Parabol

Çeşitli özelliklere sahip (diğer renkler) bir parabol parçası (mavi). Tam parabolün uç noktası yoktur. Bu yönelimde sola, sağa ve yukarı doğru sonsuza kadar uzanır. ⓘ

Parabol, konik kesitler ailesinin bir üyesidir. ⓘ

Matematikte parabol, ayna simetrisi olan ve yaklaşık olarak U şeklinde olan bir düzlem eğrisidir. Yüzeysel olarak farklı birkaç matematiksel tanıma uymaktadır, ancak bunların hepsinin tam olarak aynı eğrileri tanımladığı kanıtlanabilir. ⓘ

Parabolün bir tanımı bir nokta (odak) ve bir doğru (directrix) içerir. Odak noktası directrix üzerinde yer almaz. Parabol, bu düzlemde hem directrix'ten hem de odaktan eşit uzaklıkta olan noktaların lokusudur. Parabolün bir başka tanımı da, dik dairesel bir konik yüzey ile konik yüzeye teğet olan başka bir düzleme paralel bir düzlemin kesişmesinden oluşan bir konik kesittir. ⓘ

Direktrise dik olan ve odaktan geçen doğruya (yani parabolü ortadan ikiye bölen doğruya) "simetri ekseni" denir. Parabolün simetri ekseniyle kesiştiği noktaya "tepe noktası" denir ve parabolün en keskin eğri olduğu noktadır. Simetri ekseni boyunca ölçülen tepe noktası ile odak arasındaki mesafe "odak uzaklığı "dır. "Latus rectum", parabolün directrix'e paralel olan ve odaktan geçen akorudur. Paraboller yukarı, aşağı, sola, sağa veya başka bir keyfi yöne açılabilir. Herhangi bir parabol, başka bir parabolün üzerine tam olarak oturacak şekilde yeniden konumlandırılabilir ve yeniden ölçeklendirilebilir; yani tüm paraboller geometrik olarak benzerdir. ⓘ

Paraboller, ışığı yansıtan malzemeden yapılmışlarsa, bir parabolün simetri eksenine paralel olarak ilerleyen ve içbükey tarafına çarpan ışığın, yansımanın parabolün neresinde gerçekleştiğine bakılmaksızın odağına yansıtılması özelliğine sahiptir. Tersine, odak noktasındaki bir nokta kaynaktan çıkan ışık, parabolü simetri eksenine paralel bırakarak paralel ("kolimasyonlu") bir ışın halinde yansıtılır. Aynı etkiler ses ve diğer dalgalarda da görülür. Bu yansıtıcı özellik, parabollerin birçok pratik kullanımının temelini oluşturur. ⓘ

Parabolün, parabolik anten veya parabolik mikrofondan otomobil far reflektörlerine ve balistik füzelerin tasarımına kadar birçok önemli uygulaması vardır. Fizik, mühendislik ve diğer birçok alanda sıklıkla kullanılır. ⓘ

Tarihçe

Leonardo da Vinci tarafından tasarlanan parabolik pusula ⓘ

Konik kesitler üzerine bilinen en eski çalışma MÖ 4. yüzyılda Menaechmus tarafından yapılmıştır. Parabolleri kullanarak küpü ikiye katlama problemini çözmenin bir yolunu keşfetmiştir. (Ancak bu çözüm, pergel ve düz kenar yapısının gerekliliklerini karşılamamaktadır). Bir parabol ve "parabol segmenti" olarak adlandırılan bir doğru parçası tarafından çevrelenen alan, Arşimet tarafından MÖ 3. yüzyılda Parabolün Karesi adlı eserinde tükenme yöntemiyle hesaplanmıştır. "Parabol" adı, konik kesitlerin birçok özelliğini keşfeden Apollonius'tan kaynaklanmaktadır. Apollonius'un kanıtladığı gibi, bu eğri ile bağlantısı olan "alanların uygulanması" kavramına atıfta bulunan "uygulama" anlamına gelir. Parabolün ve diğer konik kesitlerin odak-direktris özelliği Pappus'a aittir. ⓘ

Galileo, bir merminin yolunun, yerçekiminden kaynaklanan tekdüze ivmenin bir sonucu olarak bir parabol izlediğini göstermiştir. ⓘ

Parabolik bir yansıtıcının görüntü üretebileceği fikri, yansıtıcı teleskopun icadından önce de biliniyordu. Tasarımlar 17. yüzyılın başlarından ortalarına kadar René Descartes, Marin Mersenne ve James Gregory de dahil olmak üzere birçok matematikçi tarafından önerilmiştir. Isaac Newton 1668'de ilk yansıtıcı teleskobu yaptığında, üretim zorluğu nedeniyle parabolik bir ayna kullanmayı atlayarak küresel bir ayna tercih etti. Parabolik aynalar çoğu modern yansıtıcı teleskopta, uydu çanaklarında ve radar alıcılarında kullanılmaktadır. ⓘ

Noktaların lokusu olarak tanım

Bir parabol, geometrik olarak Öklid düzleminde bir noktalar kümesi (noktalar lokusu) olarak tanımlanabilir:

• Parabol bir noktalar kümesidir, öyle ki herhangi bir nokta için $P$ mesafesini belirler. $|PF|$ sabit bir noktaya $F$odak, aşağıdaki mesafeye eşittir $|Pl|$ sabit bir hatta $l$Direktris:

$\{P:|PF|=|Pl|\}.$ ⓘ

Orta nokta $V$ odaktan gelen dikmenin $F$ Direktris üzerine $l$ tepe noktası olarak adlandırılır ve $FV$ parabolün simetri eksenidir. ⓘ

Kartezyen koordinat sisteminde

Y eksenine paralel simetri ekseni

Ekseni y eksenine paralel olan parabol; p yarı latus rektumdur ⓘ

Eğer biri Kartezyen koordinatları tanıtırsa, öyle ki $F=(0,f),\ f>0,$ ve directrix denklemine sahiptir $y=-f$bir nokta için elde edilir $P=(x,y)$ gelen $|PF|^{2}=|Pl|^{2}$ denklem $x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}$. için çözme $y$ verim

$y={\frac {1}{4f}}x^{2}.$ ⓘ

Bu parabol U şeklindedir (tepeye doğru açılır). ⓘ

Odaktan geçen yatay akora (açılış bölümündeki resme bakınız) latus rektum denir; bunun bir yarısı yarı latus rektumdur. Latus rectum directrix'e paraleldir. Yarı latus rektum harf ile gösterilir $p$. Resimden elde edilenler

$p=2f.$ ⓘ

Latus rectum diğer iki konik olan elips ve hiperbol için de benzer şekilde tanımlanır. Latus rectum, bir konik kesitin odağından directrix'e paralel olarak çizilen ve eğri tarafından her iki yönde de sonlandırılan doğrudur. Herhangi bir durum için, $p$ tepe noktasındaki osilasyon çemberinin yarıçapıdır. Bir parabol için, yarı-latus rektum, $p$, odağın directrix'e olan uzaklığıdır. Parametreyi kullanma $p$parabolünün denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir ⓘ

$x^{2}=2py.$ ⓘ

Daha genel olarak, eğer tepe noktası $V=(v_{1},v_{2})$odak noktası $F=(v_{1},v_{2}+f)$ve yönlendirici $y=v_{2}-f$denklemi elde edilir

$y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.$ ⓘ

Açıklamalar

1. Bu durumda $f<0$ parabolün aşağı doğru bir açıklığı vardır.
2. Eksenin y eksenine paralel olduğu varsayımı, bir parabolün 2. dereceden bir polinomun grafiği olarak düşünülmesine olanak tanır ve tersi de geçerlidir: 2. dereceden keyfi bir polinomun grafiği bir paraboldür (bir sonraki bölüme bakınız).
3. Eğer biri $x$ ve $y$formunda denklemler elde edilir $y^{2}=2px$. Bu paraboller sola doğru açılır (eğer $p<0$) veya sağa (eğer $p>0$). ⓘ

Genel pozisyon

Parabol: genel konum ⓘ

Eğer odak noktası $F=(f_{1},f_{2})$ve yönlendirici $ax+by+c=0$denklemi elde edilir.

${\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}$ ⓘ

(denklemin sol tarafı, mesafeyi hesaplamak için bir doğrunun Hesse normal formunu kullanır $|Pl|$). ⓘ

Genel konumdaki bir parabolün parametrik denklemi için bakınız § Birim parabolün afin görüntüsü olarak. ⓘ

Bir parabolün örtük denklemi, iki dereceden indirgenemez bir polinom ile tanımlanır:

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,$

öyle ki $b^{2}-4ac=0,$ ya da, eşdeğer olarak, öyle ki $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ doğrusal bir polinomun karesidir. ⓘ

Bir fonksiyonun grafiği olarak

Paraboller $y=ax^{2}$ ⓘ

Önceki bölüm, orijini tepe noktası ve y ekseni simetri ekseni olan herhangi bir parabolün bir fonksiyonun grafiği olarak düşünülebileceğini göstermektedir

$f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.$ ⓘ

İçin $a>0$ paraboller tepeye doğru açılıyor ve $a<0$ aşağıya doğru açılmaktadır (resme bakınız). Yukarıdaki bölümden bir sonuç elde edilir:

• Odak noktası $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$,
• odak uzaklığı ${\frac {1}{4a}}$yarı latus rektum $p={\frac {1}{2a}}$,
• tepe noktası $(0,0)$,
• directrix denklemine sahiptir $y=-{\frac {1}{4a}}$,
• noktasındaki teğet $(x_{0},ax_{0}^{2})$ denklemine sahiptir $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$. ⓘ

İçin $a=1$ parabolü, denklemi birim parabol olan $y=x^{2}$. Odak noktası $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$, yarı latus rektum $p={\tfrac {1}{2}}$ve doğrultu denklemine sahiptir $y=-{\tfrac {1}{4}}$. ⓘ

Derece 2'nin genel fonksiyonu şöyledir

$f(x)=ax^{2}+bx+c{\text{ with }}a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0$.

