Eşitsizlikler

Doğrusal programlamanın uygulanabilir bölgeleri bir dizi eşitsizlik ile tanımlanır. ⓘ

Matematikte eşitsizlik, iki sayı veya diğer matematiksel ifadeler arasında eşit olmayan bir karşılaştırma yapan bir ilişkidir. Çoğu zaman sayı doğrusu üzerindeki iki sayıyı büyüklüklerine göre karşılaştırmak için kullanılır. Farklı eşitsizlik türlerini temsil etmek için kullanılan birkaç farklı gösterim vardır:

• a < b gösterimi a'nın b'den küçük olduğu anlamına gelir.
• a > b gösterimi a'nın b'den büyük olduğu anlamına gelir.

Her iki durumda da a, b'ye eşit değildir. Bu ilişkiler katı eşitsizlikler olarak bilinir, yani a, b'den kesinlikle küçük veya kesinlikle büyüktür. ⓘ

Katı eşitsizliklerin aksine, katı olmayan iki tür eşitsizlik ilişkisi vardır:

• a ≤ b veya a ⩽ b gösterimi, a'nın b'den küçük veya b'ye eşit olduğu (veya eşdeğer olarak, en fazla b veya b'den büyük olmadığı) anlamına gelir.
• a ≥ b veya a ⩾ b gösterimi a'nın b'den büyük veya eşit olduğu (veya eşdeğer olarak en az b veya b'den küçük olmadığı) anlamına gelir.

Not greater than bağıntısı a ≯ b ile de gösterilebilir, "greater than" sembolü bir eğik çizgi ile ikiye ayrılır, "not". Aynı durum daha az değil ve a ≮ b için de geçerlidir. ⓘ

a ≠ b gösterimi a'nın b'ye eşit olmadığı anlamına gelir; bu eşitsizlik bazen katı eşitsizliğin bir biçimi olarak kabul edilir. Birinin diğerinden büyük olduğunu söylemez; a ve b'nin sıralı bir kümenin üyesi olmasını bile gerektirmez. ⓘ

Mühendislik bilimlerinde, gösterimin daha az resmi kullanımı, bir niceliğin diğerinden "çok daha büyük" olduğunu, normalde birkaç büyüklük sırasına göre ifade etmektir.

• a ≪ b gösterimi, a'nın b'den çok daha küçük olduğu anlamına gelir.
• a ≫ b gösterimi, a'nın b'den çok daha büyük olduğu anlamına gelir.

Bu, daha küçük değerin bir yaklaşımın doğruluğu üzerinde çok az etkiyle ihmal edilebileceği anlamına gelir (fizikteki ultra-elativistik limit durumu gibi). ⓘ

Yukarıdaki tüm durumlarda, birbirini yansıtan herhangi iki sembol simetriktir; a < b ve b > a eşdeğerdir, vb. ⓘ

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz. ⓘ

Eşitsizlik gibi denklem ve diğer cebirsel ifadelerde de bu kural geçerlidir. İfadenin çözümü için gerekli olan temel prensip de budur. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. ⓘ

$x+6<9$ bu bir eşitsizlik örneğidir. Çözümü için her iki taraf $-6$ ile toplanır böylece: $x<3$ olur. ⓘ

Buradan şu sonuç çıkarılır: $x$ sayısı $3$ ile $-\infty$(eksi sonsuz) arasındadır. ⓘ

Bu durum şu şekilde gösterilir: $(\ -\infty ,3\ )$ ⓘ

Sayı doğrusu üzerindeki özellikler

Eşitsizlikler aşağıdaki özellikler tarafından yönetilir. Bu özelliklerin tümü, katı olmayan eşitsizliklerin (≤ ve ≥) karşılık gelen katı eşitsizliklerle (< ve >) değiştirilmesi ve - bir fonksiyon uygulanması durumunda - monotonik fonksiyonların katı monotonik fonksiyonlarla sınırlandırılması durumunda da geçerlidir. ⓘ

Ters

≤ ve ≥ bağıntıları birbirinin tersidir, yani herhangi bir a ve b reel sayıları için

a ≤ b ve b ≥ a eşdeğerdir. ⓘ

Geçişlilik

Eşitsizliğin geçişli özelliği, herhangi bir a, b, c reel sayıları için şunu belirtir:

Eğer a ≤ b ve b ≤ c ise, o zaman a ≤ c olur.

