Cebir

İkinci dereceden formül, a'nın sıfır olmadığı ax² + bx + c = 0 denkleminin çözümünü a, b ve c katsayıları cinsinden ifade eder. ⓘ

Cebir (Arapça الجبر (al-jabr) 'kırık parçaların yeniden birleştirilmesi, kemikleştirme') matematiğin geniş alanlarından biridir. Kabaca cebir, matematiksel sembollerin ve bu sembolleri formüllerde kullanma kurallarının incelenmesidir; neredeyse tüm matematiği birleştiren bir konudur. ⓘ

Temel cebir, değişkenlerin sayılarmış gibi manipüle edilmesiyle ilgilenir (resme bakınız) ve bu nedenle matematiğin tüm uygulamalarında gereklidir. Soyut cebir, eğitimde gruplar, halkalar ve alanlar gibi cebirsel yapıların incelenmesine verilen addır. Doğrusal denklemler ve doğrusal eşlemelerle ilgilenen doğrusal cebir, geometrinin modern sunumları için kullanılır ve birçok pratik uygulaması vardır (örneğin hava tahmininde). Matematiğin cebire ait pek çok alanı vardır, bazılarının adında "cebir" vardır, örneğin değişmeli cebir gibi, bazılarının ise yoktur, örneğin Galois teorisi gibi. ⓘ

Cebir kelimesi sadece matematiğin bir alanını ve bazı alt alanlarını adlandırmak için kullanılmaz; aynı zamanda genellikle cebir olarak adlandırılan bir cisim üzerindeki cebir gibi bazı cebirsel yapıları adlandırmak için de kullanılır. Bazen aynı ifade bir alt alan ve onun ana cebirsel yapıları için de kullanılır; örneğin Boole cebiri ve bir Boole cebiri. Cebir konusunda uzmanlaşmış bir matematikçiye cebirci denir. ⓘ

Cebirle ilgili ilk çalışmalar Babillere kadar uzanır. Yakın doğuda Hârizmî ve Ömer Hayyam (1050-1123) gibi isimler tarafından geliştirilmiştir. ⓘ

Temel cebir bilinmeyen değerleri temsilen harfler kullanmasıyla aritmetikten farklıdır. $x+2=5$ denkleminde $x$ bir bilinmeyendir ve $x$ in değeri her iki tarafa -2 eklenmesiyle $x=3$ şeklinde bulunabilir. Kütle-hız ilişkisinde $E=mc^{2}$: $E$ ve $m$ harfleri bilinmeyen değişkenleri ifade ederken, $c$ ise sabit sayıdır. Cebir birçok matematiksel ifadenin çözümünde yardımcı olur. ⓘ

Etimoloji

Cebir kelimesi Muhammed ibn Musa el-Harezmi'nin bir kitabının başlığından gelmektedir. ⓘ

Cebir kelimesi Arapça الجبر, romanize: al-jabr, lit. Fars matematikçi ve astronom Harezmi'nin 9. yüzyıl başlarında yazdığı cIlm al-jabr wa l-muqābala "Onarma ve Dengeleme Bilimi" adlı kitabının başlığından gelen 'kırık parçaların yeniden birleştirilmesi, kemik ayarlama'. Harezmi'nin eserinde el-cebr terimi, bir terimi bir denklemin bir tarafından diğer tarafına taşıma işlemine, المقابلة al-muqābala "dengeleme" terimi ise her iki tarafa eşit terimler eklemeye atıfta bulunuyordu. Latincede algeber ya da algebra olarak kısaltılan kelime, 15. yüzyılda İspanyolca, İtalyanca ya da Ortaçağ Latincesinden İngilizceye geçmiştir. Başlangıçta kırık ya da çıkık kemiklerin düzeltilmesine yönelik cerrahi prosedürü ifade etmekteydi. Matematiksel anlamı ise ilk kez 16. yüzyılda (İngilizce olarak) kaydedilmiştir. ⓘ

Cebir kelimesinin kökeni Hârizmî tarafından yazılmış Arapça Ilm al-jabr wa'l-muḳābala adlı kitaptan gelmektedir. Kitabın isminin anlamı zorla yani cebirle bir hesabın yapılması bilimi olarak çevrilebilir. Kelimenin algebra (al-gebra) şeklinde İngilizceye eklenmesi ise Orta Çağ'daki İspanyol, İtalyan veya Latinler sayesinde olmuştur. 12. yüzyıldan başlayarak İtalyanların öncülüğünde Arapça yazılan eserler Batı dillerine çevrilmeye başlanmıştır, Hârizmî'nin Cebir kitabının da bu dönemde çevrilmiş olması ihtimali yüksektir. Cebir kelimesi İspanyolcada hâlen acil operasyon, ameliyat olarak kullanılmaktadır daha sonra matematiksel anlamları eklenmiştir. ⓘ

"Algebra" kelimesinin farklı anlamları

"Cebir" kelimesinin matematikte tek bir kelime olarak veya niteleyicilerle birlikte çeşitli anlamları vardır.

