Çarpma

× ⋅ ⓘ
× ⋅ ⓘ
Çarpma işaretleri
Unicode'da	U+00D7 × ÇARPMA IŞARETI (×); U+22C5 ⋅ NOKTA OPERATÖRÜ (⋅)
Farklı
Farklı	U+00B7 - ORTA NOKTA; U+002E . TAM DURAK

Her torbada üç bilye bulunan dört torba on iki bilye verir (4 × 3 = 12). ⓘ

Çarpma işlemi ölçeklendirme olarak da düşünülebilir. Burada ölçeklendirme kullanılarak 2'nin 3 ile çarpıldığını ve sonuç olarak 6 elde edildiğini görüyoruz. ⓘ

Çarpma işlemi için animasyon 2 × 3 = 6. ⓘ

4 × 5 = 20. Büyük dikdörtgen, her biri 1 birime 1 birim olan 20 kareden oluşur. ⓘ

Bir kumaşın alanı 4,5m × 2,5m = 11,25m²; 412 × 212 = 1114 ⓘ

Çarpma (genellikle çarpı işareti ×, orta çizgi nokta operatörü ⋅, yan yana getirme veya bilgisayarlarda yıldız işareti * ile gösterilir) aritmetiğin dört temel matematiksel işleminden biridir, diğerleri toplama, çıkarma ve bölmedir. Bir çarpma işleminin sonucuna çarpım denir. ⓘ

Tam sayıların çarpımı tekrarlı toplama olarak düşünülebilir; yani, iki sayının çarpımı, bunlardan birinin, yani çarpılanın, diğerinin, yani çarpanın miktarı kadar kopyasının eklenmesine eşdeğerdir. Her iki sayı da faktör olarak adlandırılabilir.

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

ⓘ

Örneğin, 4 ile 3'ün çarpımı, genellikle şu şekilde yazılır $3\times 4$ ve "3 kere 4" olarak söylenir, 4'ün 3 kopyasının toplanmasıyla hesaplanabilir:

3\times 4=4+4+4=12

Burada 3 (çarpan) ve 4 (çarpılan) çarpanlardır ve 12 de çarpımdır. ⓘ

Çarpma işleminin temel özelliklerinden biri değişmeli özelliktir ve bu durumda 4'ün 3 kopyasının toplanması 3'ün 4 kopyasının toplanmasıyla aynı sonucu verir:

4\times 3=3+3+3+3=12

ⓘ

Dolayısıyla, çarpan ve çarpılanın belirlenmesi çarpma işleminin sonucunu etkilemez. ⓘ

Bu temel tanımın sistematik genellemeleri tam sayıların (negatif sayılar dahil), rasyonel sayıların (kesirler) ve reel sayıların çarpımını tanımlar. ⓘ

Çarpma işlemi, bir dikdörtgen içine yerleştirilmiş nesnelerin sayılması (tam sayılar için) ya da kenar uzunlukları verilen bir dikdörtgenin alanının bulunması şeklinde de görselleştirilebilir. Bir dikdörtgenin alanı hangi kenarın önce ölçüldüğüne bağlı değildir; bu da değişmeli özelliğin bir sonucudur. ⓘ

İki ölçümün çarpımı yeni bir ölçüm türüdür. Örneğin, bir dikdörtgenin iki kenarının uzunluklarının çarpımı alanını verir. Böyle bir çarpım boyutsal analizin konusudur. ⓘ

Çarpma işleminin tersi bölme işlemidir. Örneğin, 4'ün 3 ile çarpımı 12 ettiğinden, 12'nin 3 ile bölümü 4 eder. Gerçekten de 3 ile çarpma ve ardından 3 ile bölme işlemi orijinal sayıyı verir. 0'dan farklı bir sayının kendisine bölümü 1'e eşittir. ⓘ

Çarpma işlemi karmaşık sayılar gibi diğer sayı türleri ve matrisler gibi daha soyut yapılar için de tanımlanmıştır. Bu daha soyut yapılardan bazıları için, işlenenlerin birlikte çarpılma sırası önemlidir. Matematikte kullanılan birçok farklı çarpım türünün bir listesi Çarpım (matematik) bölümünde verilmiştir. ⓘ

