Trigonometri

Trigonometri (Yunanca trigōnon "üçgen" + metron "ölçmek" ), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır. ⓘ

Tarih boyunca trigonometri jeodezi, ölçme, gök mekaniği ve navigasyon gibi alanlarda uygulanmıştır. ⓘ

Trigonometri birçok özdeşliği ile bilinir. Bunlar Trigonometrik özdeşlikler, bir ifadeyi basitleştirmek, bir ifadenin daha kullanışlı bir biçimini bulmak veya bir denklemi çözmek amacıyla trigonometrik ifadeleri yeniden yazmak için yaygın olarak kullanılır. ⓘ

Tarih

İlk trigonometrik tabloyu derlemesiyle tanınan Hipparchus, "trigonometrinin babası" olarak tanımlanmıştır. ⓘ

Sümerli astronomlar, dairelerin 360 dereceye bölünmesini kullanarak açı ölçümü üzerinde çalışmışlardır. Onlar ve daha sonra Babilliler, benzer üçgenlerin kenarlarının oranlarını incelemiş ve bu oranların bazı özelliklerini keşfetmişler, ancak bunu üçgenlerin kenarlarını ve açılarını bulmak için sistematik bir yönteme dönüştürmemişlerdir. Eski Nubyalılar da benzer bir yöntem kullanmışlardır. ⓘ

MÖ 3. yüzyılda Öklid ve Arşimet gibi Helenistik matematikçiler dairelerdeki akorların ve iç açıların özelliklerini incelemiş ve modern trigonometrik formüllere eşdeğer teoremler kanıtlamışlardır, ancak bunları cebirsel olarak değil geometrik olarak sunmuşlardır. MÖ 140 yılında Hipparchus (Nicaea, Küçük Asya'dan) modern sinüs değerleri tablolarına benzer ilk akor tablolarını verdi ve bunları trigonometri ve küresel trigonometri problemlerini çözmek için kullandı. MS 2. yüzyılda, Yunan-Mısırlı astronom Batlamyus (İskenderiye, Mısır'dan) Almagest'inin 1. Kitap, 11. bölümünde ayrıntılı trigonometrik tablolar (Batlamyus'un akorlar tablosu) oluşturmuştur. Batlamyus, trigonometrik fonksiyonlarını tanımlamak için akor uzunluğunu kullanmıştır; bu, bugün kullandığımız sinüs kuralından küçük bir farktır. (Sin(θ) olarak adlandırdığımız değer, Batlamyus'un tablosunda ilgilenilen açının iki katı (2θ) için akor uzunluğuna bakılarak ve ardından bu değer ikiye bölünerek bulunabilir). Daha ayrıntılı tabloların üretilmesi için yüzyıllar geçti ve Batlamyus'un incelemesi sonraki 1200 yıl boyunca ortaçağ Bizans, İslam ve daha sonra Batı Avrupa dünyalarında astronomide trigonometrik hesaplamalar yapmak için kullanılmaya devam etti. ⓘ

