Kesir

Dörtte biri (dörtte bir) çıkarılmış bir pasta. Kalan dörtte üçü noktalı çizgilerle gösterilmiş ve 1/4 kesri ile etiketlenmiştir. ⓘ

Kesir (Latince fractus, "kırık") bir bütünün bir parçasını veya daha genel olarak herhangi bir sayıda eşit parçayı temsil eder. Günlük İngilizcede konuşulduğunda, bir kesir belirli bir boyutta kaç parça olduğunu tanımlar, örneğin, yarım, beşte sekiz, dörtte üç. Yaygın, kaba veya basit bir kesir (örn: ${\tfrac {1}{2}}$ ve ${\tfrac {17}{3}}$) bir satırın üstünde (veya 1⁄2 gibi bir eğik çizgiden önce) görüntülenen bir pay ve bu satırın altında (veya sonrasında) görüntülenen sıfır olmayan bir paydadan oluşur. Rakamlar ve paydalar, bileşik kesirler, karmaşık kesirler ve karışık sayılar dahil olmak üzere ortak olmayan kesirlerde de kullanılır. ⓘ

Pozitif ortak kesirlerde pay ve payda doğal sayılardır. Pay, bir dizi eşit parçayı temsil eder ve payda, bu parçalardan kaç tanesinin bir birim veya bir bütün oluşturduğunu gösterir. Payda sıfır olamaz, çünkü sıfır parça asla bir bütün oluşturamaz. Örneğin, 3/4 kesrinde pay 3, kesrin 3 eşit parçayı temsil ettiğini ve payda 4, 4 parçanın bir bütünü oluşturduğunu gösterir. Sağdaki resim bir pastanın 3/4'ünü göstermektedir. ⓘ

Adi kesir, rasyonel bir sayıyı temsil eden bir rakamdır. Aynı sayı ondalık, yüzde veya negatif üs ile de gösterilebilir. Örneğin, 0,01, %1 ve 10-2'nin hepsi 1/100 kesrine eşittir. Bir tamsayının paydası bir olarak düşünülebilir (örneğin, 7 eşittir 7/1). ⓘ

Kesirlerin diğer kullanım alanları oranları ve bölmeyi temsil etmektir. Böylece 3/4 kesri, 3:4 oranını (parçanın bütüne oranı) ve 3 ÷ 4 bölme işlemini (üç bölü dört) temsil etmek için de kullanılabilir. Bir bölümü kesir olarak ifade ederken geçerli olan sıfır olmayan payda kuralı, sıfıra bölmenin tanımsız olduğu kuralının bir örneğidir. ⓘ

Pozitif bir kesrin tersini temsil eden negatif kesirler de yazabiliriz. Örneğin, 1/2 yarım dolarlık bir karı temsil ediyorsa, -1/2 yarım dolarlık bir zararı temsil eder. İşaretli sayıların bölünme kuralları nedeniyle (kısmen negatifin pozitife bölünmesinin negatif olduğunu belirtir), -1/2, -1/2 ve 1/-2 aynı kesri temsil eder - negatif bir buçuk. Negatifin negatife bölünmesi pozitif ürettiğinden, -1/-2 pozitif bir buçuğu temsil eder. ⓘ

Matematikte, a ve b'nin tam sayı olduğu ve b'nin sıfır olmadığı a/b biçiminde ifade edilebilen tüm sayıların kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve bölüm anlamına gelen Q sembolüyle gösterilir. Bir sayı, tam olarak bu biçimde yazılabildiğinde (yani, ortak bir kesir olarak) rasyonel bir sayıdır. Bununla birlikte, kesir kelimesi rasyonel sayı olmayan matematiksel ifadeleri tanımlamak için de kullanılabilir. Bu kullanımlara örnek olarak cebirsel kesirler (cebirsel ifadelerin bölümleri) ve irrasyonel sayılar içeren ifadeler verilebilir, örneğin ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (bkz. 2'nin karekökü) ve π/4 (bkz. π'nin irrasyonel olduğunun kanıtı). ⓘ

1 çeyreği (1/4'ü) alınmış bir yaş pasta. Çizimde geriye kalan 3 çeyrek parça (3/4) gösteriliyor. ⓘ

Kelime bilgisi

Bir kesirde, tanımlanan eşit parçaların sayısı paydır (Latince numerātor, "sayaç" veya "numaralandırıcı") ve parçaların türü veya çeşidi paydadır (Latince dēnōminātor, "isimlendiren veya belirleyen şey"). Örnek olarak, 8/5 kesri, her biri "beşinci" olarak adlandırılan türden sekiz parçaya karşılık gelir. Bölme işlemi açısından, pay bölene, payda ise bölene karşılık gelir. ⓘ

Gayri resmi olarak, pay ve payda yalnızca yerleştirme ile ayırt edilebilir, ancak resmi bağlamlarda genellikle bir kesir çubuğu ile ayrılırlar. Kesir çubuğu yatay (1/3'te olduğu gibi), eğik (2/5'te olduğu gibi) veya diyagonal (4⁄9'da olduğu gibi) olabilir. Bu işaretler sırasıyla yatay çubuk; virgule, eğik çizgi (ABD) veya kontur (İngiltere); ve kesir çubuğu, solidus veya kesir eğik çizgisi olarak bilinir. Tipografide, tek basamaklı pay ve paydaya sahip bir kesrin dar bir en karesi ya da daha geniş bir em karesi oranını kaplamasına bağlı olarak, dikey olarak istiflenen kesirler "en" ya da "somun kesirleri", çapraz olanlar ise "em" ya da "koyun kesirleri" olarak da bilinir. Geleneksel daktilo yazımında, tam bir kesri (örneğin 1/2) taşıyan bir yazı parçası "kasa kesri" olarak bilinirken, kesrin yalnızca bir kısmını temsil edenlere "parça kesirler" denirdi. ⓘ

İngilizce kesirlerin paydaları genellikle sıra sayıları olarak ifade edilir ve pay 1 değilse çoğul olarak yazılır. (Örneğin, 2/5 ve 3/5'in her ikisi de "beşte bir" sayısı olarak okunur. ) İstisnalar arasında her zaman "yarım" veya "yarılar" olarak okunan payda 2, alternatif olarak "çeyrek"/"çeyrekler" veya "dörtte bir"/"dörtte birler" olarak ifade edilebilen payda 4 ve alternatif olarak "yüzde bir"/"yüzde yüzler" veya "yüzde" olarak ifade edilebilen payda 100 yer alır. ⓘ

Payda 1 olduğunda, "bütünler" cinsinden ifade edilebilir, ancak daha yaygın olarak göz ardı edilir ve pay bir tam sayı olarak okunur. Örneğin, 3/1 "üç bütün" veya basitçe "üç" olarak tanımlanabilir. Pay 1 olduğunda, atlanabilir ("onda bir" veya "her çeyrek" gibi). ⓘ

