Türev

Bir fonksiyonun siyahla çizilmiş grafiği ve bu grafiğe kırmızı ile çizilmiş bir teğet doğrusu. Teğet doğrusunun eğimi, işaretli noktada fonksiyonun türevine eşittir. ⓘ

Matematikte, gerçek değişkenli bir fonksiyonun türevi, fonksiyon değerinin (çıktı değeri) argümanında (girdi değeri) meydana gelen bir değişikliğe göre değişim hassasiyetini ölçer. Türevler kalkülüsün temel bir aracıdır. Örneğin, hareket eden bir nesnenin konumunun zamana göre türevi nesnenin hızıdır: bu, zaman ilerlediğinde nesnenin konumunun ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. ⓘ

Tek değişkenli bir fonksiyonun seçilen bir giriş değerindeki türevi, eğer varsa, fonksiyonun o noktadaki grafiğine teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğrusu, fonksiyonun o giriş değeri yakınındaki en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olan "anlık değişim oranı" olarak tanımlanır. ⓘ

Türevler, birden fazla gerçek değişkenli fonksiyonlar için genelleştirilebilir. Bu genellemede türev, grafiği (uygun bir ötelemeden sonra) orijinal fonksiyonun grafiğine en iyi doğrusal yaklaşım olan doğrusal bir dönüşüm olarak yeniden yorumlanır. Jacobian matrisi, bağımsız ve bağımlı değişkenlerin seçimi ile verilen temele göre bu doğrusal dönüşümü temsil eden matristir. Bağımsız değişkenlere göre kısmi türevler cinsinden hesaplanabilir. Birkaç değişkenli gerçek değerli bir fonksiyon için Jacobian matrisi gradyan vektörüne indirgenir. ⓘ

Bir türev bulma işlemine türev alma denir. Tersi işlem ise anti-diferansiyasyon olarak adlandırılır. Kalkülüsün temel teoremi, türev alma işlemini integral alma ile ilişkilendirir. Türev ve integral, tek değişkenli kalkülüsün iki temel işlemini oluşturur. ⓘ

Türev, diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için de genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, herhangi bir teğetin herhangi bir eğriye x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değeridir. ⓘ

Tanım

Reel değişkenli bir f(x) fonksiyonu, eğer tanım kümesi a'yı içeren bir I açık aralığını içeriyorsa ve limiti

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

vardır. Bu, her pozitif reel sayı için $\varepsilon$ (çok küçük bile olsa), pozitif bir reel sayı vardır $\delta$ öyle ki, her h için $|h|<\delta$ ve $h\neq 0$ sonra $f(a+h)$ tanımlanır ve

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

Burada dikey çubuklar mutlak değeri gösterir (bkz. (ε, δ)-limit tanımı). ⓘ

Eğer f fonksiyonu a'da türevlenebilirse, yani L limiti varsa, bu limite f'nin a'daki türevi denir ve şöyle gösterilir $f'(a)$ ("a'nın f asalı" olarak okunur) veya ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ("f'nin a'da x'e göre türevi", "dy by dx at a" veya "dy over dx at a" olarak okunur); bkz. aşağıdaki § Notasyon (ayrıntılar). ⓘ

Süreklilik ve türevlenebilirlik

Bu fonksiyonun işaretli noktada bir türevi yoktur, çünkü fonksiyon orada sürekli değildir (özellikle, bir sıçrama süreksizliği vardır). ⓘ

Örnek olarak, bir a noktası seçin ve f, a'dan küçük tüm x'ler için 1 değerini döndüren ve a'dan büyük veya a'ya eşit tüm x'ler için farklı bir 10 değeri döndüren basamak fonksiyonu olsun. f'nin a'da bir türevi olamaz. h negatifse, a + h basamağın alçak kısmındadır, bu nedenle a'dan a + h'ye sekant doğrusu çok diktir ve h sıfıra yaklaştıkça eğim sonsuza yaklaşır. Eğer h pozitif ise, a + h basamağın yüksek kısmındadır, dolayısıyla a'dan a + h'ye giden sekant doğrusunun eğimi sıfırdır. Sonuç olarak, sekant çizgileri herhangi bir tek eğime yaklaşmaz, bu nedenle fark bölümünün limiti mevcut değildir. ⓘ

Mutlak değer fonksiyonu süreklidir, ancak x = 0'da türevlenebilir değildir, çünkü teğet eğimleri soldan sağa doğru aynı değere yaklaşmaz. ⓘ

Ancak, bir fonksiyon bir noktada sürekli olsa bile, orada türevlenebilir olmayabilir. Örneğin, f(x) = |x| ile verilen mutlak değer fonksiyonu x = 0'da süreklidir, ancak orada türevlenebilir değildir. Eğer h pozitif ise, sekant doğrusunun 0'dan h'ye kadar olan eğimi bir iken, h negatif ise, sekant doğrusunun 0'dan h'ye kadar olan eğimi negatif birdir. Bu durum grafiksel olarak x = 0'daki grafikte bir "kıvrım" ya da "tepe noktası" olarak görülebilir. Düzgün bir grafiğe sahip bir fonksiyon bile teğetinin dikey olduğu bir noktada türevlenebilir değildir: Örneğin, f(x) = x^1/3 ile verilen fonksiyon x = 0'da türevlenebilir değildir. ⓘ

Özetle, türevi olan bir fonksiyon süreklidir, ancak türevi olmayan sürekli fonksiyonlar da vardır. ⓘ

