Diskriminant

Matematikte, bir polinomun diskriminantı, katsayılara bağlı olan ve köklerin bazı özelliklerini hesaplamadan çıkarmaya izin veren bir niceliktir. Daha doğrusu, orijinal polinomun katsayılarının bir polinom fonksiyonudur. Diskriminant, polinom çarpanlarına ayırma, sayı teorisi ve cebirsel geometride yaygın olarak kullanılmaktadır. ⓘ

İkinci dereceden polinomun diskriminantı $ax^{2}+bx+c$ o

$b^{2}-4ac,$

ikinci dereceden formülde karekök altında görünen miktar. Eğer $a\neq 0,$ Bu diskriminant, ancak ve ancak polinomun çift kökü varsa sıfırdır. Reel katsayılar söz konusu olduğunda, polinomun iki farklı reel kökü varsa pozitif, iki farklı karmaşık eşlenik kökü varsa negatiftir. Benzer şekilde, bir kübik polinomun diskriminantı, ancak ve ancak polinomun bir çoklu kökü varsa sıfırdır. Reel katsayılı bir kübik durumunda, polinomun üç farklı reel kökü varsa diskriminant pozitiftir ve bir reel kökü ve iki farklı karmaşık eşlenik kökü varsa negatiftir. ⓘ

Daha genel olarak, pozitif dereceli tek değişkenli bir polinomun diskriminantı, ancak ve ancak polinomun bir çoklu kökü varsa sıfırdır. Gerçek katsayılar ve çoklu kökler için, gerçek olmayan köklerin sayısı 4'ün katı ise (hiçbiri dahil) diskriminant pozitif, aksi takdirde negatiftir. ⓘ

Birkaç genelleme de diskriminant olarak adlandırılır: cebirsel bir sayı alanının diskriminantı; ikinci dereceden bir formun diskriminantı; ve daha genel olarak, bir formun, homojen bir polinomun veya projektif bir hiperyüzeyin diskriminantı (bu üç kavram esasen eşdeğerdir). ⓘ

Gerçel sayılı katsayıları olan ikinci derece denklemin köklerinin bulunması için hesaplanan diskriminant değerleri bileşimi ⓘ

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemlerin çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinomun köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminantın varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir. ⓘ

Diskriminant kavramı polinomların incelenmesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır. ⓘ

Köken

"Diskriminant" terimi 1851 yılında İngiliz matematikçi James Joseph Sylvester tarafından ortaya atılmıştır. ⓘ

Tanım

Bırakın

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

n dereceden bir polinom olsun (bu şu anlama gelir $a_{n}\neq 0$), öyle ki katsayılar $a_{0},\ldots ,a_{n}$ bir cisme veya daha genel olarak değişmeli bir halkaya aittir. A'nın sonucu ve türevi $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ 'de bir polinomdur. $a_{0},\ldots ,a_{n}$ A ve A′ nın Sylvester matrisinin determinantı olan tamsayı katsayılarla. Sylvester matrisinin ilk sütununun sıfır olmayan girdileri şunlardır $a_{n}$ ve $na_{n},$ ve dolayısıyla sonuç $a_{n}.$ Dolayısıyla diskriminant -işaretine kadar- A ve A'nın sonucunun bölümü olarak tanımlanır. $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$ ⓘ

Tarihsel olarak, bu işaret, polinomun tüm kökleri gerçel olduğunda, reeller üzerinde diskriminant pozitif olacak şekilde seçilmiştir. Bölme işlemi $a_{n}$ katsayılar halkası sıfır bölenler içeriyorsa iyi tanımlanmayabilir. Böyle bir sorun, aşağıdaki gibi değiştirilerek önlenebilir $a_{n}$ determinantı hesaplamadan önce Sylvester matrisinin ilk sütununda 1 ile çarpılır. Her durumda, diskriminant aşağıdaki gibi bir polinomdur $a_{0},\ldots ,a_{n}$ tamsayı katsayıları ile. ⓘ

ve bundan şu ortaya çıkar:

$\Delta (P)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&n&0&\cdots &0\\a_{n-1}&a_{n}&\ddots &\vdots &(n-1)a_{n-1}&na_{n}&\ddots &\vdots \\\vdots &a_{n-1}&\ddots &0&\vdots &(n-1)a_{n-1}&\ddots &0\\a_{0}&\vdots &\ddots &a_{n}&a_{0}&\vdots &\ddots &na_{n}\\0&a_{0}&&a_{n-1}&0&a_{0}&&(n-1)a_{n-1}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{0}&0&\cdots &0&a_{0}\\\end{vmatrix}}$ ⓘ