• Artikelsiz tek bir kelime olarak "cebir" matematiğin geniş bir bölümünü adlandırır.
• Artikel içeren tek bir kelime olarak veya çoğul olarak, "bir cebir" veya "cebirler", kesin tanımı bağlama bağlı olan belirli bir matematiksel yapıyı ifade eder. Genellikle bu yapıda toplama, çarpma ve skaler çarpma vardır (bkz. Bir alan üzerinde cebir). Bazı yazarlar "cebir" terimini kullandıklarında, aşağıdaki ek varsayımların bir alt kümesini yaparlar: birleşmeli, değişmeli, tek değerli ve/veya sonlu boyutlu. Evrensel cebirde "cebir" kelimesi, yukarıdaki kavramın n-ary işlemlere izin veren bir genellemesini ifade eder.
• Bir niteleyici ile aynı ayrım vardır:
  • Artikel olmadan, lineer cebir, temel cebir (ilk ve orta öğretimin bir parçası olarak ilköğretim matematik derslerinde öğretilen sembol manipülasyon kuralları) veya soyut cebir (cebirsel yapıların kendileri için incelenmesi) gibi cebirin bir parçası anlamına gelir.
  • Bir makale ile, bir Lie cebiri, bir birleşik cebir veya bir tepe noktası operatör cebiri gibi bazı cebirsel yapıların bir örneği anlamına gelir.
  • Bazen cümlede olduğu gibi aynı niteleyici için her iki anlam da mevcuttur: Değişmeli cebir, tam sayılar üzerinde değişmeli cebirler olan değişmeli halkaların incelenmesidir. ⓘ

Matematiğin bir dalı olarak cebir

Cebir, aritmetiğe benzer hesaplamalarla, harflerin sayıları temsil etmesiyle başladı. Bu, hangi sayılar söz konusu olursa olsun doğru olan özelliklerin kanıtlanmasına izin verdi. Örneğin, ikinci dereceden denklemde

$ax^{2}+bx+c=0,$

$a,b,c$ herhangi bir sayı olabilir (bunun dışında $a$ olamaz $0$) ve ikinci dereceden formül, bilinmeyen miktarın değerlerini hızlı ve kolay bir şekilde bulmak için kullanılabilir $x$ denklemi sağlayan. Yani, denklemin tüm çözümlerini bulmak. ⓘ

Tarihsel olarak ve mevcut öğretimde, cebir çalışması yukarıdaki ikinci dereceden denklem gibi denklemlerin çözülmesiyle başlar. Daha sonra "bir denklemin çözümü var mıdır?", "bir denklemin kaç çözümü vardır?", "çözümlerin doğası hakkında ne söylenebilir?" gibi daha genel sorular ele alınır. Bu sorular, cebirin permütasyonlar, vektörler, matrisler ve polinomlar gibi sayısal olmayan nesnelere genişletilmesine yol açmıştır. Sayısal olmayan bu nesnelerin yapısal özellikleri daha sonra gruplar, halkalar ve cisimler gibi cebirsel yapılara dönüştürülmüştür. ⓘ

16. yüzyıldan önce matematik, aritmetik ve geometri olmak üzere sadece iki alt alana ayrılmıştı. Çok daha önce geliştirilmiş olan bazı yöntemler günümüzde cebir olarak kabul edilse de, cebirin ve hemen ardından sonsuz küçükler hesabının matematiğin alt alanları olarak ortaya çıkışı ancak 16. veya 17. yüzyıla dayanmaktadır. XIX. yüzyılın ikinci yarısından itibaren, çoğu hem aritmetik hem de geometriden yararlanan ve neredeyse tamamı cebir kullanan birçok yeni matematik alanı ortaya çıkmıştır. ⓘ

Günümüzde cebir, Matematik Konu Sınıflandırması'nda da görülebileceği gibi, önemli ölçüde büyümüş ve matematiğin birçok dalını kapsar hale gelmiştir İlk seviye alanların (iki basamaklı girişler) hiçbirinin cebir olarak adlandırılmadığı yerlerde. Günümüzde cebir, 08-Genel cebirsel sistemler, 12-Alan teorisi ve polinomlar, 13-Komütatif cebir, 15-Lineer ve multilineer cebir; matris teorisi, 16-Assosiyatif halkalar ve cebirler, 17-Nonassosiyatif halkalar ve cebirler, 18-Kategori teorisi; homolojik cebir, 19-K-teorisi ve 20-Grup teorisi bölümlerini içermektedir. Cebir ayrıca 11-Sayılar teorisi ve 14-Cebirsel geometride de yoğun olarak kullanılmaktadır. ⓘ

Tarihçe

Matematiğin bir bölümünü ifade etmek için "cebir" kelimesinin kullanımı muhtemelen 16. yüzyıla dayanmaktadır. Kelime, Harizmi tarafından 820 civarında yazılan Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Tamamlama ve Dengeleme ile Hesaplama Üzerine Kapsamlı Kitap) adlı risalenin başlığında yer alan Arapça al-jabr kelimesinden türetilmiştir. ⓘ