45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümü. Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene yerleştirilmiştir. Daha sonra çapraz kolonlar toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılmıştır ve 1 rakamı hemen solundaki çapraz kolona devretmiştir. Toplamalar da tamamlandıktan sonra soldan sağa en dıştaki rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucunu verir. ⓘ

Örneğin 5 ile 4 sayılarının çarpılması demek 4 adet 5 sayısının toplanması, veya değişme özelliği uyarınca (aşağıda anlatıldığı üzere) 5 adet 4 sayısının toplanması anlamına gelir. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse: "5 * 4 = 5 + 5 + 5 + 5" ya da "5 * 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4". ⓘ

Sayılarla değil, örneğin matrislerle ilgilenirken çarpma işleminin tanımı ve uygulaması farklılık gösterir. ⓘ

Cebirsel ifadelerde x harfi değişken olarak kullanıldığından, cebirsel ifade sorularında x yerine . kullanılabilir. ⓘ

Gösterim ve terminoloji

Aritmetikte çarpma işlemi genellikle çarpma işareti kullanılarak yazılır (× veya $\times$ ) terimler arasında (yani, infix gösteriminde). Örneğin,

2\times 3=6

("iki kere üç eşittir altı")

3\times 4=12

2\times 3\times 5=6\times 5=30

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32

ⓘ

Çarpma işlemi için başka matematiksel gösterimler de vardır:

Çarpma işareti × ile ortak değişken $x$ arasındaki karışıklığı azaltmak için, çarpma işlemi nokta işaretleriyle de gösterilir, genellikle orta konumda bir nokta (nadiren nokta):

5 \cdot 2

veya

5 . 3

Unicode'da U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR olarak kodlanan orta nokta gösterimi, Amerika Birleşik Devletleri'nde ve noktanın ondalık nokta olarak kullanıldığı diğer ülkelerde artık standarttır. Nokta operatörü karakterine erişilemediğinde, kesme işareti (-) kullanılır. Ondalık işareti olarak virgül kullanan diğer ülkelerde çarpma işlemi için ya nokta ya da ortadaki nokta kullanılır.

Tarihsel olarak, Birleşik Krallık ve İrlanda'da bazen ondalık için orta nokta kullanılırdı, böylece ondalık çizgide kaybolmazdı ve çarpma için nokta/nokta kullanılırdı. Ancak, Teknoloji Bakanlığı 1968 yılında ondalık nokta olarak nokta kullanılmasına karar verdiğinden ve SI standardı o zamandan beri yaygın olarak benimsendiğinden, bu kullanım artık yalnızca Lancet gibi daha geleneksel dergilerde bulunmaktadır.

Cebirde, değişkenleri içeren çarpma işlemi genellikle yan yana yazılır (örneğin, x çarpı y için xy veya beş çarpı x için 5x), buna zımni çarpma da denir. Bu gösterim, parantezlerle çevrili miktarlar için de kullanılabilir (örneğin, beş kere iki için 5(2) veya (5)(2)). Çarpmanın bu örtük kullanımı, birleştirilen değişkenler başka bir değişkenin adıyla eşleştiğinde, parantezin önündeki bir değişken adı bir işlev adıyla karıştırıldığında veya işlem sırasının doğru belirlenmesinde belirsizliğe neden olabilir.
Vektör çarpımında, çarpı ve nokta sembolleri arasında bir ayrım vardır. Çarpı sembolü genellikle iki vektörün çapraz çarpımının alınmasını ve sonuç olarak bir vektör elde edilmesini belirtirken, nokta iki vektörün nokta çarpımının alınmasını ve sonuç olarak bir skaler elde edilmesini belirtir. ⓘ

Bilgisayar programcılığında yıldız işareti (5*2'de olduğu gibi) hala en yaygın gösterimdir. Bunun nedeni, geçmişte çoğu bilgisayarın çarpma işareti (⋅ veya × gibi) içermeyen küçük karakter setleriyle (ASCII ve EBCDIC gibi) sınırlı olması, yıldız işaretinin ise her klavyede bulunmasıdır. Bu kullanım FORTRAN programlama dilinde ortaya çıkmıştır. ⓘ