Kökler cinsinden ifade

Polinom bir cisim üzerinde tanımlandığında, cismin cebirsel olarak kapalı herhangi bir uzantısında hepsi farklı olmak zorunda olmayan r₁, r₂, ..., rn olmak üzere n köke sahiptir. (Eğer katsayılar reel sayılar ise, kökler cebirin temel teoreminin geçerli olduğu karmaşık sayılar alanında alınabilir). ⓘ

Kökler açısından, diskriminant şuna eşittir ⓘ

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).$ ⓘ

Dolayısıyla, Vandermonde polinomunun karesinin an2n - 2 ile çarpımıdır. ⓘ

Diskriminant için bu ifade genellikle bir tanım olarak alınır. Polinomun birden fazla kökü varsa, diskriminantının sıfır olduğunu ve tüm kökler gerçek ve basitse, diskriminantın pozitif olduğunu açıkça ortaya koyar. Önceki tanımın aksine, bu ifade açıkça katsayılarda bir polinom değildir, ancak bu ya Galois teorisinin temel teoreminden ya da bu ifadenin A'nın köklerinde simetrik bir polinom olduğuna dikkat çekerek simetrik polinomların temel teoreminden kaynaklanır. ⓘ

Düşük dereceler

Doğrusal bir polinomun (derece 1) diskriminantı nadiren dikkate alınır. Gerekirse, genellikle 1'e eşit olarak tanımlanır (boş çarpım için olağan kurallar kullanılarak ve Sylvester matrisinin iki bloğundan birinin boş olduğu göz önünde bulundurularak). Sabit bir polinomun (yani 0. dereceden polinomun) diskriminantı için ortak bir kural yoktur. ⓘ

Küçük dereceler için diskriminant oldukça basittir (aşağıya bakınız), ancak daha yüksek dereceler için hantal hale gelebilir. Örneğin, genel bir kuartiğin diskriminantı 16 terime, bir quintiğinki 59 terime ve bir seksiğinki 246 terime sahiptir. Bu OEIS dizisi A007878'dir. ⓘ

Derece 2

İkinci dereceden polinom $ax^{2}+bx+c\,$ diskriminantı vardır

$b^{2}-4ac\,.$ ⓘ

Diskriminantın karekökü, ikinci dereceden polinomun kökleri için ikinci dereceden formülde görünür:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ ⓘ

Burada diskriminant ancak ve ancak iki kök eşitse sıfırdır. Eğer a, b, c reel sayılar ise, polinomun diskriminantı pozitif ise iki farklı reel kökü, negatif ise iki karmaşık eşlenik kökü vardır. ⓘ

Diskriminant, a² ile köklerin farkının karesinin çarpımıdır. ⓘ

Eğer a, b, c rasyonel sayılarsa, diskriminant ancak ve ancak iki kök rasyonel sayılarsa bir rasyonel sayının karesidir. ⓘ

Derece 3

x³ + bx² + cx + d kübiğinin diskriminantının sıfır kümesi, yani b²c² - 4c³ - 4b³d - 27d² + 18bcd = 0'ı sağlayan noktalar. ⓘ

Kübik polinom $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ diskriminantı vardır

$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.$ ⓘ

Depresif bir kübik polinomun özel durumunda $x^{3}+px+q$'ye indirgendiğinde, diskriminant şu şekilde basitleşir

$-4p^{3}-27q^{2}\,.$ ⓘ

Diskriminant ancak ve ancak en az iki kök eşitse sıfırdır. Katsayılar reel sayılarsa ve diskriminant sıfır değilse, kökler üç farklı reel sayı ise diskriminant pozitiftir ve bir reel kök ve iki karmaşık eşlenik kök varsa negatiftir. ⓘ

Diskriminant ile güçlü bir şekilde ilişkili bir niceliğin karekökü, kübik bir polinomun kökleri için formüllerde görünür. Özellikle, bu nicelik diskriminantın -3 katı veya rasyonel bir sayının karesi ile çarpımı olabilir; örneğin, Cardano formülü durumunda 1/18'in karesi. ⓘ

Polinom indirgenemezse ve katsayıları rasyonel sayılarsa (veya bir sayı alanına aitse), diskriminant bir rasyonel sayının (veya sayı alanından bir sayının) karesidir, ancak ve ancak kübik denklemin Galois grubu üç dereceden döngüsel grupsa. ⓘ