Kareyi tamamladığımızda

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},$

ile bir parabolün denklemi olan

• eksen $x=-{\frac {b}{2a}}$ (y eksenine paralel),
• odak uzaklığı ${\frac {1}{4a}}$, yarı latus rektum $p={\frac {1}{2a}}$,
• tepe noktası $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$,
• odak noktası $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$,
• Directrix $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$,
• parabolün y ekseniyle kesiştiği noktanın koordinatları $(0,c)$,
• y ekseni üzerindeki bir noktadaki teğet denkleme sahiptir $y=bx+c$. ⓘ

Birim parabol ile benzerlik

Parabol olduğunda $\color {blue}{y=2x^{2}}$ faktör 2 ile düzgün bir şekilde ölçeklendirilirse, sonuç parabol olur $\color {red}{y=x^{2}}$ ⓘ

Öklid düzlemindeki iki nesne, biri diğerine bir benzerlikle, yani katı hareketlerin (ötelemeler ve dönmeler) ve düzgün ölçeklendirmelerin keyfi bir bileşimiyle dönüştürülebiliyorsa benzerdir. ⓘ

Bir parabol ${\mathcal {P}}$ tepe noktası ile $V=(v_{1},v_{2})$ çeviri ile dönüştürülebilir $(x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})$ tepe noktası orijin olana dönüştürür. Orijin etrafında uygun bir döndürme, parabolü simetri ekseni olarak y eksenine sahip bir parabole dönüştürebilir. Dolayısıyla parabol ${\mathcal {P}}$ rijit bir hareketle denklemi olan bir parabole dönüştürülebilir $y=ax^{2},\ a\neq 0$. Böyle bir parabol daha sonra düzgün ölçekleme ile dönüştürülebilir $(x,y)\to (ax,ay)$ denklemine sahip birim parabolün içine $y=x^{2}$. Böylece, herhangi bir parabol benzerlik yoluyla birim parabol ile eşlenebilir. ⓘ

Bu sonucu elde etmek için benzer üçgenler kullanılarak sentetik bir yaklaşım da kullanılabilir. ⓘ

Genel sonuç, iki konik kesitin (mutlaka aynı türden) ancak ve ancak aynı eksantrikliğe sahip olmaları halinde benzer olduğudur. Bu nedenle, sadece daireler (hepsi eksantrikliği 0 olan) bu özelliği parabollerle (hepsi eksantrikliği 1 olan) paylaşırken, genel elipsler ve hiperboller paylaşmaz. ⓘ

Parabolü eşleyen başka basit afin dönüşümler de vardır $y=ax^{2}$ birim parabol üzerine, örneğin $(x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)$. Ancak bu eşleme bir benzerlik değildir ve sadece tüm parabollerin afin olarak eşdeğer olduğunu gösterir (bkz. § Birim parabolün afin görüntüsü olarak). ⓘ

Özel bir konik kesit olarak

Ortak bir tepe noktasına sahip koniklerin kalemi ⓘ

Simetri ekseni x ekseni, orijinde (0, 0) bir tepe noktası ve aynı yarı latus rektumu olan konik kesitlerin kalemi $p$ denklemi ile temsil edilebilir

$y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,$

ile $e$ eksantriklik.

• İçin $e=0$ konik bir dairedir (kalemin salınım dairesi),
• için $0<e<1$ bir elips,
• için $e=1$ denklemli parabol $y^{2}=2px,$
• için $e>1$ bir hiperbol (resme bakın). ⓘ

Kutupsal koordinatlarda

Ortak bir odağa sahip koniklerin kalemi ⓘ

Eğer p > 0 ise, denklemi olan parabol $y^{2}=2px$ (sağa açılan) kutupsal gösterime sahiptir ⓘ

$r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

($r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$). ⓘ

Tepe noktası $V=(0,0)$ve odak noktası $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$. ⓘ

Eğer kişi kökeni odağa kaydırırsa, bu böyledir, $F=(0,0)$denklemi elde edilir ⓘ

$r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$ ⓘ

Açıklama 1: Bu kutupsal formu ters çevirmek, bir parabolün bir kardioidin tersi olduğunu gösterir. ⓘ

Açıklama 2: İkinci kutupsal form, odağı olan koniklerin kaleminin özel bir durumudur $F=(0,0)$ (resme bakın):

$r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}$ ($e$ eksantrikliktir). ⓘ

Konik kesit ve kuadratik form

Diyagram, açıklama ve tanımlar

Enine kesitli koni ⓘ

Diyagram, ekseni AV olan bir koniyi temsil etmektedir. A noktası koninin tepe noktasıdır. Koninin pembe ile gösterilen eğimli bir kesiti, eksenden koninin kenarı ile aynı θ açısı kadar eğimlidir. Bir parabolün konik kesit olarak tanımına göre, bu pembe kesit EPD'nin sınırı bir paraboldür. ⓘ

Koninin eksenine dik bir kesit parabolün P tepe noktasından geçer. Bu kesit daireseldir, ancak diyagramda gösterildiği gibi eğik olarak bakıldığında eliptik görünür. Merkezi V'dir ve PK bir çaptır. Yarıçapına r diyeceğiz. ⓘ

Koninin eksene dik, dairesel bir başka kesiti, tepe noktası A'dan az önce tarif edilenden daha uzaktır. Parabolün daireyle kesiştiği noktaları birleştiren bir DE akoruna sahiptir. Diğer bir kiriş BC, DE'nin dik açıortayıdır ve sonuç olarak dairenin bir çapıdır. Bu iki akor ve parabolün simetri ekseni PM, M noktasında kesişmektedir. ⓘ

D ve E hariç, etiketlenmiş tüm noktalar eş düzlemlidir. Tüm şeklin simetri düzlemindedirler. Buna yukarıda bahsedilmeyen F noktası da dahildir. Aşağıda, § Odağın konumu bölümünde tanımlanmış ve tartışılmıştır. ⓘ

DM ve EM'nin uzunluğuna x ve PM'nin uzunluğuna y diyelim. ⓘ

İkinci dereceden denklemin türetilmesi

BM ve CM'nin uzunlukları şöyledir:

${\overline {\mathrm {BM} }}=2y\sin \theta$ (BPM üçgeni ikizkenardır, çünkü ${\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC$),

${\overline {\mathrm {CM} }}=2r$ (PMCK bir paralelkenardır). ⓘ

BC ve DE akorları üzerinde kesişen akorlar teoremini kullanarak şunu elde ederiz ⓘ

${\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.$ ⓘ

Yerine koyma:

$4ry\sin \theta =x^{2}.$ ⓘ

Yeniden düzenleme:

$y={\frac {x^{2}}{4r\sin \theta }}.$ ⓘ

Verilen herhangi bir koni ve parabol için r ve θ sabittir, ancak x ve y yatay kesit BECD'nin yapıldığı keyfi yüksekliğe bağlı değişkenlerdir. Bu son denklem bu değişkenler arasındaki ilişkiyi göstermektedir. P'nin orijin olduğu pembe düzlemdeki bir sistemde D ve E noktalarının Kartezyen koordinatları olarak yorumlanabilirler. Denklemde x'in karesi alındığından, D ve E'nin y ekseninin karşıt taraflarında olması önemsizdir. Yatay kesit yukarı veya aşağı, koninin tepe noktasına doğru veya ondan uzağa hareket ederse, D ve E parabol boyunca hareket eder ve her zaman denklemde gösterilen x ve y arasındaki ilişkiyi korur. Bu nedenle parabolik eğri, denklemin sağlandığı noktaların yeridir, bu da onu denklemdeki ikinci dereceden fonksiyonun Kartezyen grafiği yapar. ⓘ

Odak uzaklığı

Bir önceki bölümde, eğer bir parabolün tepe noktası orijindeyse ve pozitif y yönünde açılıyorsa, denkleminin y = x²/4f olduğu ve burada f'nin odak uzaklığı olduğu kanıtlanmıştır. Bunu yukarıdaki son denklemle karşılaştırdığımızda, parabolün koni içindeki odak uzunluğunun r sin θ olduğunu görürüz. ⓘ

