Çember

Daire ⓘ
Bir daire   C çevresi   çap D   Yarıçap R   merkez veya başlangıç O
Tip	Konik kesit
Simetri grubu	O(2)
Alan	πR2
Çevre	C = 2πR

Daire, bir düzlemde belirli bir noktadan, yani merkezden belirli bir uzaklıkta bulunan tüm noktalardan oluşan bir şekildir. Eşdeğer olarak, bir düzlemde hareket eden bir noktanın belirli bir noktaya olan uzaklığı sabit olacak şekilde izlediği eğridir. Çemberin herhangi bir noktası ile merkez arasındaki mesafeye yarıçap denir. Genellikle yarıçapın pozitif bir sayı olması gerekir. Bir daire ile $r=0$ dejenere bir durumdur. Bu makale, aksi belirtilmediği sürece Öklid geometrisindeki çemberler ve özellikle Öklid düzlemi hakkındadır. ⓘ

Özellikle, bir çember düzlemi iki bölgeye ayıran basit bir kapalı eğridir: bir iç ve bir dış. Günlük kullanımda "daire" terimi, şeklin sınırını ya da iç kısmı da dahil olmak üzere şeklin tamamını ifade etmek için birbirinin yerine kullanılabilir; katı teknik kullanımda daire yalnızca sınırdır ve şeklin tamamı disk olarak adlandırılır. ⓘ

Daire, iki odağın çakıştığı, dışmerkezliğin 0 olduğu ve yarı büyük ve yarı küçük eksenlerin eşit olduğu özel bir elips türü olarak da tanımlanabilir; veya varyasyonlar hesabı kullanılarak birim çevre karesi başına en fazla alanı çevreleyen iki boyutlu şekil. ⓘ

Tanımda bahsi geçen sabit noktaya çemberin merkezi, eşit uzaklıkların her birine yarıçap, yarıçapın iki katı uzunluğa ise çap denir. Genellikle, merkez o, yarıçap r, çap ise R (Büyük r harfi) ile gösterilir (R=2r). Çemberde sonsuz yarıçap ve çap vardır. Yarıçap ve çapların uzunlukları sabittir. ⓘ

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ise kiriş adı verilir. Çemberde sonsuz sayıda kiriş vardır. Kirişlerin uzunlukları farklı olabilir. Bu anlamda, merkeze göre birbirine simetrik olan iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğu aynı zamanda çapa eşittir. Çap en uzun kiriştir. ⓘ

Analitik geometride çemberin denklemi x y-koordinat sisteminde şu biçimde yazılabilir:

$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.$ ⓘ

Eğer çemberin merkezi koordinat sistemi içinde (0,0) noktası olursa, yukarıdaki ifade ⓘ

$\ x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ ⓘ

şeklinde de yazılabilir ve bu çembere yarıçap 1 olduğunda birim çember denir. ⓘ

Öklid'in tanımı

Daire, bir eğri çizgi ile sınırlandırılmış ve içindeki belirli bir noktadan sınırlayıcı çizgiye çizilen tüm düz çizgilerin eşit olduğu bir düzlem şeklidir. Sınırlayan çizgiye çemberin çevresi ve noktaya da merkezi denir.

- Öklid, Elementler, Kitap I ⓘ

Topolojik tanım

Topoloji alanında çember, geometrik kavramla sınırlı olmayıp homeomorfizmlerinin tümünü kapsar. İki topolojik çember, biri diğerine R³'ün kendi üzerindeki bir deformasyonu (ortam izotopisi olarak bilinir) yoluyla dönüştürülebiliyorsa eşdeğerdir. ⓘ