Derece 4

Kuartik polinomun diskriminantı x⁴ + cx² + dx + e. Yüzey, polinomun tekrarlanan bir köke sahip olduğu noktaları (c, d, e) temsil etmektedir. Kuspidal kenar üçlü köke sahip polinomlara, öz kesişim ise iki farklı tekrarlanan köke sahip polinomlara karşılık gelmektedir. ⓘ

Kuartik polinom $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ diskriminantı vardır

${\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}$ ⓘ

Diskriminant, ancak ve ancak en az iki kök eşitse sıfırdır. Katsayılar reel sayılarsa ve diskriminant negatifse, o zaman iki reel kök ve iki karmaşık eşlenik kök vardır. Tersine, diskriminant pozitifse, köklerin tümü ya reeldir ya da reel değildir. ⓘ

Özellikler

Sıfır diskriminant

Bir cisim üzerindeki bir polinomun diskriminantı, ancak ve ancak polinomun bir cisim uzantısında çoklu kökü varsa sıfırdır. ⓘ

Bir integral alanı üzerindeki bir polinomun diskriminantı, ancak ve ancak polinom ve türevi sabit olmayan bir ortak bölene sahipse sıfırdır. ⓘ

Karakteristik 0'da bu, polinomun karesiz olmadığını (yani, sabit olmayan bir polinomun karesine bölünebilir olduğunu) söylemeye eşdeğerdir. ⓘ

Sıfır olmayan p karakteristiğinde, diskriminant ancak ve ancak polinom karesiz değilse veya ayrılabilir olmayan indirgenemez bir faktöre sahipse sıfırdır (yani, indirgenemez faktör $x^{p}$). ⓘ

Değişken değişimi altında değişmezlik

Bir polinomun diskriminantı, bir ölçeklemeye kadar, değişkenin herhangi bir projektif dönüşümü altında değişmezdir. Bir izdüşümsel dönüşüm ötelemelerin, homotitelerin ve ters çevirmelerin bir çarpımına ayrıştırılabildiğinden, bu daha basit dönüşümler için aşağıdaki formüllerle sonuçlanır, burada P(x) n dereceli bir polinomu gösterir ve $a_{n}$ öncü katsayı olarak. ⓘ

• Öteleme ile değişmezlik:

$\operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

Bu, diskriminantın kökler cinsinden ifadesinden kaynaklanır

• Homojenliğe göre değişmezlik:

$\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

Bu, kökler veya ayrıştırıcının yarı homojenliği cinsinden ifadeden kaynaklanır.

• Ters çevirme ile değişmezlik:

$\operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

ne zaman $P(0)\neq 0.$ İşte, $P^{\mathrm {r} }\!\!\;$ P'nin karşılıklı polinomunu gösterir; yani, eğer $P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},$ ve $a_{0}\neq 0,$ sonra

$P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.$ ⓘ

Halka homomorfizmleri altında değişmezlik

Bırakın $\varphi \colon R\to S$ değişmeli halkaların bir homomorfizması olsun. Bir polinom verildiğinde

$A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$

R[x] içinde, homomorfizma $\varphi$ polinomunu üretmek için A üzerinde hareket eder

$A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})$

S[x] içinde. ⓘ

Diskriminant şu koşullar altında değişmezdir $\varphi$ aşağıdaki anlamda. Eğer $\varphi (a_{n})\neq 0,$ sonra

$\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).$

Diskriminant bir determinant cinsinden tanımlandığından, bu özellik determinantların benzer özelliğinden hemen kaynaklanır. ⓘ

Eğer $\varphi (a_{n})=0,$ sonra $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ sıfır olabilir ya da olmayabilir. Biri, ne zaman $\varphi (a_{n})=0,$

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).$ ⓘ

Bir kişi yalnızca bir diskriminantın sıfır olup olmadığını bilmekle ilgilendiğinde (genellikle cebirsel geometride olduğu gibi), bu özellikler şu şekilde özetlenebilir:

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ eğer ve sadece eğer $\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0$ veya $\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.$ ⓘ

Bu genellikle şu şekilde yorumlanır $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ eğer ve sadece $A^{\varphi }$ çoklu köke sahiptir (muhtemelen sonsuzda). ⓘ

Polinomların çarpımı

Eğer R = PQ x cinsinden polinomların bir çarpımı ise, o zaman

${\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}$

nerede $\operatorname {Res} _{x}$ x değişkenine göre sonucu gösterir ve p ve q, P ve Q'nun ilgili dereceleridir. ⓘ

Bu özellik, sonuç ve diskriminant ifadelerinin ilgili polinomların kökleri cinsinden ikame edilmesiyle hemen ortaya çıkar. ⓘ