Modern sinüs kuralı ilk olarak Surya Siddhanta'da ortaya konmuş ve özellikleri 5. yüzyılda (MS) Hintli matematikçi ve astronom Aryabhata tarafından belgelenmiştir. Bu Yunan ve Hint eserleri ortaçağ İslam matematikçileri tarafından çevrilmiş ve genişletilmiştir. 10. yüzyıla gelindiğinde, İslam matematikçileri altı trigonometrik fonksiyonun hepsini kullanıyor, değerlerini tablolaştırıyor ve bunları küresel geometri problemlerine uyguluyorlardı. İranlı polimat Nasirüddin Tusi, kendi başına bir matematik disiplini olarak trigonometrinin yaratıcısı olarak tanımlanmıştır. Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız bir matematik disiplini olarak ele alan ilk kişidir ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirmiştir. Küresel trigonometride dik açılı bir üçgenin altı farklı durumunu listelemiş ve Sektör Şekli Üzerine adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtmiş, küresel üçgenler için teğet yasasını keşfetmiş ve bu iki yasa için kanıtlar sunmuştur. Trigonometrik fonksiyonlar ve yöntemler hakkındaki bilgiler Batı Avrupa'ya Batlamyus'un Yunanca Almagest'inin Latince çevirilerinin yanı sıra Al Battani ve Nasir al-Din al-Tusi gibi İranlı ve Arap astronomların eserleri aracılığıyla ulaşmıştır. Kuzey Avrupalı bir matematikçinin trigonometri üzerine en eski çalışmalarından biri, birkaç yıl birlikte yaşadığı Bizanslı Yunan bilgin kardinal Basilios Bessarion tarafından yazmaya teşvik edilen ve kendisine Almagest'in bir kopyası verilen 15. yüzyıl Alman matematikçisi Regiomontanus'un De Triangulis adlı eseridir. Aynı zamanda, Almagest'in Yunanca'dan Latince'ye bir başka çevirisi de Trebizondlu Giritli George tarafından tamamlandı. Trigonometri 16. yüzyıl kuzey Avrupa'sında hâlâ o kadar az biliniyordu ki Nicolaus Copernicus De revolutionibus orbium coelestium'un iki bölümünü temel kavramları açıklamaya ayırdı. ⓘ

Navigasyonun talepleri ve geniş coğrafi alanların doğru haritalarına duyulan ihtiyacın artmasıyla trigonometri matematiğin önemli bir dalı haline geldi. Bartholomaeus Pitiscus, 1595 yılında Trigonometria adlı eserini yayınlayarak kelimeyi ilk kullanan kişi olmuştur. Gemma Frisius, bugün hala ölçmede kullanılan üçgenleme yöntemini ilk kez tanımladı. Karmaşık sayıları trigonometriye tam olarak dahil eden Leonhard Euler olmuştur. İskoç matematikçiler James Gregory'nin 17. yüzyıldaki ve Colin Maclaurin'in 18. yüzyıldaki çalışmaları trigonometrik serilerin geliştirilmesinde etkili olmuştur. Yine 18. yüzyılda Brook Taylor genel Taylor serisini tanımlamıştır. ⓘ

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.^{[kaynak belirtilmeli]}.İlk kez Akdeniz in çevresi trigonometre ile Abbasiler döneminde ölçülmüştür. ⓘ

Batıda Nasîrüddin Tûsî’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.^{[kaynak belirtilmeli]}. ⓘ

Trigonometrik oranlar

Bu dik üçgende: sin A = a/h; cos A = b/h; tan A = a/b. ⓘ

Trigonometrik oranlar, bir dik üçgenin kenarları arasındaki oranlardır. Bu oranlar, bilinen A açısının aşağıdaki trigonometrik fonksiyonları tarafından verilir; burada a, b ve h ekteki şekilde kenarların uzunluklarını ifade eder:

• Sinüs fonksiyonu (sin), açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlanır.

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.$

• Kosinüs fonksiyonu (cos), komşu bacağın (üçgenin açıyı dik açıya birleştiren kenarı) hipotenüse oranı olarak tanımlanır.

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.$

• Tanjant fonksiyonu (tan), karşı bacağın komşu bacağa oranı olarak tanımlanır. ⓘ

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.$ ⓘ

Hipotenüs, bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır; üçgenin en uzun kenarıdır ve A açısına bitişik iki kenardan biridir. Bitişik bacak, A açısına bitişik olan diğer kenardır. Karşı kenar, A açısının karşısındaki kenardır. Dik ve taban terimleri bazen sırasıyla karşıt ve bitişik kenarlar için kullanılır. Aşağıda Anımsatıcılar bölümüne bakınız. ⓘ

Aynı A dar açısına sahip herhangi iki dik üçgen benzer olduğundan, bir trigonometrik oranın değeri yalnızca A açısına bağlıdır. ⓘ