El-cebr, denklemlerin her iki tarafından benzer terimleri çıkararak ya da bir terimi işaretini değiştirdikten sonra bir taraftan diğerine geçirerek denklemleri dönüştürme yöntemine atıfta bulunur. ⓘ

Dolayısıyla cebir, başlangıçta denklemlerin manipülasyonuna ve buna bağlı olarak denklemler teorisine atıfta bulunuyordu. Matematik tarihçilerinin cebirle kastettiği şey hâlâ budur. ⓘ

Matematikte cebirin anlamı, François Viète tarafından bilinmeyen veya tam olarak belirtilmemiş sayıları ifade etmek için sembollerin (değişkenler) kullanılmaya başlanması ve bunun sonucunda denklemler ve formüller için matematiksel notasyonun kullanılmasıyla gelişmiştir. Böylece, cebir esasen değişkenleri içeren ifadeler üzerindeki işlemlerin incelenmesi haline gelmiştir. Bu, denklemler teorisini içerir ancak bununla sınırlı değildir. ⓘ

Yirminci yüzyılın başında cebir, sadece sayılar üzerinde değil, aynı zamanda gruplar, alanlar ve vektör uzayları gibi matematiksel yapıların elemanları üzerinde de etkili olan işlemleri dikkate alarak yeniden gelişti. Bu yeni cebir, van der Waerden tarafından kendi adıyla anılan ve sonraki baskılarda adı Cebir olarak değiştirilen eserinde modern cebir olarak adlandırılmıştır. ⓘ

Cebirin erken tarihi

Hârizmî'nin el-Kitâbü'l-muḫtaṣar fî ḥisâbü'l-ğabr ve'l-mukâbele adlı eserinden bir sayfa

. ⓘ

Cebirin kökleri, hesaplamaları algoritmik bir şekilde yapabildikleri gelişmiş bir aritmetik sistem geliştiren eski Babillilere kadar uzanmaktadır. Babilliler, günümüzde tipik olarak doğrusal denklemler, ikinci dereceden denklemler ve belirsiz doğrusal denklemler kullanılarak çözülen problemlerin çözümlerini hesaplamak için formüller geliştirmişlerdir. Buna karşılık, bu dönemin Mısırlılarının çoğu ve MÖ 1. binyıldaki Yunan ve Çin matematiği, bu tür denklemleri genellikle Rhind Matematik Papirüsü, Öklid'in Elementleri ve Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm'de anlatılanlar gibi geometrik yöntemlerle çözmüştür. Yunanlıların Elementler'de simgelenen geometrik çalışmaları, formüllerin belirli problemlerin çözümünün ötesinde daha genel denklem belirtme ve çözme sistemlerine genelleştirilmesi için bir çerçeve sağlamıştır, ancak bu Ortaçağ İslam'ında matematik gelişene kadar gerçekleşmeyecektir. ⓘ

Platon'un zamanına gelindiğinde Yunan matematiği köklü bir değişim geçirmişti. Yunanlılar, terimlerin geometrik nesnelerin kenarlarıyla, genellikle çizgilerle temsil edildiği ve bunlarla ilişkili harflerin bulunduğu geometrik bir cebir yarattılar. Diophantus (MS 3. yüzyıl) İskenderiyeli bir Yunan matematikçiydi ve Arithmetica adlı bir dizi kitabın yazarıydı. Bu metinler cebirsel denklemlerin çözümüyle ilgilidir ve sayılar teorisinde modern Diophantine denklemi kavramına yol açmıştır. ⓘ

Yukarıda tartışılan daha önceki geleneklerin İranlı matematikçi Muhammed ibn Mûsâ el-Hârizmî (yaklaşık 780-850) üzerinde doğrudan bir etkisi olmuştur. Daha sonra cebiri geometri ve aritmetikten bağımsız bir matematik disiplini olarak kuran Tamamlama ve Dengeleme Yoluyla Hesaplama Üzerine Kapsamlı Kitap'ı yazmıştır. ⓘ

Helenistik matematikçiler İskenderiyeli Hero ve Diophantus ile Brahmagupta gibi Hintli matematikçiler, Diophantus'un Arithmetica'sı ve Brahmagupta'nın Brāhmasphuṭasiddhānta'sı daha yüksek bir seviyede olsa da, Mısır ve Babil geleneklerini devam ettirmişlerdir. Örneğin, ikinci dereceden denklemlerin sıfır ve negatif çözümleri de dahil olmak üzere semboller yerine kelimelerle yazılan ilk tam aritmetik çözümü Brahmagupta tarafından MS 628 yılında yayınlanan Brahmasphutasiddhanta adlı kitabında tanımlanmıştır. Daha sonra, İranlı ve Arap matematikçiler cebirsel yöntemleri çok daha yüksek bir karmaşıklık derecesine kadar geliştirdiler. Diophantus ve Babilliler denklemleri çözmek için çoğunlukla özel geçici yöntemler kullanmış olsalar da, Harezmi'nin katkısı temeldi. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri cebirsel sembolizm, negatif sayılar ya da sıfır olmadan çözmüş, böylece çeşitli denklem türlerini ayırt etmek zorunda kalmıştır. ⓘ