Kesrin tamamı tek bir bileşim olarak ifade edilebilir, bu durumda tirelenir veya payları bir olan bir dizi kesir olarak ifade edilebilir, bu durumda tirelenmez. (Örneğin, "beşte iki" 2/5 kesridir ve "beşte iki" 1/5'in 2 örneği olarak anlaşılan aynı kesirdir). Kesirler sıfat olarak kullanıldığında her zaman tirelenmelidir. Alternatif olarak, bir kesir pay paydanın "üzerinde" şeklinde okunarak tanımlanabilir ve payda bir kardinal sayı olarak ifade edilebilir. (Örneğin, 3/1 "üç üzeri bir" olarak da ifade edilebilir.) "Üzeri" terimi, sayıların eğik çizgi işaretinin sağına ve soluna yerleştirildiği solidus kesirlerde bile kullanılır. (Örneğin, 1/2 "bir buçuk", "bir buçuk" veya "iki üzerinden bir" olarak okunabilir.) On'un kuvveti olmayan büyük paydalı kesirler genellikle bu şekilde gösterilirken (örneğin, 1/117 "yüz on yedi üzerinden bir" olarak), paydaları ona bölünebilenler genellikle normal sıra biçiminde okunur (örneğin, 6/1000000 "milyonda altı", "milyonda altı" veya "milyonda altı" olarak). ⓘ

Kesirlerin biçimleri

Basit, yaygın veya kaba kesirler

Basit kesir (ortak kesir veya kaba kesir olarak da bilinir, burada kaba Latince "ortak" anlamına gelir) a/b veya ${\tfrac {a}{b}}$Burada a ve b'nin her ikisi de tam sayıdır. Diğer kesirlerde olduğu gibi, payda (b) sıfır olamaz. Örnekler şunları içerir ${\tfrac {1}{2}}$, $-{\tfrac {8}{5}}$, ${\tfrac {-8}{5}}$ve ${\tfrac {8}{-5}}$. Bu terim başlangıçta bu tür kesirleri astronomide kullanılan seksajimal kesirden ayırmak için kullanılmıştır. ⓘ

Yaygın kesirler pozitif veya negatif olabilir ve uygun veya uygunsuz olabilirler (aşağıya bakınız). Bileşik kesirler, karmaşık kesirler, karışık sayılar ve ondalık sayılar (aşağıya bakınız) adi kesir değildir; ancak irrasyonel olmadıkları sürece adi kesir olarak değerlendirilebilirler.

• Bir birim kesir, payı 1 olan bir adi kesirdir (örn, ${\tfrac {1}{7}}$). Birim kesirler, 1/2'yi temsil eden 2-1 ve 1/(22) veya 1/4'ü temsil eden 2-²'de olduğu gibi negatif üsler kullanılarak da ifade edilebilir.
• İkili kesir, paydası ikinin kuvveti olan ortak bir kesirdir, örn. ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$. ⓘ

Unicode'da, önceden birleştirilmiş kesir karakterleri Sayı Formları bloğundadır. ⓘ

Uygun ve uygun olmayan kesirler

Yaygın kesirler uygun ya da uygun olmayan olarak sınıflandırılabilir. Pay ve paydanın her ikisi de pozitif olduğunda, pay paydadan küçükse kesir uygun, aksi halde uygunsuz olarak adlandırılır. "Uygun olmayan kesir" kavramı geç bir gelişmedir, terminoloji "kesir" kelimesinin "bir parça" anlamına geldiği gerçeğinden türemiştir, bu nedenle uygun bir kesir 1'den küçük olmalıdır. 17. yüzyılda The Ground of Arts adlı ders kitabında bu durum açıklanmıştır. ⓘ

Genel olarak, kesrin mutlak değeri kesinlikle birden küçükse, yani kesir -1'den büyük ve 1'den küçükse, ortak bir kesrin uygun bir kesir olduğu söylenir. Kesrin mutlak değeri 1'den büyük veya 1'e eşitse, uygun olmayan bir kesir veya bazen üst-ağır kesir olduğu söylenir. Uygun kesirlere örnek olarak 2/3, -3/4 ve 4/9; uygun olmayan kesirlere örnek olarak ise 9/4, -4/3 ve 3/3 verilebilir. ⓘ

Karşılıklı kesirler ve "görünmez payda"

Bir kesrin karşılığı, pay ve paydası değiştirilmiş başka bir kesirdir. Karşılığı ${\tfrac {3}{7}}$örneğin ${\tfrac {7}{3}}$. Bir kesir ile kesrin karşılığının çarpımı 1'dir, dolayısıyla kesrin karşılığı kesrin çarpımsal tersidir. Uygun bir kesrin tersi uygunsuzdur ve 1'e eşit olmayan (yani pay ve paydası eşit olmayan) uygunsuz bir kesrin tersi uygun bir kesirdir. ⓘ

Bir kesrin pay ve paydası eşit olduğunda (örneğin, ${\tfrac {7}{7}}$), değeri 1'dir ve bu nedenle kesir uygun değildir. Bunun tersi de aynıdır ve dolayısıyla 1'e eşittir ve uygun değildir. ⓘ

Herhangi bir tam sayı, paydası bir olan bir kesir olarak yazılabilir. Örneğin, 17 şu şekilde yazılabilir ${\tfrac {17}{1}}$Burada 1 bazen görünmez payda olarak adlandırılır. Bu nedenle, sıfır hariç her kesrin veya tam sayının bir karşılığı vardır. Örneğin. 17'nin karşılığı ${\tfrac {1}{17}}$. ⓘ

Oranlar

Oran, iki veya daha fazla sayı arasında bazen kesir olarak ifade edilebilen bir ilişkidir. Tipik olarak, bir dizi öğe gruplandırılır ve her grup arasındaki ilişki sayısal olarak belirtilerek bir oran içinde karşılaştırılır. Oranlar "grup 1'den grup 2'ye ... grup n'ye" şeklinde ifade edilir. Örneğin, bir araba galerisinde 12 araç varsa, bunlardan

• 2'si beyaz,
• 6'sı kırmızı ve
• 4'ü sarı, ⓘ

Sarı arabaların beyaz arabalara oranı 4'e 2'dir ve 4:2 veya 2:1 olarak ifade edilebilir. ⓘ

Bir oran, bütüne oran olarak ifade edildiğinde genellikle kesre dönüştürülür. Yukarıdaki örnekte, sarı arabaların park yerindeki tüm arabalara oranı 4:12 veya 1:3'tür. Bu oranları bir kesre dönüştürebilir ve arabaların 4/12'sinin veya park yerindeki arabaların 1/3'ünün sarı olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla, eğer bir kişi rastgele bir araba seçerse, bu arabanın sarı olma ihtimali üçte birdir. ⓘ