Bu fonksiyonların karşılıkları sırasıyla kosekant (csc), sekant (sec) ve kotanjant (cot) olarak adlandırılır:

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},$ ⓘ

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},$ ⓘ

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.$ ⓘ

Kosinüs, kotanjant ve kosekant bu şekilde adlandırılmıştır çünkü bunlar sırasıyla "co-" olarak kısaltılan tamamlayıcı açının sinüsü, tanjantı ve sekantıdır. ⓘ

Bu fonksiyonlarla, sinüs yasası ve kosinüs yasası kullanılarak rastgele üçgenlerle ilgili neredeyse tüm sorular yanıtlanabilir. Bu yasalar, iki kenar ve bunların içerdiği açı veya iki açı ve bir kenar veya üç kenar bilindiği anda herhangi bir üçgenin kalan açılarını ve kenarlarını hesaplamak için kullanılabilir. ⓘ

Anımsatıcılar

Anımsatıcıların yaygın bir kullanımı trigonometrideki gerçekleri ve ilişkileri hatırlamaktır. Örneğin, bir dik üçgendeki sinüs, kosinüs ve tanjant oranları, bunları ve karşılık gelen kenarlarını harf dizileri olarak temsil ederek hatırlanabilir. Örneğin, bir anımsatıcı SOH-CAH-TOA'dır:

Sinüs = Ters ÷ Hipotenüs

Kosinüs = Bitişik ÷ Hipotenüs

Teğet = Ters ÷ Bitişik ⓘ

Harfleri hatırlamanın bir yolu onları fonetik olarak seslendirmektir (yani Krakatoa'ya benzer). Diğer bir yöntem ise harfleri bir cümleye dönüştürmektir, örneğin "Some Old Hippie Caught Another Hippie Trippin' On Acid". ⓘ

Birim çember ve ortak trigonometrik değerler

Şekil 1a - Birim çember kullanılarak tanımlanan bir θ açısının sinüs ve kosinüsü. ⓘ

Anahtar dönüşlerinin saat yönünde ve saat yönünün tersine miktarlarının birim çemberde derece cinsinden gösterimi. ⓘ

Trigonometrik oranlar, düzlemde orijin merkezli 1 yarıçaplı daire olan birim daire kullanılarak da gösterilebilir. Bu ayarda, standart konuma yerleştirilen bir A açısının uç kenarı birim çemberi (x,y) noktasında kesecektir, burada $x=\cos A$ ve $y=\sin A$. Bu gösterim, aşağıdaki tabloda olduğu gibi yaygın olarak bulunan trigonometrik değerlerin hesaplanmasına olanak tanır:

Fonksiyon	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$ ⓘ
sinüs	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
kosinüs	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
tanjant	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	tanımlanmamış	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
sekant	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	tanımlanmamış	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	$-1$
cosecant	tanımlanmamış	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	tanımlanmamış
kotanjant	tanımlanmamış	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	tanımlanmamış

Reel veya karmaşık değişkenlerin trigonometrik fonksiyonları

Birim çember kullanılarak, trigonometrik oranların tanımları tüm pozitif ve negatif argümanlara genişletilebilir (bkz. trigonometrik fonksiyon). ⓘ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Aşağıdaki tablo altı ana trigonometrik fonksiyonun grafiklerinin özelliklerini özetlemektedir:

Fonksiyon	Dönem	Etki Alanı	Menzil	Grafik ⓘ
sinüs	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
kosinüs	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tanjant	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sekant	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
cosecant	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kotanjant	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Altı ana trigonometrik fonksiyon periyodik olduğundan, enjektif (veya 1'e 1) değildirler ve dolayısıyla ters çevrilemezler. Bununla birlikte, bir trigonometrik fonksiyonun alanını kısıtlayarak, ters çevrilebilir hale getirilebilirler. ⓘ