Cebirin denklemler teorisiyle özdeşleştirildiği bağlamda, Yunan matematikçi Diophantus geleneksel olarak "cebirin babası" olarak bilinirken, denklemleri manipüle etme ve çözme kurallarıyla özdeşleştirildiği bağlamda, İranlı matematikçi Harezmi "cebirin babası" olarak kabul edilir. Diophantus'un mu yoksa Harezmi'nin mi genel anlamda "cebirin babası" olarak anılmaya daha layık olduğu tartışmaya açıktır. Diophantus'u destekleyenler, El-Cebr'de bulunan cebirin Arithmetica'da bulunan cebirden biraz daha temel olduğuna ve Arithmetica'nın senkoplu, El-Cebr'in ise tamamen retorik olduğuna işaret ederler. Harezmi'yi destekleyenler, onun "indirgeme" ve "dengeleme" (çıkarılan terimlerin bir denklemin diğer tarafına aktarılması, yani denklemin karşıt taraflarındaki benzer terimlerin iptali) yöntemlerini getirdiğine ve cebiri kendi başına bağımsız bir disiplin olarak ele alırken geometrik kanıtlarla desteklenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin kapsamlı bir açıklama yaptığına işaret etmektedir. Onun cebiri artık "çözülmesi gereken bir dizi problemle değil, kombinasyonların denklemler için mümkün olan tüm prototipleri vermesi gereken ve bundan böyle açıkça çalışmanın gerçek nesnesini oluşturan ilkel terimlerle başlayan bir açıklama" ile ilgiliydi. Ayrıca bir denklemi kendi iyiliği için ve "bir problemin çözümü sırasında basitçe ortaya çıkmadığı, ancak sonsuz bir problem sınıfını tanımlamak için özel olarak çağrıldığı ölçüde genel bir şekilde" incelemiştir. ⓘ

Bir başka İranlı matematikçi Ömer Hayyam, cebirsel geometrinin temellerini tanımlaması ve kübik denklemin genel geometrik çözümünü bulmasıyla tanınır. Cebirin ilkelerini ortaya koyan Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070) adlı kitabı, sonunda Avrupa'ya aktarılan Pers matematiğinin bir parçasıdır. Bir başka İranlı matematikçi, Şerafeddin Tûsî, kübik denklemlerin çeşitli durumlarına cebirsel ve sayısal çözümler bulmuştur. Ayrıca fonksiyon kavramını da geliştirmiştir. Hintli matematikçiler Mahavira ve Bhaskara II, İranlı matematikçi Al-Karaji ve Çinli matematikçi Zhu Shijie, kübik, kuartik, kuintik ve yüksek dereceli polinom denklemlerin çeşitli durumlarını sayısal yöntemler kullanarak çözmüşlerdir. 13. yüzyılda Fibonacci tarafından bir kübik denklemin çözümü, Avrupa cebirinde bir canlanmanın başlangıcını temsil eder. Ebü'l-Hasan ibn Ali el-Kelasâdî (1412-1486) "cebirsel sembolizmin tanıtılmasına yönelik ilk adımları" atmıştır. Ayrıca Σn², Σn³'ü hesaplamış ve karekökleri belirlemek için ardışık yaklaşım yöntemini kullanmıştır. ⓘ

Cebirin modern tarihi

İtalyan matematikçi Girolamo Cardano kübik ve kuartik denklemlerin çözümlerini 1545 tarihli Ars magna adlı kitabında yayımlamıştır. ⓘ

François Viète'in 16. yüzyılın sonlarında yeni cebir üzerine yaptığı çalışmalar modern cebire doğru atılmış önemli bir adımdı. René Descartes 1637'de La Géométrie'yi yayınlayarak analitik geometriyi icat etti ve modern cebirsel notasyonu tanıttı. Cebirin daha da gelişmesindeki bir diğer önemli olay, 16. yüzyılın ortalarında geliştirilen kübik ve kuartik denklemlerin genel cebirsel çözümüdür. Determinant fikri 17. yüzyılda Japon matematikçi Seki Kōwa tarafından geliştirilmiş, on yıl sonra Gottfried Leibniz tarafından matrisler kullanılarak eşzamanlı doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesi amacıyla bağımsız olarak takip edilmiştir. Gabriel Cramer de 18. yüzyılda matrisler ve determinantlar üzerine bazı çalışmalar yapmıştır. Permütasyonlar Joseph-Louis Lagrange tarafından 1770 yılında cebirsel denklemlerin çözümlerine adanmış "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" adlı makalesinde incelenmiş ve Lagrange çözümleyicilerini tanıtmıştır. Paolo Ruffini, permütasyon grupları teorisini geliştiren ilk kişiydi ve selefleri gibi cebirsel denklemlerin çözümü bağlamında da geliştirdi. ⓘ

