Olasılık

ⓘ

İki zar kullanarak birkaç sayı atma olasılıkları. ⓘ

Olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığının veya bir önermenin doğru olma olasılığının sayısal tanımlarıyla ilgili matematik dalıdır. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır ve kabaca 0 olayın imkansızlığını, 1 ise kesinliğini gösterir. Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, olayın gerçekleşme olasılığı da o kadar yüksektir. Basit bir örnek olarak adil (yansız) bir madeni paranın atılması verilebilir. Madeni para adil olduğundan, iki sonuç da ("tura" ve "yazı") eşit derecede olasıdır; "tura" olasılığı "yazı" olasılığına eşittir; ve başka hiçbir sonuç mümkün olmadığından, "tura" ya da "yazı" olasılığı 1/2'dir (0,5 ya da %50 olarak da yazılabilir). ⓘ

Bu kavramlar, istatistik, matematik, bilim, finans, kumar, yapay zeka, makine öğrenimi, bilgisayar bilimi, oyun teorisi ve felsefe gibi çalışma alanlarında, örneğin olayların beklenen sıklığı hakkında çıkarımlar yapmak için yaygın olarak kullanılan olasılık teorisinde aksiyomatik bir matematiksel formalizasyona sahiptir. Olasılık teorisi, karmaşık sistemlerin altında yatan mekaniği ve düzenlilikleri tanımlamak için de kullanılır. ⓘ

Yorumlamalar

Tamamen teorik bir ortamda rastgele ve iyi tanımlanmış deneylerle uğraşırken (yazı tura atmak gibi), olasılıklar sayısal olarak istenen sonuçların sayısının tüm sonuçların toplam sayısına bölünmesiyle tanımlanabilir. Örneğin, bir madeni paranın iki kez atılması "yazı-tura", "tura-kuyruk", "kuyruk-tura" ve "kuyruk-kuyruk" sonuçlarını verecektir. "Yazı tura" sonucunu elde etme olasılığı 4 sonuçtan 1'i ya da sayısal olarak 1/4, 0,25 veya %25'tir. Bununla birlikte, pratik uygulama söz konusu olduğunda, taraftarları olasılığın temel doğası hakkında farklı görüşlere sahip olan iki ana rakip olasılık yorumu kategorisi vardır:

• Nesnelciler, bazı nesnel veya fiziksel durumları tanımlamak için sayılar atarlar. Nesnel olasılığın en popüler versiyonu, rastgele bir olayın olasılığının, deney süresiz olarak tekrarlandığında bir deneyin sonucunun göreceli olarak ortaya çıkma sıklığını ifade ettiğini iddia eden sıklıkçı olasılıktır. Bu yorum, olasılığı sonuçların "uzun vadede" göreli sıklığı olarak kabul eder. Bunun bir modifikasyonu, olasılığı, sadece bir kez yapılsa bile bazı deneylerin belirli bir sonuç verme eğilimi olarak yorumlayan eğilim olasılığıdır.
• Sübjektivistler sayıları sübjektif olasılığa göre, yani bir inanç derecesi olarak belirlerler. İnanç derecesi, "E ise 1, E değilse 0 birim fayda sağlayan bir bahsi alacağınız veya satacağınız fiyat" olarak yorumlanmıştır, ancak bu yorum evrensel olarak kabul edilmemiştir. Öznel olasılığın en popüler versiyonu, olasılıkları üretmek için uzman bilgisinin yanı sıra deneysel verileri de içeren Bayesyen olasılıktır. Uzman bilgisi bazı (öznel) önceki olasılık dağılımı ile temsil edilir. Bu veriler bir olabilirlik fonksiyonuna dahil edilir. Öncül ve olabilirliğin çarpımı, normalize edildiğinde, bugüne kadar bilinen tüm bilgileri içeren bir sonsal olasılık dağılımıyla sonuçlanır. Aumann'ın uyum teoremine göre, önceki inançları benzer olan Bayesçi aktörler benzer sonsal inançlara sahip olacaktır. Bununla birlikte, yeterince farklı öncüller, aracıların ne kadar bilgi paylaştığına bakılmaksızın farklı sonuçlara yol açabilir. ⓘ

