Silindir

Silindir ⓘ

Silindir (ya da üstüvane) geometrik bir cisimdir. ⓘ

• Hacmi: $V=\pi \cdot r^{2}\cdot h$
• Yüzey alanı: $A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,$ ⓘ

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle silindir şeklini elde ederiz. Bu silindire dik veya döner silindir denir. Alt ve üst tabanı dairedir. Soba borusu dik silindire bir örnektir. ⓘ

Matematik kategorisinde silindirin genel tanımı şöyledir: Düzlemsel bir eğriyle bu eğrinin düzleminde bulunmayan bir doğru verildiğinde, daima bu doğruya paralel kalmak şartıyla eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun taradığı yüzeye silindirik yüzey denir. Bu silindirik yüzeyle, bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisme silindir denir. Silindir yüzeyini meydana getiren doğrulardan her birine ana doğru denir. ⓘ

Silindire, taban eğrisine göre isim verilir. Eğri daire ise dairevi silindir, elips ise eliptik silindir denir. Silindirik yüzey için taban eğrisinin kapalı olması gerekmez. Parabolik silindir, hiperbolik silindir, birer silindirik yüzeydir. Dairevi silindirin ana doğrusu tabana dik değilse böyle silindire eğik silindir denir. ⓘ

Taban yarıçapı “r”, yüksekliği “h” olan bir dik silindirin alan ve hacim formülleri şöyledir: Yan alan: Y=2prh ⓘ

İki taban alanı: 2G=2pr2 ⓘ

Bütün alanı: S=Y+2G=2prh+2pr2=2pr (h+r) ⓘ

Hacmi: V= p.r². h ⓘ

Bir şasiye monte edilmiş, tekerlek vazifesi gören bir veya birkaç büyük madenî silindirden meydana gelen ve toprağı, şoseleri kaplayan malzemeyi sıkıştırmak ve ezmek için kullanılan, dökme demirden yapılmış büyük ağırlığa, şeklinden dolayı silindir adı verilir. ⓘ

Otomobilde, tekstil ve kâğıt sanayisinde çeşitli silindirler kullanılmaktadır. ⓘ

ⓘ

Silindir (Yunanca: κύλινδρος, romanize: kulindros, lit. 'roller', 'tumbler') geleneksel olarak eğrisel geometrik şekillerin en temellerinden biri olan üç boyutlu bir katıdır. Geometrik olarak, tabanı daire olan bir prizma olarak düşünülebilir. ⓘ

Bu geleneksel görüş geometrinin temel uygulamalarında hala kullanılmaktadır, ancak ileri matematiksel bakış açısı sonsuz eğrisel yüzeye kaymıştır ve silindir artık geometri ve topolojinin çeşitli modern dallarında bu şekilde tanımlanmaktadır. ⓘ

Temel anlamdaki değişim (katıya karşı yüzey) terminolojide bazı belirsizlikler yaratmıştır. Genellikle bağlamın anlamı netleştirmesi umulur. Her iki bakış açısı da tipik olarak katı silindirlere ve silindirik yüzeylere atıfta bulunarak sunulur ve ayırt edilir, ancak literatürde süslenmemiş silindir terimi bunlardan herhangi birine veya daha da özel bir nesne olan dik dairesel silindire atıfta bulunabilir. ⓘ

Türler

Bu bölümdeki tanımlar ve sonuçlar George Wentworth ve David Eugene Smith'in 1913 tarihli Düzlem ve Katı Geometri kitabından alınmıştır (Wentworth & Smith 1913). ⓘ

A silindirik yüzey verilen bir doğruya paralel olan ve verilen doğruya paralel olmayan bir düzlemde sabit bir düzlem eğrisinden geçen tüm doğrular üzerindeki tüm noktalardan oluşan bir yüzeydir. Bu paralel doğrular ailesindeki herhangi bir doğruya silindirik yüzeyin bir elemanı denir. Kinematik bakış açısına göre, directrix olarak adlandırılan bir düzlem eğrisi verildiğinde, silindirik bir yüzey, directrix düzleminde olmayan, kendisine paralel hareket eden ve her zaman directrix'ten geçen generatrix olarak adlandırılan bir çizgi tarafından izlenen yüzeydir. Generatrisin herhangi bir özel konumu silindirik yüzeyin bir elemanıdır. ⓘ