Homojenlik

Diskriminant katsayılarda homojen bir polinomdur; aynı zamanda köklerde homojen bir polinomdur ve bu nedenle katsayılarda yarı homojendir. ⓘ

Derecesi n olan bir polinomun diskriminantı katsayılarda 2n - 2 dereceden homojendir. Bu iki şekilde görülebilir. Kökler ve öncü terim formülü açısından, tüm katsayıları λ ile çarpmak kökleri değiştirmez, ancak öncü terimi λ ile çarpar. an ile bölünen (2n - 1) × (2n - 1) matrisinin (Sylvester matrisi) determinantı olarak ifadesi açısından, determinant girişlerde 2n - 1 derecesinde homojendir ve an ile bölmek dereceyi 2n - 2 yapar. ⓘ

Derecesi n olan bir polinomun diskriminantı köklerde n(n - 1) derecesinde homojendir. Bu, diskriminantın kökler cinsinden ifadesinden, yani bir sabit ile ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ köklerin karesel farkları. ⓘ

Derecesi n olan bir polinomun diskriminantı, katsayılarda derecesi n(n - 1) olan yarı-homojendir, eğer her i için $x^{i}$ 'nin katsayısı her i için n - i ağırlığında ise, aynı dereceden yarı homojendir. $x^{i}$ Bu, köklerde homojen ve simetrik olan her polinomun, köklerin temel simetrik fonksiyonlarında yarı-homojen bir polinom olarak ifade edilebileceği genel gerçeğinin bir sonucudur. ⓘ

Polinomu ele alalım

$P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

Bundan önce gelenlerden, diskriminantta görünen her a₀^i₀. ..., anin monomialindeki üslerin iki denklemi sağladığı sonucu çıkar

$i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2$

ve

$i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),$

ve ayrıca denklem

$ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),$

Bu da ikinci denklemin ilk denklemden n ile çarpılarak çıkarılmasıyla elde edilir. ⓘ

Bu, diskriminanttaki olası terimleri kısıtlar. Genel ikinci dereceden polinom için diskriminantta yalnızca iki olasılık ve iki terim bulunurken, üç değişkenli ikinci dereceden genel homojen polinomun 6 terimi vardır. Genel kübik polinom için diskriminantta beş olasılık ve beş terim bulunurken, 5 değişkenli 4. dereceden genel homojen polinomun 70 terimi vardır ⓘ

Daha yüksek dereceler için, yukarıdaki denklemleri sağlayan ve diskriminantta görünmeyen monomialler olabilir. İlk örnek ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e kuartik polinomu içindir, bu durumda bc⁴d monomiyeli diskriminantta görünmeden denklemleri sağlar. ⓘ

Gerçek kökler

Bu bölümde, tüm polinomlar reel katsayılara sahiptir. ⓘ

Düşük derecelerde, diskriminantın işaretinin 2. ve 3. derece polinomlar için köklerin doğası hakkında tam bir bilgi sağladığı görülmüştür. Daha yüksek dereceler için, diskriminant tarafından sağlanan bilgi daha az eksiksizdir, ancak yine de yararlıdır. Daha açık bir ifadeyle, n dereceli bir polinom için

• Polinomun çoklu kökü ancak ve ancak diskriminantı sıfır ise vardır.
• Eğer diskriminant pozitif ise, reel olmayan köklerin sayısı 4'ün katıdır. Yani, 2k çift karmaşık eşlenik kök ve n - 4k reel kök olacak şekilde negatif olmayan bir k ≤ n/4 tamsayısı vardır.
• Diskriminant negatifse, reel olmayan köklerin sayısı 4'ün katı değildir. Yani, 2k + 1 çift karmaşık eşlenik kök ve n - 4k + 2 reel kök olacak şekilde negatif olmayan bir k ≤ (n - 2)/4 tamsayısı vardır. ⓘ

Homojen iki değişkenli polinom

Bırakın

$A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}$

iki belirsizde n. dereceden homojen bir polinom olsun. ⓘ

Varsayalım ki, şimdilik $a_{0}$ ve $a_{n}$ her ikisi de sıfırdan farklı ise

$\operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).$

Bu miktar şu şekilde gösterilir $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ bir tane var

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),$

ve

$\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).$ ⓘ

Bu özelliklerinden dolayı, miktar $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ A'nın diskriminantı veya homojen diskriminantı olarak adlandırılır. ⓘ