Odağın konumu

Yukarıdaki diyagramda V noktası, parabolün tepe noktasından koninin eksenine uzanan dikmenin ayağıdır. F noktası, V noktasından parabolün düzlemine olan dikmenin ayağıdır. Simetri gereği, F parabolün simetri ekseni üzerindedir. VPF açısı θ'nın tamamlayıcısıdır ve PVF açısı VPF açısının tamamlayıcısıdır, bu nedenle PVF açısı θ'dır. PV'nin uzunluğu r olduğundan, F'nin parabolün tepe noktasından uzaklığı r sin θ'dır. Yukarıda bu uzaklığın parabolün odak uzunluğuna eşit olduğu gösterilmiştir, bu da tepe noktasından odağa olan uzaklıktır. Bu nedenle odak ve F noktası aynı doğru boyunca tepe noktasından eşit uzaklıktadır, bu da aynı nokta oldukları anlamına gelir. Dolayısıyla, yukarıda tanımlanan F noktası parabolün odağıdır. ⓘ

Bu tartışma bir parabolün konik kesit olarak tanımlanmasıyla başlamıştır, ancak şimdi ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olarak tanımlanmasına yol açmıştır. Bu, bu iki tanımın eşdeğer olduğunu göstermektedir. Her ikisi de tam olarak aynı şekle sahip eğrileri tanımlamaktadır. ⓘ

Dandelin küreleri ile alternatif kanıt

Parabol (kırmızı): Dandelin küreli bir koninin yandan projeksiyon görüntüsü ve üstten projeksiyon görüntüsü ⓘ

Dandelin küreleri kullanılarak alternatif bir ispat yapılabilir. Hesaplama yapmadan çalışır ve yalnızca temel geometrik hususları kullanır (aşağıdaki türetmeye bakınız). ⓘ

Dik bir koninin bir düzlem ile kesişimi $\pi$dikeyden eğimi bir jeneratör çizgisi (diğer adıyla jeneratör çizgisi, tepe noktasını ve koni yüzeyindeki bir noktayı içeren bir çizgi) ile aynı olan $m_{0}$ bir paraboldür (diyagramdaki kırmızı eğri). ⓘ

Bu generatrix $m_{0}$ düzleme paralel olan koninin tek genel matrisidir. $\pi$. Aksi takdirde, kesişen düzleme paralel iki jeneratör varsa, kesişme eğrisi bir hiperbol (veya iki jeneratör kesişen düzlemdeyse dejenere hiperbol) olacaktır. Kesişen düzleme paralel bir jeneratris yoksa, kesişim eğrisi bir elips veya bir daire (veya bir nokta) olacaktır. ⓘ

Düzlem olsun $\sigma$ koninin dikey eksenini içeren düzlem ve $m_{0}$. Düzlemin eğimi $\pi$ dikeyden çizgi ile aynıdır $m_{0}$ yandan bakıldığında (yani düzlemden bakıldığında) $\pi$ düzleme diktir $\sigma$), $m_{0}\parallel \pi$. ⓘ

Bir parabolün directrix özelliğini kanıtlamak için (bkz. yukarıda § Noktaların yeri olarak tanım), bir Dandelin küresi kullanılır $d$koniye bir daire boyunca temas eden bir küre olan $c$ ve uçak $\pi$ noktada $F$. Daireyi içeren düzlem $c$ düzlem ile kesişir $\pi$ satırında $l$. Düzlemden oluşan sistemde bir ayna simetrisi vardır $\pi$, Dandelin küresi $d$ ve koni (simetri düzlemi $\sigma$). ⓘ

Daireyi içeren düzlemden bu yana $c$ düzleme diktir $\sigma$ve $\pi \perp \sigma$, kesişim çizgileri $l$ düzlemine de dik olmalıdır $\sigma$. Hattan beri $m_{0}$ düzlemde $\sigma$, $l\perp m_{0}$. ⓘ

Anlaşılan o ki $F$ parabolün odağıdır ve $l$ parabolün doğrultusudur. ⓘ

1. İzin verin $P$ kesişim eğrisinin keyfi bir noktası olsun.
2. Aşağıdakileri içeren koninin genel matrisi $P$ daire ile kesişir $c$ noktada $A$.
3. Çizgi segmentleri ${\overline {PF}}$ ve ${\overline {PA}}$ küreye teğettir $d$ve dolayısıyla eşit uzunluktadır.
4. Generatrix $m_{0}$ çemberle kesişir $c$ noktada $D$. Çizgi segmentleri ${\overline {ZD}}$ ve ${\overline {ZA}}$ küreye teğettir $d$ve dolayısıyla eşit uzunluktadır.
5. Çizgi olsun $q$ 'ye paralel doğru olsun. $m_{0}$ ve noktasından geçen $P$. O zamandan beri $m_{0}\parallel \pi$ve nokta $P$ düzlemde $\pi$, hat $q$ düzlemde olmalı $\pi$. O zamandan beri $m_{0}\perp l$biliyoruz ki $q\perp l$ aynı zamanda.
6. Nokta $B$ noktasından itibaren dikmenin ayağı olsun $P$ hatta $l$Yani, ${\overline {PB}}$ bir doğru parçasıdır $q$ve dolayısıyla ${\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}$.
7. Kesişme teoreminden ve ${\overline {ZD}}={\overline {ZA}}$ biliyoruz ki ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$. O zamandan beri ${\overline {PA}}={\overline {PF}}$biliyoruz ki ${\overline {PF}}={\overline {PB}}$'den uzaklığı anlamına gelir. $P$ odak noktasına $F$ 'den olan uzaklığa eşittir. $P$ directrix'e $l$. ⓘ

Yansıtıcı özelliğin kanıtı

Bir parabolün yansıtıcı özelliği ⓘ

Yansıtıcı özellik, bir parabol ışığı yansıtabiliyorsa, simetri eksenine paralel olarak giren ışığın odağa doğru yansıtılacağını belirtir. Bu, ışığın ışınlar halinde hareket ettiği varsayımına dayanan geometrik optikten türetilmiştir. ⓘ

y = x² parabolünü düşünün. Tüm paraboller benzer olduğundan, bu basit durum diğerlerini temsil eder. ⓘ

Yapı ve tanımlar

E noktası parabol üzerinde keyfi bir noktadır. Odak noktası F, tepe noktası A (orijin) ve FA doğrusu simetri eksenidir. EC doğrusu simetri eksenine paraleldir ve x eksenini D'de keser. B noktası FC doğru parçasının orta noktasıdır. ⓘ

Çıkarımlar

A tepe noktası F odağından ve doğrultudan eşit uzaklıktadır. C directrix üzerinde olduğundan, F ve C'nin y koordinatları mutlak değer olarak eşit ve işaret olarak zıttır. B, FC'nin orta noktasıdır. Onun x koordinatı D'nin yarısıdır, yani x/2'dir. BE doğrusunun eğimi ED ve BD uzunluklarının bölümüdür, yani x²/x/2 = 2x'tir. Ancak 2x aynı zamanda E'deki parabolün eğimidir (birinci türevi). Bu nedenle BE doğrusu E'deki parabole teğettir. ⓘ

EF ve EC uzaklıkları eşittir çünkü E parabolün, F odak noktasının ve C de directrixin üzerindedir. Dolayısıyla, B FC'nin orta noktası olduğundan, △FEB ve △CEB üçgenleri uyumludur (üç kenar), bu da α işaretli açıların uyumlu olduğu anlamına gelir. (E'nin üzerindeki açı ∠BEC açısının dikey olarak zıttıdır.) Bu, parabolün içine giren ve simetri eksenine paralel ilerleyerek E'ye ulaşan bir ışık ışınının BE doğrusu tarafından yansıtılacağı ve böylece diyagramda kırmızı ile gösterildiği gibi EF doğrusu boyunca ilerleyeceği anlamına gelir (doğruların bir şekilde ışığı yansıtabildiği varsayılırsa). BE, E'deki parabolün teğeti olduğundan, aynı yansıma E'deki parabolün sonsuz küçük bir yayı tarafından yapılacaktır. Bu nedenle, parabole giren ve parabolün simetri eksenine paralel hareket ederek E'ye gelen ışık, parabol tarafından odağına doğru yansıtılır. ⓘ

Yansıyan ışıkla ilgili bu sonuç, diyagramın sol tarafında gösterildiği gibi parabol üzerindeki tüm noktalar için geçerlidir. Bu yansıtıcı özelliktir. ⓘ

Diğer sonuçlar

Yukarıdaki argümandan basitçe çıkarılabilecek başka teoremler de vardır. ⓘ

Tanjant ikiye bölme özelliği

Yukarıdaki kanıt ve beraberindeki diyagram, BE teğetinin ∠FEC açısını ikiye böldüğünü göstermektedir. Başka bir deyişle, parabolün herhangi bir noktasındaki teğet, noktayı odağa birleştiren doğrular ile directrix'e dik olan doğrular arasındaki açıyı ikiye böler. ⓘ

Bir teğet ile odaktan dikmenin kesişimi

Odaktan teğete dik ⓘ

△FBE ve △CBE üçgenleri eş olduğundan, FB, BE teğetine diktir. B, tepe noktasında parabole teğet olan x ekseni üzerinde olduğundan, bir parabole herhangi bir teğet ile odaktan bu teğete dik olan arasındaki kesişme noktasının, tepe noktasında parabole teğet olan doğru üzerinde yer aldığı sonucuna varılır. Animasyonlu diyagrama ve pedal eğrisine bakın. ⓘ