Çarpılacak sayılar genellikle "çarpanlar" olarak adlandırılır. Çarpılacak sayı "çarpılan", çarpıldığı sayı ise "çarpan "dır. Genellikle çarpan ilk sırada, çarpılan ise ikinci sırada yer alır; ancak bazen ilk faktör çarpılan, ikincisi ise çarpan olabilir. Ayrıca, çarpma işleminin sonucu faktörlerin sırasına bağlı olmadığından, "çarpan" ve "çarpılan" arasındaki ayrım yalnızca çok temel düzeyde ve uzun çarpma gibi bazı çarpma algoritmalarında kullanışlıdır. Bu nedenle, bazı kaynaklarda "çarpan" terimi "faktör" ile eşanlamlı olarak kabul edilir. Cebirde, bir değişkenin veya ifadenin çarpanı olan sayıya (örneğin, 3xy²'deki 3) katsayı denir. ⓘ

Çarpma işleminin sonucuna çarpım denir. Çarpanlardan biri tam sayı olduğunda, çarpım diğerinin veya diğerlerinin çarpımının katıdır. Böylece $2 \times π$ , $π$ 'nin katıdır, $5133 \times 486 \times π$ gibi. Tam sayıların çarpımı her bir çarpanın katıdır; örneğin 15, 3 ve 5'in çarpımıdır ve hem 3'ün katı hem de 5'in katıdır. ⓘ

Hesaplama

Eğitimli Maymun - çarpma "hesap makinesi" olarak kullanılan 1918 tarihli teneke bir oyuncak. Örneğin: maymunun ayaklarını 4 ve 9'a ayarlayın ve çarpımı - 36 - ellerine alın. ⓘ

Kalem ve kağıt kullanarak sayıları çarpmak için kullanılan birçok yaygın yöntem, ezberlenmiş veya danışılmış küçük sayıların çarpımlarından oluşan bir çarpım tablosu gerektirir (genellikle 0'dan 9'a kadar herhangi iki sayı). Ancak bir yöntem, köylü çarpma algoritması, bunu gerektirmez. Aşağıdaki örnekte "uzun çarpma" ("standart algoritma", "ilkokul çarpımı") gösterilmektedir:

      23958233
× 5830
---------------
      00000000 ( = 23,958,233 × 0)
     71874699 ( = 23,958,233 × 30)
   191665864 ( = 23,958,233 × 800)
+ 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000)
---------------
  139676498390 ( = 139,676,498,390 )

Almanya gibi bazı ülkelerde yukarıdaki çarpma işlemi benzer şekilde gösterilir, ancak orijinal ürün yatay olarak tutulur ve hesaplama çarpanın ilk basamağından başlar:

23958233 - 5830
---------------
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000 
---------------
   139676498390

Sayıları elle birkaç ondalık basamaktan fazlasıyla çarpmak sıkıcı ve hataya açıktır. Logaritma eklemek çarpmaya eşdeğer olduğundan, bu tür hesaplamaları basitleştirmek için ortak logaritmalar icat edilmiştir. Sürgülü cetvel, sayıların yaklaşık üç basamak hassasiyetle hızlı bir şekilde çarpılmasına olanak sağlamıştır. Yirminci yüzyılın başlarından itibaren, Marchant gibi mekanik hesap makineleri 10 haneli sayılara kadar çarpma işlemini otomatik hale getirmiştir. Modern elektronik bilgisayarlar ve hesap makineleri elle çarpma işlemine olan ihtiyacı büyük ölçüde azaltmıştır. ⓘ

Tarihsel algoritmalar

Eski Mısır, Yunan, Hint ve Çin uygarlıklarının yazılarında çoğaltma yöntemleri belgelenmiştir. ⓘ

M.Ö. 18.000 ila 20.000 yıllarına tarihlenen Ishango kemiği, Orta Afrika'da Üst Paleolitik dönemde çoğaltma bilgisine işaret ediyor olabilir, ancak bu spekülatiftir. ⓘ

Mısırlılar

Rhind Matematik Papirüsü'nde belgelenen Mısırlıların tam sayıları ve kesirleri çarpma yöntemi, ardışık toplama ve iki katına çıkarma yöntemiydi. Örneğin, 13 ve 21'in çarpımını bulmak için 21'i üç kez ikiye katlamak gerekiyordu, böylece 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168 elde ediliyordu. Daha sonra tam çarpım, ikiye katlama dizisinde bulunan uygun terimler toplanarak bulunabilirdi:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. ⓘ