Pratikte karşılaşılan çoğu fonksiyonun tüm noktalarda ya da neredeyse her noktada türevi vardır. Kalkülüs tarihinin başlarında, birçok matematikçi sürekli bir fonksiyonun çoğu noktada türevlenebilir olduğunu varsaymıştır. Hafif koşullar altında, örneğin fonksiyon monoton bir fonksiyon veya Lipschitz bir fonksiyon ise, bu doğrudur. Ancak 1872 yılında Weierstrass, her yerde sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen bir fonksiyonun ilk örneğini buldu. Bu örnek artık Weierstrass fonksiyonu olarak bilinmektedir. 1931'de Stefan Banach, bir noktada türevi olan fonksiyonlar kümesinin, tüm sürekli fonksiyonlar uzayında yetersiz bir küme olduğunu kanıtladı. Gayri resmi olarak bu, neredeyse hiçbir rastgele sürekli fonksiyonun bir noktada bile türeve sahip olmadığı anlamına gelir. ⓘ

Bir fonksiyon olarak türev

Türevlenebilir bir fonksiyonun farklı noktalarındaki türevidir. Bu durumda türev şuna eşittir:$\sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)$ ⓘ

f, etki alanındaki her noktada türevi olan bir fonksiyon olsun. Daha sonra her x noktasını f'nin x'teki türevinin değerine eşleyen bir fonksiyon tanımlayabiliriz. Bu fonksiyon f′ olarak yazılır ve türev fonksiyonu veya f'nin türevi olarak adlandırılır. ⓘ

Bazen f, alanının her noktasında olmasa da çoğu noktasında bir türeve sahiptir. f′(a) tanımlı olduğunda a'daki değeri f′(a)'ya eşit olan ve başka bir yerde tanımsız olan fonksiyona da f'nin türevi denir. Bu hala bir fonksiyondur, ancak etki alanı f'nin etki alanından daha küçük olabilir. ⓘ

Bu fikri kullanarak, türev fonksiyonların bir fonksiyonu haline gelir: Türev, etki alanı, etki alanlarının her noktasında türevleri olan tüm fonksiyonların kümesi olan ve aralığı bir fonksiyonlar kümesi olan bir operatördür. Bu operatörü D ile gösterirsek, D(f) f′ fonksiyonudur. D(f) bir fonksiyon olduğu için, bir a noktasında değerlendirilebilir. Türev fonksiyonunun tanımına göre, D(f)(a) = f′(a). ⓘ

Karşılaştırma için, f(x) = 2x ile verilen ikiye katlama fonksiyonunu düşünün; f bir reel sayının reel değerli bir fonksiyonudur, yani girdi olarak sayıları alır ve çıktı olarak sayılara sahiptir:

${\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}$

Ancak D operatörü tek tek sayılar üzerinde tanımlı değildir. Sadece fonksiyonlar üzerinde tanımlıdır:

${\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}$

D'nin çıktısı bir fonksiyon olduğu için, D'nin çıktısı bir noktada değerlendirilebilir. Örneğin, D kare fonksiyonuna uygulandığında, x ↦ x², D f(x) olarak adlandırdığımız x ↦ 2x ikiye katlama fonksiyonunu çıkarır. Bu çıktı fonksiyonu daha sonra değerlendirilerek f(1) = 2, f(2) = 4 ve benzeri sonuçlar elde edilebilir. ⓘ

Daha yüksek türevler

f türevlenebilir bir fonksiyon olsun ve f ′ onun türevi olsun. f ′ 'nin türevi (eğer varsa) f ′′ şeklinde yazılır ve f'nin ikinci türevi olarak adlandırılır. Benzer şekilde, ikinci türevin türevi, eğer varsa, f ′′ şeklinde yazılır ve f'nin üçüncü türevi olarak adlandırılır. Bu işleme devam ederek, eğer varsa, n'inci türevi (n-1)inci türevin türevi olarak tanımlayabiliriz. Bu tekrarlanan türevlere yüksek mertebeden türevler denir. N'inci türeve n'inci mertebeden türev de denir ve f⁽ⁿ⁾ olarak gösterilir. ⓘ

Eğer x(t) bir nesnenin t zamanındaki konumunu temsil ediyorsa, x'in yüksek mertebeden türevlerinin fizikte belirli yorumları vardır. X'in ilk türevi nesnenin hızıdır. X'in ikinci türevi ivmedir. X'in üçüncü türevi sarsıntıdır. Ve son olarak, x'in dördüncüden altıncıya kadar olan türevleri şakırtı, çatırtı ve patlamadır; en çok astrofizik için geçerlidir. ⓘ

Bir f fonksiyonunun türevi olması gerekmez (örneğin, sürekli değilse). Benzer şekilde, f bir türeve sahip olsa bile, ikinci bir türeve sahip olmayabilir. Örneğin

$f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

Hesaplama, f'nin türevlenebilir bir fonksiyon olduğunu göstermektedir. $x$ tarafından verilir