Etimoloji

Olasılık kelimesi Latince probabilitas kelimesinden türemiştir ve "olasılık" anlamına da gelebilir, Avrupa'da bir hukuk davasında bir tanığın otoritesinin ölçüsüdür ve genellikle tanığın soyluluğu ile ilişkilendirilir. Bu bir anlamda, olasılığın modern anlamından çok farklıdır; aksine, ampirik kanıtların ağırlığının bir ölçüsüdür ve tümevarımsal akıl yürütme ve istatistiksel çıkarımdan elde edilir. ⓘ

Tarih

Olasılığın bilimsel olarak incelenmesi matematiğin modern bir gelişimidir. Kumar, olasılık fikirlerini ölçmeye yönelik ilginin binlerce yıldır var olduğunu, ancak kesin matematiksel tanımlamaların çok daha sonra ortaya çıktığını göstermektedir. Olasılık matematiğinin yavaş gelişmesinin nedenleri vardır. Şans oyunları olasılığın matematiksel olarak incelenmesine ivme kazandırmış olsa da, temel konular hala kumarbazların batıl inançları tarafından gizlenmektedir. ⓘ

Richard Jeffrey'e göre, "On yedinci yüzyılın ortalarından önce, 'olası' terimi (Latince probabilis) onaylanabilir anlamına geliyordu ve bu anlamda hem fikirlere hem de eylemlere uygulanıyordu. Muhtemel bir eylem ya da görüş, mantıklı insanların içinde bulundukları koşullarda üstlenecekleri ya da benimseyecekleri bir görüştü." Bununla birlikte, özellikle hukuki bağlamlarda, 'muhtemel', iyi kanıtların bulunduğu önermeler için de geçerli olabilir. ⓘ

Gerolamo Cardano (16. yüzyıl) ⓘ

Christiaan Huygens olasılık üzerine ilk kitaplardan birini yayınladı (17. yüzyıl) ⓘ

On altıncı yüzyıl İtalyan polimat Gerolamo Cardano, olasılıkları olumlu sonuçların olumsuz sonuçlara oranı olarak tanımlamanın etkinliğini göstermiştir (bu, bir olayın olasılığının olumlu sonuçların toplam olası sonuç sayısına oranıyla verildiği anlamına gelir). Cardano'nun temel çalışmalarının yanı sıra, olasılıklar doktrini Pierre de Fermat ve Blaise Pascal'ın yazışmalarına (1654) kadar uzanmaktadır. Christiaan Huygens (1657) konunun bilinen en eski bilimsel incelemesini yapmıştır. Jakob Bernoulli'nin Ars Conjectandi (ölümünden sonra, 1713) ve Abraham de Moivre'nin Doctrine of Chances (1718) adlı eserleri konuyu matematiğin bir dalı olarak ele almıştır. Matematiksel olasılık kavramının ilk gelişim tarihçeleri için Ian Hacking'in The Emergence of Probability ve James Franklin'in The Science of Conjecture adlı eserlerine bakınız. ⓘ

Hata teorisi Roger Cotes'un Opera Miscellanea'sına (ölümünden sonra, 1722) kadar götürülebilir, ancak Thomas Simpson tarafından 1755'te hazırlanan bir anı kitabı (1756'da basılmıştır) teoriyi ilk kez gözlem hataları tartışmasına uygulamıştır. Bu hatıratın yeniden basımı (1757), pozitif ve negatif hataların eşit derecede olası olduğu ve belirli atanabilir sınırların tüm hataların aralığını tanımladığı aksiyomlarını ortaya koymaktadır. Simpson ayrıca sürekli hataları tartışır ve bir olasılık eğrisi tanımlar. ⓘ