Terminoloji

• Halka: halka şeklinde bir nesne, iki eşmerkezli daire tarafından sınırlanan bölge.
• Yay: bir dairenin herhangi bir bağlantılı parçası. Bir yayın iki uç noktasının ve bir merkezin belirtilmesi, birlikte tam bir daire oluşturan iki yaya izin verir.
• Merkez: çember üzerindeki tüm noktalardan eşit uzaklıkta olan nokta.
• Akor: uç noktaları daire üzerinde bulunan ve böylece bir daireyi iki parçaya bölen bir doğru parçası.
• Çevre: çember boyunca bir devrenin uzunluğu veya çemberin etrafındaki mesafe.
• Çap: uç noktaları daire üzerinde bulunan ve merkezden geçen bir doğru parçası veya böyle bir doğru parçasının uzunluğu. Bu, daire üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki en büyük mesafedir. Akorun özel bir durumudur, yani belirli bir daire için en uzun akordur ve uzunluğu yarıçapın iki katıdır.
• Disk: düzlemin bir çember tarafından sınırlanan bölgesi.
• Mercek: üst üste binen iki diskte ortak olan (kesişen) bölge.
• Passant: çember ile ortak noktası olmayan eş düzlemli düz çizgi.
• Yarıçap: bir çemberin merkezini çemberin kendisi üzerindeki herhangi bir nokta ile birleştiren doğru parçası; veya böyle bir parçanın uzunluğu, bir çapın yarısı (uzunluğu).
• Sektör: ortak bir merkeze sahip eşit uzunlukta iki yarıçap ve bu merkez ile yarıçapların uç noktaları tarafından belirlenen iki olası yaydan biri ile sınırlanan bölge.
• Segment: bir akor ve akorun uç noktalarını birleştiren yaylardan biri tarafından sınırlanan bir bölge. Akorun uzunluğu, olası yayların çapına bir alt sınır getirir. Bazen segment terimi sadece yaylarının ait olduğu dairenin merkezini içermeyen bölgeler için kullanılır.
• Sekant: bir çemberi iki noktada kesen genişletilmiş bir akor, eş düzlemli bir düz çizgi.
• Yarım daire: bir çapın uç noktaları tarafından belirlenen ve orta noktasını merkez olarak alan iki olası yaydan biri. Teknik olmayan yaygın kullanımda, bir çap ve yaylarından biri tarafından sınırlanan iki boyutlu bölgenin içi anlamına gelebilir, buna teknik olarak yarım disk denir. Yarım disk, bir segmentin özel bir durumudur, yani en büyük olanıdır.
• Teğet: bir daire ile tek bir ortak noktası olan ("daireye bu noktada temas eden") eş düzlemli düz çizgi.

Belirtilen bölgelerin tümü açık, yani sınırlarını içermeyen veya kendi sınırlarını içeren kapalı olarak kabul edilebilir. ⓘ

Akor, sekant, teğet, yarıçap ve çap

Ark, sektör ve segment ⓘ

Tarih

Bu 13. yüzyıl elyazmasındaki pusula, Tanrı'nın Yaratılış eyleminin bir sembolüdür. Halenin dairesel şekline de dikkat edin. ⓘ

Daire kelimesi Yunanca κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos) kelimesinden türemiştir, kendisi de Homeros Yunancasında "çember" veya "halka" anlamına gelen κρίκος (krikos) kelimesinin metatezidir. Sirk ve devre kelimelerinin kökenleri yakından ilişkilidir.

Moğol imgeli dairesel ipek parçası

Eski bir Arap astronomi çizimindeki daireler.

Daire, kayıtlı tarihin başlangıcından beri bilinmektedir. Ay, Güneş ve kum üzerinde rüzgarla savrulan ve kumda bir daire şekli oluşturan kısa bir bitki sapı gibi doğal daireler gözlemlenebilirdi. Çember, dişliler gibi ilgili icatlarla birlikte modern makinelerin çoğunu mümkün kılan tekerleğin temelidir. Matematikte çemberin incelenmesi geometri, astronomi ve kalkülüsün gelişimine ilham kaynağı olmuştur. ⓘ

Erken dönem bilimi, özellikle de geometri, astroloji ve astronomi, çoğu ortaçağ alimi için ilahi olanla bağlantılıydı ve birçoğu dairelerde özünde "ilahi" veya "mükemmel" bir şey bulunduğuna inanıyordu. ⓘ

Dairenin tarihindeki bazı önemli noktalar şunlardır:

• MÖ 1700 - Rhind papirüsü dairesel bir alanın alanını bulmak için bir yöntem verir. Sonuç, π'nin yaklaşık değeri olarak 256/81'e (3.16049...) karşılık gelir. ⓘ

Tuğrul Kulesi'nin içinden ⓘ

• MÖ 300 - Öklid'in Elementler'inin 3. Kitabı dairelerin özelliklerini ele alır.
• Platon'un Yedinci Mektup'unda dairenin ayrıntılı bir tanımı ve açıklaması vardır. Platon mükemmel daireyi ve bunun herhangi bir çizim, sözcük, tanım ya da açıklamadan nasıl farklı olduğunu açıklar.
• MS 1880 - Lindemann π'nin transandantal olduğunu kanıtlayarak binlerce yıllık çemberin karesini alma sorununu etkili bir şekilde çözer. ⓘ

Analitik sonuçlar

Çevresi

Bir dairenin çevresinin çapına oranı, yaklaşık olarak 3,141592654'e eşit irrasyonel bir sabit olan π (pi)'dir. Dolayısıyla, C çevresi r yarıçapı ve d çapı ile ilişkilidir:

$C=2\pi r=\pi d.\,$ ⓘ

Kapalı alan

Bir dairenin çevrelediği alan = π × gölgeli karenin alanı ⓘ

Arşimet'in Bir Dairenin Ölçümü adlı eserinde kanıtladığı gibi, bir dairenin çevrelediği alan, tabanı dairenin çevresinin uzunluğuna sahip ve yüksekliği dairenin yarıçapına eşit olan bir üçgenin alanına eşittir; bu da π ile yarıçapın karesinin çarpımına eşittir:

$\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,$ ⓘ

Eşdeğer olarak, çap d ile gösterilir,

$\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},$ ⓘ

Yani, çevreleyen karenin (kenarı d uzunluğunda olan) yaklaşık %79'u. ⓘ

Daire, belirli bir yay uzunluğu için maksimum alanı çevreleyen düzlem eğrisidir. Bu, daireyi varyasyonlar hesabındaki bir problemle, yani izoperimetrik eşitsizlikle ilişkilendirir. ⓘ

Denklemler

Kartezyen koordinatlar

Yarıçapı r = 1, merkezi (a, b) = (1.2, -0.5) olan çember ⓘ

Bir dairenin denklemi

Bir x-y Kartezyen koordinat sisteminde, merkez koordinatları (a, b) ve yarıçapı r olan daire, aşağıdaki gibi tüm noktaların (x, y) kümesidir

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.$ ⓘ

Çember denklemi olarak bilinen bu denklem, çember üzerindeki herhangi bir noktaya uygulanan Pisagor teoreminden çıkar: yandaki diyagramda gösterildiği gibi, yarıçap, diğer kenarları |x - a| ve |y - b| uzunluğunda olan dik açılı bir üçgenin hipotenüsüdür. Eğer çember orijin (0, 0) merkezli ise, denklem şu şekilde basitleşir

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ ⓘ

Parametrik form

Denklem, sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonları kullanılarak parametrik formda şu şekilde yazılabilir

$x=a+r\,\cos t,$

$y=b+r\,\sin t,$

Burada t, 0 ila 2π aralığında parametrik bir değişkendir ve geometrik olarak (a, b)'den (x, y)'ye giden ışının pozitif x ekseni ile yaptığı açı olarak yorumlanır. ⓘ

Dairenin alternatif bir parametrelendirmesi şöyledir

$x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$

$y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.$ ⓘ

Bu parametrizasyonda, t'nin r'ye oranı geometrik olarak merkezden geçen doğrunun x eksenine paralel stereografik izdüşümü olarak yorumlanabilir (bkz. Teğet yarım açı ikamesi). Bununla birlikte, bu parametrelendirme yalnızca t'nin yalnızca tüm gerçekler boyunca değil, aynı zamanda sonsuzdaki bir noktaya kadar uzanması durumunda çalışır; aksi takdirde, dairenin en soldaki noktası atlanmış olur. ⓘ

3 noktalı form

Üç nokta tarafından belirlenen dairenin denklemi $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ Bir doğru üzerinde olmayan bir daire denkleminin 3 nokta formunun dönüştürülmesiyle elde edilir:

${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.$ ⓘ

Homojen form

Homojen koordinatlarda, bir çember denklemine sahip her konik kesit aşağıdaki forma sahiptir

$x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.$ ⓘ

Bir konik kesitin, (karmaşık projektif düzleme genişletildiğinde) I(1: i: 0) ve J(1: -i: 0) noktalarını içerdiğinde tam olarak bir daire olduğu kanıtlanabilir. Bu noktalar sonsuzdaki dairesel noktalar olarak adlandırılır. ⓘ

Kutupsal koordinatlar

Kutupsal koordinatlarda bir dairenin denklemi şöyledir

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},$ ⓘ

burada a dairenin yarıçapıdır, $(r,\theta )$ çember üzerindeki genel bir noktanın kutupsal koordinatları ve $(r_{0},\phi )$ dairenin merkezinin kutupsal koordinatlarıdır (yani, r₀ orijinden dairenin merkezine olan uzaklıktır ve φ pozitif x ekseninden orijini dairenin merkezine bağlayan doğruya saat yönünün tersine olan açıdır). Orijin merkezli bir çember için, yani r₀ = 0, bu basitçe r = a'ya indirgenir. r₀ = a olduğunda veya orijin çemberin üzerinde yer aldığında, denklem şu hale gelir

$r=2a\cos(\theta -\phi ).$ ⓘ

Genel durumda, denklem r için çözülerek aşağıdakiler elde edilebilir

$r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.$

işareti olmadan, denklemin bazı durumlarda bir dairenin sadece yarısını tanımlayacağını unutmayın. ⓘ