Ters trigonometrik fonksiyonların isimleri, etki alanları ve aralıkları ile birlikte aşağıdaki tabloda bulunabilir:

İsim	Olağan gösterim	Tanım	Gerçek sonuç için x'in etki alanı	Olağan anapara değeri aralığı (radyan)	Olağan anapara değeri aralığı (derece) ⓘ
arcsine	y = arcsin(x)	x = sin(y)	-1 ≤ x ≤ 1	- ≤ y ≤	-90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = arccos(x)	x = cos(y)	-1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = arctan(x)	x = tan(y)	tüm gerçek sayılar	- < y <	-90° < y < 90°
arccotangent	y = arccot(x)	x = cot(y)	tüm gerçek sayılar	0 < y < π	0° < y < 180°
arcsecant	y = arcsec(x)	x = sec(y)	x ≤ -1 veya 1 ≤ x	0 ≤ y < veya < y ≤ π	0° ≤ y < 90° veya 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = arccsc(x)	x = csc(y)	x ≤ -1 veya 1 ≤ x	- ≤ y < 0 veya 0 < y ≤	-90° ≤ y < 0° veya 0° < y ≤ 90°

Güç serisi gösterimleri

Gerçek bir değişkenin fonksiyonları olarak düşünüldüğünde, trigonometrik oranlar sonsuz bir seri ile temsil edilebilir. Örneğin, sinüs ve kosinüs aşağıdaki gösterimlere sahiptir:

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}$ ⓘ

${\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Bu tanımlar ile trigonometrik fonksiyonlar karmaşık sayılar için tanımlanabilir. Gerçek veya karmaşık değişkenlerin fonksiyonları olarak genişletildiğinde, karmaşık üstel için aşağıdaki formül geçerlidir:

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).$ ⓘ

Trigonometrik fonksiyonlar cinsinden yazılan bu karmaşık üstel fonksiyon özellikle kullanışlıdır. ⓘ

Trigonometrik fonksiyonların hesaplanması

Trigonometrik fonksiyonlar matematiksel tabloların en eski kullanım alanları arasındaydı. Bu tür tablolar matematik ders kitaplarına dahil edilmiş ve öğrencilere değerlere bakmaları ve daha yüksek doğruluk elde etmek için listelenen değerler arasında nasıl enterpolasyon yapacakları öğretilmiştir. Kaydırmalı cetvellerin trigonometrik fonksiyonlar için özel ölçekleri vardı. ⓘ

Bilimsel hesap makinelerinde ana trigonometrik fonksiyonları (sin, cos, tan ve bazen cis ve bunların tersleri) hesaplamak için düğmeler bulunur. Çoğu açı ölçüm yöntemlerinin seçimine izin verir: derece, radyan ve bazen gradyan. Çoğu bilgisayar programlama dili trigonometrik fonksiyonları içeren fonksiyon kütüphaneleri sağlar. Çoğu kişisel bilgisayarda kullanılan mikroişlemci yongalarında bulunan kayan nokta birimi donanımı, trigonometrik fonksiyonların hesaplanması için yerleşik talimatlara sahiptir. ⓘ

Diğer trigonometrik fonksiyonlar

Daha önce listelenen altı orana ek olarak, bugün nadiren kullanılsa da tarihsel olarak önemli olan ek trigonometrik fonksiyonlar vardır. Bunlar arasında akor (crd(θ) = 2 sin()), versin (versin(θ) = 1 - cos(θ) = 2 sin²()) (en eski tablolarda yer almaktadır), coversin (coversin(θ) = 1 - sin(θ) = versin( - θ)) bulunmaktadır, haversine (haversin(θ) = versin(θ) = sin²()), exsecant (exsec(θ) = sec(θ) - 1) ve excosecant (excsc(θ) = exsec( - θ) = csc(θ) - 1). Bu fonksiyonlar arasındaki daha fazla ilişki için Trigonometrik özdeşlikler listesine bakınız. ⓘ