Ondalık kesirler ve yüzdeler

Ondalık kesir, paydası açıkça verilmeyen, ancak on'un tam sayı kuvveti olduğu anlaşılan bir kesirdir. Ondalık kesirler genellikle ondalık gösterim kullanılarak ifade edilir; burada zımni payda, ondalık ayırıcının sağındaki basamak sayısına göre belirlenir ve bu ayırıcının görünümü (örneğin nokta, yükseltilmiş nokta (-), virgül) yerel ayara bağlıdır (örnekler için bkz. ondalık ayırıcı). Böylece, 0,75 için pay 75'tir ve zımni payda ikinci kuvvetin 10 katıdır, yani 100'dür, çünkü ondalık ayırıcının sağında iki basamak vardır. 1'den büyük ondalık sayılarda (3,75 gibi), sayının kesirli kısmı ondalık ayracın sağındaki rakamlarla ifade edilir (bu durumda 0,75 değeri ile). 3,75, 375/100 şeklinde bir tam olmayan kesir olarak ya da karışık bir sayı olarak yazılabilir, $3{\tfrac {75}{100}}$. ⓘ

Ondalık kesirler, 0,0000006023'ü temsil eden 6,023×10-7 gibi negatif üslü bilimsel gösterim kullanılarak da ifade edilebilir. 10-7, 10⁷'lik bir paydayı temsil eder. 10⁷'ye bölmek ondalık noktasını 7 basamak sola kaydırır. ⓘ

Ondalık ayırıcının sağında sonsuz sayıda basamak bulunan ondalık kesirler sonsuz bir seriyi temsil eder. Örneğin, 1/3 = 0,333... sonsuz 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... serisini temsil eder. ⓘ

Bir başka kesir türü de yüzde (Latince per centum "yüz başına" anlamına gelir ve % sembolü ile gösterilir) olup, burada zımni payda her zaman 100'dür. Böylece, %51, 51/100 anlamına gelir. 100'den büyük veya sıfırdan küçük yüzdeler de aynı şekilde ele alınır, örneğin %311, 311/100'e eşittir ve -%27, -27/100'e eşittir. ⓘ

İlgili permille veya binde parça (ppt) kavramı 1000'lik bir paydaya sahipken, milyonda 75 parçada (ppm) olduğu gibi daha genel parça-per gösterimi oranın 75/1.000.000 olduğu anlamına gelir. ⓘ

Yaygın kesirlerin mi yoksa ondalık kesirlerin mi kullanılacağı genellikle bir zevk ve bağlam meselesidir. Yaygın kesirler en çok payda nispeten küçük olduğunda kullanılır. Zihinsel hesaplamayla 16'yı 3/16 ile çarpmak, aynı hesaplamayı kesrin ondalık eşdeğerini (0,1875) kullanarak yapmaktan daha kolaydır. Ve örneğin 15'i 1/3 ile çarpmak, 15'i üçte birin herhangi bir ondalık yaklaşımı ile çarpmaktan daha doğrudur. Parasal değerler genellikle paydası 100 olan ondalık kesirler olarak ifade edilir, yani iki ondalıklı, örneğin 3,75 $. Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, ondalık öncesi İngiliz para biriminde şilin ve peni genellikle bir kesir biçiminde (ancak anlamında değil) verilmiştir, örneğin 3/6 ("üç ve altı" olarak okunur) 3 şilin ve 6 peni anlamına gelir ve 3/6 kesriyle hiçbir ilişkisi yoktur. ⓘ

Karışık sayılar

Karışık sayı (karışık kesir veya karışık sayı olarak da adlandırılır), sıfır olmayan bir tamsayı ile uygun bir kesrin (aynı işarete sahip) toplamının geleneksel gösterimidir. Öncelikle ölçümde kullanılır: $2{\tfrac {3}{16}}$Örneğin inç. Bilimsel ölçümlerde neredeyse her zaman karışık sayılar yerine ondalık gösterim kullanılır. Toplam, uygun "+" gibi görünür bir operatör kullanılmadan ima edilebilir. Örneğin, iki tam kek ve başka bir kekin dörtte üçünden bahsederken, keklerin tamsayı kısmını ve kesirli kısmını gösteren rakamlar yan yana şu şekilde yazılabilir $2{\tfrac {3}{4}}$yerine $2+{\tfrac {3}{4}}.$ Negatif karışık rakamlar, örneğin $-2{\tfrac {3}{4}}$gibi muamele görürler. $\scriptstyle -\left(2+{\frac {3}{4}}\right).$ Bir bütün artı bir parçadan oluşan bu tür herhangi bir toplam, birbirine benzemeyen miktarları toplama kuralları uygulanarak uygun olmayan bir kesre dönüştürülebilir. ⓘ

Bu gelenek, resmi olarak, bitişik sembollerin, açık bir infix operatörü olmaksızın, bir çarpımı ifade ettiği cebirdeki gösterimle çelişmektedir. İfade içinde $2x$"anlaşılan" işlem çarpma işlemidir. Eğer x yerine örneğin şu kesir konursa ${\tfrac {3}{4}}$"anlaşılan" çarpma işleminin, karışık bir sayının ortaya çıkmasını önlemek için açık çarpma işlemiyle değiştirilmesi gerekir. ⓘ

Çarpma amaçlandığında, $2{\tfrac {b}{c}}$ olarak yazılabilir ⓘ

$2\cdot {\frac {b}{c}},\quad$ veya $\quad 2\times {\frac {b}{c}},\quad$ veya $\quad 2\left({\frac {b}{c}}\right),\;\ldots$ ⓘ

Uygun olmayan bir kesir aşağıdaki şekilde karışık bir sayıya dönüştürülebilir:

1. Öklid bölme işlemini (kalanlı bölme) kullanarak, payı paydaya bölün. Örnekte, ${\tfrac {11}{4}}$11'i 4'e bölün. 11 ÷ 4 = 2 kalan 3.
2. Bölüm (kalansız) karışık sayının tam sayı kısmı olur. Kalan, kesirli kısmın payına dönüşür. Örnekte, 2 tam sayı kısmı ve 3 kesirli kısmın payıdır.
3. Yeni payda, yanlış kesrin paydası ile aynıdır. Örnekte bu sayı 4'tür, ${\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$. ⓘ

Tarihsel kavramlar

Mısır fraksiyonu

Bir Mısır kesri, farklı pozitif birim kesirlerin toplamıdır, örneğin ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$. Bu tanım, eski Mısırlıların aşağıdakiler dışındaki tüm kesirleri ifade etmelerinden kaynaklanmaktadır ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {2}{3}}$ ve ${\tfrac {3}{4}}$ bu şekilde. Her pozitif rasyonel sayı bir Mısır kesri olarak genişletilebilir. Örneğin, ${\tfrac {5}{7}}$ olarak yazılabilir ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ Herhangi bir pozitif rasyonel sayı, sonsuz sayıda şekilde birim kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Yazmanın iki yolu ${\tfrac {13}{17}}$ vardır ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ ve ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$. ⓘ

Karmaşık ve bileşik kesirler

Karmaşık bir kesirde, pay veya payda ya da her ikisi de bir kesir veya kesirlerin bölünmesine karşılık gelen karışık bir sayıdır. Örneğin, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ ve ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ karmaşık kesirlerdir. Karmaşık bir kesri basit bir kesre indirgemek için, en uzun kesir çizgisini bölmeyi temsil ediyormuş gibi ele alın. Örneğin:

${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}$ ⓘ

${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}$ ⓘ

${\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}$ ⓘ

${\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.$ ⓘ

Karmaşık bir kesirde, hangi kesir çizgisinin öncelikli olduğunu söylemenin benzersiz bir yolu yoksa, bu ifade belirsizlik nedeniyle uygunsuz bir şekilde oluşturulmuştur. Yani 5/10/20/40, birden fazla olası yorum nedeniyle geçerli bir matematiksel ifade değildir, örneğin

$5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad$ ya da $\quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1$ ⓘ

Bileşik kesir, bir kesrin kesri veya kesirlerin çarpımına karşılık gelen, of kelimesiyle bağlantılı herhangi bir sayıda kesirdir. Bileşik bir kesri basit bir kesre indirgemek için çarpma işlemini gerçekleştirmeniz yeterlidir (çarpma işlemiyle ilgili bölüme bakınız). Örneğin, ${\tfrac {3}{4}}$ . ${\tfrac {5}{7}}$ 'ye karşılık gelen bir bileşik kesirdir. ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$. Bileşik kesir ve karmaşık kesir terimleri birbirleriyle yakından ilişkilidir ve bazen biri diğerinin eşanlamlısı olarak kullanılır. (Örneğin, bileşik kesir ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ karmaşık kesre eşdeğerdir ${\tfrac {3/4}{7/5}}$.) ⓘ

Bununla birlikte, "karmaşık kesir" ve "bileşik kesir "in her ikisinin de modası geçmiş olduğu ve artık iyi tanımlanmamış bir şekilde kullanıldığı, hatta kısmen birbirleri veya karışık sayılar için eşanlamlı olarak kullanıldığı düşünülebilir. Teknik terimler olarak anlamlarını yitirmişlerdir ve "karmaşık" ve "bileşik" nitelikleri günlük anlamları olan "parçalardan oluşan" anlamında kullanılma eğilimindedir. ⓘ

Kesirlerle aritmetik

Tam sayılar gibi kesirler de değişmeli, birleşmeli ve dağılımlı yasalara ve sıfıra bölme kuralına uyar. ⓘ

Eşdeğer kesirler

Bir kesrin pay ve paydasının aynı (sıfır olmayan) sayı ile çarpılması, orijinal kesre eşdeğer bir kesirle sonuçlanır. Bu doğrudur çünkü sıfır olmayan herhangi bir sayı için $n$, kesir ${\tfrac {n}{n}}$ eşittir $1$. Bu nedenle, ile çarpmak ${\tfrac {n}{n}}$ bir ile çarpmakla aynı şeydir ve bir ile çarpılan herhangi bir sayı orijinal sayı ile aynı değere sahiptir. Örnek olarak, şu kesirle başlayalım ${\tfrac {1}{2}}$. Pay ve paydanın her ikisi de 2 ile çarpıldığında sonuç ${\tfrac {2}{4}}$ile aynı değere (0,5) sahip olan ${\tfrac {1}{2}}$. Bunu görsel olarak canlandırmak için bir pastayı dört parçaya böldüğünüzü düşünün; parçalardan ikisi birlikte (${\tfrac {2}{4}}$) pastanın yarısını oluşturur (${\tfrac {1}{2}}$). ⓘ

Kesirleri sadeleştirme (azaltma)

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sıfır olmayan sayıya bölmek eşdeğer bir kesir verir: bir kesrin payı ve paydasının her ikisi de 1'den büyük bir sayıya (faktör olarak adlandırılır) bölünebiliyorsa, kesir daha küçük bir pay ve daha küçük bir paydaya sahip eşdeğer bir kesre indirgenebilir. Örneğin, kesrin hem payı hem de paydası 1'den büyükse ${\tfrac {a}{b}}$ ile bölünebilir $c,$ o zaman şu şekilde yazılabilirler $a=cd$ ve $b=ce,$ ve kesir şu hale gelir ${\tfrac {cd}{ce}}$pay ve paydayı bölerek azaltılabilir. $c$ indirgenmiş fraksiyonu vermek için ${\tfrac {d}{e}}.$ ⓘ

Eğer c için pay ve paydanın en büyük ortak bölenini alırsak, pay ve paydası en düşük mutlak değerlere sahip olan eşdeğer kesri elde ederiz. Kesrin en düşük terimlerine indirgendiği söylenir. ⓘ

Pay ve payda 1'den büyük herhangi bir çarpanı paylaşmıyorsa, kesir zaten en düşük terimlerine indirgenmiştir ve indirgenemez, indirgenmiş veya en basit terimlerle söylenir. Örneğin, ${\tfrac {3}{9}}$ en düşük terimlerde değildir çünkü hem 3 hem de 9 tam olarak 3'e bölünebilir, ${\tfrac {3}{8}}$ en düşük terimlerdedir - hem 3 hem de 8'e eşit olarak giren tek pozitif tamsayı 1'dir. ⓘ

Bu kuralları kullanarak şunu gösterebiliriz ${\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10}{20}}={\tfrac {50}{100}}$Örneğin. ⓘ

Başka bir örnek olarak, 63 ve 462'nin en büyük ortak böleni 21 olduğundan, kesir ${\tfrac {63}{462}}$ pay ve paydayı 21'e bölerek en küçük terimlere indirgenebilir:

${\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}$ ⓘ

Öklid algoritması, herhangi iki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için bir yöntem sunar. ⓘ

Kesirleri karşılaştırma

Aynı pozitif paydaya sahip kesirleri karşılaştırmak, payları karşılaştırmakla aynı sonucu verir:

${\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}$ çünkü 3 > 2 ve eşit paydalar $4$ pozitiftir. ⓘ

Eşit paydalar negatifse, payları karşılaştırmanın ters sonucu kesirler için de geçerlidir:

${\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.$ ⓘ

Eğer iki pozitif kesrin payları aynıysa, paydası küçük olan kesir büyük olan sayıdır. Bir bütün eşit parçalara bölündüğünde, bütünü oluşturmak için daha az eşit parça gerekiyorsa, her parça daha büyük olmalıdır. İki pozitif kesir aynı paya sahip olduğunda, aynı sayıda parçayı temsil ederler, ancak paydası küçük olan kesirde parçalar daha büyüktür. ⓘ

Farklı pay ve paydalara sahip kesirleri karşılaştırmanın bir yolu ortak bir payda bulmaktır. Karşılaştırmak için ${\tfrac {a}{b}}$ ve ${\tfrac {c}{d}}$'ye dönüştürülür, bunlar ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ ve ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ (burada nokta çarpmayı ifade eder ve × 'ye alternatif bir semboldür). O halde bd ortak bir paydadır ve ad ile bc payları karşılaştırılabilir. Kesirleri karşılaştırmak için ortak paydanın değerini belirlemek gerekli değildir - bd'yi değerlendirmeden sadece ad ve bc'yi karşılaştırabiliriz, örneğin ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ verir ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$. ⓘ