Soyut cebir, 19. yüzyılda, denklem çözmeye olan ilgiden türeyerek, başlangıçta şimdi Galois teorisi olarak adlandırılan şeye ve inşa edilebilirlik konularına odaklanarak geliştirilmiştir. George Peacock aritmetik ve cebirde aksiyomatik düşüncenin kurucusudur. Augustus De Morgan, Syllabus of a Proposed System of Logic adlı eserinde bağıntı cebirini keşfetmiştir. Josiah Willard Gibbs üç boyutlu uzayda bir vektörler cebiri geliştirmiş ve Arthur Cayley bir matrisler cebiri geliştirmiştir (bu komütatif olmayan bir cebirdir). ⓘ

İsminde cebir kelimesi geçen matematik alanları

Aalto Üniversitesi'nde doğrusal cebir dersi ⓘ

Cebirin bazı alt alanlarının adında cebir kelimesi vardır; lineer cebir buna bir örnektir. Diğerlerinde ise yoktur: grup teorisi, halka teorisi ve alan teorisi bunlara örnektir. Bu bölümde, adında "cebir" kelimesi geçen bazı matematik alanlarını listeliyoruz. ⓘ

• Temel cebir, cebirin genellikle ilköğretim matematik derslerinde öğretilen kısmı.
• Soyut cebir; gruplar, halkalar ve cisimler gibi cebirsel yapıların aksiyomatik olarak tanımlandığı ve incelendiği alandır.
• Doğrusal denklemlerin, vektör uzaylarının ve matrislerin belirli özelliklerinin incelendiği doğrusal cebir.
• Boole cebiri, yanlış ve doğru doğruluk değerleri ile hesaplamayı soyutlayan bir cebir dalı.
• Değişmeli cebir, değişmeli halkaların incelenmesi.
• Bilgisayar cebiri, cebirsel yöntemlerin algoritmalar ve bilgisayar programları olarak uygulanması.
• Homolojik cebir, topolojik uzayları incelemek için temel olan cebirsel yapıların incelenmesi.
• Tüm cebirsel yapılarda ortak olan özelliklerin incelendiği evrensel cebir.
• Sayıların özelliklerinin cebirsel bir bakış açısıyla incelendiği cebirsel sayı teorisi.
• Cebirsel geometri, eğrileri ve yüzeyleri polinom denklemlerinin çözümleri olarak belirleyen ilkel haliyle geometrinin bir dalı.
• Cebirsel kombinatorik, kombinatorik soruları incelemek için cebirsel yöntemlerin kullanıldığı alan.
• İlişkisel cebir: belirli operatörler altında kapalı olan bir sonlu ilişkiler kümesi. ⓘ

Birçok matematiksel yapı cebir olarak adlandırılır:

• Bir alan üzerindeki cebir veya daha genel olarak bir halka üzerindeki cebir.
  Bir cisim veya halka üzerindeki birçok cebir sınıfının belirli bir adı vardır:
  • İlişkisel cebir
  • Birleşimsel olmayan cebir
  • Lie cebiri
  • Kompozisyon cebiri
  • Hopf cebiri
  • C*-cebiri
  • Simetrik cebir
  • Dış cebir
  • Tensör cebiri
• Ölçü teorisinde,
  • Sigma cebiri
  • Bir küme üzerinde cebir
• Kategori teorisinde
  • F-cebiri ve F-koalgebra
  • T-cebiri
• Mantıken,
  • Bağıntı cebiri, converse adı verilen bir involüsyonla genişletilmiş bir rezidü Boole cebiri.
  • Boole cebiri, tamamlanmış dağılımlı bir kafes.
  • Heyting cebiri ⓘ

Temel cebir

Cebirsel ifade gösterimi:
  1 - güç (üs)
  2 - katsayı
  3 - dönem
  4 - Operatör
  5 - sabit terim
  x y c - değişkenler/sabitler ⓘ

Temel cebir, cebirin en temel şeklidir. Aritmetiğin temel ilkelerinin ötesinde matematik bilgisine sahip olmadığı varsayılan öğrencilere öğretilir. Aritmetikte yalnızca sayılar ve bunların aritmetik işlemleri (+, -, ×, ÷ gibi) yer alır. Cebirde sayılar genellikle değişken adı verilen sembollerle temsil edilir (a, n, x, y veya z gibi). Bu kullanışlıdır çünkü