Bir dik ve bir eğik dairesel silindir ⓘ

Silindirik bir yüzey ve iki paralel düzlem tarafından sınırlanan bir katıya (katı) denir Silindir. İki paralel düzlem arasındaki silindirik yüzeyin bir elemanı tarafından belirlenen doğru parçalarına silindirin bir elemanı denir. Bir silindirin tüm elemanları eşit uzunluğa sahiptir. Paralel düzlemlerden herhangi birinde silindirik yüzey tarafından sınırlanan bölgeye a taban silindirin. Bir silindirin iki tabanı eş şekillerdendir. Eğer silindirin elemanları tabanları içeren düzlemlere dik ise, silindir bir sağ silindirolarak adlandırılır, aksi takdirde eğik silindir. Eğer tabanlar diskler ise (sınırları daire olan bölgeler) silindire dairesel silindir. Bazı temel uygulamalarda silindir her zaman dairesel bir silindir anlamına gelir. ⓘ

Bu da yükseklik (veya yükseklik) bir silindirin tabanları arasındaki dik mesafedir. ⓘ

Bir doğru parçasının paralel olduğu sabit bir doğru etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindir devir silindiri. Devir silindiri dik dairesel bir silindirdir. Devir silindirinin yüksekliği, üreten doğru parçasının uzunluğudur. Doğru parçasının etrafında döndüğü doğruya eksen ve iki tabanın merkezinden geçmektedir. ⓘ

Yarıçapı r ve yüksekliği h olan dik dairesel bir silindir ⓘ

Dik dairesel silindirler

Çıplak silindir terimi genellikle eksene dik dairesel uçları olan katı bir silindiri, yani şekilde gösterildiği gibi dik dairesel bir silindiri ifade eder. Uçları olmayan silindirik yüzeye silindir denir. açık silindir. Dik dairesel bir silindirin yüzey alanı ve hacmi için formüller antik çağlardan beri bilinmektedir. ⓘ

Bir dik dairesel silindir, bir dikdörtgenin kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle elde edilen devrim katı olarak da düşünülebilir. Bu silindirler, devir katılarının hacimlerini elde etmek için bir entegrasyon tekniğinde ("disk yöntemi") kullanılır. ⓘ

Özellikler

Silindirik kesitler

Silindirik kesit ⓘ

Silindirik kesit, bir silindirin yüzeyinin bir düzlemle kesişimidir. Bunlar genel olarak eğrilerdir ve düzlem kesitlerinin özel türleridir. Bir silindirin iki elemanını içeren bir düzlemin silindirik kesiti bir paralelkenardır. Bir dik silindirin böyle bir silindirik kesiti bir dikdörtgendir. ⓘ

Kesişen düzlemin silindirin tüm elemanlarıyla kesiştiği ve onlara dik olduğu silindirik kesite sağ bölüm. Eğer bir silindirin dik kesiti bir daire ise, o zaman silindir dairesel bir silindirdir. Daha genel olarak, bir silindirin sağ kesiti bir konik kesit (parabol, elips, hiperbol) ise, katı silindirin sırasıyla parabolik, eliptik ve hiperbolik olduğu söylenir. ⓘ

Bir dik dairesel silindirin silindirik kesitleri ⓘ

Dik dairesel bir silindir için, düzlemlerin bir silindiri karşılayabileceği birkaç yol vardır. Birincisi, bir tabanı en fazla bir noktada kesen düzlemlerdir. Bir düzlem, silindiri tek bir elemanda karşılıyorsa silindire teğettir. Doğru kesitler dairelerdir ve diğer tüm düzlemler silindirik yüzeyi bir elips içinde keser. Eğer bir düzlem silindirin bir tabanını tam olarak iki noktada kesiyorsa, bu noktaları birleştiren doğru parçası silindirik kesitin bir parçasıdır. Böyle bir düzlem iki eleman içeriyorsa, silindirik kesit olarak bir dikdörtgene sahiptir, aksi takdirde silindirik kesitin kenarları bir elipsin bölümleridir. Son olarak, bir düzlem bir tabanın ikiden fazla noktasını içeriyorsa, tüm tabanı içerir ve silindirik bölüm bir dairedir. ⓘ