Daha zahmetli bir soru için ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}},$ ortak bir payda elde etmek için her kesrin üstünü ve altını diğer kesrin paydası ile çarpın. ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$. Hesaplamak gerekli değildir $18\times 17$ - sadece payların karşılaştırılması gerekir. 5×17 (= 85), 4×18'den (= 72) büyük olduğu için karşılaştırmanın sonucu ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$. ⓘ

Negatif kesirler de dahil olmak üzere her negatif sayı sıfırdan küçük ve pozitif kesirler de dahil olmak üzere her pozitif sayı sıfırdan büyük olduğu için, herhangi bir negatif kesrin herhangi bir pozitif kesirden küçük olduğu sonucuna varılır. Bu, yukarıdaki kurallarla birlikte, tüm olası kesirleri karşılaştırmaya olanak tanır. ⓘ

Toplama İşlemi

Toplama işleminin ilk kuralı, yalnızca benzer miktarların eklenebilmesidir; örneğin, çeşitli çeyreklik miktarları. Çeyrekliklere üçte bir eklemek gibi benzer olmayan miktarlar, öncelikle aşağıda açıklandığı gibi benzer miktarlara dönüştürülmelidir: İki çeyreklik içeren bir cep ve üç çeyreklik içeren başka bir cep düşünün; toplamda beş çeyreklik var. Dört çeyreklik bir (dolar) ile eşdeğer olduğundan, bu durum aşağıdaki gibi gösterilebilir:

${\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}$. ⓘ

Eğer ${\tfrac {1}{2}}$ bir pastaya eklenecek ${\tfrac {1}{4}}$ Bir pastanın parçalarının, pasta sekizde biri veya pasta dörtte biri gibi karşılaştırılabilir miktarlara dönüştürülmesi gerekir. ⓘ

Farklı miktarların eklenmesi

Farklı miktarlar içeren kesirleri toplamak için (örneğin çeyrekler ve üçte birler), tüm miktarları benzer miktarlara dönüştürmek gerekir. Dönüştürmek için seçilen kesir türünü hesaplamak kolaydır; her kesrin iki paydasını (alt sayı) çarpmanız yeterlidir. Tam sayı olması durumunda görünmeyen paydayı uygulayın $1.$ ⓘ

Üçte bire çeyrek eklemek için, her iki kesir türü de on ikide bire dönüştürülür, böylece:

${\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$ ⓘ

Aşağıdaki iki miktarı toplamayı düşünün:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

İlk olarak, dönüştürün ${\tfrac {3}{5}}$ hem pay hem de paydayı üç ile çarparak on beşte bire böler: ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$. Beri ${\tfrac {3}{3}}$ 1'e eşittir, ile çarpımı ${\tfrac {3}{3}}$ kesrin değerini değiştirmez. ⓘ

İkinci olarak, dönüştürme ${\tfrac {2}{3}}$ hem pay hem de paydayı beş ile çarparak on beşte bire böler: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$. ⓘ

Şimdi görülebilir ki:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$ ⓘ

'ye eşittir:

${\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}$ ⓘ

Bu yöntem cebirsel olarak ifade edilebilir:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$ ⓘ

Bu cebirsel yöntem her zaman işe yarar ve böylece basit kesirlerin toplamının her zaman yine basit bir kesir olmasını garanti eder. Ancak, tek paydalar ortak bir faktör içeriyorsa, bunların çarpımından daha küçük bir payda kullanılabilir. Örneğin, toplama işlemi yapılırken ${\tfrac {3}{4}}$ ve ${\tfrac {5}{6}}$ tek paydaların ortak bir çarpanı vardır $2,$ ve bu nedenle, payda 24 (4 × 6) yerine, yarıya indirilmiş payda 12 kullanılabilir, bu sadece sonuçtaki paydayı değil, aynı zamanda paydaki faktörleri de azaltır. ⓘ

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}$ ⓘ

Mümkün olan en küçük payda, tek paydaların en küçük ortak katı tarafından verilir; bu da ezberlenmiş katın tek paydaların tüm ortak faktörlerine bölünmesiyle elde edilir. Buna en küçük ortak payda denir. ⓘ

Çıkarma işlemi

Kesirleri çıkarma işlemi özünde toplama işlemiyle aynıdır: ortak bir payda bulun ve her kesri seçilen ortak paydaya sahip eşdeğer bir kesre dönüştürün. Ortaya çıkan kesir bu paydaya sahip olacaktır ve payı orijinal kesirlerin paylarının çıkarılmasının sonucu olacaktır. Örneğin, ⓘ

${\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}$ ⓘ

Ondalık kesirler toplanırken veya çıkarılırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılardaki toplama-çıkarma işleminde olduğu gibi işlem yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır. ⓘ

 12,45
+ 3,572
 16,022 ⓘ

Çarpma İşlemi

Bir kesri başka bir kesirle çarpma

Kesirleri çarpmak için payları çarpın ve paydaları çarpın. Böylece:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}$ ⓘ

Süreci açıklamak için bir çeyreğin üçte birini düşünün. Pasta örneğini kullanarak, eşit büyüklükteki üç küçük dilim bir çeyrek ve dört çeyrek bir bütün oluşturuyorsa, bu küçük, eşit dilimlerin on ikisi bir bütün oluşturur. Dolayısıyla, çeyreğin üçte biri on ikidir. Şimdi payları ele alalım. İlk kesir olan üçte iki, üçte birin iki katı büyüklüğündedir. Çeyreğin üçte biri on ikide bir olduğuna göre, çeyreğin üçte ikisi on ikide ikidir. İkinci kesir olan dörtte üç, dörtte birin üç katı büyüklüğündedir, dolayısıyla dörtte üçün üçte ikisi, dörtte birin üçte ikisinin üç katı büyüklüğündedir. Böylece üçte iki çarpı üç çeyrek, on ikide altı eder. ⓘ

Kesirleri çarpmanın kısa yolu "iptal" olarak adlandırılır. Çarpma işlemi sırasında cevap en düşük terime indirgenir. Örneğin:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ ⓘ

İki, hem soldaki kesrin payında hem de sağdaki kesrin paydasında ortak bir faktördür ve her ikisinden de bölünür. Üç, sol payda ve sağ payın ortak çarpanıdır ve her ikisinden de bölünür. ⓘ

Bir kesri bir tam sayı ile çarpma

Bir tam sayı kendisi 1'e bölünerek yeniden yazılabildiğinden, normal kesir çarpma kuralları hala uygulanabilir. ⓘ

$6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}$ ⓘ

Bu yöntem işe yarar çünkü 6/1 kesri, her biri bir bütün olan altı eşit parça anlamına gelir. ⓘ

Karışık sayıları çarpma

Karışık sayıları çarparken, karışık sayıyı düzgün olmayan bir kesre dönüştürmek tercih edilir. Örneğin:

$3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times \left({\frac {8}{4}}+{\frac {3}{4}}\right)=3\times {\frac {11}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}$ ⓘ