Karmaşık düzlem

Karmaşık düzlemde, merkezi c ve yarıçapı r olan bir daire denkleme sahiptir ⓘ

$|z-c|=r.$ ⓘ

Parametrik formda bu şu şekilde yazılabilir ⓘ

$z=re^{it}+c.$ ⓘ

Biraz genelleştirilmiş denklem

$pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q$ ⓘ

gerçek p, q ve karmaşık g için bazen genelleştirilmiş çember olarak adlandırılır. Bu, aşağıdaki özelliklere sahip bir çember için yukarıdaki denkleme dönüşür $p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}$çünkü $|z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}$. Tüm genelleştirilmiş daireler aslında daire değildir: genelleştirilmiş bir daire ya (gerçek) bir daire ya da bir doğrudur. ⓘ

Teğet çizgiler

P = (x₁, y₁) ve dairenin merkezi (a, b) ve yarıçapı r ise, teğet doğrusu (a, b)'den (x₁, y₁)'e giden doğruya diktir, bu nedenle (x₁ - a)x + (y₁ - b)y = c biçimindedir. (x₁, y₁)'de değerlendirme yapmak c'nin değerini belirler ve sonuç olarak teğetin denklemi

$(x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},$

veya

$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.$ ⓘ

Eğer y₁ ≠ b ise, bu doğrunun eğimi

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.$ ⓘ

Bu, örtük türev kullanılarak da bulunabilir. ⓘ

Çemberin merkezi orijinde olduğunda, teğet doğrusunun denklemi şöyle olur

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2},$

ve eğimi ise

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.$ ⓘ

Özellikler

• Daire, belirli bir çevre uzunluğu için en büyük alana sahip şekildir (bkz. İzoperimetrik eşitsizlik).
• Daire oldukça simetrik bir şekildir: merkezden geçen her çizgi bir yansıma simetrisi çizgisi oluşturur ve her açı için merkez etrafında dönme simetrisine sahiptir. Simetri grubu ortogonal grup O(2,R)'dir. Tek başına dönme grubu daire grubu T'dir.
• Tüm çemberler birbirine benzer.
  • Bir dairenin çevresi ve yarıçapı orantılıdır.
  • Kapladığı alan ve yarıçapının karesi orantılıdır.
  • Orantılılık sabitleri sırasıyla 2π ve π'dir.
• Orijin merkezli ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir.
  • Birim kürenin büyük bir çemberi olarak düşünüldüğünde, Riemann çemberi olur.
• Hepsi aynı doğru üzerinde olmayan herhangi üç noktadan geçen benzersiz bir çember vardır. Kartezyen koordinatlarda, çemberin merkezinin koordinatları ve verilen üç noktanın koordinatları cinsinden yarıçap için açık formüller vermek mümkündür. Bakınız çember çevresi. ⓘ

Akor

• Akorlar, ancak ve ancak uzunlukları eşitse bir dairenin merkezinden eşit uzaklıktadır.
• Bir kirişin dik açıortayı bir çemberin merkezinden geçer; dik açıortayın tekliğinden kaynaklanan eşdeğer ifadeler şunlardır:
  • Bir dairenin merkezinden geçen dik bir doğru parçası kirişi ikiye böler.
  • Merkezden geçen ve bir kirişi ikiye bölen doğru parçası kirişe diktir.
• Eğer bir çemberin merkez açısı ve iç açısı aynı kiriş tarafından ve kirişin aynı kenarı tarafından kesiliyorsa, merkez açı iç açının iki katıdır.
• Eğer iki açı aynı kiriş üzerinde ve kirişin aynı tarafında yer alıyorsa, o zaman eşittirler.
• Eğer iki açı aynı kiriş üzerinde ve kirişin zıt taraflarında yer alıyorsa, o zaman tamamlayıcıdırlar.
  • Döngüsel bir dörtgen için, dış açı içteki karşı açıya eşittir.
• Bir çap tarafından alttan çizilen bir açı dik açıdır (bkz. Thales teoremi).
• Çap, dairenin en uzun kirişidir.
  • Ortak kirişi AB olan tüm çemberler arasında, yarıçapı en küçük olan çember AB çapına sahip olandır.
• Eğer herhangi iki akorun kesişimi bir akoru a ve b uzunluklarına böler ve diğer akoru c ve d uzunluklarına bölerse, o zaman ab = cd olur.
• Herhangi iki dik akorun kesişimi bir akoru a ve b uzunluklarına böler ve diğer akoru c ve d uzunluklarına bölerse, a² + b² + c² + d² çapın karesine eşittir.
• Belirli bir noktada dik açıyla kesişen herhangi iki kirişin karesel uzunluklarının toplamı, aynı noktada kesişen diğer iki dik kirişin karesel uzunluklarının toplamıyla aynıdır ve 8r² - 4p² ile verilir; burada r çember yarıçapı, p ise merkez noktadan kesişme noktasına olan uzaklıktır.
• Çember üzerindeki bir noktadan verilen bir kirişe olan uzaklık ile çember çapının çarpımı, noktadan kirişin uçlarına olan uzaklıkların çarpımına eşittir. ⓘ