Babiller

Babilliler, günümüz ondalık sistemine benzer bir cinsiyete dayalı sayı sistemi kullanıyorlardı. Dolayısıyla, Babil çarpma işlemi modern ondalık çarpma işlemine çok benziyordu. 60 × 60 farklı çarpımı hatırlamanın görece zorluğu nedeniyle, Babilli matematikçiler çarpım tabloları kullanmışlardır. Bu tablolar belirli bir n ana sayısının ilk yirmi katının listesinden oluşuyordu: n, 2n, ..., 20n; ardından 10n'nin katları geliyordu: 30n 40n ve 50n. Daha sonra herhangi bir seksajimal çarpımı hesaplamak için, örneğin 53n, sadece tablodan hesaplanan 50n ve 3n'yi toplamak gerekiyordu. ⓘ

Çince

38 × 76 = 2888 ⓘ

MÖ 300'den öncesine tarihlenen Zhoubi Suanjing adlı matematik metninde ve Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm'de çarpma hesapları kelimelerle yazılmıştır, ancak ilk Çinli matematikçiler yer değeri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren Çubuk hesabı kullanmışlardır. Çinliler Savaşan Devletler döneminin sonunda ondalık çarpım tablosunu kullanmaya başlamışlardı. ⓘ

Modern yöntemler

45 ve 256'nın çarpımı. 45'teki rakamların sırasının sol sütunda tersine çevrildiğine dikkat edin. Çarpmanın taşıma adımı hesaplamanın son aşamasında gerçekleştirilebilir (kalın olarak) ve 45 × 256 = 11520 nihai çarpımını verir. Bu, Kafes çarpımının bir çeşididir. ⓘ

Hindu-Arap rakam sistemine dayanan modern çarpma yöntemi ilk olarak Brahmagupta tarafından tanımlanmıştır. Brahmagupta toplama, çıkarma, çarpma ve bölme için kurallar vermiştir. O zamanlar Princeton Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Henry Burchard Fine şunları yazmıştır:

Hintliler yalnızca konumsal ondalık sistemin değil, bu sistemle yapılan temel hesaplamalarda yer alan işlemlerin çoğunun mucididir. Toplama ve çıkarma işlemlerini günümüzde olduğu gibi yapıyorlardı; çarpma işlemini, aralarında bizimkinin de bulunduğu pek çok yolla gerçekleştiriyorlardı, ancak bölme işlemini karmaşık bir şekilde yapıyorlardı.

Bu basamak değeri ondalık aritmetik algoritmaları 9. yüzyılın başlarında Harezmi tarafından Arap ülkelerine tanıtılmış ve 13. yüzyılda Fibonacci tarafından Batı dünyasında popüler hale getirilmiştir. ⓘ

Izgara yöntemi

Izgara yöntemiyle çarpma ya da kutu yöntemi, İngiltere ve Galler'deki ilkokullarda ve Amerika Birleşik Devletleri'nin bazı bölgelerinde çok basamaklı çarpma işleminin nasıl yapıldığını anlamaya yardımcı olmak için kullanılır. 34'ü 13 ile çarpmanın bir örneği, sayıları aşağıdaki gibi bir ızgaraya yerleştirmek olacaktır:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

ⓘ

ve ardından girişleri ekleyin. ⓘ

Bilgisayar algoritmaları

İki n basamaklı sayıyı çarpmanın klasik yöntemi $n 2$ basamaklı çarpma işlemi gerektirir. Büyük sayıları çarparken hesaplama süresini önemli ölçüde azaltan çarpma algoritmaları tasarlanmıştır. Ayrık Fourier dönüşümüne dayalı yöntemler, hesaplama karmaşıklığını $O(n log n log log n)$ değerine düşürmektedir. 2016 yılında, $log log n$ faktörü, hala sabit olmasa da çok daha yavaş artan bir fonksiyonla değiştirildi. Mart 2019'da David Harvey ve Joris van der Hoeven, karmaşıklığı O(n log n log n) olan bir tamsayı çarpma algoritması sunan bir makale sundu. $O(n\log n).$ Hızlı Fourier dönüşümüne de dayanan algoritmanın asimptotik olarak optimal olduğu varsayılmaktadır. Algoritma pratikte kullanışlı değildir, çünkü yalnızca aşırı büyük sayıların ( $2172912$ bitten fazla olan) çarpımı için daha hızlı hale gelir. ⓘ