$f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

f(x) mutlak değer fonksiyonunun iki katıdır. $x$ve sıfırda bir türevi yoktur. Benzer örnekler, bir fonksiyonun negatif olmayan her k tamsayısı için k'ncı türeve sahip olabileceğini ancak (k + 1)inci türeve sahip olamayacağını göstermektedir. Ardışık k türevi olan bir fonksiyona k kere türevlenebilir. Buna ek olarak k. türev sürekli ise, fonksiyonun Ck diferansiyellenebilirlik sınıfında olduğu söylenir. (Bu, Düzgünlük § Örnekler'deki ikinci örnekte gösterildiği gibi, k türeve sahip olmaktan daha güçlü bir koşuldur). Sonsuz sayıda türevi olan bir fonksiyona sonsuz sayıda türevlenebilir veya pürüzsüz denir. ⓘ

Gerçel doğru üzerinde her polinom fonksiyonu sonsuz türevlenebilirdir. Standart türev alma kurallarına göre, n dereceli bir polinom n kez türevlenirse, sabit bir fonksiyon haline gelir. Sonraki tüm türevleri özdeş olarak sıfırdır. Özellikle, var oldukları için polinomlar düzgün fonksiyonlardır. ⓘ

Bir f fonksiyonunun bir x noktasındaki türevleri, bu fonksiyonun x yakınındaki polinom yaklaşımlarını sağlar. Örneğin, f iki kez türevlenebilirse, o zaman

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f(x)h^{2}$

şu anlamda

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.$

Eğer f sonsuz türevlenebilir ise, bu x + h'de x etrafında değerlendirilen f için Taylor serisinin başlangıcıdır. ⓘ

Bükülme noktası

Bir fonksiyonun ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktaya bükülme noktası denir. Bir bükülme noktasında, aşağıdaki şekilde verilen fonksiyonun x = 0 bükülme noktasında olduğu gibi, ikinci türev sıfır olabilir $f(x)=x^{3}$ile verilen fonksiyonun x = 0 bükülme noktası durumunda olduğu gibi, var olmayabilir. $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$. Bir bükülme noktasında, bir fonksiyon dışbükey bir fonksiyon olmaktan içbükey bir fonksiyon olmaya geçer veya tam tersi olur. ⓘ

Gösterim (ayrıntılar)

Leibniz'in notasyonu

Semboller $dx$, $dy$ve ${\frac {dy}{dx}}$ Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 1675 yılında ortaya atılmıştır. Y = f(x) denklemi bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında fonksiyonel bir ilişki olarak görüldüğünde hala yaygın olarak kullanılmaktadır. O zaman birinci türev şu şekilde gösterilir ⓘ

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f,$ ⓘ

ve bir zamanlar sonsuz küçük bölüm olarak düşünülmüştür. Yüksek türevler şu gösterim kullanılarak ifade edilir ⓘ

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$ ⓘ

'nin n'inci türevi için $y=f(x)$. Bunlar türev operatörünün çoklu uygulamaları için kısaltmalardır. Örneğin,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$ ⓘ

Leibniz'in notasyonu ile aşağıdakilerin türevini yazabiliriz $y$ noktada $x=a$ iki farklı şekilde ifade edilebilir:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$ ⓘ

Leibniz'in notasyonu, kısmi türevle ilgili olan türev değişkenini (paydada) belirtmeye izin verir. Ayrıca zincir kuralını aşağıdaki gibi yazmak için de kullanılabilir ⓘ

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$ ⓘ

Lagrange'ın notasyonu

Bazen asal gösterim olarak da adlandırılan, türev için en yaygın modern gösterimlerden biri Joseph-Louis Lagrange'a aittir ve asal işareti kullanır, böylece bir fonksiyonun türevi $f$ gösterilir $f'$. Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü türevler aşağıdaki gibi gösterilir

$(f')'=f$   ve   $(f)'=f.$

Bu noktanın ötesindeki türevlerin sayısını belirtmek için, bazı yazarlar üst simge olarak Romen rakamları kullanırken, diğerleri sayıyı parantez içine yerleştirir:

$f^{\mathrm {iv} }$   veya   $f^{(4)}.$

İkinci gösterim genelleştirilerek aşağıdaki gösterim elde edilir $f^{(n)}$ 'nin n'inci türevi için $f$ - Bu gösterim en çok türevden bir fonksiyonun kendisi olarak bahsetmek istediğimizde kullanışlıdır, çünkü bu durumda Leibniz gösterimi hantal hale gelebilir. ⓘ

Newton'un gösterimi

Nokta gösterimi olarak da adlandırılan Newton'un türev gösterimi, zaman türevini temsil etmek için fonksiyon adının üzerine bir nokta yerleştirir. Eğer $y=f(t)$, sonra

${\dot {y}}$   ve   ${\ddot {y}}$

'nin sırasıyla birinci ve ikinci türevlerini göstermektedir. $y$. Bu gösterim yalnızca zamana veya yay uzunluğuna göre türevler için kullanılır. Tipik olarak fizik ve diferansiyel geometride diferansiyel denklemlerde kullanılır. Ancak nokta gösterimi, yüksek mertebeden türevler (mertebe 4 veya daha fazla) için yönetilemez hale gelir ve çoklu bağımsız değişkenlerle başa çıkamaz. ⓘ

Euler'in gösterimi

Euler'in notasyonu bir diferansiyel operatör kullanır $D$bir fonksiyona uygulanan $f$ birinci türevi vermek için $Df$. n'inci türev şu şekilde gösterilir $D^{n}f$. ⓘ

Eğer y = f(x) bağımlı bir değişken ise, bağımsız değişken x'i açıklığa kavuşturmak için genellikle D'ye x alt simgesi eklenir. Euler'in notasyonu daha sonra şöyle yazılır