Öncüllerden herhangi biri katı bir eşitsizlik ise, sonuç da katı bir eşitsizliktir:

Eğer a ≤ b ve b < c ise, o zaman a < c'dir.

Eğer a < b ve b ≤ c ise, o zaman a < c'dir. ⓘ

Toplama ve çıkarma

Eğer x < y ise, x + a < y + a olur. ⓘ

Bir eşitsizliğin her iki tarafına ortak bir c sabiti eklenebilir veya her iki taraftan çıkarılabilir. Yani, herhangi bir a, b, c reel sayıları için:

Eğer a ≤ b ise, o zaman a + c ≤ b + c ve a - c ≤ b - c olur. ⓘ

Başka bir deyişle, eşitsizlik ilişkisi toplama (veya çıkarma) altında korunur ve reel sayılar toplama altında sıralı bir gruptur. ⓘ

Çarpma ve bölme

Eğer x < y ve a > 0 ise, ax < ay olur. ⓘ

Eğer x < y ve a < 0 ise, ax > ay olur. ⓘ

Çarpma ve bölme ile ilgili özellikler, herhangi bir gerçek sayı için, a, b ve sıfır olmayan c:

Eğer a ≤ b ve c > 0 ise, ac ≤ bc ve a/c ≤ b/c olur.

Eğer a ≤ b ve c < 0 ise, o zaman ac ≥ bc ve a/c ≥ b/c olur. ⓘ

Başka bir deyişle, eşitsizlik ilişkisi pozitif sabitle çarpma ve bölme altında korunur, ancak negatif bir sabit söz konusu olduğunda tersine döner. Daha genel olarak, bu durum sıralı bir alan için geçerlidir. Daha fazla bilgi için § Sıralı alanlar bölümüne bakınız. ⓘ

Toplamsal ters

Toplamsal tersin özelliği, herhangi bir a ve b reel sayıları için şunu belirtir:

Eğer a ≤ b ise, o zaman -a ≥ -b'dir. ⓘ

Çarpımsal ters

Her iki sayı da pozitif ise, çarpımsal tersler arasındaki eşitsizlik ilişkisi orijinal sayılar arasındakinin tersidir. Daha spesifik olarak, her ikisi de pozitif (veya her ikisi de negatif) olan sıfır olmayan herhangi bir a ve b reel sayıları için:

Eğer a ≤ b ise, o zaman 1/a ≥ 1/b. ⓘ

a ve b'nin işaretleri için tüm durumlar aşağıdaki gibi zincirleme gösterimle de yazılabilir:

Eğer 0 < a ≤ b ise, 1/a ≥ 1/b > 0 olur.

Eğer a ≤ b < 0 ise, o zaman 0 > 1/a ≥ 1/b.

Eğer a < 0 < b ise, o zaman 1/a < 0 < 1/b. ⓘ

Her iki tarafa da bir fonksiyon uygulamak

y = ln x grafiği ⓘ

Monoton olarak artan herhangi bir fonksiyon, tanımı gereği, eşitsizlik ilişkisini bozmadan bir eşitsizliğin her iki tarafına da uygulanabilir (her iki ifadenin de bu fonksiyonun etki alanında olması koşuluyla). Ancak, bir eşitsizliğin her iki tarafına da monoton olarak azalan bir fonksiyon uygulamak, eşitsizlik ilişkisinin tersine döneceği anlamına gelir. Toplayıcı tersi ve pozitif sayılar için çarpımsal tersi için kuralların her ikisi de monoton olarak azalan bir fonksiyonun uygulanmasına örnektir. ⓘ

Eşitsizlik katı ise (a < b, a > b) ve fonksiyon katı monotonik ise, eşitsizlik katı olarak kalır. Bu koşullardan yalnızca biri katı ise, ortaya çıkan eşitsizlik katı değildir. Aslında, toplamsal ve çarpımsal tersler için kuralların her ikisi de kesinlikle monoton olarak azalan bir fonksiyonun uygulanmasına örnektir. ⓘ

Bu kuralın birkaç örneği şunlardır:

• a ve b pozitif reel sayılar olduğunda, bir eşitsizliğin her iki tarafını n > 0 kuvvetine yükseltmek (eşdeğer, -n < 0):

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ.

0 ≤ a ≤ b ⇔ a-n ≥ b-n ≥ 0.

• a ve b pozitif reel sayılar olduğunda, bir eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını almak:

0 < a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b).