Ölçümlerin ürünleri

Yalnızca aynı türden miktarlar anlamlı bir şekilde toplanabilir veya çıkarılabilir, ancak farklı türden miktarlar sorunsuz bir şekilde çarpılabilir veya bölünebilir. Örneğin, her birinde üç bilye bulunan dört torba şu şekilde düşünülebilir:

[4 torba] × [torba başına 3 bilye] = 12 bilye. ⓘ

İki ölçüm birlikte çarpıldığında, ürün ölçüm türlerine bağlı bir türdedir. Genel teori boyutsal analiz ile verilir. Bu analiz fizikte rutin olarak uygulanır, ancak finans ve diğer uygulamalı alanlarda da uygulamaları vardır. ⓘ

Fizikteki yaygın bir örnek, hız ile zamanın çarpımının mesafeyi vermesidir. Örneğin:

Saatte 50 kilometre × 3 saat = 150 kilometre.

Bu durumda, saat birimleri iptal olur ve üründe sadece kilometre birimleri kalır. ⓘ

Birimleri içeren diğer çarpma örnekleri şunlardır:

2,5 metre × 4,5 metre = 11,25 metrekare

11 metre/saniye × 9 saniye = 99 metre

Konut başına 4,5 kişi × 20 konut = 90 kişi ⓘ

Bir dizinin çarpımı

Büyük pi gösterimi

Bir dizi faktörün çarpımı, büyük harften türetilen çarpım sembolü ile yazılabilir $\textstyle \prod$ (pi) Yunan alfabesinde (tıpkı büyük harfin $\textstyle \sum$ (sigma) toplama bağlamında kullanılır). Unicode konumu U+220F ∏ , U+03A0 Π harfinden farklı olarak böyle bir çarpımı ifade etmek için bir glif içerir. Bu gösterimin anlamı şu şekilde verilir:

\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,

yani

\prod _{i=1}^{4}i=24.

ⓘ

Alt simge, alt sınırı (1) ile birlikte "çarpma indeksi" olarak adlandırılan bağlı bir değişkenin (bu durumda i) sembolünü verirken, üst simge (burada 4) üst sınırını verir. Alt ve üst sınır tam sayıları gösteren ifadelerdir. Çarpımın çarpanları, çarpım operatörünü takip eden ifade alınarak, alt sınırdan başlayarak ve üst sınıra kadar (ve üst sınır dahil) 1 artırılarak, çarpım indeksi yerine ardışık tamsayı değerleri konularak elde edilir. Örneğin:

\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720.

ⓘ

Daha genel olarak gösterim şu şekilde tanımlanır

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

Burada m ve n tam sayılar veya tam sayılara göre değerlendirilen ifadelerdir. m = n olduğu durumda, çarpımın değeri tek faktör xm ile aynıdır; m > n ise, çarpım, faktörler için ifade ne olursa olsun değeri 1- olan boş bir çarpımdır. ⓘ

Sermaye pi gösteriminin özellikleri

Tanım olarak,

\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.

ⓘ

Eğer tüm çarpanlar ay $n$ ı ise, n çarpanın çarpımı üs alma işlemine eşdeğerdir:

\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.

ⓘ

Çarpmanın birlikteliği ve değişebilirliği şu anlama gelir

\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)

ve

\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}

a negatif olmayan bir tamsayı ise veya tüm $x_{i}$ pozitif reel sayılardır ve

\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}

eğer hepsi $a_{i}$ negatif olmayan tam sayılarsa veya $x$ pozitif bir reel sayı ise. ⓘ

Sonsuz çarpımlar

Sonsuz sayıda terimden oluşan çarpımlar da düşünülebilir; bunlara sonsuz çarpımlar denir. Notasyonel olarak bu, yukarıdaki n yerine Sonsuzluk sembolü ∞'u koymaktan ibarettir. Böyle bir sonsuz dizinin çarpımı, n sınırsız büyüdükçe ilk n terimin çarpımının limiti olarak tanımlanır. Yani,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