$D_{x}y$   veya   $D_{x}f(x)$,

Bununla birlikte, x değişkeni anlaşıldığında, örneğin ifadede bulunan tek bağımsız değişken olduğunda, bu alt simge genellikle atlanır. ⓘ

Euler'in notasyonu doğrusal diferansiyel denklemleri ifade etmek ve çözmek için kullanışlıdır. ⓘ

Hesaplama kuralları

Bir fonksiyonun türevi, prensip olarak, fark bölümü dikkate alınarak ve limiti hesaplanarak tanımdan hesaplanabilir. Pratikte, birkaç basit fonksiyonun türevleri bilindiğinde, diğer fonksiyonların türevleri, daha karmaşık fonksiyonların türevlerini daha basit olanlardan elde etmek için kullanılan kurallar kullanılarak daha kolay hesaplanır. ⓘ

Temel fonksiyonlar için kurallar

İşte a'nın gerçek bir sayı olduğu en yaygın temel fonksiyonların türevleri için kurallar. ⓘ

• Kuvvetlerin türevleri:

  ${\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.$

• Üstel ve logaritmik fonksiyonlar:

  ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

  ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0$

  ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.$

  ${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0$

• Trigonometrik fonksiyonlar:

  ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).$

  ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).$

  ${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).$

• Ters trigonometrik fonksiyonlar:

  ${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.$

  ${\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.$

  ${\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ ⓘ

Birleşik fonksiyonlar için kurallar

Temel fonksiyonların türevlerinden bileşik bir fonksiyonun türevini çıkarmak için en temel kurallardan bazıları aşağıda verilmiştir. ⓘ

• Sabit kuralı: f(x) sabitse, o zaman

  $f'(x)=0.$

• Toplam kuralı:

  $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$ tüm f ve g fonksiyonları ve tüm reel sayılar için $\alpha$ ve $\beta$.

• Çarpım kuralı:

  $(fg)'=f'g+fg'$ Tüm f ve g fonksiyonları için. Özel bir durum olarak, bu kural şu gerçeği içerir $(\alpha f)'=\alpha f'$ ne zaman $\alpha$ bir sabittir, çünkü $\alpha 'f=0\cdot f=0$ sabit kuralı ile.

• Bölüm kuralı:

  $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ g ≠ 0 olduğu tüm girişlerdeki tüm f ve g fonksiyonları için.

• Bileşik fonksiyonlar için zincir kuralı: Eğer $f(x)=h(g(x))$, sonra

  $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).$ ⓘ

Hesaplama örneği

tarafından verilen fonksiyonun türevi ⓘ

$f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7$ ⓘ

o ⓘ

${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$ ⓘ

Burada ikinci terim zincir kuralı, üçüncü terim ise çarpım kuralı kullanılarak hesaplanmıştır. Temel x², x⁴, sin(x), ln(x) ve exp(x) = e^x fonksiyonlarının bilinen türevlerinin yanı sıra 7 sabiti de kullanılmıştır. ⓘ

Hiperrealler ile tanım

Reel sayıların R ⊂ ^⁎R hiperreal uzantısına göre, reel bir x noktasında y = f(x) reel fonksiyonunun türevi, sonsuz küçük ∆x için ∆y/∆x bölümünün gölgesi olarak tanımlanabilir, burada ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Burada f'nin hiperreallere doğal uzantısı hala f olarak gösterilir. Burada gölge seçilen sonsuz küçükten bağımsızsa türevin var olduğu söylenir. ⓘ

Daha yüksek boyutlarda

Vektör değerli fonksiyonlar

Reel bir değişkenin vektör değerli bir fonksiyonu y, reel sayıları bazı Rn vektör uzaylarındaki vektörlere gönderir. Vektör değerli bir fonksiyon y₁(t), y₂(t), ..., yn(t) koordinat fonksiyonlarına ayrılabilir, yani y(t) = (y₁(t), ..., yn(t)). Bu, örneğin R² veya R³'teki parametrik eğrileri içerir. Koordinat fonksiyonları reel değerli fonksiyonlardır, bu nedenle yukarıdaki türev tanımı onlar için de geçerlidir. y(t)'nin türevi, koordinatları koordinat fonksiyonlarının türevleri olan teğet vektör olarak adlandırılan vektör olarak tanımlanır. Yani,

$\mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).$ ⓘ

Eşdeğer olarak, ⓘ

$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$ ⓘ

eğer limit varsa. Paydaki çıkarma işlemi skalerlerin değil vektörlerin çıkarılmasıdır. Eğer y'nin türevi t'nin her değeri için mevcutsa, o zaman y′ başka bir vektör değerli fonksiyondur. ⓘ

Eğer e₁, ..., en Rn için standart temel ise, y(t) y₁(t)e₁ + ⋯ + yn(t)en şeklinde de yazılabilir. Vektör değerli bir fonksiyonun türevinin doğrusallık özelliğini koruduğunu varsayarsak, y(t)'nin türevi şöyle olmalıdır

$y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$

çünkü temel vektörlerin her biri bir sabittir. ⓘ

Bu genelleme kullanışlıdır, örneğin y(t) bir parçacığın t zamanındaki konum vektörü ise; o zaman y′(t) türevi parçacığın t zamanındaki hız vektörüdür. ⓘ

Kısmi türevler

f'nin birden fazla değişkene bağlı bir fonksiyon olduğunu varsayalım - örneğin,

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

f, bir değişkenin diğer değişkenler tarafından indekslenen bir fonksiyon ailesi olarak yeniden yorumlanabilir:

$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Başka bir deyişle, x'in her değeri, bir gerçek sayının fonksiyonu olan ve f_x olarak gösterilen bir fonksiyon seçer. Yani,

$x\mapsto f_{x},$

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Bir x değeri seçildiğinde, örneğin a, o zaman f(x, y) y'yi a² + ay + y²'ye gönderen bir fa fonksiyonu belirler:

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.$

Bu ifadede a bir değişken değil bir sabittir, dolayısıyla fa yalnızca tek bir reel değişkenin fonksiyonudur. Sonuç olarak, tek değişkenli bir fonksiyon için türev tanımı geçerlidir:

$f_{a}'(y)=a+2y.$

Yukarıdaki prosedür herhangi bir a seçimi için gerçekleştirilebilir. Türevleri bir fonksiyonda bir araya getirmek, f'nin y yönündeki değişimini tanımlayan bir fonksiyon verir:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.$

Bu, f'nin y'ye göre kısmi türevidir. Burada ∂, kısmi türev sembolü olarak adlandırılan yuvarlak bir d'dir. Bunu d harfinden ayırmak için ∂ bazen "dee" yerine "der", "del" veya "kısmi" olarak telaffuz edilir. ⓘ

Genel olarak, bir f(x₁, ..., xn) fonksiyonunun (a₁, ..., an) noktasında xi yönündeki kısmi türevi olarak tanımlanır:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.$

Yukarıdaki fark bölümünde, xi dışındaki tüm değişkenler sabit tutulmuştur. Bu sabit değer seçimi, tek değişkenli bir fonksiyonu belirler

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

ve, tanım olarak,

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Başka bir deyişle, a'nın farklı seçimleri, yukarıdaki örnekte olduğu gibi bir tek değişkenli fonksiyon ailesini indeksler. Bu ifade aynı zamanda kısmi türevlerin hesaplanmasının tek değişkenli türevlerin hesaplanmasına indirgendiğini göstermektedir. ⓘ

Bu, birkaç reel değişkenli fonksiyonların incelenmesi için temeldir. f(x₁, ..., xn) böyle bir reel değerli fonksiyon olsun. Eğer f'nin tüm kısmi türevleri ∂f / ∂x_j a = (a₁, ..., an) noktasında tanımlanırsa, bu kısmi türevler

$\nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),$

Eğer f bazı alanlardaki her noktada türevlenebilir ise, o zaman türev (a₁, ..., an) noktasını ∇f(a₁, ..., an) vektörüne eşleyen vektör değerli bir ∇f fo_nksiyo_nudur. Sonuç olarak, gradyan bir vektör alanını belirler. ⓘ

Yönlü türevler

Eğer f Rn üzerinde gerçek değerli bir fonksiyon ise, f'nin kısmi türevleri koordinat eksenleri yönündeki değişimini ölçer. Örneğin, f x ve y'nin bir fonksiyonu ise, kısmi türevleri f'nin x ve y yönündeki değişimini ölçer. Ancak, f'nin y = x köşegen doğrusu gibi başka herhangi bir yöndeki değişimini doğrudan ölçmezler. Bunlar yönlü türevler kullanılarak ölçülür. Bir vektör seçin

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

x noktasında v yönünde f'nin yönlü türevi limittir

$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Bazı durumlarda, vektörün uzunluğunu değiştirdikten sonra yönlü türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu, problemi bir birim vektör yönünde yönlü türev hesaplamasına dönüştürmek için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için, u'nun v yönünde bir birim vektör olduğu v = λu olduğunu varsayalım. h = k/λ'yı fark bölümünde yerine koyun. Fark bölümü şu hale gelir:

${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$

Bu, f'nin u'ya göre yönlü türevi için fark bölümünün λ katıdır. Ayrıca, h sıfıra doğru giderken limiti almak, k sıfıra doğru giderken limiti almakla aynıdır çünkü h ve k birbirinin katlarıdır. Bu nedenle, Dv(f) = λDu(f). Bu yeniden ölçekleme özelliği nedeniyle, yönlü türevler genellikle yalnızca birim vektörler için dikkate alınır. ⓘ

Eğer f'nin tüm kısmi türevleri mevcutsa ve x'de sürekliyse, o zaman f'nin v yönündeki yönlü türevini formülle belirlerler:

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$

Bu, toplam türevin tanımının bir sonucudur. Yönlü türevin v'de doğrusal olduğu, yani D_{v + w}(f) = Dv(f) + Dw(f) olduğu sonucu çıkar. ⓘ

Aynı tanım, f Rm'de değerleri olan bir fonksiyon olduğunda da geçerlidir. Yukarıdaki tanım vektörlerin her bir bileşenine uygulanır. Bu durumda, yönlü türev Rm'de bir vektördür. ⓘ

Bununla birlikte köşegen çizgi y = x boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur. ⓘ

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor. ⓘ

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$ ⓘ

$\mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$ ⓘ

$\mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$ ⓘ

Toplam türev, toplam diferansiyel ve Jacobian matrisi

f, Rn'nin açık bir alt kümesinden Rm'ye bir fonksiyon olduğunda, f'nin seçilen bir yöndeki yönlü türevi, f'nin o noktada ve o yöndeki en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Ancak n > 1 olduğunda, tek bir yönlü türev f'nin davranışının tam bir resmini veremez. Toplam türev, tüm yönleri aynı anda dikkate alarak tam bir resim verir. Yani, a'dan başlayan herhangi bir vektörü için doğrusal yaklaşım formülü geçerlidir:

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

Tıpkı tek değişkenli türevde olduğu gibi, f ′(a) bu yaklaşımdaki hata mümkün olduğunca küçük olacak şekilde seçilir. ⓘ

Eğer n ve m'nin her ikisi de bir ise, o zaman f ′(a) türevi bir sayıdır ve f ′(a)v ifadesi iki sayının çarpımıdır. Ancak daha yüksek boyutlarda, f ′(a)'nın bir sayı olması imkansızdır. Eğer bir sayı olsaydı, f ′(a)v Rn'de bir vektör olurken diğer terimler Rm'de vektör olurdu ve bu nedenle formül bir anlam ifade etmezdi. Doğrusal yaklaşım formülünün anlamlı olabilmesi için, f ′(a) Rn'deki vektörleri Rm'deki vektörlere gönderen bir fonksiyon olmalı ve f ′(a)v v'de değerlendirilen bu fonksiyonu göstermelidir. ⓘ

Bunun ne tür bir fonksiyon olduğunu belirlemek için, doğrusal yaklaşım formülünün şu şekilde yeniden yazılabileceğine dikkat edin

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

Başka bir w vektörü seçersek, bu yaklaşık denklemin v yerine w koyarak başka bir yaklaşık denklem belirlediğine dikkat edin. v yerine w ve a yerine a + v koyarak üçüncü bir yaklaşık denklem belirler. Bu iki yeni denklemi çıkararak şunları elde ederiz

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .$

Eğer v'nin küçük olduğunu ve türevin a'da sürekli değiştiğini varsayarsak, f ′(a + v) yaklaşık olarak f ′(a)'ya eşittir ve bu nedenle sağ taraf yaklaşık olarak sıfırdır. Sol taraf, v yerine v + w konularak doğrusal yaklaşım formülü kullanılarak farklı bir şekilde yeniden yazılabilir:

${\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}$

Bu, f ′(a)'nın Rn vektör uzayından Rm vektör uzayına doğrusal bir dönüşüm olduğunu gösterir. Aslında, yaklaşı^mlardaki hatayı ölçerek bunu kesin bir türev haline getirmek mümkündür. Bu doğrusal yaklaşım formüllerindeki hatanın bir sabit çarpı ||v|| ile sınırlandığını varsayalım, burada sabit v'den bağımsızdır ancak sürekli olarak a'ya bağlıdır. Daha sonra, uygun bir hata terimi ekledikten sonra, yukarıdaki yaklaşık eşitliklerin tümü eşitsizlikler olarak yeniden ifade edilebilir. Özellikle, f ′(a) küçük bir hata terimine kadar doğrusal bir dönüşümdür. Limitte v ve w sıfıra yaklaştıkça, bu nedenle doğrusal bir dönüşüm olmalıdır. Toplam türevi v sıfıra giderken bir limit alarak tanımladığımız için, f ′(a) doğrusal bir dönüşüm olmalıdır. ⓘ

Tek değişkende, türevin en iyi doğrusal yaklaşım olduğu gerçeği, fark bölümlerinin limiti olduğu gerçeğiyle ifade edilir. Bununla birlikte, olağan fark bölümü daha yüksek boyutlarda bir anlam ifade etmez çünkü vektörleri bölmek genellikle ^mümkün değildir. Özellikle, fark bölümünün pay ve paydası aynı vektör uzayında bile değildir: Pay Rm kod alanında yer alırken payda Rn alanında yer alır. Dahası, türev doğrusal bir dönüşümdür ve hem pay hem de paydadan farklı bir nesne türüdür. f ′(a)'nın en iyi doğrusal yaklaşım olduğu fikrini kesinleştirmek için, bu sorunların ortadan kalktığı tek değişkenli türev için farklı bir formül uyarlamak gerekir. Eğer f : R → R ise, o zaman türevin olağan tanımı, f'nin a'daki türevinin aşağıdaki gibi benzersiz f ′(a) sayısı olduğunu göstermek için manipüle edilebilir

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0.$

Bu şu anlama gelir

$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0$

Çünkü bir fonksiyonun limiti, ancak ve ancak fonksiyonun mutlak değerinin limiti sıfıra eğilimli ise sıfıra eğilimlidir. Bu son formül, mutlak değerler normlarla değiştirilerek çok değişkenli duruma uyarlanabilir. ⓘ

Dolayısıyla, f'nin a'daki toplam türevinin tanımı, f ′(a) 'nın tek doğrusal dönüşümü olduğudur: Rn → Rm öyle ki

$\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.$

Burada h Rn'de bir vektördür, dolayısıyla paydadaki norm Rn'deki standart uzunluktur. Ancak, f′(a)h Rm'de bir vektördür ve paydaki norm Rm'deki standart uzunluktur. Eğer v a'dan başlayan bir vektör ise, f ′(a)v v'nin f tarafından ileri itilmesi olarak adlandırılır ve bazen f_∗v olarak yazılır. ⓘ

Eğer toplam türev a'da mevcutsa, o zaman f'nin tüm kısmi türevleri ve yönlü türevleri a'da mevcuttur ve tüm v için f ′(a)v f'nin v yönündeki yönlü türevidir. f'yi koordinat fonksiyonları kullanarak yazarsak, yani f = (f₁, f₂, ..., fm), o zaman toplam türev kısmi türevler kullanılarak bir matris olarak ifade edilebilir. Bu matrise f'nin a'daki Jacobian matrisi denir:

$f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.$ ⓘ

Toplam türevin f′(a) varlığı, tüm kısmi türevlerin varlığından kesinlikle daha güçlüdür, ancak kısmi türevler varsa ve sürekliyse, toplam türev vardır, Jacobian tarafından verilir ve a'ya sürekli bağlıdır. ⓘ

Toplam türevin tanımı, tek değişkenli türevin tanımını kapsar. Yani, eğer f reel bir değişkenin reel değerli bir fonksiyonu ise, o zaman toplam türev ancak ve ancak olağan türev varsa vardır. Jacobian matrisi, tek girdisi f′(x) türevi olan 1×1 matrisine indirgenir. Bu 1×1 matris, f(a + h) - (f(a) + f ′(a)h) yaklaşık olarak sıfır olma özelliğini karşılar, başka bir deyişle ⓘ

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$ ⓘ

Değişkenleri değiştirmeye kadar, bu, fonksiyonun $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ f'nin a'daki en iyi doğrusal yaklaşımıdır. ⓘ

Bir fonksiyonun toplam türevi, başka bir fonksiyonu tek değişkenli durumla aynı şekilde vermez. Bunun nedeni, çok değişkenli bir fonksiyonun toplam türevinin, tek değişkenli bir fonksiyonun türevinden çok daha fazla bilgi kaydetmek zorunda olmasıdır. Bunun yerine, toplam türev kaynağın teğet demetinden hedefin teğet demetine bir fonksiyon verir. ⓘ

İkinci, üçüncü ve daha yüksek dereceli toplam türevlerin doğal analoğu doğrusal bir dönüşüm değildir, teğet demet üzerinde bir fonksiyon değildir ve toplam türevin tekrar tekrar alınmasıyla oluşturulmaz. Jet olarak adlandırılan yüksek dereceli türevin benzeri doğrusal bir dönüşüm olamaz çünkü yüksek dereceli türevler, vektörler gibi doğrusal veriler açısından tanımlanamayan içbükeylik gibi ince geometrik bilgileri yansıtır. Teğet demet üzerinde bir fonksiyon olamaz çünkü teğet demette sadece taban uzayı ve yönlü türevler için yer vardır. Jetler daha yüksek dereceli bilgileri yakaladıkları için, yöndeki daha yüksek dereceli değişiklikleri temsil eden ek koordinatları argüman olarak alırlar. Bu ek koordinatlar tarafından belirlenen uzaya jet demeti denir. Bir fonksiyonun toplam türevi ile kısmi türevleri arasındaki ilişki, bir fonksiyonun k. dereceden jeti ile k'ya eşit veya daha küçük dereceden kısmi türevleri arasındaki ilişkiye paraleldir. ⓘ

Toplam türevin tekrar tekrar alınmasıyla, Fréchet türevinin Rp'ye özelleşmiş daha yüksek versiyonları elde edilir. K. mertebeden toplam türev bir harita olarak yorumlanabilir

$D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$

Rn'de bir x noktası alır ve ona Rn'den Rm'ye k-doğrusal haritalar uzayının bir elemanını atar - bu noktada f'ye "en iyi" (belirli bir kesin anlamda) k-doğrusal yaklaşım. Δ, x → (x, x) diyagonal haritası ile önceden birleştirerek, genelleştirilmiş bir Taylor serisi şu şekilde başlatılabilir

${\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(x_{i}-a_{i})+\sum _{j,k}\left(D^{2}f\right)_{jk}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})+\cdots \end{aligned}}$

Burada f(a) sabit bir fonksiyon ile tanımlanır, xi - ai x - a vektörünün bileşenleridir ve (Df)i ve (D²f)_jk doğrusal dönüşümler olarak Df ve D²f'nin bileşenleridir. ⓘ

Genelleştirmeler

Türev kavramı diğer birçok ortama genişletilebilir. Ortak nokta, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin, o noktadaki fonksiyonun doğrusal bir yaklaşımı olarak hizmet etmesidir.