Eğer $a_{0}$ ve $a_{n}$ sıfır olmasına izin verilirse, A(x, 1) ve A(1, y) polinomlarının derecesi n'den küçük olabilir. Bu durumda, diskriminantlar tüm polinomlar n derecesine sahipmiş gibi hesaplanırsa, yukarıdaki formüller ve tanım geçerli kalır. $a_{0}$ ve $a_{n}$ belirsizdir, gerçek değerlerinin yerine konması bu hesaplamadan sonra yapılır. Eşdeğer olarak, § Halka homomorfizmaları altında değişmezlik formülleri kullanılmalıdır. ⓘ

Cebirsel geometride kullanım

Cebirsel geometride diskriminantların tipik kullanımı düzlem cebirsel eğrileri ve daha genel olarak cebirsel hiperyüzeyleri incelemek içindir. V böyle bir eğri veya hiperyüzey olsun; V çok değişkenli bir polinomun sıfır kümesi olarak tanımlanır. Bu polinom, belirsizliklerden birinde tek değişkenli bir polinom olarak düşünülebilir ve diğer belirsizliklerde katsayılar olarak polinomlar bulunur. Seçilen belirsizliğe göre diskriminant, diğer belirsizlikler uzayında bir W hiperyüzeyi tanımlar. W'nin noktaları tam olarak V'nin noktalarının (sonsuzdaki noktalar dahil) izdüşümüdür ve bunlar ya tekildir ya da seçilen belirsizin eksenine paralel bir teğet hiper düzleme sahiptir. ⓘ

Örneğin, f X ve Y'de reel katsayılı iki değişkenli bir polinom olsun, böylece f = 0 bir reel düzlem cebirsel eğrisinin örtük denklemi olsun. f'yi Y'de X'e bağlı katsayıları olan tek değişkenli bir polinom olarak düşünürsek, diskriminant X'te kökleri tekil noktaların, Y eksenine paralel teğeti olan noktaların ve Y eksenine paralel bazı asimptotların X koordinatları olan bir polinomdur. Başka bir deyişle, Y-diskriminantı ve X-diskriminantının köklerinin hesaplanması, eğrinin bükülme noktaları hariç tüm dikkat çekici noktalarının hesaplanmasına olanak tanır. ⓘ

Genelleştirmeler

Diskriminant kavramının iki sınıfı vardır. Birinci sınıf, cebirsel bir sayı alanının diskriminantıdır ve ikinci dereceden alanlar da dahil olmak üzere bazı durumlarda alanı tanımlayan bir polinomun diskriminantıdır. ⓘ

İkinci sınıftaki diskriminantlar, katsayılara bağlı problemler için, problemin dejenere örnekleri veya tekillikleri katsayılardaki tek bir polinomun yok olmasıyla karakterize edildiğinde ortaya çıkar. Bu durum, iki kök çöktüğünde sıfır olan bir polinomun diskriminantı için geçerlidir. Böyle genelleştirilmiş bir diskriminantın tanımlandığı durumların çoğu aşağıdakilerin örnekleridir. ⓘ

A, 0 karakteristikli bir cisim veya polinomun derecesini bölmeyen bir asal karakteristik üzerinde n belirsizde homojen bir polinom olsun. A polinomu, yalnızca ve yalnızca A'nın n kısmi türevinin önemsiz olmayan ortak bir sıfıra sahip olması durumunda tekil noktaları olan projektif bir hiperyüzey tanımlar. Bu durum, ancak ve ancak bu kısmi türevlerin çok değişkenli sonucunun sıfır olması halinde geçerlidir ve bu sonuç A'nın diskriminantı olarak düşünülebilir. Ancak, türetme sonucunda ortaya çıkan tamsayı katsayılar nedeniyle, bu çok değişkenli sonuç n'nin bir kuvvetine bölünebilir ve genel katsayılarla hesaplanan sonucun ilkel kısmını diskriminant olarak almak daha iyidir. Karakteristik üzerindeki kısıtlama gereklidir çünkü aksi takdirde kısmi türevin ortak bir sıfırının polinomun bir sıfırı olması gerekmez (homojen polinomlar için Euler'in özdeşliğine bakınız). ⓘ

Derecesi d olan homojen iki değişkenli bir polinom durumunda, bu genel diskriminant $d^{d-2}$ 'de tanımlanan diskriminantın katlarıdır. Genel tanımın örnekleri olan diğer bazı klasik diskriminant türleri sonraki bölümlerde açıklanmaktadır. ⓘ

Kuadratik formlar

İkinci dereceden bir form, 2. dereceden homojen bir polinom tarafından bazı temeller üzerinde tanımlanan bir vektör uzayı üzerindeki bir fonksiyondur:

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

ya da matris formunda,

$Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },$ ⓘ

için $n\times n$ simetrik matris $A=(a_{ij})$, the $1\times n$ satır vektörü $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ve $n\times 1$ sütun vektörü $X^{\mathrm {T} }$. 2'den farklı karakteristikte, Q'nun diskriminantı veya determinantı A'nın determinantıdır. ⓘ

Q'nun Hessian determinantı $2^{n}$ çarpı diskriminantıdır. Q'nun kısmi türevlerinin çok değişkenli sonucu, Hessian determinantına eşittir. Dolayısıyla, ikinci dereceden bir formun diskriminantı, yukarıdaki genel diskriminant tanımının özel bir durumudur. ⓘ

İkinci dereceden bir formun diskriminantı, aşağıdaki anlamda değişkenlerin doğrusal değişimleri (yani ikinci dereceden formun tanımlandığı vektör uzayının temelinin değişimi) altında değişmezdir: değişkenlerin doğrusal bir değişimi, tekil olmayan bir S matrisi ile tanımlanır, A matrisini $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ Böylece diskriminant sadece bir kare ile çarpımına kadar iyi tanımlanır. Başka bir deyişle, bir K cismi üzerindeki ikinci dereceden bir formun diskriminantı, K/(K^×)²'nin bir elemanıdır, K'nın çarpımsal monoidinin sıfır olmayan kareler alt grubu ile bölümüdür (yani, K'nın iki elemanı, biri diğerinin sıfır olmayan bir kare ile çarpımı ise aynı denklik sınıfındadır). Karmaşık sayılar üzerinde bir diskriminantın 0 veya 1'e eşdeğer olduğu sonucuna varılır. Reel sayılar üzerinde, bir diskriminant -1, 0 veya 1'e eşittir. Rasyonel sayılar üzerinde, bir diskriminant karesiz tek bir tamsayıya eşdeğerdir. ⓘ

Jacobi'nin bir teoremine göre, 2'den farklı karakteristikli bir cisim üzerindeki ikinci dereceden bir form, değişkenlerin doğrusal bir değişiminden sonra, köşegen formda olarak ifade edilebilir

$a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

Daha açık bir ifadeyle, ikinci dereceden bir form toplam olarak ifade edilebilir

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}$

Burada Li bağımsız doğrusal formlardır ve n değişkenlerin sayısıdır (ai'lerin bazıları sıfır olabilir). Eşdeğer olarak, herhangi bir simetrik matris A için, öyle bir temel matris S vardır ki $S^{\mathrm {T} }A\,S$ diyagonal bir matristir. O zaman diskriminant, K/(K^×)²'de bir sınıf olarak iyi tanımlanmış olan ai'nin çarpımıdır. ⓘ

Geometrik olarak, üç değişkenli ikinci dereceden bir formun diskriminantı, ikinci dereceden projektif bir eğrinin denklemidir. Diskriminant, ancak ve ancak eğri doğrulara ayrıştırılırsa (muhtemelen alanın cebirsel olarak kapalı bir uzantısı üzerinde) sıfırdır. ⓘ

Dört değişkenli ikinci dereceden bir form, projektif bir yüzeyin denklemidir. Yüzeyin tekil noktası ancak ve ancak diskriminantı sıfır ise vardır. Bu durumda, yüzey ya düzlemlere ayrıştırılabilir ya da tek bir tekil noktası vardır ve bir koni veya silindirdir. Reeller üzerinde, eğer diskriminant pozitif ise, yüzeyin ya reel bir noktası yoktur ya da her yerde negatif Gauss eğriliğine sahiptir. Diskriminant negatifse, yüzeyin gerçek noktaları vardır ve negatif Gauss eğriliğine sahiptir. ⓘ

Konik kesitler

Konik kesit, aşağıdaki formda bir örtük denklem ile tanımlanan bir düzlem eğrisidir

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,$

Burada a, b, c, d, e, f reel sayılardır. ⓘ

İki kuadratik form ve dolayısıyla iki diskriminant bir konik kesitle ilişkilendirilebilir. ⓘ

İlk kuadratik form

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.$

Diskriminantı determinanttır

${\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.$

Konik kesit iki doğruya, çift doğruya veya tek bir noktaya dejenere olursa sıfırdır. ⓘ

Birçok temel ders kitabında dikkate alınan tek diskriminant olan ikinci diskriminant, denklemin ikinci dereceden homojen kısmının diskriminantıdır. Şuna eşittir ⓘ