• Aritmetik yasaların genel formülasyonuna izin verir (tüm a ve b için a + b = b + a gibi) ve böylece gerçek sayı sisteminin özelliklerinin sistematik bir şekilde araştırılması için ilk adımdır.
• "Bilinmeyen" sayılara atıfta bulunulmasına, denklemlerin formüle edilmesine ve bunların nasıl çözüleceğinin incelenmesine olanak tanır. (Örneğin, "Öyle bir x sayısı bulun ki 3x + 1 = 10 olsun" ya da biraz daha ileri giderek "Öyle bir x sayısı bulun ki ax + b = c olsun". Bu adım, çözmemizi sağlayan şeyin belirli sayıların doğası değil, ilgili işlemlerin doğası olduğu sonucuna götürür).
• Fonksiyonel ilişkilerin formüle edilmesini sağlar. (Örneğin, "Eğer x bilet satarsanız, karınız 3x - 10 dolar olacaktır ya da f(x) = 3x - 10, burada f fonksiyon, x ise fonksiyonun uygulandığı sayıdır"). ⓘ

Polinomlar

Derecesi 3 olan bir polinom fonksiyonunun grafiği ⓘ

Bir polinom, sonlu sayıda sıfır olmayan terimin toplamı olan bir ifadedir ve her terim bir sabit ile tam sayı kuvvetine yükseltilmiş sonlu sayıda değişkenin çarpımından oluşur. Örneğin, x² + 2x - 3, x tek değişkenli bir polinomdur. Bir polinom ifadesi, toplama ve çarpma işlemlerinin değişebilirliği, birleşebilirliği ve dağılabilirliği kullanılarak bir polinom olarak yeniden yazılabilen bir ifadedir. Örneğin, (x - 1)(x + 3) bir polinom ifadesidir, ancak doğru konuşmak gerekirse bir polinom değildir. Bir polinom fonksiyonu, bir polinom tarafından ya da eşdeğer olarak bir polinom ifadesi tarafından tanımlanan bir fonksiyondur. Yukarıdaki iki örnek aynı polinom fonksiyonunu tanımlamaktadır. ⓘ

Cebirdeki iki önemli ve ilişkili problem polinomların çarpanlara ayrılması, yani verilen bir polinomun daha fazla çarpanlara ayrılamayan diğer polinomların çarpımı olarak ifade edilmesi ve polinomların en büyük ortak bölenlerinin hesaplanmasıdır. Yukarıdaki örnek polinom (x - 1)(x + 3) şeklinde çarpanlara ayrılabilir. İlgili bir problem sınıfı, tek değişkenli bir polinomun kökleri için cebirsel ifadeler bulmaktır. ⓘ

Eğitim

İlköğretim cebirinin on bir yaşına kadar olan öğrencilere öğretilmesi önerilmiştir, ancak son yıllarda Amerika Birleşik Devletleri'nde devlet derslerinin sekizinci sınıf düzeyinde (≈ 13 yaş ±) başlaması daha yaygındır. Ancak bazı ABD okullarında cebire dokuzuncu sınıfta başlanmaktadır. ⓘ

Soyut cebir

Soyut cebir, temel cebir ve sayılar aritmetiğinde bulunan tanıdık kavramları daha genel kavramlara genişletir. Soyut cebirdeki temel kavramlar aşağıda listelenmiştir. ⓘ

Kümeler: Soyut cebir, sadece farklı sayı türlerini ele almak yerine, daha genel bir kavram olan kümelerle ilgilenir: eleman adı verilen nesne koleksiyonları. Bilinen sayı türlerinin tüm koleksiyonları kümedir. Diğer küme örnekleri arasında tüm ikiye iki matrislerin kümesi, tüm ikinci derece polinomların kümesi (ax² + bx + c), bir düzlemin tüm iki boyutlu vektörlerinin kümesi ve tam sayıların modulo n grupları olan döngüsel gruplar gibi çeşitli sonlu gruplar yer alır. Küme teorisi mantığın bir dalıdır ve teknik olarak cebirin bir dalı değildir. ⓘ

İkili işlemler: Toplama (+) kavramı ikili işlem kavramına genelleştirilmiştir (burada ∗ ile gösterilir). İkili işlem kavramı, üzerinde işlemin tanımlandığı küme olmadan anlamsızdır. Bir S kümesindeki iki a ve b elemanı için, a ∗ b kümedeki başka bir elemandır; bu duruma kapanış denir. Toplama (+), çıkarma (-), çarpma (×) ve bölme (÷), matrislerin, vektörlerin ve polinomların toplanması ve çarpılması gibi farklı kümeler üzerinde tanımlandığında ikili işlemler olabilir. ⓘ

Özdeşlik elemanları: Sıfır ve bir sayıları, bir işlem için özdeşlik elemanı kavramını vermek üzere genelleştirilmiştir. Sıfır toplama işlemi için, bir ise çarpma işlemi için özdeşlik elemanıdır. Genel bir ikili operatör ∗ için özdeşlik elemanı e, a ∗ e = a ve e ∗ a = a koşullarını sağlamalıdır ve eğer varsa mutlaka tektir. Bu, toplama işlemi için a + 0 = a ve 0 + a = a ve çarpma işlemi için a × 1 = a ve 1 × a = a olarak geçerlidir. Tüm kümelerin ve operatör kombinasyonlarının bir kimlik elemanı yoktur; örneğin, pozitif doğal sayılar kümesinin (1, 2, 3, ...) toplama işlemi için bir kimlik elemanı yoktur. ⓘ