Tanjant

• Bir yarıçapa, yarıçapın çember üzerinde kalan uç noktasından dik olarak çizilen bir doğru, çembere teğettir.
• Bir çemberle temas noktasından geçen bir teğete dik olarak çizilen bir doğru çemberin merkezinden geçer.
• Çemberin dışındaki herhangi bir noktadan bir çembere her zaman iki teğet çizilebilir ve bu teğetlerin uzunlukları eşittir.
• A'daki bir teğet ve B'deki bir teğet P dış noktasında kesişiyorsa, merkezi O olarak gösterirsek, ∠BOA ve ∠BPA açıları tamamlayıcıdır.
• Eğer AD çembere A'da teğet ise ve AQ çemberin bir akoru ise, o zaman ∠DAQ = 1/2arc(AQ). ⓘ

Teoremler

Sekant-sekant teoremi ⓘ

• Akor teoremi, CD ve EB olmak üzere iki akorun A'da kesişmesi durumunda AC × AD = AB × AE olacağını belirtir.
• Eğer iki sekant, AE ve AD, çemberi sırasıyla B ve C'de kesiyorsa, AC × AD = AB × AE (akor teoreminin sonucu).
• Bir teğet, uçları çakışan bir sekantın sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. Eğer A dış noktasından gelen bir teğet çemberi F'de karşılıyorsa ve A dış noktasından gelen bir sekant çemberi sırasıyla C ve D'de karşılıyorsa, AF² = AC × AD (teğet sekant teoremi).
• Bir kiriş ile uç noktalarından birindeki teğet arasındaki açı, kirişin karşı tarafındaki çemberin merkezinde yapılan açının yarısına eşittir (teğet kiriş açısı).
• Eğer kirişin merkezde yaptığı açı 90° ise, o zaman ℓ = r √2 olur; burada ℓ kirişin uzunluğu, r ise dairenin yarıçapıdır.
• Sağda gösterildiği gibi çemberin içine iki sekant yazılırsa, A açısının ölçümü, kapalı yayların ölçümlerinin farkının yarısına eşittir (${\overset {\frown }{DE}}$ ve ${\overset {\frown }{BC}}$). Yani, $2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}$burada O çemberin merkezidir (sekant-sekant teoremi). ⓘ

Girintili açılar

Dosya:İnscribed angle theorem.svg

Yazılı açı teoremi ⓘ

Bir iç açı (şekildeki mavi ve yeşil açılar buna örnektir) karşılık gelen merkez açının (kırmızı) tam yarısıdır. Dolayısıyla, aynı yayı (pembe) kesen tüm iç açılar eşittir. Yay üzerine yazılan açılar (kahverengi) tamamlayıcıdır. Özellikle, bir çapı kesen her açı bir dik açıdır (çünkü merkez açı 180°'dir). ⓘ

Sagitta

Sagitta dikey segmenttir. ⓘ

Sagitta (versine olarak da bilinir), bir akorun orta noktası ile çemberin yayı arasında, akora dik olarak çizilen bir doğru parçasıdır. ⓘ

Bir akorun y uzunluğu ve sagittanın x uzunluğu verildiğinde, Pisagor teoremi iki doğrunun etrafına sığacak tek dairenin yarıçapını hesaplamak için kullanılabilir:

$r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.$ ⓘ

Bu sonucun sadece yukarıda verilen iki akor özelliğine dayanan bir başka kanıtı da aşağıdaki gibidir. Uzunluğu y olan ve sagitta uzunluğu x olan bir akor verildiğinde, sagitta akorun orta noktasıyla kesiştiğinden, bunun çemberin çapının bir parçası olduğunu biliyoruz. Çap yarıçapın iki katı olduğundan, çapın "eksik" kısmı (2r - x) uzunluğundadır. Bir akorun bir parçasının diğer parçayla çarpımının, ilk akoru kesen bir akor boyunca alınan aynı çarpıma eşit olduğu gerçeğini kullanarak, (2r - x)x = (y / 2)² olduğunu buluruz. r için çözdüğümüzde, gerekli sonucu buluruz. ⓘ