Önerilen ilk iki hata yasasının her ikisi de Pierre-Simon Laplace'a aittir. İlk yasa 1774 yılında yayınlanmış ve bir hatanın sıklığının, işaretine bakılmaksızın hatanın sayısal büyüklüğünün üstel bir fonksiyonu olarak ifade edilebileceğini belirtmiştir. İkinci hata yasası 1778 yılında Laplace tarafından önerilmiş ve hata sıklığının hatanın karesinin üstel bir fonksiyonu olduğunu belirtmiştir. İkinci hata yasası normal dağılım veya Gauss yasası olarak adlandırılır. "Tarihsel olarak bu yasayı Gauss'a atfetmek zordur; Gauss, iyi bilinen erken gelişmişliğine rağmen bu keşfi muhtemelen iki yaşından önce yapmamıştır." ⓘ

Daniel Bernoulli (1778), eşzamanlı hatalardan oluşan bir sistemin olasılıklarının maksimum çarpımı ilkesini ortaya koymuştur. ⓘ

Carl Friedrich Gauss ⓘ

Adrien-Marie Legendre (1805) en küçük kareler yöntemini geliştirdi ve Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Kuyruklu Yıldızların Yörüngelerini Belirlemek için Yeni Yöntemler) adlı kitabında tanıttı. Legendre'ın katkısını görmezden gelen İrlanda asıllı Amerikalı yazar Robert Adrain, "The Analyst" (1808) dergisinin editörü, ilk kez hata kolaylığı yasasını çıkardı,

$\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},$

nerede $h$ gözlem hassasiyetine bağlı bir sabittir ve $c$ eğrinin altındaki alanın 1'e eşit olmasını sağlayan bir ölçek faktörüdür. İki kanıt vermiştir, ikincisi John Herschel'inkiyle (1850) esasen aynıdır. Gauss, Avrupa'da bilinen ilk ispatı (Adrain'inkinden sonra üçüncü) 1809'da verdi. Diğer kanıtlar Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856) ve Morgan Crofton (1870) tarafından verilmiştir. Diğer katkıda bulunanlar ise Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) ve Giovanni Schiaparelli (1875) olmuştur. Peters'in (1856) tek bir gözlemin olası hatası olan r formülü iyi bilinmektedir. ⓘ

On dokuzuncu yüzyılda genel teori üzerine yazanlar arasında Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion ve Karl Pearson yer almaktadır. Augustus De Morgan ve George Boole teorinin açıklamasını geliştirmiştir. ⓘ

1906 yılında Andrey Markov, stokastik süreçler teorisinde ve uygulamalarında önemli bir rol oynayan Markov zincirleri kavramını ortaya atmıştır. Ölçü teorisine dayanan modern olasılık teorisi 1931 yılında Andrey Kolmogorov tarafından geliştirilmiştir. ⓘ

Geometrik açıdan, The Educational Times'a katkıda bulunanlar etkili olmuştur (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson ve Artemas Martin). Daha fazla bilgi için integral geometri bölümüne bakınız. ⓘ

Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalardan bir örnek, 1654 ⓘ

1774'te "Pierre-Simon Laplace" olasılıklar teorisi prensiplerini kullanarak gözlemlerin birleştirilmesi için bir kural ortaya çıkartmıştır. Hatalar olasılıkları kuralını bir eğri ile ifade etmiştir; buna göre eğri ⓘ

$y=\phi (x)$, olup bu ifade de $x$ herhangi bir hata ve $y$ o hatanın olasılığıdır. Bu eğrinin niteliği bulunmaktadır:

1. $y$-eksenine göre simetriktir
2. $x$-eksenine asimptottur ve böylece $\infty$deki hata olasılığı 0 olur;
3. bu eğrinin altında kalan toplam alan 1 dir; bu demektir ki bir hatanın olasılığı mutlaka gerektir.