Uygulamalar

Astronomi

Küresel trigonometri yüzyıllar boyunca güneş, ay ve yıldızların konumlarını belirlemek, tutulmaları tahmin etmek ve gezegenlerin yörüngelerini tanımlamak için kullanılmıştır. ⓘ

Modern zamanlarda, nirengi tekniği astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeyi ölçmek için ve uydu navigasyon sistemlerinde kullanılmaktadır. ⓘ

Navigasyon

Sextantlar güneşin veya yıldızların ufka göre açısını ölçmek için kullanılır. Trigonometri ve bir deniz kronometresi kullanılarak bu ölçümlerden geminin konumu belirlenebilir. ⓘ

Tarihsel olarak trigonometri, yelkenli gemilerin enlem ve boylamlarını belirlemek, rotalarını çizmek ve navigasyon sırasında mesafeleri hesaplamak için kullanılmıştır. ⓘ

Trigonometri, Küresel Konumlandırma Sistemi ve otonom araçlar için yapay zeka gibi araçlarla navigasyonda hala kullanılmaktadır. ⓘ

Ölçme

Arazi ölçümlerinde trigonometri nesneler arasındaki uzunlukların, alanların ve bağıl açıların hesaplanmasında kullanılır. ⓘ

Daha büyük ölçekte, trigonometri coğrafyada yer işaretleri arasındaki mesafeleri ölçmek için kullanılır. ⓘ

Periyodik fonksiyonlar

Fonksiyon $s(x)$ (kırmızı renkte) farklı genliklere ve harmonik olarak ilişkili frekanslara sahip altı sinüs fonksiyonunun toplamıdır. Bunların toplamına Fourier serisi denir. Fourier dönüşümü, $S(f)$ (mavi renkte), frekansa karşı genliği gösterir, 6 frekansı (tek harmoniklerde) ve bunların genliklerini (1/küsur sayı) ortaya koyar. ⓘ

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, ses ve ışık dalgalarını tanımlayanlar gibi periyodik fonksiyonlar teorisi için temeldir. Fourier, her sürekli, periyodik fonksiyonun trigonometrik fonksiyonların sonsuz bir toplamı olarak tanımlanabileceğini keşfetmiştir. ⓘ

Periyodik olmayan fonksiyonlar bile Fourier dönüşümü aracılığıyla sinüs ve kosinüslerin bir integrali olarak temsil edilebilir. Bunun diğer alanların yanı sıra kuantum mekaniği ve iletişimde uygulamaları vardır. ⓘ

Optik ve akustik

Trigonometri, akustik ve optik de dahil olmak üzere birçok fiziksel bilimde faydalıdır. Bu alanlarda, ses ve ışık dalgalarını tanımlamak ve sınır ve iletimle ilgili problemleri çözmek için kullanılır. ⓘ

Diğer uygulamalar

Trigonometri veya trigonometrik fonksiyonları kullanan diğer alanlar arasında müzik teorisi, jeodezi, ses sentezi, mimari, elektronik, biyoloji, tıbbi görüntüleme (CT taramaları ve ultrason), kimya, sayı teorisi (ve dolayısıyla kriptoloji), sismoloji, meteoroloji, oşinografi, görüntü sıkıştırma, fonetik, ekonomi, elektrik mühendisliği, makine mühendisliği, inşaat mühendisliği, bilgisayar grafikleri, haritacılık, kristalografi ve oyun geliştirme yer almaktadır. ⓘ

Kimlikler

Kenarları a,b,c ve sırasıyla zıt açıları A,B,C olan üçgen ⓘ

Trigonometri birçok özdeşliği, yani tüm olası girdiler için doğru olan denklemleri ile dikkat çekmektedir. ⓘ

Yalnızca açıları içeren özdeşlikler trigonometrik özdeşlikler olarak bilinir. Üçgen özdeşlikleri olarak bilinen diğer denklemler, belirli bir üçgenin hem kenarlarını hem de açılarını ilişkilendirir. ⓘ