Başka bir deyişle, $2{\tfrac {3}{4}}$ ile aynıdır ${\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}$toplamda 11 çeyrek yapar (çünkü her biri çeyreklere bölünmüş 2 kek toplam 8 çeyrek yapar) ve 33 çeyrek $8{\tfrac {1}{4}}$Çünkü her biri çeyreklerden oluşan 8 kek toplamda 32 çeyrek eder. ⓘ

Bölüm

Bir kesri bir tam sayıya bölmek için, pay paya eşitse payı sayıya bölebilir ya da paydayı sayıyla çarpabilirsiniz. Örneğin, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ eşittir ${\tfrac {2}{3}}$ ve ayrıca eşittir ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$'ye indirgenir. ${\tfrac {2}{3}}$. Bir sayıyı bir kesre bölmek için, o sayıyı kesrin tersi ile çarpın. Böylece, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$. ⓘ

Ondalık sayılar ve kesirler arasında dönüştürme

Yaygın bir kesri ondalık sayıya çevirmek için payın ondalık gösterimlerinin paydaya uzun bölümünü yapın (bu deyimsel olarak "paydayı paya bölmek" olarak da ifade edilir) ve cevabı istenen doğruluğa yuvarlayın. Örneğin, 1/4'ü ondalık sayıya çevirmek için 1,00'ı 4'e bölün ("4'ü 1,00'a") ve 0,25 elde edin. 1/3'ü ondalık sayıya çevirmek için 1.000...'i 3'e bölün ("3'ü 1.000...'e") ve istenen doğruluk elde edildiğinde durun, örneğin 0,3333 ile 4 ondalıkta. 1/4 kesri tam olarak iki ondalık basamakla yazılabilirken, 1/3 kesri tam olarak sonlu sayıda basamağa sahip bir ondalık olarak yazılamaz. Bir ondalık sayıyı kesre dönüştürmek için paydaya 1 ve ardından ondalık noktanın sağındaki basamak sayısı kadar sıfır yazın ve paya orijinal ondalık sayının tüm basamaklarını yazın, sadece ondalık noktayı atlayın. Böylece $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.$ ⓘ

Tekrar eden ondalık sayıları kesirlere dönüştürme

Ondalık sayılar, hesaplamalar yaparken çalışmak için tartışmasız daha kullanışlı olsa da, bazen yaygın kesirlerin sahip olduğu hassasiyetten yoksundur. Bazen aynı hassasiyete ulaşmak için sonsuz sayıda tekrar eden ondalık gerekir. Bu nedenle, tekrar eden ondalık sayıları kesirlere dönüştürmek genellikle yararlıdır. ⓘ

Tekrar eden bir ondalığı belirtmenin geleneksel bir yolu, tekrar eden rakamların üzerine bir çubuk (vinculum olarak bilinir) yerleştirmektir, örneğin 0,789 = 0,789789789... Ondalık noktadan hemen sonra başlayan tekrar eden kalıplar için, dönüşümün sonucu, pay olarak kalıp ve payda olarak aynı sayıda dokuzlu kesirdir. Örneğin:

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

Öndeki sıfırlar kalıptan önce geliyorsa, dokuzların sonuna aynı sayıda sondaki sıfırlar eklenir:

0.05 = 5/90

0.000392 = 392/999000

0.0012 = 12/9900

Örüntüden önce tekrar etmeyen bir ondalık kümesi varsa (0,1523987 gibi), sayı sırasıyla tekrar etmeyen ve tekrar eden kısımların toplamı olarak yazılabilir:

0.1523 + 0.0000987

Ardından, her iki parçayı da kesirlere dönüştürün ve yukarıda açıklanan yöntemleri kullanarak toplayın:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000 ⓘ

Alternatif olarak, aşağıdaki gibi cebir de kullanılabilir:

1. x = tekrar eden ondalık sayı olsun:

   x = 0.1523987

2. Her iki tarafı da ondalık sayının tekrar eden kısmından hemen önce ondalık noktayı taşıyacak kadar büyük olan 10'un kuvveti ile çarpın (bu durumda 10⁴):

   10,000x = 1,523.987

3. Her iki tarafı da tekrar eden yer sayısı ile aynı olan 10'un kuvveti (bu durumda 10³) ile çarpın:

   10,000,000x = 1,523,987.987

4. İki denklemi birbirinden çıkarın (a = b ve c = d ise, a - c = b - d):

   10,000,000x - 10,000x = 1,523,987.987 - 1,523.987

5. Tekrar eden ondalık sayıyı temizlemek için çıkarma işlemine devam edin:

   9,990,000x = 1,523,987 - 1,523

   9,990,000x = 1,522,464

6. x'i kesir olarak göstermek için her iki tarafı 9.990.000'e bölün

   x = 1522464/9990000 ⓘ

Soyut matematikte kesirler

Kesirler, büyük pratik öneme sahip olmalarının yanı sıra, yukarıda verilen kesir kurallarının tutarlı ve güvenilir olduğunu kontrol eden matematikçiler tarafından da incelenmektedir. Matematikçiler bir kesri sıralı bir çift olarak tanımlar $(a,b)$ tam sayıların $a$ ve $b\neq 0,$ için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanır:

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,$ ⓘ

$(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,$ ⓘ

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$ ⓘ

$(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)$ ⓘ

Bu tanımlar her durumda yukarıda verilen tanımlarla uyumludur; sadece gösterim farklıdır. Alternatif olarak, çıkarma ve bölmeyi işlem olarak tanımlamak yerine, toplama ve çarpmaya göre "ters" kesirler şu şekilde tanımlanabilir:

${\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Ayrıca, şu şekilde belirtilen bağıntı

$(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,$ ⓘ

kesirlerin bir denklik ilişkisidir. Bir denklik sınıfındaki her kesir tüm sınıf için bir temsilci olarak düşünülebilir ve her tüm sınıf bir soyut kesir olarak düşünülebilir. Bu denklik yukarıda tanımlanan işlemler tarafından korunur, yani kesirler üzerinde işlem yapmanın sonuçları denklik sınıflarından temsilci seçiminden bağımsızdır. Resmi olarak, kesirlerin toplanması için

$(a,b)\sim (a',b')\quad$ ve $\quad (c,d)\sim (c',d')\quad$ dolaylı olarak

$((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))$ ⓘ

ve benzer şekilde diğer işlemler için de geçerlidir. ⓘ

Tam sayıların kesirleri söz konusu olduğunda, a ve b'nin ortak olduğu ve b > 0 olan a/b kesirleri, genellikle aynı rasyonel sayı olarak kabul edilen eşdeğer kesirleri için benzersiz olarak belirlenmiş temsilciler olarak alınır. Bu şekilde tam sayıların kesirleri rasyonel sayılar alanını oluşturur. ⓘ

Daha genel olarak, a ve b herhangi bir R integral alanının elemanları olabilir, bu durumda bir kesir R'nin kesirler alanının bir elemanıdır. Örneğin, bazı D integral alanından katsayıları olan bir belirsizdeki polinomların kendileri bir integral alandır, buna P diyelim. Bu nedenle, P'nin a ve b elemanları için, üretilen kesirler alanı rasyonel kesirler alanıdır (rasyonel fonksiyonlar alanı olarak da bilinir). ⓘ