Silindirik kesiti elips olan dik dairesel bir silindir söz konusu olduğunda, silindirik kesitin dış merkezliği e ve silindirik kesitin yarı büyük ekseni a, silindirin yarıçapı r'ye ve sekant düzlemi ile silindir ekseni arasındaki α açısına aşağıdaki şekilde bağlıdır:

$e=\cos \alpha ,$ ⓘ

$a={\frac {r}{\sin \alpha }}.$ ⓘ

Hacim

Dairesel bir silindirin tabanı r yarıçapına ve silindir h yüksekliğine sahipse, hacmi şu şekilde verilir ⓘ

V = πr²h. ⓘ

Bu formül, silindirin dik silindir olup olmadığına bakılmaksızın geçerlidir. ⓘ

Bu formül Cavalieri'nin prensibi kullanılarak oluşturulabilir. ⓘ

Taban elipsi için a ve b yarı eksenleri ve h yüksekliği olan katı bir eliptik silindir ⓘ

Daha genel olarak, aynı prensiple, herhangi bir silindirin hacmi, bir tabanın alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Örneğin, yarı büyük ekseni a, yarı küçük ekseni b ve yüksekliği h olan bir tabana sahip eliptik bir silindirin hacmi V = Ah'dir; burada A, taban elipsinin alanıdır (= πab). Dik eliptik silindirler için bu sonuç, silindir ekseninin pozitif x ekseni ve A(x) = A'nın her bir eliptik kesitin alanı olarak alındığı entegrasyon yoluyla da elde edilebilir:

$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$ ⓘ

Silindirik koordinatlar kullanılarak, dik dairesel bir silindirin hacmi aşağıdakiler üzerinden integral alınarak hesaplanabilir

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h.$ ⓘ

Yüzey alanı

Yarıçapı r ve yüksekliği (yüksekliği) h olan, ekseni dikey olacak şekilde yönlendirilmiş dik dairesel bir silindirin yüzey alanı üç parçadan oluşur:

• üst tabanın alanı: πr²
• alt tabanın alanı: πr²
• kenarın alanı: 2πrh ⓘ

Üst ve alt tabanların alanı aynıdır ve taban alanı, B olarak adlandırılır. yanal alan, L. ⓘ

Açık bir silindir üst veya alt elemanları içermez ve bu nedenle yüzey alanına (yanal alan) sahiptir

L = 2πrh. ⓘ

Katı dik dairesel silindirin yüzey alanı üç bileşenin toplamından oluşur: üst, alt ve yan. Bu nedenle yüzey alanı şöyledir,

A = L + 2B = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r) = πd(r + h),

Burada d = 2r dairesel üst veya alt kısmın çapıdır. ⓘ

Belirli bir hacim için, en küçük yüzey alanına sahip dik dairesel silindir h = 2r'ye sahiptir. Eşdeğer olarak, belirli bir yüzey alanı için, en büyük hacme sahip dik dairesel silindir h = 2r'ye sahiptir, yani silindir kenar uzunluğu = yükseklik ( = taban dairesinin çapı) olan bir küpün içine rahatça sığar. ⓘ

Dik silindir olması gerekmeyen dairesel bir silindirin yanal alanı, L, daha genel olarak şu şekilde verilir:

L = e × p,

Burada e bir elemanın uzunluğu ve p silindirin dik bir kesitinin çevresidir. Bu, silindir dik dairesel bir silindir olduğunda yanal alan için önceki formülü üretir. ⓘ

İçi boş silindir ⓘ

Dik dairesel içi boş silindir (silindirik kabuk)