• Türevin önemli bir genellemesi, karmaşık değişkenlerin karmaşık fonksiyonlarıyla ilgilidir, örneğin karmaşık sayılar C'den C'ye (bir etki alanındaki) fonksiyonlar gibi. Böyle bir fonksiyonun türevi kavramı, tanımda reel değişkenlerin karmaşık değişkenlerle değiştirilmesiyle elde edilir. Eğer C, karmaşık bir z sayısı x + iy olarak yazılarak R² ile özdeşleştirilirse, C'den C'ye türevlenebilir bir fonksiyon R²'den R²'ye bir fonksiyon olarak kesinlikle türevlenebilirdir (kısmi türevlerinin hepsinin var olması anlamında), ancak bunun tersi genel olarak doğru değildir: karmaşık türev yalnızca gerçek türev karmaşık doğrusal ise vardır ve bu, Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandırılan kısmi türevler arasında ilişkiler getirir - bkz. holomorfik fonksiyonlar.
• Bir başka genelleme, diferansiyellenebilir veya pürüzsüz manifoldlar arasındaki fonksiyonlarla ilgilidir. Sezgisel olarak böyle bir M manifoldu, her x noktası yakınında teğet uzayı olarak adlandırılan bir vektör uzayı ile yaklaştırılabilen bir uzaydır: prototipik örnek R³'teki pürüzsüz bir yüzeydir. M'deki bir x noktasında manifoldlar arasındaki (türevlenebilir) bir f: M → N haritasının türevi (veya diferansiyeli), x'teki M'nin teğet uzayından f(x)'teki N'nin teğet uzayına doğrusal bir haritadır. Türev fonksiyonu M ve N'nin teğet demetleri arasında bir harita haline gelir. Bu tanım diferansiyel geometride temeldir ve birçok kullanımı vardır - bkz. pushforward (diferansiyel) ve pullback (diferansiyel geometri).
• Farklılaşma, Banach uzayları ve Fréchet uzayları gibi sonsuz boyutlu vektör uzayları arasındaki haritalar için de tanımlanabilir. Hem Gateaux türevi olarak adlandırılan yönlü türevin hem de Fréchet türevi olarak adlandırılan diferansiyelin bir genellemesi vardır.
• Klasik türevin bir eksikliği, çok sayıda fonksiyonun türevlenebilir olmamasıdır. Bununla birlikte, türev kavramını genişletmenin bir yolu vardır, böylece tüm sürekli fonksiyonlar ve diğer birçok fonksiyon zayıf türev olarak bilinen bir kavram kullanılarak türevlenebilir. Buradaki fikir, sürekli fonksiyonları dağılımlar uzayı adı verilen daha geniş bir uzaya yerleştirmek ve sadece bir fonksiyonun "ortalama olarak" türevlenebilir olmasını şart koşmaktır.
• Türevin özellikleri, cebir ve topolojide birçok benzer nesnenin tanıtılmasına ve incelenmesine ilham vermiştir - örneğin diferansiyel cebire bakınız.
• Türevin ayrık eşdeğeri sonlu farklardır. Diferansiyel hesap çalışması, zaman ölçeği hesabındaki sonlu farklar hesabı ile birleştirilmiştir.
• Ayrıca aritmetik türeve de bakınız. ⓘ

Tarih

Erken tarihinde sonsuz küçükler hesabı olarak bilinen kalkülüs, limitler, fonksiyonlar, türevler, integraller ve sonsuz seriler üzerine odaklanan matematiksel bir disiplindir. Isaac Newton ve Gottfried Leibniz 17. yüzyılın ortalarında bağımsız olarak kalkülüsü keşfetmişlerdir. Ancak her iki mucit de hayatlarının sonuna kadar devam eden sert bir tartışmada diğerinin çalışmalarını çaldığını iddia etmiştir. ⓘ

Kesirli türev

fonksiyon $f(x)=x$(mavi eğri) için yarı türev (mor eğri) ve birinci türev (kırmızı eğri). ⓘ

$f(x)$ tek terimli olduğunu varsayalım ⓘ

$f(x)=x^{k}\;$.

Burada kullanılan türev ⓘ

$f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\;.$ ⓘ

tekrarlanarak şu sonuca ulaşılır:

${d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={k! \over (k-a)!}x^{k-a}\;,$ ⓘ

faktöriyel yerine Gama fonksiyonu alınırsa ⓘ

${d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-a+1)}x^{k-a}\;.$ ⓘ

xin yarı türevi

${d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)}x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}.$

Bu durumu tekrarlarsak ⓘ

${d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{{1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\;,$ ⓘ

Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır. ⓘ

$\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1\,$ ⓘ

Buradaki türev alma işlemi sadece reel sayılarla sınırlı değildir. Mesela (1 + i)inci türev, (1 - i)inci türev iki türevlidir. Ancak negatif değerler için alınan a, integrali verir. ⓘ

Laplace dönüşümü

Laplace dönüşümünün ifadesi ⓘ

${\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)$ ⓘ

ve ⓘ

${\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{Jf\right\})(s)={\frac {1}{s^{2}}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)$ ⓘ

v.s. Beklentimiz ⓘ

$J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }({\mathcal {L}}\{f\})(s)\right\}$. ⓘ

Mesela ⓘ

${\begin{array}{lcr}J^{\alpha }\left(t^{k}\right)&=&{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\dfrac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}\\&=&{\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}\end{array}}$ ⓘ

beklentisi doğrudur. Gerçekten verilen konvolüsyon kök ${\mathcal {L}}\{f*g\}=({\mathcal {L}}\{f\})({\mathcal {L}}\{g\})$ (ve kısaca $p(x)=x^{\alpha -1}$ doğrulama için) bulunur

${\begin{array}{rcl}(J^{\alpha }f)(t)&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left({\mathcal {L}}\{p\}\right)({\mathcal {L}}\{f\})\right\}\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{array}}$ ⓘ

Cauchy serisini verir. Laplace transformu bâzı fonksiyonların kullanılabilmesi ile ilişkilidir. Sıklıkla kesirli diferansiyel denklemler çözümünde kullanılır. ⓘ

Örnekler

Türevlenebilir fonksiyonlar ve türevleri

Cebirsel

• Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için $f(x)=x^{n}$ fonksiyonu, ⓘ

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ ⓘ

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formül yalnızca reel sayılarda kullanılır!) ⓘ

Üstel veya logaritmik

• $e^{x}$ üstel fonksiyonu, ⓘ

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ ⓘ

• $x^{x}$ logaritmik fonksiyonu,

$y=x^{x}$

$y'=x^{x}.(lnx+1)$ ⓘ