Cebirsel kesirler

Bir cebirsel kesir, iki cebirsel ifadenin belirtilen bölümüdür. Tam sayıların kesirlerinde olduğu gibi, bir cebirsel kesrin paydası sıfır olamaz. Cebirsel kesirlere iki örnek ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ ve ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. Cebirsel kesirler, aritmetik kesirlerle aynı alan özelliklerine tabidir. ⓘ

Eğer pay ve payda polinom ise, aşağıdaki gibi ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$cebirsel kesre rasyonel kesir (veya rasyonel ifade) denir. İrrasyonel bir kesir, rasyonel olmayan bir kesirdir, örneğin, aşağıdaki gibi kesirli bir üs veya kök altında değişken içeren bir kesir gibi ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. ⓘ

Cebirsel kesirleri tanımlamak için kullanılan terminoloji adi kesirler için kullanılana benzer. Örneğin, pay ve paydada ortak olan tek çarpanlar 1 ve -1 ise cebirsel bir kesir en küçük terimlerdedir. Payı veya paydası ya da her ikisi de bir kesir içeren bir cebirsel kesir, örneğin ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$'ye karmaşık kesir denir. ⓘ

Rasyonel sayılar cismi, tam sayıların kesirleri cismi iken, tam sayıların kendileri bir cisim değil, bir integral alanıdır. Benzer şekilde, bir cisimde katsayısı olan rasyonel kesirler, o cisimde katsayısı olan polinomların kesirlerinin cismini oluşturur. Reel katsayılı rasyonel kesirler göz önüne alındığında, sayıları temsil eden radikal ifadeler, örneğin $\textstyle {\sqrt {2}}/2,$ gibi transandantal sayılar da rasyonel kesirlerdir. ${\textstyle \pi /2,}$ çünkü tüm ${\sqrt {2}},\pi ,$ ve $2$ reel sayılardır ve bu nedenle katsayı olarak kabul edilirler. Ancak aynı sayılar tamsayı katsayılı rasyonel kesirler değildir. ⓘ

Kısmi kesir terimi, rasyonel kesirleri daha basit kesirlerin toplamlarına ayrıştırırken kullanılır. Örneğin, rasyonel kesir ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ iki kesrin toplamı olarak ayrıştırılabilir: ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.$ Bu, rasyonel fonksiyonların antiderivatiflerinin hesaplanması için kullanışlıdır (daha fazlası için kısmi kesir ayrıştırmasına bakın). ⓘ

Radikal ifadeler

Bir kesrin payında veya paydasında radikaller de bulunabilir. Payda radikal içeriyorsa, özellikle bu kesri başka bir kesre eklemek veya karşılaştırmak gibi başka işlemler yapılacaksa, rasyonelleştirmek yararlı olabilir (radikal ifadenin basitleştirilmiş biçimiyle karşılaştırın). Bölme işlemi elle yapılacaksa da daha kullanışlıdır. Payda tek terimli bir karekök olduğunda, kesrin hem üst hem de alt kısmı payda ile çarpılarak rasyonelleştirilebilir:

${\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}$ ⓘ

İki terimli paydaların rasyonelleştirilmesi işlemi, paydanın rasyonel bir sayı haline gelmesi için bir kesrin üstünün ve altının paydanın eşleniği ile çarpılmasını içerir. Örneğin:

${\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}$

${\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}$ ⓘ

Bu işlem, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi payın irrasyonel olmasıyla sonuçlansa bile, paydada çalışılması gereken irrasyonel sayısını azaltarak sonraki manipülasyonları kolaylaştırabilir. ⓘ

Tipografik varyasyonlar

Bilgisayar ekranlarında ve tipografide, basit kesirler bazen tek bir karakter olarak yazdırılır, örneğin ½ (bir buçuk). Bunu Unicode'da yapma hakkında bilgi için Sayı Formları makalesine bakın. ⓘ

Bilimsel yayıncılık, kullanım kılavuzlarıyla birlikte kesirleri ayarlamak için dört yol ayırt eder:

• özel kesirler: eğimli bir çubukla tek bir karakter olarak sunulan kesirler, metindeki diğer karakterlerle kabaca aynı yükseklik ve genişliğe sahiptir. Genellikle basit kesirler için kullanılır, örneğin: ½, ⅓, ⅔, ¼ ve ¾. Rakamlar daha küçük olduğundan, özellikle küçük boyutlu yazı tipleri için okunabilirlik bir sorun olabilir. Bunlar modern matematiksel gösterimde değil, başka bağlamlarda kullanılır.
• büyük harf kesirleri: özel kesirlere benzer şekilde, bunlar tek bir tipografik karakter olarak işlenir, ancak yatay bir çubukla, böylece onları dik hale getirir. Bir örnek şöyle olabilir ${\tfrac {1}{2}}$ancak diğer karakterlerle aynı yükseklikte işlenir. Bazı kaynaklar, çubuğun yönüne bakılmaksızın, yalnızca bir tipografik boşluk almaları halinde kesirlerin tüm gösterimlerini büyük/küçük harf kesirleri olarak kabul eder.
• şilin veya solidus kesirleri: 1/2, bu gösterim ondalık sayı öncesi İngiliz para birimi (£sd) için kullanıldığı için böyle adlandırılmıştır, yarım kron için 2/6'da olduğu gibi, iki şilin ve altı peni anlamına gelir. "İki şilin ve altı peni" gösterimi bir kesri temsil etmese de, ileri eğik çizgi artık kesirlerde, özellikle de düzensiz satırlardan kaçınmak için düzyazı ile aynı hizada (görüntülenmek yerine) kesirler için kullanılmaktadır. Ayrıca, okunabilirliği artırmak için kesirlerin içindeki kesirler (karmaşık kesirler) veya üslerin içindeki kesirler için de kullanılır. Parça kesirler olarak da bilinen bu şekilde yazılan kesirlerin tümü tek bir tipografik satırda yazılır, ancak 3 veya daha fazla tipografik boşluk alır.
• Yerleşik kesirler: ${\frac {1}{2}}$. Bu gösterimde iki veya daha fazla sıradan metin satırı kullanılır ve diğer metinlerin içine dahil edildiğinde satırlar arasındaki boşluklarda farklılıklara neden olur. Büyük ve okunaklı olsalar da, özellikle basit kesirler için veya karmaşık kesirler içinde rahatsız edici olabilirler. ⓘ

Tarihçe

En eski kesirler tam sayıların karşılıklarıydı: ikinin bir bölümünü, üçün bir bölümünü, dördün bir bölümünü ve benzerlerini temsil eden eski semboller. Mısırlılar M.Ö. 1000 yıllarında Mısır kesirlerini kullanmışlardır. Yaklaşık 4000 yıl önce Mısırlılar biraz farklı yöntemler kullanarak kesirlerle bölme işlemi yaptılar. Birim kesirlerle en küçük ortak katları kullandılar. Onların yöntemleri modern yöntemlerle aynı cevabı veriyordu. Mısırlılar ayrıca Akhmim Ahşap Tableti ve birkaç Rhind Matematiksel Papirüs probleminde ikili kesirler için farklı bir gösterim kullanmışlardır. ⓘ

