gelir. ⓘ

Karayolları ve demiryolları hem uzunlamasına eğimlere hem de çapraz eğimlere sahiptir. ⓘ

• 

  Hollanda'da eğim uyarı levhası

• 

  Polonya'da eğim uyarı levhası

• 

  20 eğimli bir demiryolunun 1371 metrelik mesafesi. Çek Cumhuriyeti

• 

  Meols tren istasyonunda her iki yönde eğimi gösteren buhar çağı demiryolu eğim direği, Birleşik Krallık ⓘ

Kalkülüs

Her noktada türev, o noktada eğriye teğet olan bir doğrunun eğimidir. Not: A noktasındaki türev yeşil ve tire noktalı yerlerde pozitif, kırmızı ve kesikli yerlerde negatif, siyah ve düz yerlerde ise sıfırdır. ⓘ

Eğim kavramı diferansiyel hesabın merkezinde yer alır. Doğrusal olmayan fonksiyonlar için değişim oranı eğri boyunca değişir. Fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimidir ve dolayısıyla fonksiyonun o noktadaki değişim oranına eşittir. ⓘ

Eğer Δx ve Δy bir eğri üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeler (sırasıyla x ve y eksenleri boyunca) olsun, o zaman yukarıdaki tanım tarafından verilen eğim,

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, ⓘ

sekant doğrusunun eğriye olan eğimidir. Bir doğru için, herhangi iki nokta arasındaki sekant doğrunun kendisidir, ancak bu diğer eğri türleri için geçerli değildir. ⓘ

Örneğin, y = x²'yi (0,0) ve (3,9)'da kesen sekantın eğimi 3'tür. (x = 3⁄2'deki teğetin eğimi de 3'tür-ortalama değer teoreminin bir sonucudur). ⓘ

İki noktayı birbirine yaklaştırarak Δy ve Δx değerlerini düşürdüğümüzde, sekant doğrusu eğriye teğet doğruya daha çok yaklaşır ve böylece sekantın eğimi teğetin eğimine yaklaşır. Diferansiyel hesabı kullanarak, Δy ve Δx sıfıra yaklaştıkça limiti veya Δy/Δx'in yaklaştığı değeri belirleyebiliriz; bu limitin teğetin tam eğimi olduğu sonucu çıkar. Eğer y, x'e bağlı ise, o zaman sadece Δx'in sıfıra yaklaştığı limiti almak yeterlidir. Bu nedenle, teğetin eğimi, Δx sıfıra yaklaştıkça Δy/Δx'in limiti veya dy/dx'tir. Bu limite türev diyoruz. ⓘ

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ⓘ

Fonksiyon üzerindeki bir noktadaki değeri bize o noktadaki teğetin eğimini verir. Örneğin, y = x² olsun. Bu fonksiyon üzerindeki bir nokta (-2,4) olsun. Bu fonksiyonun türevi ^dy/_dx = 2x'tir. O halde (-2,4) noktasında y'ye teğet olan doğrunun eğimi 2 - (-2) = -4'tür. Bu teğet doğrunun denklemi: y-4 = (-4)(x-(-2)) veya y = -4x - 4'tür. ⓘ

Eğimlerin farkı

Açı fikrinin bir uzantısı da eğimlerin farklılığından kaynaklanmaktadır. Kayma eşlemesini düşünün

$(u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sonra (1,0), (1,v) ile eşlenir. (1,0)'ın eğimi sıfırdır ve (1,v)'nin eğimi v'dir. Kayma eşlemesi v'lik bir eğim eklemiştir. m ve n eğimli {(1,y) : y in R} üzerindeki iki nokta için görüntü

$(1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)$

eğimi v kadar artmıştır, ancak eğimlerin n - m farkı kaymadan önce ve sonra aynıdır. Eğim farklarının bu değişmezliği, eğimi, dairesel açı (dönme altında değişmez) ve hiperbolik açı ile aynı seviyede, sıkışma eşlemelerinin değişmezlik grubuna sahip açısal değişmez bir ölçü haline getirir. ⓘ