$b^{2}-ac,$ ⓘ

ve konik kesitin şeklini belirler. Eğer bu diskriminant negatifse, eğrinin ya gerçek noktaları yoktur, ya bir elips ya da bir çemberdir, ya da dejenere olmuşsa tek bir noktaya indirgenmiştir. Diskriminant sıfır ise, eğri bir parabol ya da dejenere olmuşsa bir çift doğru veya iki paralel doğrudur. Diskriminant pozitifse, eğri bir hiperboldür veya dejenere olmuşsa, kesişen bir çift doğrudur. ⓘ

Gerçek kuadrik yüzeyler

Üç boyutlu Öklid uzayında gerçek bir kuadrik yüzey, üç değişkenli iki dereceli bir polinomun sıfırları olarak tanımlanabilen bir yüzeydir. Konik kesitlere gelince, doğal olarak tanımlanabilen iki diskriminant vardır. Her ikisi de bir kuadrik yüzeyin doğası hakkında bilgi edinmek için kullanışlıdır. ⓘ

Bırakın $P(x,y,z)$ Gerçek bir kuadrik yüzeyi tanımlayan üç değişkenli iki dereceli bir polinom olsun. İlk ilişkili kuadratik form, $Q_{4},$ dört değişkene bağlıdır ve P'nin homojenleştirilmesiyle elde edilir; yani

$Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).$

Diskriminantını şu şekilde gösterelim $\Delta _{4}.$ ⓘ

İkinci kuadratik form, $Q_{3},$ üç değişkene bağlıdır ve P'nin ikinci derece terimlerinden oluşur; yani

$Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).$

Diskriminantını şu şekilde gösterelim $\Delta _{3}.$ ⓘ

Eğer $\Delta _{4}>0,$ ve yüzey gerçek noktalara sahipse, ya hiperbolik bir paraboloid ya da tek tabakalı bir hiperboloiddir. Her iki durumda da bu, her noktada negatif Gauss eğriliğine sahip olan kurallı bir yüzeydir. ⓘ

Eğer $\Delta _{4}<0,$ Yüzey ya bir elipsoid ya da iki tabakalı bir hiperboloid veya eliptik bir paraboloiddir. Tüm durumlarda, her noktada pozitif Gauss eğriliğine sahiptir. ⓘ

Eğer $\Delta _{4}=0,$ Yüzey, muhtemelen sonsuzda olmak üzere tekil bir noktaya sahiptir. Sadece bir tekil nokta varsa, yüzey bir silindir veya konidir. Eğer birden fazla tekil nokta varsa, yüzey iki düzlemden, çift düzlemden veya tek bir çizgiden oluşur. ⓘ

Ne zaman $\Delta _{4}\neq 0,$ işareti $\Delta _{3},$ 0 değilse, herhangi bir yararlı bilgi sağlamaz, çünkü P'yi -P olarak değiştirmek yüzeyi değiştirmez, ancak $\Delta _{3}.$ Ancak, eğer $\Delta _{4}\neq 0$ ve $\Delta _{3}=0,$ işaretine bağlı olarak, yüzey hiperbolik eliptik olan bir paraboloiddir. $\Delta _{4}.$ ⓘ

İkinci derecede polinom

Kompleks iki köklü tek bilinmeyenli ikinci derecede polinom denklemin çözülmesi

Eğer a, b ve c kompleks (karmaşık) sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman iki tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ²) Δ'ya eşittir. Buna göre ⓘ

a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x₁ ve x₂, şu formülle bulunur:

$x_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}\quad {\text{ ve }}\quad x_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}$ ⓘ

b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök $x_{1}$ bulunur:

$x_{1}={\frac {-b}{2a}}$ ⓘ

Kısaltılmış diskriminant

Bazen ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:

$ax^{2}+2b'x+c=0\;$ ⓘ

Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:

$\Delta '=b'^{2}-ac\;$ ⓘ

Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:

$x_{1}={\frac {-b'+\delta '}{a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b'-\delta '}{a}}\quad {\text{avec}}\quad \delta '^{2}=\Delta '=b'^{2}-ac$ ⓘ

Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:

$5x^{2}-5x+1=0\;$ ⓘ

Çözüm iki kök bulunmasını gerektirir. Bu iki kökün x₁ ve x₂ olduğunu kabul edelim. Bu iki kökü, yani x₁ ve x₂ çözüm değerlerini bulmak için, şu Δ diskriminant ifadesi incelenir ve bu diskriminant değeri kuadratik denklem çözüm formülüne konulup şu iki gerçel kök bulunur::

$\Delta =(-5)^{2}-4\times 5\times 1=5\quad {\text{ ve }}\quad x_{1}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}.$ ⓘ

b) İkinci örnek olarak verilen denklem şu olsun:

$x^{2}+6x+9=0$

ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:

$\Delta =6^{2}-4(1)(9)=36-36=0\;$ ⓘ

Bu demektir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur

$x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\;$

Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur. ⓘ

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:

$x^{2}+x+1=0$

Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:

$\Delta =1^{2}-4(1)(1)=-3\;$

yani Δ negatiftir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Fakat bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatörüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:

$\ \quad {\text{et}}\quad x_{1}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad x_{1}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

. ⓘ

Herhangi bir derecede polinom

Bir polinom için kök değerini diskriminant yardımı ile çıkarma yöntemi ikiden büyük polinomlar için generalize edilmemiştir. Fakat polinomun diskriminantı kavramı yine de kullanışlıdır. Doğrusal cebir içinde bir endomorfizim minimal polinomunda çoklu köklerin mevcut bulunması endomorfizmin tabiatını değiştirir. Bu şekilde mevcudiyet diagonalleştirme operasyonu imkânsiz yapar. Bu açıklama rasyonel sayıları da içine aldığında, indirgenemeyen polinomların (yani faktorize edilemeyenler) çoklu köklerinin bulunmasi her türlü hal için imkânsızdır. Bu hal tüm haller için gerçek değildir. Galois teorisi içinde yapılan bu ayrım önemlidir ve sonuçlar konfigürasyona bağlı olarak değişik olabilir. ⓘ

Örnekler

• İkinci derece polinomlar için ve matris notasyonu kullanarak şu ifade ele geçirilir :

$\Delta (P)={\frac {(-1)^{\frac {2(2-1)}{2}}}{a}}{\begin{vmatrix}&a&2a&0&\\&b&b&2a&\\&c&0&b&\\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}&1&2&0&\\&b&b&2a&\\&c&0&b&\\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}b&2a&\\0&b&\\\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}b&2a&\\c&b&\\\end{vmatrix}}=b^{2}-4ac$ ⓘ

• Üçüncü derecede polinomları için genellikle normalize edilmiş polinom, yani ana diagonal elemanlarının hepsi 1'e eşit olan matrix, kullanılır ve şu ifade ortaya çıkar:

$P=X^{3}+aX^{2}+bX+c\;$ ⓘ

Bundan şu formül çıkartılır  :

$\Delta (P)=(-1)^{\frac {3(3-1)}{2}}{\begin{vmatrix}&1&a&b&c&0\\&0&1&a&b&c&\\&3&2b&c&0&0&\\&0&3&2b&c&0&\\&0&0&3&2b&c&\\\end{vmatrix}}=a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-4a^{3}c-27c^{2}\;$

Bu ifade epey karmaşık görünmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardır. Geleneksel olarak bu karmaşık ifade kullanılırsa yapılan ikamelerle şu şeklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminantı gayet basittir:

$P=X^{3}+pX+q\quad {\text{et}}\quad \Delta (P)=-4p^{3}-27q^{2}\;$ ⓘ

Gerçel katsayılı 3.derece polinom denklemi halinde, eğer diskriminant kesinlikle negatif ise denklemin üç tane ayrı değerde gerçel çözümü bulunur; eğer determinant sıfır ise üç tane birbirine çakışan tek bir gerçel değerde çözüm vardır ve eğer determinant kesinlikle pozitif ise tek bir gerçel çözüm bulunup diğer iki tane çözüm ise birbirlerine conjuge kompleks sayılardır. ⓘ

• Elips eğrileri iki değişkenli üçüncü derece polinomların özel bir şeklinden ortaya çıkarlar.

Elipsin en basit bir halinde denklem şöyledir: $y^{2}=x^{3}+ax+b$ Bunda $a,b$ katsayıları gerçel sayılardır. Bu halde diskriminant şöyle tanımlanır: $\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$. ⓘ

Diskriminant cebirsel tam sayılar halkası

Sayilar cebiri teorisi tanımı farklı görünen bir diskriminant kavramı kullanır.Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karşıttır ve matamati halka A için kullanılır. Her diskriminantın her iki tanımı da birbiriyle çok yakın olarak bağlıdırlar. ⓘ

Eğer A halkasını(tümüyle relatiflerden oluşan bir Z için) Z[a] ile eşit yapan bir cebirsel tam sayı a mevcutsa, a için minimal polinom Z içindeki katsayılari aynen içerir Anın polinomlara gore tanımlanmış anlamı ile cebirsel sayı teorisine göre halkanın diskriminantı anlamı ile tamamına eşittir. ⓘ