0 < a < b ⇔ ln(a) < ln(b).

(bu doğrudur çünkü doğal logaritma kesinlikle artan bir fonksiyondur). ⓘ

Biçimsel tanımlar ve genellemeler

(Katı olmayan) bir kısmi düzen, bir P kümesi üzerinde dönüşlü, antisimetrik ve geçişli olan ikili bir ≤ bağıntısıdır. Yani, P'deki tüm a, b ve c için aşağıdaki üç cümleyi sağlamalıdır:

1. a ≤ a (dönüşlülük)
2. eğer a ≤ b ve b ≤ a ise, o zaman a = b (antisimetri)
3. a ≤ b ve b ≤ c ise, o zaman a ≤ c (geçişlilik) ⓘ

Kısmi sıraya sahip bir kümeye kısmi sıralı küme denir. Bunlar, her tür düzenin karşılaması gereken çok temel aksiyomlardır. Bir P kümesi üzerindeki diğer sıra tanımları için var olan diğer aksiyomlar şunlardır:

1. P'deki her a ve b için, a ≤ b veya b ≤ a (toplam düzen).
2. P'de a < b olan her a ve b için, P'de a < c < b olacak şekilde bir c vardır (yoğun düzen).
3. P'nin üst sınıra sahip boş olmayan her alt kümesinin P'de en az üst sınırı (supremum) vardır (en az üst sınır özelliği). ⓘ

Sıralı alanlar

Eğer (F, +, ×) bir cisim ve ≤ F üzerinde bir toplam mertebe ise, o zaman (F, +, ×, ≤) ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda bir mertebeli cisim olarak adlandırılır:

• a ≤ b, a + c ≤ b + c anlamına gelir;
• 0 ≤ a ve 0 ≤ b, 0 ≤ a × b anlamına gelir. ⓘ

Hem (Q, +, ×, ≤) hem de (R, +, ×, ≤) sıralı cisimlerdir, ancak (C, +, ×, ≤)'yi sıralı bir cisim yapmak için ≤ tanımlanamaz, çünkü -1 i'nin karesidir ve bu nedenle pozitif olacaktır. ⓘ

Sıralı bir cisim olmasının yanı sıra, R aynı zamanda En küçük-üst sınır özelliğine de sahiptir. Aslında, R bu özelliğe sahip tek sıralı cisim olarak tanımlanabilir. ⓘ

Zincirleme gösterim

a < b < c gösterimi "a < b ve b < c" anlamına gelir; yukarıdaki geçişlilik özelliğinden de a < c sonucu çıkar. Yukarıdaki yasalara göre, her üç terime de aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir ya da her üç terim aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir ve bu sayı negatifse tüm eşitsizlikler tersine çevrilebilir. Dolayısıyla, örneğin, a < b + e < c, a - e < b < c - e'ye eşdeğerdir. ⓘ

Bu gösterim herhangi bir sayıda terim için genelleştirilebilir: örneğin, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ an, i = 1, 2, ..., n - 1 için ai ≤ a_i+1 anlamına gelir. Geçişlilik nedeniyle, bu koşul herhangi bir 1 ≤ i ≤ j ≤ n için ai ≤ aj ile eşdeğerdir. ⓘ

Eşitsizlikleri zincirleme gösterim kullanarak çözerken, terimleri bağımsız olarak değerlendirmek mümkündür ve bazen gereklidir. Örneğin, 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2 eşitsizliğini çözmek için, eşitsizliğin herhangi bir bölümündeki x'i toplama veya çıkarma yoluyla izole etmek mümkün değildir. Bunun yerine, eşitsizlikler bağımsız olarak çözülmeli, sırasıyla x < 1/2 ve x ≥ -1 elde edilmeli ve bunlar -1 ≤ x < 1/2 nihai çözümünde birleştirilebilmelidir. ⓘ

Bazen, farklı yönlerdeki eşitsizliklerle zincirleme gösterim kullanılır; bu durumda anlam, bitişik terimler arasındaki eşitsizliklerin mantıksal birleşimidir. Örneğin, bir zigzag posetin tanımlayıcı koşulu a₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆ > ... şeklinde yazılır. Karışık zincirleme gösterim <, =, ≤ gibi uyumlu ilişkilerde daha sık kullanılır. Örneğin, a < b = c ≤ d, a < b, b = c ve c ≤ d anlamına gelir. Bu gösterim Python gibi birkaç programlama dilinde mevcuttur. Buna karşılık, C gibi karşılaştırma sonuçlarının türü üzerinde bir sıralama sağlayan programlama dillerinde, homojen zincirler bile tamamen farklı bir anlama sahip olabilir. ⓘ