Üçgen özdeşlikleri

Aşağıdaki özdeşliklerde, A, B ve C bir üçgenin açıları ve a, b ve c ilgili açıların karşısındaki üçgenin kenar uzunluklarıdır (şemada gösterildiği gibi). ⓘ

Sinüs yasası

Keyfi bir üçgen için sinüs yasası ("sinüs kuralı" olarak da bilinir) şu şekildedir:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},$

nerede $\Delta$ üçgenin alanı ve R üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapıdır:

$R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.$ ⓘ

Kosinüsler Yasası

Kosinüs yasası (kosinüs formülü veya "cos kuralı" olarak bilinir), Pisagor teoreminin keyfi üçgenlere bir uzantısıdır:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,$ ⓘ

ya da eşdeğer olarak:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$ ⓘ

Teğetler yasası

François Viète tarafından geliştirilen teğetler yasası, bir üçgenin bilinmeyen kenarlarını çözerken, trigonometrik tabloları kullanırken daha basit hesaplamalar sağlayan, Kosinüs Yasasına bir alternatiftir. Tarafından verilir:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$ ⓘ

Alan

İki a ve b kenarı ve kenarlar arasındaki C açısı verildiğinde, üçgenin alanı iki kenarın uzunluklarının çarpımının yarısı ve iki kenar arasındaki açının sinüsü ile verilir: Heron formülü, bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılabilecek bir başka yöntemdir. Bu formül, bir üçgenin a, b ve c uzunluklarında kenarları varsa ve yarıçap ⓘ

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c),$ ⓘ

o zaman üçgenin alanı:

${\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}$,

Burada R üçgenin çevresinin yarıçapıdır. ⓘ

${\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.$ ⓘ

Trigonometrik özdeşlikler

Pisagor özdeşlikleri

Aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler Pisagor teoremiyle ilgilidir ve herhangi bir değer için geçerlidir:

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$ ⓘ

$\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\$ ⓘ

$\cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\$ ⓘ

İkinci ve üçüncü denklemler, ilk denklemin aşağıdakilere bölünmesiyle elde edilir $\cos ^{2}{A}$ ve $\sin ^{2}{A}$sırasıyla. ⓘ

Euler'in formülü

Euler'in formülüne göre $e^{ix}=\cos x+i\sin x$e ve hayali birim i cinsinden sinüs, kosinüs ve tanjant için aşağıdaki analitik özdeşlikleri üretir:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.$ ⓘ

Diğer trigonometrik özdeşlikler

Yaygın olarak kullanılan diğer trigonometrik özdeşlikler arasında yarım açı özdeşlikleri, açı toplamı ve farkı özdeşlikleri ve çarpım-toplam özdeşlikleri bulunur. ⓘ

Genel bakış

Birim çember üzerinden tanımı

Birim çember üzerinde bütün işlevler ⓘ

Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım sadece 0-90 derece aralğını kapsar (0-π/2 radyan). ⓘ

90-360 derece arasındaki açıların trigonometrik değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360 dereceden büyük açılar 360 üzerinden devrettirilerek 0-360 arasındaki esas ölçüsü bulunur. ⓘ

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x²+y²=1 şeklindedir. ⓘ

Bir açının esas ölçüsü

• 0° ≤x <360° ve k bir tam sayı olmak üzere ölçüsü (x + 360k) olan açıların esas ölçüsü x derecedir.
• 0 ≤ x< 2π ve k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü (x + 2πk) olan açıların esas ölçüsü x radyandır. ⓘ

Sarma işlevi

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve sarma işlevi denir. ⓘ

Sarma işlevini s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek işlev ⓘ

$\ s:\mathbb {R} \to C$ ⓘ

şeklinde yazılabilir ve $\ s(x)=P$ oldugunda $\ s(x+2k\pi )=P$ olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) $2\pi$ olan bir işlevdir. ⓘ