Yunanlılar birim kesirleri ve (daha sonra) devam eden kesirleri kullanmışlardır. Yunan filozof Pisagor'un (MÖ 530 civarı) takipçileri ikinin karekökünün tam sayıların bir kesri olarak ifade edilemeyeceğini keşfetmişlerdir. (Bu genellikle, muhtemelen hatalı bir şekilde, bu gerçeği ortaya çıkardığı için idam edildiği söylenen Metapontum'lu Hippasus'a atfedilir). MÖ 150 yılında Hindistan'daki Jain matematikçileri sayılar teorisi, aritmetik işlemler ve kesirlerle işlemler üzerine çalışmalar içeren "Sthananga Sutra "yı yazmışlardır. ⓘ

Kesirlerin bhinnarasi olarak bilinen modern bir ifadesi Hindistan'da Aryabhatta (MS 500 civarı), Brahmagupta (628 civarı) ve Bhaskara'nın (1150 civarı) çalışmalarında ortaya çıkmış gibi görünmektedir. Bu yazarların eserlerinde kesirler, payları (Sanskritçe: amsa) paydaların (cheda) üzerine yerleştirerek, ancak aralarında bir çubuk olmadan oluşturulur. Sanskrit edebiyatında kesirler her zaman bir tamsayıya ekleme ya da tamsayıdan çıkarma şeklinde ifade edilirdi. Tam sayı bir satıra, kesir ise iki parça halinde bir sonraki satıra yazılırdı. Kesir küçük bir daire ⟨०⟩ veya çarpı ⟨+⟩ ile işaretlenmişse, tamsayıdan çıkarılır; böyle bir işaret görünmüyorsa, eklendiği anlaşılır. Örneğin, Bhaskara I şöyle yazar:

६        १        २

१        १        १_०

४ ५ ९

eşdeğeri olan

6        1        2

1        1        −1

4 5 9

ve modern notasyonda 61/4, 11/5 ve 2 - 1/9 (yani 18/9) olarak yazılırdı. ⓘ

Yatay kesir çubuğu ilk olarak Fas'ın Fez kentinde yaşayan ve İslam miras hukuku konusunda uzmanlaşmış Müslüman bir matematikçi olan El-Hassâr'ın (y. 1200) eserinde görülür. Tartışmasında şöyle yazmaktadır: "... örneğin, size beşte üç ve beşte birin üçte birini yazmanız söylenirse, şöyle yazın, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$." Aynı kesirli gösterim -tam sayıdan önce verilen kesir ile- kısa bir süre sonra 13. yüzyılda Leonardo Fibonacci'nin çalışmalarında ortaya çıkar. ⓘ

Ondalık kesirlerin kökenini tartışırken Dirk Jan Struik şöyle demektedir:

"Ondalık kesirlerin yaygın bir hesaplama pratiği olarak kullanılmaya başlanması, 1585 yılında Leyden'de yayınlanan Flamanca broşür De Thiende'ye ve daha sonra Kuzey Hollanda'ya yerleşen Flaman matematikçi Simon Stevin'in (1548-1620) Fransızca çevirisi La Disme'ye dayandırılabilir. Ondalık kesirlerin Stevin'den yüzyıllar önce Çinliler tarafından kullanıldığı ve İranlı astronom Al-Kāshī'nin Aritmetiğin Anahtarı'nda (Semerkant, on beşinci yüzyılın başları) hem ondalık hem de seksaj kesirleri büyük bir kolaylıkla kullandığı doğrudur." ⓘ

Fars matematikçi Cemşîd el-Kāşî ondalık kesirleri 15. yüzyılda kendisinin keşfettiğini iddia etse de, J. Lennart Berggren onun yanıldığını, ondalık kesirlerin ilk kez ondan beş yüzyıl önce Bağdatlı matematikçi Ebu'l-Hasan el-Uklidisi tarafından 10. yüzyıl gibi erken bir tarihte kullanıldığını belirtmektedir. ⓘ

Örgün eğitimde

Pedagojik araçlar

İlkokullarda kesirler, Cuisenaire çubukları, Kesir Çubukları, kesir şeritleri, kesir daireleri, kağıt (katlamak veya kesmek için), desen blokları, pasta şeklindeki parçalar, plastik dikdörtgenler, ızgara kağıdı, nokta kağıdı, geoboardlar, sayaçlar ve bilgisayar yazılımı aracılığıyla gösterilmiştir. ⓘ

Öğretmenler için belgeler

Amerika Birleşik Devletleri'ndeki bazı eyaletler, Ortak Çekirdek Eyalet Standartları Girişimi'nin matematik eğitimi için hazırladığı kılavuzdan öğrenme yörüngelerini benimsemiştir. Kesirlerin ve kesirlerle işlemlerin öğrenilmesini sıralamanın yanı sıra, belgede aşağıdaki kesir tanımı yer almaktadır: "Şu şekilde ifade edilebilen bir sayı $a$/$b$ nerede $a$ bir tam sayıdır ve $b$ pozitif bir tam sayıdır. (Bu standartlarda kesir kelimesi her zaman negatif olmayan bir sayıyı ifade eder)." Belgenin kendisi de negatif kesirlere atıfta bulunmaktadır. ⓘ

Ondalık sayılar

Dört işlem

Bölme

Bölen virgülden kurtulacak biçimde 10'un kuvveti ile çarpılır (virgül ondalık ifadenin sonuna kadar sağa kaydırılır). Bölünen de 10'un aynı kuvveti ile çarpılır (virgül "bölendeki kadar" sağa kaydırılır). Daha sonra virgül yokmuş gibi işlem yapılır. ⓘ

0,3046 / 0,02 = ?
bölünen/ bölen ⓘ

0,3046 x 10 x 10 = 30,46
  0,02 x 10 x 10 = 2
30,46 / 2 = 15,23 (virgül hem bölünende hem de bölende 2 hâne sağa kaydırıldı) ⓘ

Çarpma

• Ondalık sayılar çarpılırken her iki çarpandaki tam sayılar virgül yokmuş gibi çarpılır.
• Daha sonra çarpanlardaki (her ikisindeki) virgülden sonraki rakam "adedi" toplanır.
• Çarpımın sonundan başlanarak sola doğru bu rakam adedi kadar virgül kaydırılır. Örnek:

0,015 x 0,26 = ? ⓘ

15 x 26 = 390 ⓘ

015'teki 3 rakam + 26'daki 2 rakam = 5 rakam ⓘ

0₅0₄0₃3₂9₁0 ⓘ

0,015 x 0,26 = 0,0039 (sondaki 0 bir anlam ifade etmediği için düşer) ⓘ