Ters elemanlar: Negatif sayılar ters elemanlar kavramını ortaya çıkarır. Toplama işlemi için a'nın tersi -a, çarpma işlemi için ise a-1 olarak yazılır. Genel bir iki taraflı ters eleman a-1, a ∗ a-1 = e ve a-1 ∗ a = e özelliğini karşılar, burada e özdeşlik elemanıdır. ⓘ

Birleşimlilik: Tamsayıların toplanması ilişkisellik adı verilen bir özelliğe sahiptir. Yani, toplanacak sayıların gruplandırılması toplamı etkilemez. Örneğin: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Genel olarak, bu (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) olur. Bu özellik çoğu ikili işlem tarafından paylaşılır, ancak çıkarma, bölme veya oktonyon çarpımı tarafından paylaşılmaz. ⓘ

Değişkenlik: Reel sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin her ikisi de değişmelidir. Yani, sayıların sırası sonucu etkilemez. Örneğin: 2 + 3 = 3 + 2. Genel olarak, bu a ∗ b = b ∗ a olur. Bu özellik tüm ikili işlemler için geçerli değildir. Örneğin, matris çarpımı ve kuaterniyon çarpımının her ikisi de komütatif değildir. ⓘ

Setler: Sayı türlerini incelemekten ziyade soyut cebir, matematiğin tüm birimlerini bir çatı altında inceler ve tüm bu setler matrisler ve üslü denklemler içerebilir; bunlara ikinci veya üçüncü dereceden polinomların incelenmesi de dâhildir. ⓘ

Denklemler arası işlemler: + ve - işlemlerinin yanı sıra * ve / işlemleri cebirin temel işlemlerindendir ve her denklem, fonksiyon veya polinomun çözülebilmesi için gerekli tanım aralıkları ve çözüm kümelerinin bulunduğu alanlar sorularda önceden ayarlanmış ve bildirilmiş olmalıdır. ⓘ

Dağılma özelliği: Matematiksel bir işlemde toplam veya çarpım hâlindeki elemanların grup hâlinde yerlerinin değiştirilmesi sonuçta bir değişikliğe neden olmaz. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) genel olarak (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ifade edilebilir. ⓘ

Değişken özelliği: Toplamda veya çarpma işlemlerinde elemanların yerlerinin değiştirilmesi sonucu etkilemez ve buna cebrin değişme özelliği denir. 2 + 3 = 3 + 2 ve a ∗ b = b ∗ a ⓘ

Gruplar

Yukarıdaki kavramlar birleştirildiğinde matematikteki en önemli yapılardan biri ortaya çıkar: grup. Bir grup, bir S kümesi ve tek bir ikili işlemin ∗ birleşimidir, istediğiniz şekilde tanımlanır, ancak aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• S'nin her a üyesi için e ∗ a ve a ∗ e'nin her ikisi de a ile aynı olacak şekilde bir özdeşlik elemanı e vardır.
• Her elemanın bir tersi vardır: S'nin her a üyesi için, a ∗ a-1 ve a-1 ∗ a'nın her ikisinin de özdeşlik elemanına özdeş olduğu bir a-1 üyesi vardır.
• İşlem birleşimseldir: a, b ve c S'nin üyeleri ise, (a ∗ b) ∗ c, a ∗ (b ∗ c) ile özdeştir. ⓘ

Eğer bir grup aynı zamanda değişmeli ise - yani, S'nin herhangi iki a ve b üyesi için a ∗ b, b ∗ a ile özdeş ise - o zaman grubun abelyen olduğu söylenir. ⓘ

Örneğin, toplama işlemi altındaki tam sayılar kümesi bir gruptur. Bu grupta, özdeşlik elemanı 0'dır ve herhangi bir a elemanının tersi onun olumsuzu olan -a'dır. İlişkilendirme gereksinimi karşılanır, çünkü herhangi bir a, b ve c tamsayısı için, (a + b) + c = a + (b + c) ⓘ

Sıfır olmayan rasyonel sayılar çarpım altında bir grup oluşturur. Burada, herhangi bir a rasyonel sayısı için 1 × a = a × 1 = a olduğundan, özdeşlik elemanı 1'dir. a × 1/a = 1 olduğundan, a'nın tersi 1/a'dır. ⓘ

Ancak çarpma işlemi altındaki tamsayılar bir grup oluşturmaz. Bunun nedeni, genel olarak, bir tamsayının çarpımsal tersinin bir tamsayı olmamasıdır. Örneğin, 4 bir tam sayıdır, ancak çarpımsal tersi 1/4'tür ve bu da bir tam sayı değildir. ⓘ

Grup teorisi, grup teorisi içinde incelenir. Bu teorinin önemli bir sonucu, çoğunlukla 1955 ve 1983 yılları arasında yayınlanan ve sonlu basit grupları kabaca 30 temel türe ayıran sonlu basit grupların sınıflandırılmasıdır. ⓘ