Dışbükey tarafa çarpan ışığın yansıması

Işık CE doğrusu boyunca ilerlerse, simetri eksenine paralel hareket eder ve E'deki parabolün dışbükey tarafına çarpar. Yukarıdaki diyagramdan, bu ışığın FE doğru parçasının bir uzantısı boyunca doğrudan odaktan uzağa yansıtılacağı açıktır. ⓘ

Alternatif kanıtlar

Parabol ve tanjant ⓘ

Yansıtıcı ve teğet ikiye bölme özelliklerinin yukarıdaki kanıtları bir dizi kalkülüs kullanır. Burada geometrik bir kanıt sunulmaktadır. ⓘ

Bu diyagramda, F parabolün odağıdır ve T ve U parabolün doğrultusu üzerinde yer alır. P, parabol üzerinde keyfi bir noktadır. PT direkse diktir ve MP doğrusu ∠FPT açısını ikiye böler. Q parabol üzerinde başka bir noktadır ve QU direksise diktir. FP = PT ve FQ = QU olduğunu biliyoruz. Açıkça, QT > QU, dolayısıyla QT > FQ. MP açıortayı üzerindeki tüm noktalar F ve T'den eşit uzaklıktadır, ancak Q F'ye T'den daha yakındır. Bu, Q'nun MP'nin solunda, yani odakla aynı tarafında olduğu anlamına gelir. Q parabol üzerinde başka bir yerde olsaydı (P noktası hariç) aynı şey geçerli olurdu, bu nedenle P noktası hariç tüm parabol MP'nin odak tarafında yer alır. Bu nedenle, MP parabolün P'deki teğetidir. ∠FPT açısını ikiye böldüğü için, bu teğet ikiye bölme özelliğini kanıtlar. ⓘ

Son paragrafın mantığı, yansıma özelliğinin yukarıdaki kanıtını değiştirmek için uygulanabilir. Eğer α açıları eşitse BE doğrusunun E'deki parabole teğet olduğu etkin bir şekilde kanıtlanır. Yansıtma özelliği daha önce gösterildiği gibi takip eder. ⓘ

Pim ve ip yapısı

Parabol: iğne ipi yapısı ⓘ

Bir parabolün odağı ve yönü ile tanımı, iğne ve ipler yardımıyla çizmek için kullanılabilir:

1. Odağı seçin $F$ ve directrix $l$ parabolün.
2. Belirlenmiş bir kareden bir üçgen alın ve uzunluğu aşağıdaki gibi olan bir ip hazırlayın $|AB|$ (şemaya bakın).
3. İpin bir ucunu şu noktaya sabitleyin $A$ ve diğerini de odak noktasına yerleştirir. $F$.
4. Üçgeni, dik açının ikinci kenarı dirsek boyunca serbestçe kayabilecek şekilde konumlandırın.
5. Bir kalem alın ve ipi üçgene sıkıca tutun.
6. Üçgeni directrix boyunca hareket ettirirken, kalem bir parabol yayı çizer, çünkü $|PF|=|PB|$ (parabol tanımına bakınız). ⓘ

Pascal teoremi ile ilgili özellikler

Bir parabol, dejenere olmamış bir projektif koniğin bir noktası olan afin kısmı olarak düşünülebilir $Y_{\infty }$ sonsuzluk çizgisi üzerinde $g_{\infty }$'de teğet olan $Y_{\infty }$. Pascal teoreminin 5, 4 ve 3 noktalı dejenerasyonları, en az bir teğet ile ilgilenen bir koniğin özellikleridir. Eğer bu teğet sonsuzdaki doğru ve temas noktası da y ekseninin sonsuzdaki noktası olarak düşünülürse, bir parabol için üç ifade elde edilir. ⓘ

Bir parabolün aşağıdaki özellikleri sadece benzerliklerin değişmezleri olan bağlantı, kesişme, paralel terimleriyle ilgilidir. Dolayısıyla, denklemli birim parabol için herhangi bir özelliği kanıtlamak yeterlidir $y=x^{2}$. ⓘ

4 noktalı özellik

Bir parabolün 4 nokta özelliği ⓘ

Herhangi bir parabol uygun bir koordinat sisteminde bir denklemle tanımlanabilir $y=ax^{2}$. ⓘ

• İzin verin $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})$ parabolün dört noktası olsun $y=ax^{2}$ve $Q_{2}$ sekant çizgisinin kesişimi $P_{1}P_{4}$ çizgi ile $x=x_{2},$ ve izin ver $Q_{1}$ sekant doğrusunun kesişimi olsun $P_{2}P_{3}$ çizgi ile $x=x_{1}$ (resme bakın). Sonra sekant çizgisi $P_{3}P_{4}$ doğrusuna paraleldir $Q_{1}Q_{2}$.

(Çizgiler $x=x_{1}$ ve $x=x_{2}$ parabolün eksenine paraleldir). ⓘ

Kanıt: birim parabol için basit hesaplama $y=x^{2}$. ⓘ

Uygulama: Bir parabolün 4 nokta özelliği, noktaların inşası için kullanılabilir $P_{4}$ise $P_{1},P_{2},P_{3}$ ve $Q_{2}$ verilmiştir. ⓘ

Açıklama: Bir parabolün 4-nokta özelliği, Pascal teoreminin 5-nokta dejenerasyonunun afin bir versiyonudur. ⓘ

3 nokta-1 tanjant özelliği

3 nokta-1 tanjant özelliği ⓘ

İzin verin $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})$ denklemine sahip parabolün üç noktası olsun $y=ax^{2}$ ve $Q_{2}$ sekant çizgisinin kesişimi $P_{0}P_{1}$ çizgi ile $x=x_{2}$ ve $Q_{1}$ sekant çizgisinin kesişimi $P_{0}P_{2}$ çizgi ile $x=x_{1}$ (resme bakın). O zaman noktadaki teğet $P_{0}$ doğrusuna paraleldir $Q_{1}Q_{2}$. (Çizgiler $x=x_{1}$ ve $x=x_{2}$ parabolün eksenine paraleldir). ⓘ

Kanıt: birim parabol için gerçekleştirilebilir $y=x^{2}$. Kısa bir hesaplama şunu gösterir: hat $Q_{1}Q_{2}$ eğime sahiptir $2x_{0}$ noktasındaki teğetin eğimi olan $P_{0}$. ⓘ

Uygulama: Bir parabolün 3 nokta-1 tanjant özelliği, noktadaki tanjantın oluşturulması için kullanılabilir $P_{0}$ise $P_{1},P_{2},P_{0}$ verilmiştir. ⓘ

Açıklama: Bir parabolün 3-nokta-1-teğet özelliği, Pascal teoreminin 4-nokta-dejenerasyonunun afin bir versiyonudur. ⓘ

2-nokta-2-teğet özelliği

2-nokta-2-teğet özelliği ⓘ

İzin verin $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ denklemine sahip parabolün iki noktası olsun $y=ax^{2}$ve $Q_{2}$ noktasındaki teğetin kesişimi $P_{1}$ çizgi ile $x=x_{2}$ve $Q_{1}$ noktasındaki teğetin kesişimi $P_{2}$ çizgi ile $x=x_{1}$ (resme bakın). Sonra sekant $P_{1}P_{2}$ doğrusuna paraleldir $Q_{1}Q_{2}$. (Çizgiler $x=x_{1}$ ve $x=x_{2}$ parabolün eksenine paraleldir). ⓘ

Kanıt: birim parabol için doğrudan hesaplama $y=x^{2}$. ⓘ

Uygulama: 2-nokta-2-teğet özelliği, bir parabolün teğetinin aşağıdaki noktada oluşturulması için kullanılabilir $P_{2}$eğer $P_{1},P_{2}$ ve teğet de $P_{1}$ verilmiştir. ⓘ

Açıklama 1: Bir parabolün 2-nokta-2-teğet özelliği, Pascal teoreminin 3-nokta dejenerasyonunun afin bir versiyonudur. ⓘ

Açıklama 2: 2-nokta-2-teğet özelliği, yine 2 nokta ve 2 teğet ile ilgilenen ancak Pascal teoremi ile ilgili olmayan bir parabolün aşağıdaki özelliği ile karıştırılmamalıdır. ⓘ

Eksen yönü

Eksen yönünün oluşturulması ⓘ

Yukarıdaki ifadeler, noktaları oluşturmak için parabolün eksen yönünün bilindiğini varsaymaktadır $Q_{1},Q_{2}$. Aşağıdaki özellik noktaları belirler $Q_{1},Q_{2}$ sadece verilen iki nokta ve bunların teğetlerinden oluşur ve sonuçta doğru $Q_{1}Q_{2}$ parabolün eksenine paraleldir. ⓘ

İzin verin

1. $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ parabolün iki noktası olsun $y=ax^{2}$ve $t_{1},t_{2}$ teğetleri olsun;
2. $Q_{1}$ teğetlerin kesişimi olsun $t_{1},t_{2}$,
3. $Q_{2}$ 'ye paralel doğrunun kesişimi olsun. $t_{1}$ aracılığıyla $P_{2}$ paralel çizgi ile $t_{2}$ aracılığıyla $P_{1}$ (resme bakın).