Herhangi üç gözlemin ortalaması için bir formül de ortaya atmıştır. 1774'te Lagrange tarafında adlandırılan, hatanın kolaylık kuralı içinde bir formül de ortaya çıkarmıştır ama bu formül elle işlemlerle bulunulamayacak kadar zordur. ⓘ

• Oyun kuramı
• Rassal değişken
• İstatistik ⓘ

Teori

Diğer teoriler gibi, olasılık teorisi de kavramlarının biçimsel terimlerle, yani anlamlarından ayrı olarak düşünülebilecek terimlerle temsilidir. Bu biçimsel terimler matematik ve mantık kuralları tarafından manipüle edilir ve sonuçlar yorumlanır ya da problem alanına geri çevrilir. ⓘ

Olasılığı biçimsel hale getirmek için en az iki başarılı girişim olmuştur: Kolmogorov formülasyonu ve Cox formülasyonu. Kolmogorov'un formülasyonunda (ayrıca bkz. olasılık uzayı), kümeler olaylar ve olasılık da kümeler sınıfı üzerindeki bir ölçü olarak yorumlanır. Cox'un teoreminde, olasılık bir ilkel olarak alınır (yani, daha fazla analiz edilmez) ve vurgu, önermelere olasılık değerlerinin tutarlı bir şekilde atanması üzerinedir. Her iki durumda da olasılık yasaları, teknik ayrıntılar dışında aynıdır. ⓘ

Belirsizliği ölçmek için Dempster-Shafer teorisi veya olasılık teorisi gibi başka yöntemler de vardır, ancak bunlar esasen farklıdır ve genellikle anlaşılan olasılık yasalarıyla uyumlu değildir. ⓘ

Uygulamalar

Olasılık teorisi günlük yaşamda risk değerlendirme ve modellemede uygulanmaktadır. Sigorta endüstrisi ve piyasalar, fiyatlandırmayı belirlemek ve ticaret kararları almak için aktüerya bilimini kullanır. Hükümetler çevresel düzenlemelerde, yetki analizlerinde ve finansal düzenlemelerde olasılık yöntemlerini uygular. ⓘ

Hisse senedi alım satımında olasılık teorisinin kullanımına bir örnek, Orta Doğu'daki yaygın bir çatışmanın petrol fiyatları üzerindeki algılanan olasılığının ekonominin genelinde dalgalanma etkisi yaratmasıdır. Bir emtia tüccarının savaş olasılığının daha yüksek olduğu yönündeki değerlendirmesi, o emtianın fiyatlarını aşağı ya da yukarı çekebilir ve diğer tüccarlara bu yönde sinyal verir. Buna göre, olasılıklar ne bağımsız olarak ne de mutlaka rasyonel bir şekilde değerlendirilir. Davranışsal finans teorisi, bu tür grup düşüncesinin fiyatlandırma, politika ve barış ve çatışma üzerindeki etkisini tanımlamak için ortaya çıkmıştır. ⓘ

Finansal değerlendirmeye ek olarak olasılık, biyolojideki (örneğin hastalıkların yayılması) ve ekolojideki (örneğin biyolojik Punnett kareleri) eğilimleri analiz etmek için de kullanılabilir. Finans alanında olduğu gibi, risk değerlendirmesi de istenmeyen olayların meydana gelme olasılığını hesaplamak için istatistiksel bir araç olarak kullanılabilir ve bu tür durumlarla karşılaşmaktan kaçınmak için protokollerin uygulanmasına yardımcı olabilir. Olasılık, şans oyunlarını tasarlamak için kullanılır, böylece kumarhaneler garantili bir kar elde edebilir, ancak oyunculara sürekli oynamayı teşvik edecek kadar sık ödemeler sağlar. ⓘ

Olasılık teorisinin günlük hayattaki bir diğer önemli uygulaması da güvenilirliktir. Otomobiller ve tüketici elektroniği gibi birçok tüketici ürünü, arıza olasılığını azaltmak için ürün tasarımında güvenilirlik teorisini kullanır. Arıza olasılığı, bir üreticinin bir ürünün garantisine ilişkin kararlarını etkileyebilir. ⓘ

Önbellek dil modeli ve doğal dil işlemede kullanılan diğer istatistiksel dil modelleri de olasılık teorisinin uygulama örnekleridir. ⓘ