Yarı-gruplar, yarı-gruplar ve monoidler gruplara benzer cebirsel yapılardır, ancak işlem üzerinde daha az kısıtlama vardır. Bir küme ve kapalı bir ikili işlem içerirler ancak diğer koşulları sağlamaları gerekmez. Bir yarı grubun birleştirici bir ikili işlemi vardır ancak bir kimlik elemanı olmayabilir. Bir monoid, bir özdeşliğe sahip olan ancak her eleman için bir tersi olmayabilen bir yarı gruptur. Bir yarı grup, herhangi bir elemanın benzersiz bir sol çarpma veya sağ çarpma ile herhangi bir diğerine dönüştürülebilmesi şartını yerine getirir; ancak ikili işlem birleştirici olmayabilir. ⓘ

Tüm gruplar monoidlerdir ve tüm monoidler yarı gruplardır. ⓘ

Örnekler ⓘ

Set	Doğal sayılar N		Tamsayılar Z		Rasyonel sayılar Q Gerçek sayılar R Karmaşık sayılar C				Tam sayılar modulo 3 Z/3Z = {0, 1, 2}
Operasyon	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
Kapalı	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Hayır	Evet	Evet
Kimlik	0	1	0	1	0	N/A	1	N/A	0	1
Ters	N/A	N/A	-a	N/A	-a	N/A	1/a (a ≠ 0)	N/A	Sırasıyla 0, 2, 1	Sırasıyla N/A, 1, 2
İlişkisel	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Hayır	Evet	Hayır	Evet	Evet
Değişmeli	Evet	Evet	Evet	Evet	Evet	Hayır	Evet	Hayır	Evet	Evet
Yapı	monoid	monoid	abelian grup	monoid	abelian grup	yarı grup	monoid	yarı grup	abelian grup	monoid

Halkalar ve alanlar

Grupların sadece bir ikili işlemi vardır. Farklı sayı türlerinin davranışını tam olarak açıklamak için, iki operatörlü yapıların incelenmesi gerekir. Bunlardan en önemlileri halkalar ve cisimlerdir. ⓘ

Bir halkanın iki ikili işlemi vardır (+) ve (×), × + üzerinde dağılımlıdır. İlk operatör (+) altında bir abelian grup oluşturur. İkinci operatör (×) altında birleştiricidir, ancak bir özdeşliğe veya tersine sahip olması gerekmez, bu nedenle bölme gerekli değildir. Toplamsal (+) özdeşlik elemanı 0 olarak yazılır ve a'nın toplamsal tersi -a olarak yazılır. ⓘ

Dağılım, sayılar için dağılım yasasını genelleştirir. Tam sayılar için (a + b) × c = a × c + b × c ve c × (a + b) = c × a + c × b ve × 'nin + üzerinde dağılımlı olduğu söylenir. ⓘ

Tam sayılar bir halka örneğidir. Tam sayılar, onu bir integral alanı yapan ek özelliklere sahiptir. ⓘ

Bir alan, 0 hariç tüm elemanların × altında bir abelian grup oluşturması ek özelliğine sahip bir halkadır. Çarpımsal (×) özdeşlik 1 olarak yazılır ve a'nın çarpımsal tersi a-1 olarak yazılır. ⓘ

Rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar birer alan örneğidir. ⓘ

Tarihi

François Viète'in 16. yüzyılın başlarından itibaren yapmış olduğu çalışmalar cebirin temellerini oluşturmuştur. 19. yüzyılın sonlarına kadar cebir genel olarak sadece denklem teorileri barındırıyordu. ⓘ

İlkokul cebri

İlkokul cebri genellikle sadece aritmetik bilgisi olan öğrencilere cebrin temel kurallarını öğretmek amaçlı gösterilen bir cebir türüdür. En temel ve basit cebir türüdür. Aritmetikte sadece sayılar ve aritmetiksel işlemler (+, −, ×, ÷) kullanılır. Cebirde ise sayılar genellikle değişken kabul edilir ve harflerle ifade edilir (a, n, x, y ya da z) gibi.

Cebirsel denklem birimleri:
  1 – Üs
  2 – katsayı
  3 – terim
  4 – işlem
  5 – sabit terim
  x, y – değişkenler

• Temel cebir kurallarının kullanılması ile basit bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm şekilleri anlatılır. Sayı çeşitleri doğal sayılar, ardışık sayılar gibi sayı türleri anlatılır ve basit fonksiyonların özellikleri tanımlanır. ⓘ

Cebrin öğretilmesi

Temel, basit cebrin genellikle on bir yaşına gelmiş olan çocuklara anlatılması tercih edilir. Amerika'da genellikle sekizinci sınıfta temel cebir öğretimi başlar. 1997'den beri Virginia Üniversitesi gibi birçok üniversite bilgisayar yardımlı ve küçük gruplar hâlinde gençlere temel cebir eğitimi vermektedir. ⓘ