Sonra çizgi $Q_{1}Q_{2}$ parabolün eksenine paraleldir ve denkleme sahiptir $x=(x_{1}+x_{2})/2.$ ⓘ

Kanıt: birim parabol için yapılabilir (yukarıdaki özellikler gibi) $y=x^{2}$. ⓘ

Uygulama: Bu özellik, iki nokta ve teğetleri verildiği takdirde, bir parabolün ekseninin yönünü belirlemek için kullanılabilir. Alternatif bir yol da iki paralel akorun orta noktalarını belirlemektir, paralel akorlar bölümüne bakınız. ⓘ

Açıklama: Bu özellik, dejenere olmayan bir koniğin iki perspektif üçgeni teoreminin afin versiyonudur. ⓘ

Steiner Üretimi

Parabol

Bir parabolün Steiner üretimi ⓘ

Steiner, dejenere olmayan bir koniğin inşası için aşağıdaki prosedürü oluşturmuştur (bkz. Steiner koniği):

• İki kalem verildiğinde $B(U),B(V)$ iki noktadaki çizgilerin $U,V$ (içeren tüm satırlar $U$ ve $V$ sırasıyla) ve projektif ancak perspektif olmayan bir eşleme $\pi$ . $B(U)$ üzerine $B(V)$'ye karşılık gelen doğruların kesişim noktaları dejenere olmayan bir projektif konik kesit oluşturur. ⓘ

Bu prosedür, parabol üzerindeki noktaların basit bir inşası için kullanılabilir $y=ax^{2}$:

• Tepe noktasındaki kalemi düşünün $S(0,0)$ ve çizgi kümesi $\Pi _{y}$ y eksenine paralel olan.

1. İzin verin $P=(x_{0},y_{0})$ parabol üzerinde bir nokta olsun ve $A=(0,y_{0})$, $B=(x_{0},0)$.
2. Doğru parçası ${\overline {BP}}$ eşit aralıklı n bölüme ayrılır ve bu bölüm (aşağıdaki yönde) yansıtılır $BA$) doğru parçası üzerine ${\overline {AP}}$ (şekle bakınız). Bu izdüşüm, izdüşümsel bir eşlemeye yol açar $\pi$ kalemden $S$ kalemin üzerine $\Pi _{y}$.
3. Çizginin kesişimi $SB_{i}$ ve y eksenine i'inci paralel parabol üzerinde bir noktadır. ⓘ

Kanıt: basit hesaplama. ⓘ

Açıklama: Steiner nesli elipsler ve hiperboller için de kullanılabilir. ⓘ

Çift parabol

Çift parabol ve 2. dereceden Bezier eğrisi (sağda: eğri noktası ve bölme noktaları $Q_{0},Q_{1}$ parametre için $t=0.4$) ⓘ

İkili bir parabol, sıradan bir parabolün teğet kümesinden oluşur. ⓘ

Bir koniğin Steiner üretimi, noktaların ve doğruların anlamları değiştirilerek bir çift koniğin üretimine uygulanabilir:

• İki doğru üzerinde iki nokta kümesi verilsin $u,v$ve projektif ancak perspektif olmayan bir eşleme $\pi$ Bu nokta kümeleri arasında, karşılık gelen noktaların bağlantı çizgileri dejenere olmayan bir çift konik oluşturur. ⓘ

İkili bir parabolün elemanlarını oluşturmak için

1. üç nokta $P_{0},P_{1},P_{2}$ bir çizgi üzerinde değil,
2. hat bölümlerini böler ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ ve ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ her biri $n$ eşit aralıklı doğru parçaları ve resimde gösterildiği gibi sayılar ekler.
3. Sonra çizgiler $P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc$ bir parabolün teğetleridir, dolayısıyla ikili bir parabolün elemanlarıdır.
4. Parabol, kontrol noktaları ile 2. dereceden bir Bezier eğrisidir $P_{0},P_{1},P_{2}$. ⓘ

İspat, 2. dereceden bir Bezier eğrisi için de Casteljau algoritmasının bir sonucudur. ⓘ

Girintili açılar ve 3 nokta formu

Bir parabolün girintili açıları ⓘ

Denklemi olan bir parabol $y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ üç nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ farklı x koordinatları ile. Katsayıları belirlemek için olağan prosedür $a,b,c$ nokta koordinatlarını denklemin içine yerleştirmektir. Sonuç, örneğin Gauss eliminasyonu veya Cramer kuralı ile çözülebilen üç denklemden oluşan doğrusal bir sistemdir. Alternatif bir yol da paraboller için iç açı teoremini kullanmaktır. ⓘ

Aşağıda, iki doğrunun açısı, doğrunun eğimlerinin parabolün directrix'ine göre farkı ile ölçülecektir. Yani, denklemin bir parabolü için $y=ax^{2}+bx+c,$ iki denklem doğrusu arasındaki açı $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}$ ile ölçülür $m_{1}-m_{2}.$ ⓘ

Daireler için öngörülen açı teoremine benzer şekilde, paraboller için de öngörülen açı teoremi vardır:

Dört nokta $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,$ farklı x koordinatlarıyla (resme bakın) denklemi olan bir parabol üzerindedir $y=ax^{2}+bx+c$ ancak ve ancak aşağıdaki açılar varsa $P_{3}$ ve $P_{4}$ yukarıda tanımlandığı gibi aynı ölçüye sahiptir. Yani,

${\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$ ⓘ

(Kanıt: basit hesaplama: Noktalar bir parabol üzerindeyse, denkleme sahip olmak için koordinatlar çevrilebilir $y=ax^{2}$, sonra biri vardır ${\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}$ eğer noktalar parabol üzerindeyse). ⓘ

Bunun bir sonucu da denklemin (içinde ${\color {green}x},{\color {red}y}$) 3 nokta tarafından belirlenen parabolün $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,$ farklı x koordinatları ile (eğer iki x koordinatı eşitse, noktalardan geçen x eksenine paralel doğrultulu bir parabol yoktur)

${\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$

Aşağıdakilere bağlı paydalar ile çarpma ${\color {green}x},$ daha standart bir form elde edilir

$(x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$ ⓘ

Kutup-kutupsal ilişki

Parabol: kutup-kutupsal ilişki ⓘ

Uygun bir koordinat sisteminde herhangi bir parabol bir denklemle tanımlanabilir $y=ax^{2}$. Bir noktadaki teğetin denklemi $P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}$ o

$y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.$

Bir fonksiyon elde edilir

$(x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}$

parabolün noktalarının kümesi üzerinde teğetlerin kümesi üzerinde. ⓘ

Açıkçası, bu fonksiyon parabolün tüm noktalarının kümesi üzerine genişletilebilir. $\mathbb {R} ^{2}$ noktaları arasında bir bieksiyona $\mathbb {R} ^{2}$ ve denklemleri olan çizgiler $y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R}$. Ters eşleme şöyledir

hat $y=mx+d$ → nokta $({\tfrac {m}{2a}},-d)$.

Bu bağıntıya parabolün kutup-kutupsal bağıntısı denir; burada nokta kutup, karşılık gelen doğru ise kutupsaldır. ⓘ

Hesaplama yoluyla, parabolün kutup-kutupsal ilişkisinin aşağıdaki özellikleri kontrol edilebilir:

• Parabol üzerindeki bir nokta (kutup) için, kutup bu noktadaki teğettir (bkz. resim: $P_{1},\ p_{1}$).
• Bir kutup için $P$ Parabolün dışında, kutbunun parabol ile kesişme noktaları, parabolün içinden geçen iki teğetin değme noktalarıdır. $P$ (resme bakınız: $P_{2},\ p_{2}$).
• Parabol içindeki bir nokta için kutupların parabol ile ortak noktası yoktur (bkz: $P_{3},\ p_{3}$ ve $P_{4},\ p_{4}$).
• İki kutupsal doğrunun kesişim noktası (örneğin, $p_{3},p_{4}$) kutuplarının bağlantı doğrusunun kutbudur (örn: $P_{3},P_{4}$).
• Parabolün odağı ve yönü bir kutup-kutup çifti. ⓘ

Açıklama: Kutup-kutup ilişkileri elipsler ve hiperboller için de mevcuttur. ⓘ

Teğet özellikleri

Latus rektum ile ilgili iki tanjant özelliği

Simetri doğrusu parabolü Q noktasında kesiyor olsun ve odağı F noktası ve Q noktasından uzaklığını f olarak gösterin. Simetri doğrusuna dik, odaktan geçerek parabolü bir T noktasında kesiyor olsun. O zaman (1) F'den T'ye olan uzaklık 2f'dir ve (2) T noktasında parabole bir teğet, simetri doğrusunu 45°'lik bir açıyla keser. ⓘ

Dik teğetler directrix üzerinde kesişir ⓘ

Ortoptik özellik

Eğer bir parabolün iki teğeti birbirine dik ise, bu teğetler directrix üzerinde kesişirler. Tersi durumda, directrix üzerinde kesişen iki teğet diktir. Başka bir deyişle, directrix üzerindeki herhangi bir noktada tüm parabol bir dik açı yapar. ⓘ