Matematiksel tedavi

Olasılık (risk) ve oranların hesaplanması ⓘ

Bir dizi sonuç üretebilen bir deney düşünün. Tüm olası sonuçların toplamına deneyin örnek uzayı denir ve bazen şu şekilde gösterilir $\Omega$. Örnek uzayın güç kümesi, olası sonuçların tüm farklı koleksiyonları dikkate alınarak oluşturulur. Örneğin, bir zar atmak altı olası sonuç üretebilir. Olası sonuçların bir koleksiyonu zarda tek bir sayı verir. Dolayısıyla, {1,3,5} alt kümesi zar atma örnek uzayının güç kümesinin bir elemanıdır. Bu koleksiyonlara "olaylar" denir. Bu durumda, {1,3,5} zarın tek sayıya düşmesi olayıdır. Gerçekte ortaya çıkan sonuçlar belirli bir olaya denk geliyorsa, olayın gerçekleştiği söylenir. ⓘ

Olasılık, tüm olası sonuçlardan oluşan olaya (örneğimizde {1,2,3,4,5,6}) bir değer atanması şartıyla, her olaya sıfır ile bir arasında bir değer atamanın bir yoludur. Bir olasılık olarak nitelendirilebilmesi için, değerlerin atanması, birbirini dışlayan olayların ({1,6}, {3} ve {2,4} olayları gibi ortak sonuçları olmayan olaylar) herhangi bir koleksiyonu için, olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığının, tüm bireysel olayların olasılıklarının toplamı tarafından verilmesi şartını karşılamalıdır. ⓘ

Bir A olayının olasılığı şu şekilde yazılır $P(A)$, $p(A)$veya ${\text{Pr}}(A)$. Olasılığın bu matematiksel tanımı, ölçü kavramı kullanılarak sonsuz örnek uzaylarına ve hatta sayılamayan örnek uzaylarına kadar genişletilebilir. ⓘ

Bir A olayının zıttı veya tamamlayıcısı [A değil] olayıdır (yani, A'nın gerçekleşmemesi olayı), genellikle şu şekilde gösterilir $A',A^{c}$, ${\overline {A}},A^{\complement },\neg A$veya ${\sim }A$olasılığı P(A değil) = 1 - P(A) ile verilir. Örnek olarak, altı yüzlü bir zarda altı atmama şansı 1 - (altı atma şansı) $=1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$. Daha kapsamlı bir inceleme için Tamamlayıcı olay bölümüne bakınız. ⓘ

Bir deneyin tek bir performansında iki A ve B olayı meydana gelirse, buna A ve B'nin kesişimi veya ortak olasılığı denir ve şu şekilde gösterilir $P(A\cap B)$. ⓘ

Bağımsız etkinlikler

Eğer iki olay, A ve B bağımsız ise, ortak olasılık şöyledir

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Örneğin, iki madeni para atılırsa, her ikisinin de tura gelme olasılığı ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}$. ⓘ

Karşılıklı özel etkinlikler

A ya da B olaylarından biri gerçekleşebiliyorsa ancak hiçbir zaman ikisi aynı anda gerçekleşmiyorsa, bu olaylara birbirini dışlayan olaylar denir. ⓘ

İki olay birbirini dışlıyorsa, her ikisinin de gerçekleşme olasılığı şu şekilde gösterilir $P(A\cap B)$ ve

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0$

Eğer iki olay birbirini dışlıyorsa, ikisinden birinin gerçekleşme olasılığı şu şekilde gösterilir $P(A\cup B)$ ve

$P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)$

Örneğin, altı yüzlü bir zarda 1 veya 2 atma şansı $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$ ⓘ

Birbirini dışlayan olaylar değil

Eğer olaylar birbirini dışlamıyorsa, o zaman

$P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).$

Örneğin, bir iskambil destesinden bir kart çekerken, bir kalp veya bir yüz kartı (J,Q,K) (veya her ikisi) alma şansı ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$Bir destedeki 52 karttan 13'ü kupa, 12'si yüz kartı ve 3'ü her ikisi de olduğundan: burada "her ikisi de olan 3" olasılığa dahil olan olasılıklar "13 kupa" ve "12 yüz kartı "nın her birine dahildir, ancak yalnızca bir kez sayılmalıdır. ⓘ

Koşullu olasılık

Koşullu olasılık, başka bir B olayının gerçekleşmesi durumunda bazı A olaylarının gerçekleşme olasılığıdır. Koşullu olasılık şöyle yazılır $P(A\mid B)$ve "B verildiğinde A olasılığı" olarak okunur. Şu şekilde tanımlanır