Keskin eşitsizlikler

Bir eşitsizlik gevşetilemiyorsa ve genel olarak hala geçerli ise keskin olduğu söylenir. Biçimsel olarak, evrensel olarak nicelenmiş bir φ eşitsizliği, her geçerli evrensel olarak nicelenmiş ψ eşitsizliği için, eğer ψ ⇒ φ tutuyorsa, o zaman ψ ⇔ φ de tutuyorsa keskin olarak adlandırılır. Örneğin, ∀a ∈ ℝ. a² ≥ 0 eşitsizliği keskin iken, ∀a ∈ ℝ. a² ≥ -1 eşitsizliği keskin değildir. ⓘ

Ortalamalar arasındaki eşitsizlikler

Ortalamalar arasında birçok eşitsizlik vardır. Örneğin, herhangi bir pozitif a₁, a₂, ..., an sayıları için H ≤ G ≤ A ≤ Q, burada ⓘ

$H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$	(harmonik ortalama),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(geometrik ortalama),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(aritmetik ortalama),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(kuadratik ortalama).

ⓘ

Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bir iç çarpım uzayının tüm u ve v vektörleri için aşağıdakilerin doğru olduğunu belirtir

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

nerede $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ iç çarpımdır. İç çarpımlara örnek olarak reel ve kompleks nokta çarpımı verilebilir; Rn Öklid uzayında standart iç çarpım ile Cauchy-Schwarz eşitsizliği

$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$ ⓘ

Güç eşitsizlikleri

Bir "güç eşitsizliği", a ve ^b'nin gerçek pozitif sayılar veya değişken ifadeler olduğu ab biçimindeki terimleri içeren bir eşitsizliktir. Genellikle matematik olimpiyatları alıştırmalarında görülürler. ⓘ

Örnekler

• Herhangi bir gerçek x için,

$e^{x}\geq 1+x.$

• Eğer x > 0 ve p > 0 ise, o zaman

${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$

p → 0 sınırında, üst ve alt sınırlar ln(x)'e yakınsar.

• Eğer x > 0 ise, o zaman

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$

• Eğer x > 0 ise, o zaman

$x^{x^{x}}\geq x.$

• Eğer x, y, z > 0 ise, o zaman

$\left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.$

• Herhangi bir a ve b gerçek sayıları için,

${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$

• Eğer x, y > 0 ve 0 < p < 1 ise, o zaman

$x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.$

• Eğer x, y, z > 0 ise, o zaman

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$

• Eğer a, b > 0 ise, o zaman

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.$

• Eğer a, b > 0 ise, o zaman

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.$

• Eğer a, b, c > 0 ise, o zaman

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$

• Eğer a, b > 0 ise, o zaman

$a^{b}+b^{a}>1.$ ⓘ

İyi bilinen eşitsizlikler

Matematikçiler, kesin formülleri kolayca hesaplanamayan nicelikleri sınırlamak için genellikle eşitsizlikler kullanırlar. Bazı eşitsizlikler o kadar sık kullanılır ki isimleri vardır:

• Azuma'nın eşitsizliği
• Bernoulli eşitsizliği
• Bell'in eşitsizliği
• Boole eşitsizliği
• Cauchy-Schwarz eşitsizliği
• Chebyshev eşitsizliği
• Chernoff'un eşitsizliği
• Cramér-Rao eşitsizliği
• Hoeffding eşitsizliği
• Hölder'in eşitsizliği
• Aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliği
• Jensen'in eşitsizliği
• Kolmogorov'un eşitsizliği
• Markov'un eşitsizliği
• Minkowski eşitsizliği
• Nesbitt'in eşitsizliği
• Pedoe'nun eşitsizliği
• Poincaré eşitsizliği
• Samuelson eşitsizliği
• Üçgen eşitsizliği ⓘ

Karmaşık sayılar ve eşitsizlikler

Karmaşık sayılar kümesi ℂ, toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir cisimdir, ancak (ℂ, +, ×, ≤) bir sıralı cisim olacak şekilde herhangi bir ≤ bağıntısı tanımlamak imkansızdır. (ℂ, +, ×, ≤)'yi sıralı bir cisim yapmak için aşağıdaki iki özelliği sağlaması gerekir:

• eğer a ≤ b ise, o zaman a + c ≤ b + c;
• eğer 0 ≤ a ve 0 ≤ b ise, o zaman 0 ≤ ab. ⓘ

≤ bir toplam mertebe olduğundan, herhangi bir a sayısı için ya 0 ≤ a ya da a ≤ 0 (bu durumda yukarıdaki ilk özellik 0 ≤ -a olduğunu ima eder). Her iki durumda da 0 ≤ a²; bu i² > 0 ve 1² > 0 anlamına gelir; yani -1 > 0 ve 1 > 0, bu da (-1 + 1) > 0 anlamına gelir; çelişki. ⓘ

Bununla birlikte, bir ≤ işlemi yalnızca ilk özelliği sağlayacak şekilde tanımlanabilir (yani, "a ≤ b ise, a + c ≤ b + c"). Bazen leksikografik sıra tanımı kullanılır:

• a ≤ b, eğer
  • Re(a) < Re(b), veya
  • Re(a) = Re(b) ve Im(a) ≤ Im(b)

Bu tanım için a ≤ b'nin a + c ≤ b + c anlamına geldiği kolayca kanıtlanabilir. ⓘ

Vektör eşitsizlikleri

Yukarıda tanımlananlara benzer eşitsizlik ilişkileri sütun vektörleri için de tanımlanabilir. Eğer vektörlere izin verirsek $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (yani $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ ve $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}$, nerede $x_{i}$ ve $y_{i}$ için reel sayılardır. $i=1,\ldots ,n$), aşağıdaki ilişkileri tanımlayabiliriz:

• $x=y$, eğer $x_{i}=y_{i}$ için $i=1,\ldots ,n$.
• $x<y$, eğer $x_{i}<y_{i}$ için $i=1,\ldots ,n$.
• $x\leq y$, eğer $x_{i}\leq y_{i}$ için $i=1,\ldots ,n$ ve $x\neq y$.
• $x\leqq y$, eğer $x_{i}\leq y_{i}$ için $i=1,\ldots ,n$. ⓘ

Benzer şekilde, aşağıdakiler için ilişkiler tanımlayabiliriz $x>y$, $x\geq y$ve $x\geqq y$. Bu gösterim Matthias Ehrgott tarafından Multicriteria Optimization'da kullanılan gösterimle tutarlıdır (bkz. Referanslar). ⓘ

Trichotomy özelliği (yukarıda belirtildiği gibi) vektör ilişkileri için geçerli değildir. Örneğin, ne zaman $x=(2,5)^{\mathsf {T}}$ ve $y=(3,4)^{\mathsf {T}}$'de bu iki vektör arasında geçerli bir eşitsizlik ilişkisi yoktur. Bununla birlikte, yukarıda belirtilen özelliklerin geri kalanı için, vektör eşitsizlikleri için paralel bir özellik mevcuttur. ⓘ

Eşitsizlik sistemleri

Doğrusal eşitsizlik sistemleri Fourier-Motzkin eliminasyonu ile basitleştirilebilir. ⓘ

Silindirik cebirsel ayrıştırma, bir polinom denklem ve eşitsizlik sisteminin çözümleri olup olmadığını test etmeyi ve çözümler varsa bunları tanımlamayı sağlayan bir algoritmadır. Bu algoritmanın karmaşıklığı değişken sayısında iki kat üsteldir. Belirli durumlarda daha verimli algoritmalar tasarlamak aktif bir araştırma alanıdır. ⓘ

Büyük eşittir, küçük eşittir

Bu sembollerde de büyüktür ve küçüktürdeki gibi işlemler yapılır ancak gösterim şekli ve kapsadığı sayılar biraz farklıdır. ⓘ

$x+6\leq 9$ ⓘ

şimdi bu örnekte $x$i yalnız bırakıldığında, $x\leq 3$ olur yani sistem aynı ancak gösterimde minik bir farklılık vardır. ⓘ

Bu sefer $3$ de dahil $-\infty$ a giden sayılar vardır. ⓘ

Yani şöyle: $(\ -\infty ,3]$ $3$'ün yanında köşeli parantez kullanılmasının sebebi aradaki işaretin $\leq$ olmasıdır. ⓘ