Dik dairesel içi boş bir silindir (veya silindirik kabuk), aynı eksene sahip iki dik dairesel silindir ve diyagramdaki gibi silindirlerin ortak eksenine dik iki paralel dairesel taban ile sınırlanan üç boyutlu bir bölgedir. ⓘ

Yükseklik h, iç yarıçap r ve dış yarıçap R olsun. Hacim şu şekilde verilir ⓘ

$V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).$. ⓘ

Böylece, silindirik bir kabuğun hacmi 2π(ortalama yarıçap)(yükseklik)(kalınlık)'a eşittir. ⓘ

Üst ve alt kısımlar dahil olmak üzere yüzey alanı şu şekilde verilir ⓘ

$A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).$. ⓘ

Silindirik kabuklar, devirli katıların hacimlerini bulmak için yaygın bir entegrasyon tekniğinde kullanılır. ⓘ

Küre ve Silindir Üzerine

Bir küre, tabanları da dahil olmak üzere kendisini çevreleyen silindirin hacminin ve yüzey alanının 2/3'üne sahiptir ⓘ

Arşimet, M.Ö. 225 yılında yazdığı bu eserinde en çok gurur duyduğu sonucu, yani bir küre ile aynı yükseklik ve çaptaki dairesel dik silindir arasındaki ilişkiden yararlanarak kürenin hacmi ve yüzey alanı için formülleri elde etmiştir. Küre, çevreleyen silindirin üçte ikisi kadar bir hacme ve silindirin (tabanlar dahil) üçte ikisi kadar bir yüzey alanına sahiptir. Silindir için değerler zaten bilindiğinden, ilk kez küre için karşılık gelen değerleri elde etti. Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi 4/3πr³ = 2/3 (2πr³)'tür. Bu kürenin yüzey alanı ise 4πr² = 2/3 (6πr²)'dir. Arşimet'in mezarına kendi isteği üzerine yontulmuş bir küre ve silindir yerleştirilmiştir. ⓘ

Silindirik yüzeyler

Geometri ve topolojinin bazı alanlarında silindir terimi, silindirik yüzey olarak adlandırılan şeyi ifade eder. Silindir, verilen bir doğruya paralel olan ve verilen doğruya paralel olmayan bir düzlemde sabit bir düzlem eğrisinden geçen tüm doğrular üzerindeki tüm noktalardan oluşan bir yüzey olarak tanımlanır. Bu tür silindirler zaman zaman şu şekilde adlandırılmıştır genelleştirilmiş silindirler. Genelleştirilmiş bir silindirin her bir noktasından silindirin içinde yer alan tek bir doğru geçer. Dolayısıyla bu tanım, bir silindirin tek parametreli bir paralel doğrular ailesi tarafından yayılan herhangi bir kurallı yüzey olduğunu söyleyecek şekilde yeniden ifade edilebilir. ⓘ

Elips, parabol veya hiperbol olan bir dik kesite sahip bir silindire sırasıyla eliptik silindir, parabolik silindir ve hiperbolik silindir denir. Bunlar dejenere kuadrik yüzeylerdir. ⓘ

Parabolik silindir ⓘ

Bir kuadrisin ana eksenleri referans çerçevesi ile hizalandığında (bir kuadris için her zaman mümkündür), kuadrisin üç boyuttaki genel denklemi şu şekilde verilir

$f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,$

Eğer denklemde en az bir değişken görünmüyorsa, o zaman kuadrik dejenere olur. Bir değişken eksikse, eksenlerin uygun bir şekilde döndürülmesiyle z değişkeninin görünmediğini varsayabiliriz ve bu tür dejenere kuadrisin genel denklemi şu şekilde yazılabilir

$A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,$

nerede

$\rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.$ ⓘ

Eliptik silindir

Eğer AB > 0 ise bu eliptik bir silindirin denklemidir. Eksenlerin ötelenmesi ve skaler çarpım ile daha fazla basitleştirme elde edilebilir. Eğer $\rho$ A ve B katsayıları ile aynı işarete sahipse, eliptik bir silindirin denklemi Kartezyen koordinatlarda şu şekilde yeniden yazılabilir:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$ ⓘ