ⓘ

Benzer şekilde m'yi negatif sonsuz ile değiştirebilir ve tanımlayabiliriz:

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

her iki limitin de var olması koşuluyla. ⓘ

Özellikler

0-10 arası sayıların çarpımı. Çizgi etiketleri = çarpılan. X ekseni = çarpan. Y ekseni = çarpım.
Bu örüntünün diğer çeyreklere genişletilmesi, negatif bir sayının negatif bir sayıyla çarpımının neden pozitif bir sayı verdiğini açıklar.
Sıfırla çarpmanın, determinantın 0 olduğu tekil bir matrisle çarpmada olduğu gibi, boyutlulukta nasıl bir azalmaya neden olduğuna da dikkat edin. Bu süreçte bilgi kaybolur ve yeniden kazanılamaz. ⓘ

Örneğin doğal sayıları, tam sayıları ve kesirleri içeren gerçek ve karmaşık sayılar için çarpma işleminin belirli özellikleri vardır:

Değişmeli özellik

İki sayının çarpılma sırası önemli değildir:

x\cdot y=y\cdot x.

ⓘ

İlişkisel özellik

Yalnızca çarpma veya toplama işlemlerini içeren ifadeler işlem sırasına göre değişmezdir:

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

ⓘ

Dağılım özelliği

Toplama yerine çarpma işlemine göre geçerlidir. Bu özdeşlik, cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesinde büyük önem taşır:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

ⓘ

Özdeşlik elemanı

Çarpımsal özdeşlik 1'dir; 1 ile çarpılan her şey kendisidir. 1'in bu özelliği özdeşlik özelliği olarak bilinir:

x\cdot 1=x

ⓘ

0'ın özelliği

Herhangi bir sayının 0 ile çarpımı 0'dır. Bu, çarpmanın sıfır özelliği olarak bilinir:

x\cdot 0=0

ⓘ

Negasyon

Herhangi bir sayının -1 katı, o sayının toplamsal tersine eşittir.

(-1)\cdot x=(-x)

nerede

(-x)+x=0

ⓘ

-1 çarpı -1 1'dir.

(-1)\cdot (-1)=1

ⓘ

Ters eleman: 0 hariç her x sayısının çarpımsal bir tersi vardır, ${\frac {1}{x}}$ öyle ki $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$ . ⓘ

Düzenin korunması

Pozitif bir sayı ile çarpma işlemi sırayı korur:

a > 0 için, b > c ise ab > ac olur.

Negatif bir sayı ile çarpma işlemi sırayı tersine çevirir:

a < 0 için, eğer b > c ise ab < ac olur.

Karmaşık sayıların hem toplama hem de çarpma ile uyumlu bir sıralaması yoktur. ⓘ

Çarpma işlemi içeren diğer matematiksel sistemler tüm bu özelliklere sahip olmayabilir. Örneğin, çarpma işlemi genel olarak matrisler ve kuaterniyonlar için değişmeli değildir. ⓘ

$x.(y+z)=x.y+x.z$ ⓘ

İki tam/kesirli sayının çarpımı yine bir tam/kesirli sayıdır. ⓘ

Aksiyomlar

Arithmetices principia, nova methodo exposita adlı kitabında Giuseppe Peano, doğal sayılar için geliştirdiği aksiyomlara dayanarak aritmetik için aksiyomlar önermiştir. Peano aritmetiğinin çarpma işlemi için iki aksiyomu vardır:

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

ⓘ

Burada S(y), y'nin ardılını temsil eder; yani, y'yi takip eden doğal sayı. Birleşimlilik gibi çeşitli özellikler bunlardan ve Peano aritmetiğinin tümevarım da dahil olmak üzere diğer aksiyomlarından kanıtlanabilir. Örneğin, 1 ile gösterilen S(0) çarpımsal bir özdeşliktir çünkü

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.

ⓘ

Tamsayılar için aksiyomlar tipik olarak onları sıralı doğal sayı çiftlerinin denklik sınıfları olarak tanımlar. Model, x ve y tamsayı olarak ele alındığında (x,y)'nin x - y'ye eşdeğer olarak ele alınmasına dayanır. Böylece hem (0,1) hem de (1,2) -1'e eşdeğerdir. Bu şekilde tanımlanan tamsayılar için çarpma aksiyomu şöyledir

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).