Pergel ve çizgeç konstrüksiyonları

Çemberlerle sonuçlanan birçok pergel ve düz kenar yapısı vardır. ⓘ

En basit ve en temel olanı, dairenin merkezi ve daire üzerinde bir nokta verilen yapıdır. Pergelin sabit ayağını merkez noktasına, hareketli ayağını çember üzerindeki noktaya yerleştirin ve pergeli döndürün. ⓘ

Verilen çap ile konstrüksiyon

• Çapın orta noktası M'yi oluşturun.
• Çapın uç noktalarından birinden geçen M merkezli bir çember oluşturun (diğer uç noktadan da geçecektir). ⓘ

Üçgenin kenarlarının (mavi) dik açıortaylarını (kırmızı) bularak A, B ve C noktalarından geçen bir çember oluşturun. Merkezi bulmak için üç açıortaydan sadece ikisine ihtiyaç vardır. ⓘ

Doğrusal olmayan üç nokta üzerinden inşa

• P, Q ve R noktalarını adlandırın,
• PQ doğru parçasının dik açıortayını oluşturunuz.
• PR doğru parçasının dik açıortayını oluşturun.
• Bu iki dik açıortayın kesiştiği noktayı M olarak etiketleyiniz (Noktalar aynı hizada olmadığı için kesişirler).
• Merkezi M olan ve P, Q veya R noktalarından birinden geçen bir çember oluşturun (diğer iki noktadan da geçecektir). ⓘ

Apollonius'un Çemberi

Apollonius'un daire tanımı: d₁/d₂ sabiti ⓘ

Perga'lı Apollonius, bir dairenin, A ve B gibi iki sabit odağa olan uzaklıkları sabit bir orana (1'den farklı) sahip olan bir düzlemdeki noktalar kümesi olarak da tanımlanabileceğini göstermiştir. (Uzaklıkların eşit olduğu noktalar kümesi, bir doğru olan AB doğru parçasının dik açıortayıdır). Bu çemberin bazen iki nokta etrafında çizildiği söylenir. ⓘ

İspat iki bölümden oluşur. İlk olarak, iki odak A ve B ve bir uzaklık oranı verildiğinde, uzaklık oranını sağlayan herhangi bir P noktasının belirli bir çember üzerinde olması gerektiği kanıtlanmalıdır. C, yine oranı sağlayan ve AB doğru parçası üzerinde yer alan başka bir nokta olsun. Açıortay teoremine göre, PC doğru parçası APB iç açısını ikiye bölecektir, çünkü parçalar benzerdir:

${\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.$ ⓘ

Benzer şekilde, AB doğru parçası üzerindeki bir D noktasından geçen PD doğru parçası, Q'nun AP doğru parçası üzerinde olduğu BPQ dış açısını keser. İç ve dış açıların toplamı 180 derece olduğundan, CPD açısı tam olarak 90 derecedir; yani bir dik açıdır. CPD açısı bir dik açı olacak şekilde P noktalarının kümesi, CD'nin bir çap olduğu bir çember oluşturur. ⓘ

İkinci olarak, belirtilen çember üzerindeki her noktanın verilen oranı sağladığına dair bir kanıta bakınız. ⓘ

Çapraz oranlar

Çemberlerin yakından ilişkili bir özelliği, karmaşık düzlemdeki noktaların çapraz oranının geometrisini içerir. A, B ve C yukarıdaki gibi ise, bu üç nokta için Apollonius'un çemberi, çapraz oranın mutlak değerinin bire eşit olduğu P noktalarının toplamıdır:

${\big |}[A,B;C,P]{\big |}=1.$ ⓘ

Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, P, ancak ve ancak [A, B; C, P] çapraz oranı karmaşık düzlemde birim çember üzerindeyse Apollonius çemberi üzerinde bir noktadır. ⓘ

Genelleştirilmiş çemberler

Eğer C, AB doğru parçasının orta noktası ise, Apollonius koşulunu sağlayan P noktalarının toplamı

${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}$  ⓘ

bir çember değil, bir doğrudur. ⓘ

Dolayısıyla, A, B ve C düzlemde farklı noktalar olarak verilirse, yukarıdaki denklemi sağlayan P noktalarının lokusuna "genelleştirilmiş çember" denir. Bu gerçek bir çember ya da bir doğru olabilir. Bu anlamda bir doğru, sonsuz yarıçaplı genelleştirilmiş bir çemberdir. ⓘ

Diğer şekillerin içine yazılması veya etrafının çevrelenmesi

Her üçgende, üçgenin üç kenarının her birine teğet olacak şekilde iç çember adı verilen benzersiz bir çember çizilebilir. ⓘ