Lambert teoremi

Bir parabolün üç teğeti bir üçgen oluştursun. O zaman Lambert teoremi, parabolün odağının üçgenin çevresi üzerinde olduğunu belirtir. ⓘ

Tsukerman'ın Lambert teoreminin tersi, bir üçgeni sınırlayan üç çizgi verildiğinde, çizgilerden ikisi odağı üçgenin çevresinde yer alan bir parabole teğet ise, üçüncü çizginin de parabole teğet olduğunu belirtir. ⓘ

Akorlar ve yaylar ile ilgili gerçekler

Bir akorun parametrelerinden hesaplanan odak uzaklığı

Bir akorun bir parabolü simetri eksenine dik olarak kestiğini varsayalım. Parabolü kestiği noktalar arasındaki akorun uzunluğu c olsun ve parabolün tepe noktasından simetri ekseni boyunca ölçülen akora olan mesafe d olsun. Parabolün odak uzaklığı, f, şu şekilde verilir ⓘ

$f={\frac {c^{2}}{16d}}.$ ⓘ

Kanıt

Parabolün tepe noktası orijinde olacak ve simetri ekseni y ekseni olacak şekilde bir Kartezyen koordinat sistemi kullanıldığını varsayalım. Parabol yukarı doğru açılmaktadır. Bu makalenin başka bir yerinde parabolün denkleminin 4fy = x² olduğu gösterilmiştir, burada f odak uzaklığıdır. Akorun pozitif x ucunda, x = c/2 ve y = d. Bu nokta parabol üzerinde olduğundan, bu koordinatlar yukarıdaki denklemi sağlamalıdır. Bu nedenle, yerine koyma yoluyla, $4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}$. Bundan, $f={\tfrac {c^{2}}{16d}}$. ⓘ

Bir parabol ve bir akor arasında kalan alan

Parabol (macenta) ve bir akor (mavi) içeren doğru (alt açık mavi). Aralarında kalan alan pembe ile gösterilmiştir. Akorun kendisi, doğrunun parabolle kesiştiği noktalarda sona erer. ⓘ

Bir parabol ve bir akor arasında kalan alan (diyagrama bakınız), onu çevreleyen paralelkenarın alanının üçte ikisidir. Paralelkenarın bir kenarı akordur ve karşı kenarı parabole teğettir. Diğer paralel kenarların eğiminin alanla ilgisi yoktur. Genellikle, burada olduğu gibi, parabolün simetri eksenine paralel çizilirler, ancak bu keyfidir. ⓘ

Buna eşdeğer, ancak ayrıntılarda farklı bir teorem M.Ö. 3. yüzyılda Arşimet tarafından türetilmiştir. O, paralelkenar yerine üçgenlerin alanlarını kullanmıştır. Parabolün Kareselliği'ne bakınız. ⓘ

Eğer kirişin uzunluğu b ve parabolün simetri eksenine dik ise ve parabolün tepe noktasından kirişe olan dik mesafe h ise, paralelkenar kenarları b ve h olan bir dikdörtgendir. Bu nedenle parabol ve kiriş tarafından çevrelenen parabolik parçanın A alanı ⓘ

$A={\frac {2}{3}}bh.$ ⓘ

Bu formül bir üçgenin alanı ile karşılaştırılabilir: 1/2bh. ⓘ

Genel olarak, kapalı alan aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. İlk olarak, parabol üzerinde eğimin akorun eğimine eşit olduğu noktayı bulun. Bu hesapla ya da parabolün simetri eksenine paralel olan ve kirişin orta noktasından geçen bir doğru kullanılarak yapılabilir. Gerekli nokta, bu doğrunun parabolü kestiği yerdir. Ardından, Bir noktadan bir doğruya olan mesafe bölümünde verilen formülü kullanarak, bu noktadan akora olan dik mesafeyi hesaplayın. Paralelkenarın alanını elde etmek için bunu kirişin uzunluğu ile çarpın, ardından gerekli kapalı alanı elde etmek için 2/3 ile çarpın. ⓘ

Akorların orta noktaları ve uç noktaları ile ilgili sonuç

Paralel akorların orta noktaları ⓘ

Yukarıdaki tartışmanın bir sonucu, bir parabolün birkaç paralel akoru varsa, bunların orta noktalarının hepsinin simetri eksenine paralel bir doğru üzerinde yer almasıdır. Parabolün teğetleri bu kirişlerden herhangi birinin uç noktalarından çizilirse, iki teğet simetri eksenine paralel bu aynı doğru üzerinde kesişir (bkz. Bir parabolün eksen yönü). ⓘ

Yay uzunluğu

Eğer bir X noktası odak uzaklığı f olan bir parabol üzerinde yer alıyorsa ve p X'ten parabolün simetri eksenine olan dik uzaklık ise, parabolün X'te sonlanan yaylarının uzunlukları, hepsinin aynı birimlerle ifade edildiği varsayılarak, f ve p'den aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. ⓘ

${\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Bu s niceliği, X ile parabolün tepe noktası arasındaki yayın uzunluğudur. ⓘ

X ile parabolün diğer tarafındaki simetrik olarak zıt nokta arasındaki yayın uzunluğu 2s'dir. ⓘ

X'in simetri ekseninin hangi tarafında yer aldığını belirtmek için p dik mesafesine pozitif veya negatif bir işaret verilebilir. p'nin işaretini tersine çevirmek, mutlak değerlerini değiştirmeden h ve s'nin işaretlerini tersine çevirir. Bu büyüklükler işaretli ise, parabol üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki yayın uzunluğu her zaman s değerleri arasındaki farkla gösterilir:

$s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.$ ⓘ

Bu, örneğin bir parabolik reflektör veya parabolik oluk yapmak için gereken malzemenin boyutunun hesaplanmasında faydalı olabilir. ⓘ

Bu hesaplama herhangi bir yönelimdeki bir parabol için kullanılabilir. Simetri ekseninin y eksenine paralel olduğu durumla sınırlı değildir. ⓘ

Bir sektör alanını bulmak için geometrik bir yapı

S odak noktasıdır ve V, VG parabolünün ana tepe noktasıdır. VX'i SV'ye dik olarak çizin. ⓘ

VG üzerinde herhangi bir B noktasını alın ve B'den VX'e bir BQ dikmesi bırakın. BQ ile kesişen ST dikmesini çizin, gerekirse T'de uzatın. B'de VX ile J'de kesişen BJ dikmesini çizin. ⓘ

Parabol için, VBV doğru parçası, VB akoru ve VB yayı tarafından çevrelenen alan, ∆VBQ / 3'e eşittir, ayrıca $BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}$. ⓘ

Parabolik sektörün alanı SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3${}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}$. ⓘ

TSB ve QBJ üçgenleri benzer olduğu için, ⓘ

$VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.$ ⓘ

Bu nedenle, parabolik sektörün alanı $SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}$ ve yukarıda bulunduğu gibi VJ uzunluğundan bulunabilir. ⓘ

S, V ve B'den geçen bir çember aynı zamanda J'den de geçer. ⓘ

Tersine, SVB sektörünün alanının belirli bir değere eşit olması için VG parabolü üzerinde bir B noktası bulunacaksa, VX üzerinde J noktasını belirleyin ve S, V ve J'den geçen bir çember oluşturun. SJ çap olduğundan, çemberin merkezi orta noktasındadır ve SV'nin dik açıortayı üzerinde, SV'den VJ'nin yarısı kadar bir mesafede yer alır. Gerekli B noktası, bu çemberin parabolle kesiştiği yerdir. ⓘ

Eğer bir cisim S'ye doğru yönlendirilen ters kare kuvvet nedeniyle parabolün yolunu izlerse, B noktası ilerledikçe SVB alanı sabit bir oranda artar. Buradan, B parabol boyunca hareket ederken J'nin VX boyunca sabit hızla hareket ettiği sonucu çıkar. ⓘ

Eğer cismin SV'ye dik olarak hareket ettiği tepe noktasındaki hızı v ise, o zaman J'nin hızı 3v/4'e eşittir. ⓘ

Bu yapı, yarıçapın SV ekseni ile çakışmadığı durumları da içerecek şekilde aşağıdaki gibi genişletilebilir. A noktası VG üzerinde V ve B arasında sabit bir nokta olsun ve H noktası da VX üzerinde SA'ya dik olan çizginin A'daki kesişimi olsun. $SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}$. ⓘ

Tersine, belirli bir SAB alanı için B noktasının bulunması gerekiyorsa, daha önce olduğu gibi HJ'den J noktasını ve B noktasını bulun. Newton'un Principia'sının 1. Kitabı, 16. Önerme, 6. Sonuç uyarınca, odağa doğru yönlendirilmiş bir kuvvetle bir parabol boyunca hareket eden bir cismin hızı, yarıçapın karekökü ile ters orantılıdır. Eğer A'daki hız v ise, o zaman V tepe noktasında hız ${\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v$'lik sabit bir hızla hareket eder ve J noktası ${\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}$. ⓘ

Yukarıdaki yapı Isaac Newton tarafından geliştirilmiştir ve Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica'nın 1. Kitabında Önerme 30 olarak bulunabilir. ⓘ

Odak uzunluğu ve tepe noktasındaki eğrilik yarıçapı

Bir parabolün odak uzaklığı, tepe noktasındaki eğrilik yarıçapının yarısıdır. ⓘ

Kanıt

• 

  Görüntü ters çevrilmiştir. AB eksendir. C başlangıç noktasıdır. O merkezdir. A ise . OA = OC = . PA = . CP = . OP = . Diğer noktalar ve doğrular bu amaç için önemsizdir.