ⓘ

Bu durumda -1 × -1 = 1 kuralı şu şekilde çıkarılabilir

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).

ⓘ

Çarpma işlemi benzer bir şekilde rasyonel sayılara ve daha sonra gerçek sayılara genişletilir. ⓘ

Küme teorisi ile çarpma

Negatif olmayan tamsayıların çarpımı, kardinal sayılar veya Peano aksiyomları kullanılarak küme teorisi ile tanımlanabilir. Bunu keyfi tam sayıların ve daha sonra keyfi rasyonel sayıların çarpımına nasıl genişleteceğinize bakınız. Reel sayıların çarpımı, rasyonel sayıların çarpımları cinsinden tanımlanır; bkz. ⓘ

Grup teorisinde çarpma

Çarpma işlemi altında, grup yapısını tanımlayan aksiyomları karşılayan birçok küme vardır. Bu aksiyomlar kapanma, birleşebilirlik ve bir özdeşlik elemanı ile terslerinin dahil edilmesidir. ⓘ

Basit bir örnek, sıfır olmayan rasyonel sayılar kümesidir. Burada, özdeşliğin tipik olarak 0 olduğu toplama işlemi altındaki grupların aksine, özdeşlik 1'dir. Rasyonel sayılarda sıfırı hariç tutmamız gerektiğine dikkat edin çünkü çarpma işlemi altında sıfırın tersi yoktur: 1 ile sonuçlanacak şekilde sıfır ile çarpılabilecek hiçbir rasyonel sayı yoktur. Bu örnekte, abelyen bir grubumuz var, ancak durum her zaman böyle değildir. ⓘ

Bunu görmek için, belirli bir alan üzerinde belirli bir boyuttaki ters çevrilebilir kare matrisler kümesini düşünün. Burada, kapanış, birleşimlilik ve özdeşliğin (özdeşlik matrisi) ve terslerinin dahil edilmesini doğrulamak kolaydır. Ancak, matris çarpımı değişmeli değildir, bu da bu grubunabelian olmadığını gösterir. ⓘ

Dikkat edilmesi gereken bir başka gerçek de, çarpım altındaki tamsayıların bir grup oluşturmadığıdır - sıfırı hariç tutsak bile. Bu, 1 ve -1 dışındaki tüm elemanlar için bir tersin bulunmamasıyla kolayca görülebilir. ⓘ

Grup teorisinde çarpma işlemi tipik olarak ya bir nokta ile ya da yan yana getirme (elemanlar arasında bir işlem sembolünün atlanması) ile gösterilir. Yani a elemanı ile b elemanının çarpımı a $\cdot$ b veya ab. Bir gruba küme ve işlem belirtilerek atıfta bulunulduğunda nokta kullanılır. Örneğin, ilk örneğimiz şu şekilde gösterilebilir $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ . ⓘ

Farklı sayı türlerinin çarpımı

Sayılar sayılabilir (3 elma), sıralanabilir (3. elma) veya ölçülebilir (3,5 feet yükseklik); matematik tarihi parmaklarımızla saymaktan kuantum mekaniğini modellemeye kadar ilerledikçe, çarpma işlemi daha karmaşık ve soyut sayı türlerine ve sayı olmayan (matrisler gibi) veya sayılara pek benzemeyen (kuaterniyonlar gibi) şeylere genelleştirilmiştir. ⓘ

Tamsayılar: $N\times M$ N ve M pozitif tam sayılar olduğunda M'nin N kopyasının toplamıdır. Bu, N genişliğinde ve M yüksekliğinde bir dizideki şeylerin sayısını verir. Negatif sayılara genelleme şu şekilde yapılabilir; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ ve; $(-N)\times (-M)=N\times M$; Aynı işaret kuralları rasyonel ve gerçek sayılar için de geçerlidir. ⓘ

Rasyonel sayılar: Kesirlere genelleme ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ sırasıyla pay ve paydaların çarpılmasıyla elde edilir: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ . Bu, bir dikdörtgenin alanını verir ${\frac {A}{B}}$ yüksek ve ${\frac {C}{D}}$ genişliğindedir ve rasyonel sayılar tam sayı olduğunda bir dizideki öğelerin sayısı ile aynıdır. ⓘ