Her üçgende, üçgenin üç köşesinin her birinden geçecek şekilde çevre çemberi adı verilen benzersiz bir çember çizilebilir. ⓘ

Teğetsel bir çokgen, örneğin teğetsel bir dörtgen, içine çokgenin her bir kenarına teğet olan bir dairenin yazılabildiği herhangi bir dışbükey çokgendir. Her düzgün çokgen ve her üçgen bir teğet çokgendir. ⓘ

Döngüsel çokgen, her bir tepe noktasından geçen bir dairenin çevrelenebildiği herhangi bir dışbükey çokgendir. İyi çalışılmış bir örnek döngüsel dörtgendir. Her düzgün çokgen ve her üçgen bir döngüsel çokgendir. Hem döngüsel hem de teğetsel olan bir çokgene iki merkezli çokgen denir. ⓘ

Bir hiposikloid, verilen bir çemberin içinde yuvarlanan ve verilen çembere teğet olan daha küçük bir çember üzerindeki sabit bir noktayı izleyerek verilen bir çemberin içine yazılan bir eğridir. ⓘ

Diğer şekillerin sınırlayıcı durumu

Daire, diğer çeşitli şekillerin her birinin sınırlayıcı bir durumu olarak görülebilir:

• Kartezyen oval, herhangi bir noktasından iki sabit noktaya (odak) olan uzaklıkların ağırlıklı toplamı sabit olacak şekilde bir noktalar kümesidir. Bir elips, ağırlıkların eşit olduğu durumdur. Daire, dışmerkezliği sıfır olan bir elipstir, yani iki odak dairenin merkezi olarak birbiriyle çakışır. Daire aynı zamanda ağırlıklardan birinin sıfır olduğu Kartezyen ovalin farklı bir özel durumudur.
• Bir süperelips şu formda bir denkleme sahiptir $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ Bir süper daire b = a'ya sahiptir. Bir daire, n = 2 olan bir süper dairenin özel durumudur.
• Bir Cassini oval, herhangi bir noktasından iki sabit noktaya olan uzaklıkların çarpımı bir sabit olacak şekilde bir noktalar kümesidir. İki sabit nokta çakıştığında, bir daire ortaya çıkar.
• Sabit genişlikli bir eğri, her biri sınırını tek bir noktada kesen iki farklı paralel çizgi arasındaki dik mesafe olarak tanımlanan genişliği, bu iki paralel çizginin yönünden bağımsız olarak aynı olan bir şekildir. Daire bu tür şekillerin en basit örneğidir. ⓘ

Diğer p-normlarında

Farklı p-normlarında birim çemberlerin (ayrıca bkz. süperelips) çizimleri (orijinden birim çembere giden her vektörün uzunluğu birdir, uzunluk ilgili p'nin uzunluk formülü ile hesaplanır). ⓘ

Bir daireyi bir noktadan sabit uzaklıkta olan noktalar kümesi olarak tanımlarsak, farklı şekiller farklı uzaklık tanımları altında daire olarak kabul edilebilir. p-normunda, mesafe şu şekilde belirlenir

$\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$

Öklid geometrisinde p = 2'dir, bu da bilinen

$\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.$ ⓘ

Taksi geometrisinde p = 1'dir. Taksi çemberleri, kenarları koordinat eksenlerine 45° açıyla yönlendirilmiş karelerdir. Her bir kenarın uzunluğu ${\sqrt {2}}r$ r'nin dairenin yarıçapı olduğu bir Öklid metriği kullanarak, taksi geometrisindeki uzunluğu 2r'dir. Dolayısıyla, bir dairenin çevresi 8r'dir. Böylece, geometrik bir analogun değeri $\pi$ bu geometride 4'tür. Taksi geometrisinde birim çember için formül şöyledir $|x|+|y|=1$ Kartezyen koordinatlarda ve ⓘ

$r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}$ ⓘ

kutupsal koordinatlarda. ⓘ

Yarıçapı 1 olan bir daire (bu mesafeyi kullanarak) merkezinin von Neumann komşuluğudur. ⓘ

Bir düzlemde Chebyshev uzaklığı (L_∞ metriği) için r yarıçaplı bir daire de koordinat eksenlerine paralel kenar uzunluğu 2r olan bir karedir, bu nedenle düzlemsel Chebyshev uzaklığı döndürme ve ölçeklendirme ile düzlemsel taksi mesafesine eşdeğer olarak görülebilir. Ancak, L₁ ve L_∞ metrikleri arasındaki bu eşdeğerlik daha yüksek boyutlara genelleştirilemez. ⓘ