Eliptik silindirin bu denklemi, sıradan dairesel silindirin denkleminin (a = b) genelleştirilmiş halidir. Eliptik silindirler silindiroidler olarak da bilinir, ancak bu isim Plücker konoidine de atıfta bulunabileceğinden belirsizdir. ⓘ

Eğer $\rho$ katsayılardan farklı bir işarete sahipse, hayali eliptik silindirleri elde ederiz:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,$ ⓘ

ki bunların üzerinde gerçek nokta yoktur. ($\rho =0$ tek bir gerçek nokta verir). ⓘ

Hiperbolik silindir

A ve B farklı işaretlere sahipse ve $\rho \neq 0$olarak yeniden yazılabilen hiperbolik silindirleri elde ederiz:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$ ⓘ

Parabolik silindir

Son olarak, AB = 0 ise, genelliği kaybetmeden, B = 0 ve A = 1 olarak yazılabilecek denklemlere sahip parabolik silindirleri elde etmek için varsayalım:

${x}^{2}+2a{y}=0.$ ⓘ

Projektif geometride bir silindir basitçe tepesi sonsuzda olan bir konidir, bu da görsel olarak perspektifte gökyüzüne doğru bir koni gibi görünen bir silindire karşılık gelir. ⓘ

Projektif geometri

Projektif geometride silindir, tepesi (tepe noktası) sonsuzdaki düzlemde yer alan bir konidir. Koni ikinci dereceden bir koni ise, sonsuzdaki düzlem (tepe noktasından geçen) koniyi iki gerçek çizgide, tek bir gerçek çizgide (aslında çakışan bir çift çizgi) veya sadece tepe noktasında kesebilir. Bu durumlar sırasıyla hiperbolik, parabolik veya eliptik silindirlere yol açar. ⓘ

Bu kavram, silindirik konikleri de içerebilen dejenere konikler düşünüldüğünde kullanışlıdır. ⓘ

Prizmalar

Kopenhag'daki Tycho Brahe Planetaryum binası, kesik silindirlere bir örnektir ⓘ

Katı dairesel bir silindir, n sonsuza yaklaştığında n köşeli bir prizmanın sınırlayıcı durumu olarak görülebilir. Bu bağlantı çok güçlüdür ve birçok eski metin prizmaları ve silindirleri aynı anda ele almaktadır. Yüzey alanı ve hacim formülleri, prizmalar için karşılık gelen formüllerden, iç içe geçmiş ve çevrelenmiş prizmalar kullanılarak ve daha sonra prizmanın kenar sayısının sınırsız bir şekilde artmasına izin verilerek türetilmiştir. Dairesel silindirlere yapılan erken vurgunun (ve bazen özel muamelenin) bir nedeni, dairesel bir tabanın, bu tekniğin yalnızca temel düşünceler kullanılarak çalıştığı tek geometrik şekil türü olmasıdır (kalkülüs veya daha ileri matematiğe başvurmaksızın). Prizmalar ve silindirler hakkındaki terminoloji aynıdır. Bu nedenle, örneğin, kesik prizma tabanları paralel düzlemlerde bulunmayan bir prizma olduğundan, tabanları paralel düzlemlerde bulunmayan katı bir silindir kesik silindir olarak adlandırılacaktır. ⓘ

Çok yüzlü bir bakış açısıyla, bir silindir, sonsuz kenarlı bir bipiramit olarak bir bicone'un ikizi olarak da görülebilir. ⓘ

Düzgün n-gonal prizmalar ailesi
Prizma adı	Digonal prizma	(Trigonal) Üçgen prizma	(Tetragonal) Kare prizma	Beşgen prizma	Altıgen prizma	Heptagonal prizma	Sekizgen prizma	Enneagonal prizma	Ongen prizma	Hendecagonal prizma	Onikigen prizma	...	Apeirogonal prizma
Polihedron görüntüsü												...
Küresel döşeme görüntüsü												Düzlem döşeme görüntüsü
Vertex yapılandırması.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diyagramı												...