• 

  Tepe noktasındaki eğrilik yarıçapı odak uzunluğunun iki katıdır. Yukarıdaki diyagramda gösterilen ölçümler, odak uzunluğunun dört katı olan latus rektum birimindedir.

Yarıçapı R olan ve merkezi (0, R) noktasında bulunan bir çember üzerinde bir nokta (x, y) düşünün. Çember orijinden geçmektedir. Eğer nokta orijine yakınsa, Pisagor teoremi şunu gösterir ⓘ

${\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}$ ⓘ

Ancak (x, y) orijine son derece yakınsa, x ekseni daireye teğet olduğundan, y, x'e kıyasla çok küçüktür, bu nedenle y² diğer terimlerle karşılaştırıldığında ihmal edilebilir. Bu nedenle, orijine son derece yakın ⓘ

$x^{2}=2Ry.$ (1) ⓘ

Bunu parabol ile karşılaştırın ⓘ

$x^{2}=4fy,$ (2) ⓘ

tepe noktası orijinde olan, yukarı doğru açılan ve odak uzaklığı f olan (bu makalenin önceki bölümlerine bakınız). ⓘ

Denklem (1) ve (2), R = 2f ise eşdeğerdir. Dolayısıyla bu, daire ve parabolün orijinde ve orijine çok yakın bir noktada çakışması için gereken koşuldur. Parabolün tepe noktası olan orijindeki eğrilik yarıçapı odak uzaklığının iki katıdır. ⓘ

Sonuç

Bir kürenin küçük bir parçası olan içbükey bir ayna, yaklaşık olarak parabolik bir ayna gibi davranır ve paralel ışığı kürenin merkezi ile yüzeyi arasındaki bir noktaya odaklar. ⓘ

Birim parabolün afin görüntüsü olarak

Birim parabolün afin görüntüsü olarak parabol ⓘ

Parabolün bir başka tanımı da afin dönüşümleri kullanır:

• Herhangi bir parabol, denklemi aşağıdaki gibi olan birim parabolün afin görüntüsüdür $y=x^{2}$. ⓘ

parametrik temsil

Öklid düzleminin bir afin dönüşümü şu şekildedir ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, nerede $A$ düzenli bir matristir (determinant 0 değildir) ve ${\vec {f}}_{0}$ rastgele bir vektördür. Eğer ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ matrisinin sütun vektörleridir $A$, birim parabol $(t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R}$ parabol üzerine eşlenir

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},$

nerede

${\vec {f}}_{0}$ parabolün bir noktasıdır,

${\vec {f}}_{1}$ noktasında bir teğet vektördür ${\vec {f}}_{0}$,

${\vec {f}}_{2}$ parabolün eksenine paraleldir (tepe noktasından geçen simetri ekseni). ⓘ

tepe noktası

Genel olarak, iki vektör ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ dik değildir ve ${\vec {f}}_{0}$ afin dönüşümü bir benzerlik olmadığı sürece tepe noktası değildir. ⓘ

Noktadaki teğet vektör ${\vec {p}}(t)$ o ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}$. Tepe noktasında teğet vektör aşağıdakilere ortogonaldir ${\vec {f}}_{2}$. Dolayısıyla parametre $t_{0}$ tepe noktası denkleminin çözümüdür

${\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,$

ki bu

$t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},$

ve tepe noktası

${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$ ⓘ

odak uzaklığı ve odak

Odak uzaklığı uygun bir parametre dönüşümü ile belirlenebilir (parabolün geometrik şeklini değiştirmeyen). Odak uzaklığı şöyledir

$f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.$

Dolayısıyla parabolün odağı

$F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$ ⓘ

örtük temsil

için parametrik gösterimin çözülmesi $\;t,t^{2}\;$ Cramer kuralına göre ve $\;t\cdot t-t^{2}=0\;$örtük temsilini elde eder

$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0$. ⓘ

uzayda parabol

Bu bölümdeki parabol tanımı, eğer izin verilirse, uzayda bile keyfi bir parabolün parametrik bir gösterimini verir ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ uzayda vektörler olmak üzere. ⓘ

Kuadratik Bézier eğrisi olarak

Kuadratik Bézier eğrisi ve kontrol noktaları ⓘ

İkinci dereceden bir Bézier eğrisi bir eğridir ${\vec {c}}(t)$ üç nokta ile tanımlanır $P_{0}:{\vec {p}}_{0}$, $P_{1}:{\vec {p}}_{1}$ ve $P_{2}:{\vec {p}}_{2}$kontrol noktaları olarak adlandırılır:

${\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\&=({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})t^{2}+(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1})t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}$ ⓘ

Bu eğri bir parabolün yayıdır (bkz. § Birim parabolün afin görüntüsü olarak). ⓘ

Sayısal integrasyon

Simpson kuralı: bir fonksiyonun grafiği bir parabolün yayı ile değiştirilir ⓘ

Sayısal entegrasyon yöntemlerinden birinde, bir fonksiyonun grafiği parabol yayları ile değiştirilir ve parabol yayları entegre edilir. Bir parabol üç nokta ile belirlenir. Bir yay için formül şöyledir

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).$ ⓘ

Bu yönteme Simpson kuralı denir. ⓘ

Kuadrisin düzlem kesiti olarak

Aşağıdaki kuadrikler düzlem kesitleri olarak paraboller içerir:

• eliptik koni,
• parabolik silindir,
• eliptik paraboloid,
• hiperbolik paraboloid,
• bir tabakanın hiperboloidi,
• iki tabakadan oluşan hiperboloid. ⓘ

• 

  Eliptik koni

• 

  Parabolik silindir

• 

  Eliptik paraboloid

• 

  Hiperbolik paraboloid

• 

  Bir yaprağın hiperboloidi

• 

  İki tabakadan oluşan hiperboloid ⓘ

Trisectrix olarak

Bir parabol ile açı üçlemesi ⓘ

Bir parabol trisectrix olarak kullanılabilir, yani rastgele bir açının pergel ve düzeç ile tam olarak kesilmesine izin verir. Bu, sadece pergel ve düzeç konstrüksiyonları ile bir açının kesilmesinin imkansızlığı ile çelişmez, çünkü pergel ve düzeç konstrüksiyonları için klasik kurallarda parabollerin kullanımına izin verilmez. ⓘ

Üçgenlemek için $\angle AOB$bacağını yerleştir $OB$ x ekseni üzerinde öyle ki tepe noktası $O$ koordinat sisteminin orijinindedir. Koordinat sistemi aynı zamanda parabolü de içerir $y=2x^{2}$. Orijin etrafındaki 1 yarıçaplı birim çember, açının diğer ayağıyla kesişir $OA$ve bu kesişim noktasından y eksenine bir dikme çizin. Bu dikmenin orta noktasından geçen y eksenine paralel ve birim çember üzerindeki teğet $(0,1)$ içinde kesişir $C$. Etrafındaki çember $C$ yarıçap ile $OC$ parabolü şu noktada keser $P_{1}$. 'den dik olan $P_{1}$ x ekseni üzerinde birim çemberi şu noktada keser $P_{2}$ve $\angle P_{2}OB$ tam olarak üçte biri $\angle AOB$. ⓘ

Bu yapının doğruluğu, x koordinatının aşağıdaki gibi olduğunu göstererek görülebilir $P_{1}$ o $\cos(\alpha )$. Etrafındaki daire tarafından verilen denklem sistemini çözme $C$ ve parabol kübik denkleme yol açar $4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0$. Üçlü açı formülü $\cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )$ o zaman şunu gösterir $\cos(\alpha )$ gerçekten de bu kübik denklemin bir çözümüdür. ⓘ

Bu üçlü kesit, La Géométrie (1637) adlı kitabında bunu tanımlayan René Descartes'a kadar uzanmaktadır. ⓘ

Genelleştirmeler

Eğer reel sayıların yerine keyfi bir alan konulursa, parabolün birçok geometrik özelliği $y=x^{2}$ hala geçerlidir:

1. Bir doğru en fazla iki noktada kesişir.
2. Herhangi bir noktada $(x_{0},x_{0}^{2})$ hat $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$ tanjanttır.