Gerçek sayılar: Gerçek sayılar ve çarpımları, rasyonel sayı dizileri cinsinden tanımlanabilir. ⓘ

Karmaşık sayılar: Karmaşık sayıları göz önünde bulundurarak $z_{1}$ ve $z_{2}$ reel sayıların sıralı çiftleri olarak $(a_{1},b_{1})$ ve $(a_{2},b_{2})$ , ürün $z_{1}\times z_{2}$ o $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ . Bu gerçekler için olanla aynıdır $a_{1}\times a_{2}$ hayali kısımlar $b_{1}$ ve $b_{2}$ sıfırdır. ⓘ

Buna eşdeğer olarak

{\sqrt {-1}}

olarak

i

sahip olduğumuz

z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.

Alternatif olarak, trigonometrik formda, eğer

z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})

, sonra

{\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}

ⓘ

Diğer genellemeler: Yukarıdaki grup teorisinde çarpma ve örneğin matris çarpımını içeren çarpımsal grup konularına bakınız. Çok genel ve soyut bir çarpma kavramı, bir halkada "çarpımsal olarak gösterilen" (ikinci) ikili işlemdir. Yukarıdaki sayı sistemlerinden herhangi biri olmayan bir halka örneği bir polinom halkasıdır (polinomları toplayabilir ve çarpabilirsiniz, ancak polinomlar normal anlamda sayı değildir). ⓘ

Bölme: Genellikle bölünme, ${\frac {x}{y}}$ , bir tersi ile çarpma işlemi ile aynıdır, $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ . Bazı "sayı" türleri için çarpma işlemi, tersi olmadan bölme işlemine karşılık gelebilir; bir integral alanında x'in tersi olmayabilir " ${\frac {1}{x}}$ " ama ${\frac {x}{y}}$ tanımlanabilir. Bir bölme halkasında tersler vardır, ancak ${\frac {x}{y}}$ komütatif olmayan halkalarda belirsiz olabilir, çünkü $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ ile aynı olması gerekmez. $\left({\frac {1}{y}}\right)x$ . ⓘ

Üs alma

Çarpma işlemi tekrarlandığında, ortaya çıkan işlem üs alma olarak bilinir. Örneğin, ikinin üç faktörünün çarpımı (2×2×2) "üçüncü kuvvete yükseltilmiş iki" dir ve 2³ ile gösterilir, üst simgesi üç olan bir iki. Bu örnekte, iki sayısı taban, üç sayısı ise üsteldir. Genel olarak, üs (veya üst simge) tabanın ifadede kaç kez göründüğünü gösterir, böylece ifade

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}

ⓘ

a tabanının n kopyasının birlikte çarpılacağını gösterir. Bu gösterim, çarpma işleminin güç birleşimli olduğu bilinen her durumda kullanılabilir. ⓘ

Sayılarda çarpmanın özellikleri

tamsayılar kümesi, birim elemanlı, değişmeli bir halkadır. Çarpma, bu halkanın ikinci işlemidir. Kesirli sayılar kümesi ise bir cisimdir ve çarpma bu cismin ikinci işlemidir. Tanım gereği bazı matematiksel özelliklere sahiptir. ⓘ

Birleşme özelliği

Üç tam/kesirli sayının çarpımında, işlemin yan yana hangi ikiliden başladığı sonucu değiştirmez, yani herhangi x, y, z tam/kesirli sayıları için: $(x.y).z=x.(y.z)$ ⓘ

Etkisiz eleman

1 (bir) sayısı, tam/kesirli sayılar kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır. ⓘ

$x.1=x$ ⓘ

Değişme özelliği

İki tam/kesirli sayının çarpımında, elemanların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez. ⓘ

$x.y=y.x$ ⓘ

× ⋅ ⓘ
Çarpma işaretleri
Unicode'da	U+00D7 × ÇARPMA IŞARETI (×) U+22C5 ⋅ NOKTA OPERATÖRÜ (⋅)
Farklı
Farklı	U+00B7 - ORTA NOKTA U+002E . TAM DURAK