Sabit toplamın lokusu

Sonlu bir küme düşünün $n$ düzlemdeki noktalar. Verilen noktalara olan uzaklıkların karelerinin toplamı sabit olacak şekilde noktaların bulunduğu yer, merkezi verilen noktaların merkez üssünde olan bir çemberdir. Mesafelerin daha büyük kuvvetleri için bir genelleme aşağıdaki durumlarda elde edilir $n$ düzgün çokgenin köşelerini işaret eder $P_{n}$ alınır. Noktaların lokusu, öyle ki toplamı $(2m)$mesafelerin -'inci gücü $d_{i}$ çevre yarıçapına sahip belirli bir düzgün çokgenin köşelerine $R$ sabit ise bir çemberdir, eğer ⓘ

$\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m}$, nerede $m$=1,2,…, $n$-1; ⓘ

merkezinin centroidi olan $P_{n}$. ⓘ

Eşkenar üçgen durumunda, ikinci ve dördüncü kuvvetlerin sabit toplamlarının yerleri dairelerdir; kare için ise, ikinci, dördüncü ve altıncı kuvvetlerin sabit toplamlarının yerleri dairelerdir. Düzgün beşgen için mesafelerin sekizinci kuvvetlerinin sabit toplamı eklenecek ve bu böyle devam edecektir. ⓘ

Dairenin karesini alma

Çemberin karesini almak, eski geometriciler tarafından önerilen, pergel ve çizgeç ile sadece sonlu sayıda adım kullanarak belirli bir çemberle aynı alana sahip bir kare inşa etme problemidir. ⓘ

1882 yılında, pi (π)'nin cebirsel irrasyonel bir sayıdan ziyade transandantal bir sayı olduğunu, yani rasyonel katsayılara sahip herhangi bir polinomun kökü olmadığını kanıtlayan Lindemann-Weierstrass teoreminin bir sonucu olarak bu görevin imkansız olduğu kanıtlanmıştır. İmkansızlığına rağmen, bu konu pseudomath meraklıları için ilgi çekici olmaya devam etmektedir. ⓘ

Sanat ve sembolizmdeki önemi

Bilinen en eski uygarlıklardan bu yana - Asurlular ve eski Mısırlılar, İndus Vadisi ve Çin'deki Sarı Nehir boyunca yaşayanlar ve klasik Antik Çağ'da antik Yunan ve Roma'nın Batı uygarlıkları gibi - daire, görsel sanatta sanatçının mesajını iletmek ve belirli fikirleri ifade etmek için doğrudan veya dolaylı olarak kullanılmıştır. Ancak dünya görüşündeki (inançlar ve kültür) farklılıklar sanatçıların algıları üzerinde büyük bir etkiye sahip olmuştur. Bazıları demokratik tezahürlerini göstermek için dairenin çevresini vurgularken, diğerleri kozmik birlik kavramını sembolize etmek için merkezine odaklanmıştır. Mistik doktrinlerde daire esas olarak varoluşun sonsuz ve döngüsel doğasını sembolize ederken, dini geleneklerde göksel cisimleri ve ilahi ruhları temsil eder. Daire, birlik, sonsuzluk, bütünlük, evren, ilahiyat, denge, istikrar ve mükemmellik gibi birçok kutsal ve ruhani kavramı ifade eder. Bu tür kavramlar, dünya çapındaki kültürlerde, örneğin pusula, hale, vesica piscis ve türevleri (balık, göz, aureole, mandorla, vb.), ouroboros, Dharma çarkı, gökkuşağı, mandalalar, gül pencereler ve benzeri sembollerin kullanımı yoluyla aktarılmıştır. ⓘ

Çevre formülü

Yarıçapı r olan bir çember için çevre $\pi$ sayısının formülünden bulunur ⓘ

$\pi ={\frac {\mbox{Ç}}{R}}={\frac {\mbox{Ç}}{2r}}$

${\mbox{Ç}}=2\cdot \pi \cdot r$ formülüyle bulunur. ⓘ

Çemberin açıları

Çemberin merkezi, merkez açının köşesidir. Çevre açının köşesi, çemberin üzerindedir. Merkez açının içinde kalan çember parçasına, merkez açının gördüğü yay; çevre açının içinde kalan çember parçasına, çevre açının gördüğü yay denir. Merkez açının kenarlarının, çemberi kestiği noktaların arasındaki yaylardan birisi majör, yani büyük çember yayı, diğeri de minör, yani küçük çember yayıdır. Merkez açının gördüğü yay, minör yaydır. Merkez açının ölçüsü, 0 ile 180 derece arasında, çember yaylarının ise, 0 ile 360 derece arasındadır. ⓘ

Bir AB çember yayı ve gösterilişi. ⓘ

Bir çemberin yarıçapı (r). ⓘ