Alan 2 karakteristiğine sahipse, esasen yeni olgular ortaya çıkar (yani, $1+1=0$): teğetlerin hepsi paraleldir. ⓘ

Cebirsel geometride parabol, koordinatları (x, x², x³, ..., xn) olan rasyonel normal eğriler tarafından genelleştirilir; standart parabol n = 2 durumudur ve n = 3 durumu bükülmüş kübik olarak bilinir. Birden fazla giriş değişkeni olduğunda, Veronese çeşidi tarafından daha ileri bir genelleme verilir. ⓘ

İkinci dereceden formlar teorisinde, parabol x² ikinci dereceden formunun (veya diğer ölçeklendirmelerin) grafiği iken, eliptik paraboloid x² + y² pozitif-belirli ikinci dereceden formunun (veya ölçeklendirmelerin) grafiğidir ve hiperbolik paraboloid x² - y² belirsiz ikinci dereceden formunun grafiğidir. Daha fazla değişkene genelleştirmeler bu tür başka nesneler ortaya çıkarır. ⓘ

p'nin diğer değerleri için y = xp eğrileri geleneksel olarak yüksek paraboller olarak adlandırılır ve başlangıçta her ikisi de pozitif tamsayı olan p ve q için xp = kyq biçiminde dolaylı olarak ele alınmıştır, bu biçimde cebirsel eğriler oldukları görülür. Bunlar x'in pozitif kesirli kuvveti için y = x^p/q açık formülüne karşılık gelir. Negatif kesirli kuvvetler xpyq = k örtük denklemine karşılık gelir ve geleneksel olarak daha yüksek hiperboller olarak adlandırılır. Analitik olarak, x irrasyonel bir güce de yükseltilebilir (x'in pozitif değerleri için); analitik özellikler x'in rasyonel güçlere yükseltilmesine benzer, ancak ortaya çıkan eğri artık cebirsel değildir ve cebirsel geometri ile analiz edilemez. ⓘ

Fiziksel dünyada

Doğada, parabol ve paraboloid yaklaşımları birçok farklı durumda bulunur. Fizik tarihinde parabolün en iyi bilinen örneği, hava direnci olmaksızın tekdüze bir yerçekimi alanının etkisi altında hareket eden bir parçacık veya cismin yörüngesidir (örneğin, hava sürtünmesi ihmal edilerek havada uçan bir top). ⓘ

Mermilerin parabolik yörüngesi, 17. yüzyılın başlarında eğik düzlemler üzerinde yuvarlanan toplarla deneyler yapan Galileo tarafından deneysel olarak keşfedilmiştir. Daha sonra bunu İki Yeni Bilim Üzerine Diyalog adlı kitabında matematiksel olarak da kanıtlamıştır. Dalış tahtasından atlayan bir dalgıç gibi uzayda uzanan nesneler için, nesnenin kendisi dönerken karmaşık bir hareket izler, ancak nesnenin kütle merkezi yine de bir parabol boyunca hareket eder. Fiziksel dünyadaki tüm durumlarda olduğu gibi, yörünge her zaman bir parabolün yaklaşımıdır. Örneğin hava direncinin varlığı her zaman şekli bozar, ancak düşük hızlarda şekil bir parabolün iyi bir yaklaşımıdır. Balistikte olduğu gibi daha yüksek hızlarda şekil oldukça bozulur ve bir parabole benzemez. ⓘ

Sir Isaac Newton tarafından 17. ve 18. yüzyıllarda tanımlanan fizik teorilerine göre, parabollerin ortaya çıkabileceği bir başka varsayımsal durum, iki cisimli yörüngelerdir, örneğin, Güneş'in çekiminin etkisi altındaki küçük bir gezegenin veya başka bir nesnenin yolu. Parabolik yörüngeler doğada görülmez; basit yörüngeler çoğunlukla hiperbol veya elipslere benzer. Parabolik yörünge, bu iki ideal yörünge türü arasındaki dejenere ara durumdur. Parabolik bir yörüngeyi takip eden bir nesne, yörüngesinde döndüğü nesnenin tam kaçış hızında hareket eder; eliptik veya hiperbolik yörüngelerdeki nesneler sırasıyla kaçış hızından daha az veya daha fazla hareket eder. Uzun periyotlu kuyrukluyıldızlar iç Güneş sistemi boyunca hareket ederken Güneş'in kaçış hızına yakın seyahat ederler, bu nedenle yolları neredeyse paraboliktir. ⓘ

Basit bir asma köprü üzerindeki ana kabloların şeklinde de parabollerin yaklaşık şekilleri bulunur. Bir asma köprünün zincirlerinin eğrisi her zaman bir parabol ile bir katener arasında bir ara eğridir, ancak pratikte yükün (yani yolun) ağırlığı kabloların kendisinden çok daha büyük olduğu için eğri genellikle bir parabole daha yakındır ve hesaplamalarda bir parabolün ikinci derece polinom formülü kullanılır. Düzgün bir yükün (yatay asma tabliye gibi) etkisi altında, aksi takdirde katener şeklindeki kablo bir parabole doğru deforme olur (bkz. Katener#Asma köprü eğrisi). Elastik olmayan bir zincirin aksine, sıfır gerilmemiş uzunlukta serbestçe asılı duran bir yay parabol şeklini alır. Asma köprü kabloları, ideal olarak, eğilme gibi başka kuvvetleri taşımak zorunda kalmadan sadece gerilim halindedir. Benzer şekilde, parabolik kemerlerin yapıları tamamen sıkıştırma içindedir. ⓘ

Paraboloidler çeşitli fiziksel durumlarda da ortaya çıkar. En iyi bilinen örnek, ışığı veya diğer elektromanyetik radyasyon biçimlerini ortak bir odak noktasına yoğunlaştıran veya tersine, odak noktasındaki bir nokta kaynaktan gelen ışığı paralel bir ışın haline getiren bir ayna veya benzeri yansıtıcı cihaz olan parabolik reflektördür. Parabolik reflektör prensibi MÖ 3. yüzyılda, şüpheli bir efsaneye göre, Roma gemilerinin güvertelerini ateşe vermek için güneş ışınlarını yoğunlaştırarak Roma filosuna karşı Siraküza'yı savunmak için parabolik aynalar inşa eden jeolog Arşimet tarafından keşfedilmiş olabilir. Bu prensip 17. yüzyılda teleskoplara uygulanmıştır. Günümüzde paraboloid yansıtıcılar dünyanın pek çok yerinde mikrodalga ve uydu çanağı alıcı ve verici antenlerinde yaygın olarak gözlemlenebilir. ⓘ

Parabolik mikrofonlarda, sesi bir mikrofona odaklamak için parabolik bir reflektör kullanılır ve bu da mikrofona oldukça yönlü bir performans kazandırır. ⓘ

Paraboloidler ayrıca bir kap içine hapsedilmiş ve merkezi eksen etrafında döndürülen bir sıvının yüzeyinde de gözlemlenir. Bu durumda, merkezkaç kuvveti sıvının kabın duvarlarına tırmanarak parabolik bir yüzey oluşturmasına neden olur. Sıvı-ayna teleskobunun arkasındaki prensip budur. ⓘ

NASA'nın "Kusmuk Kuyruklu Yıldızı" gibi deney amacıyla ağırlıksız bir durum yaratmak için kullanılan uçaklar, serbest düşüşteki bir nesnenin rotasını izlemek için kısa süreler boyunca dikey olarak parabolik bir yörünge izler, bu da çoğu amaç için sıfır yerçekimi ile aynı etkiyi yaratır. ⓘ

Galeri

• 

  Saniyede 25 görüntüde stroboskopik flaşla çekilmiş zıplayan bir top. Top her zıplamadan sonra, özellikle de ilk zıplamadan sonra önemli ölçüde küresel olmaktan çıkıyor. Bu, dönüş ve hava direnciyle birlikte, süpürülen eğrinin beklenen mükemmel parabolden biraz sapmasına neden olur.

• 

  Bir fıskiyedeki suyun parabolik yörüngeleri.

• 

  Kohoutek Kuyruklu Yıldızı'nın iç Güneş sisteminden geçerken izlediği yol (kırmızı renkte), neredeyse parabolik şeklini göstermektedir. Mavi yörünge Dünya'nın yörüngesidir.

• 

  Asma köprülerin taşıyıcı kabloları parabol ile katener arasında bir eğri izler.

• 

  Kanada'yı (solda) Amerika Birleşik Devletleri'ne (sağda) bağlayan Niagara Nehri üzerindeki Gökkuşağı Köprüsü. Parabolik kemer sıkıştırma halindedir ve yolun ağırlığını taşır.

• 

  Mimaride kullanılan parabolik kemerler

• 

  Dönme altındaki bir sıvı yüzeyinin oluşturduğu parabolik şekil. Farklı yoğunluktaki iki sıvı, iki şeffaf plastik tabaka arasındaki dar bir boşluğu tamamen doldurur. Levhalar arasındaki boşluk alttan, yanlardan ve üstten kapatılmıştır. Tüm düzenek, merkezden geçen dikey bir eksen etrafında dönmektedir. (Bkz. Döner fırın)

• 

  Parabolik reflektörlü güneş ocağı

• 

  Parabolik anten

• 

  Bir Amerikan kolej futbolu maçında kullanılan optik olarak şeffaf plastik reflektörlü parabolik mikrofon.

• 

  Güneş enerjisi toplamak için parabolik oluk dizisi

• 

  Edison'un ışıldağı, bir arabaya monte edilmiş. Işığın parabolik bir yansıtıcısı vardı.

• 

  Fizikçi Stephen Hawking, sıfır yerçekimini simüle etmek için parabolik bir yörüngede uçan bir uçakta ⓘ