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,$

Eğer $P(B)=0$ sonra $P(A\mid B)$ bu ifade tarafından biçimsel olarak tanımlanmamıştır. Bu durumda $A$ ve $B$ bağımsızdır, çünkü $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0$. Bununla birlikte, bazı sıfır olasılıklı olaylar için bu tür olayların σ-cebirini (sürekli bir rastgele değişkenden kaynaklananlar gibi) kullanarak koşullu bir olasılık tanımlamak mümkündür. ⓘ

Örneğin, 2 kırmızı ve 2 mavi toptan oluşan bir torbada (toplam 4 top), kırmızı topu alma olasılığı $1/2$Ancak, ikinci bir top alınırken, bu topun kırmızı ya da mavi top olma olasılığı daha önce alınan topa bağlıdır. Örneğin, kırmızı bir top alınmışsa, tekrar kırmızı bir top alma olasılığı şöyle olacaktır $1/3$Çünkü geriye sadece 1 kırmızı ve 2 mavi top kalacaktır. Ve eğer daha önce mavi bir top alınmışsa, kırmızı bir top alma olasılığı $2/3$. ⓘ

Ters olasılık

Olasılık teorisi ve uygulamalarında, Bayes kuralı olay olasılıklarını ilişkilendirir $A_{1}$ etkinliğe $A_{2}$başka bir olaya koşullanmadan önce (önce) ve sonra (sonra) $B$. Oranlar $A_{1}$ etkinliğe $A_{2}$ basitçe iki olayın olasılıklarının oranıdır. Keyfi olarak çok sayıda olay olduğunda $A$ ilgileniyorsa, kural, sonsalın önsel çarpı olasılıkla orantılı olduğu şeklinde yeniden ifade edilebilir, $P(A|B)\propto P(A)P(B|A)$ Burada orantılılık sembolü, sol tarafın sağ tarafla orantılı olduğu (yani, bir sabit katına eşit olduğu) anlamına gelir $A$ sabit veya belirli bir $B$ (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). Bu haliyle Laplace (1774) ve Cournot'a (1843) kadar uzanmaktadır; bkz. Fienberg (2005). Ters olasılık ve Bayes kuralına bakınız. ⓘ

Olasılıkların özeti

Olasılıkların özeti ⓘ

Etkinlik	Olasılık
A	$P(A)\in [0,1]\,$
A değil	$P(A^{\complement })=1-P(A)\,$
A veya B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}$
A ve B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}$
A verilen B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,$

Kuantum mekaniğinde rastgelelik ve olasılıkla ilişki

Newtoncu kavramlara dayanan deterministik bir evrende, tüm koşullar biliniyor olsaydı olasılık olmazdı (Laplace'ın şeytanı), (ancak başlangıç koşullarına duyarlılığın onları ölçme, yani bilme yeteneğimizi aştığı durumlar vardır). Rulet tekerleği örneğinde, elin kuvveti ve bu kuvvetin periyodu biliniyorsa, topun duracağı sayı kesin olacaktır (ancak pratik bir mesele olarak, Thomas A. Bass'ın Newtonian Casino'sunun ortaya koyduğu gibi, bu muhtemelen yalnızca tam olarak düzleştirilmemiş bir rulet tekerleği için geçerli olacaktır). Bu aynı zamanda tekerleğin eylemsizliği ve sürtünmesi, topun ağırlığı, pürüzsüzlüğü ve yuvarlaklığı, dönüş sırasında el hızındaki değişimler vb. hakkında bilgi sahibi olunduğunu varsayar. Dolayısıyla olasılıksal bir açıklama, rulet çarkının tekrarlanan turlarının sonuçlarının modelini analiz etmek için Newton mekaniğinden daha faydalı olabilir. Fizikçiler gazların kinetik teorisinde de aynı durumla karşı karşıyadır; sistem prensipte deterministik olsa da o kadar karmaşıktır ki (molekül sayısı tipik olarak Avogadro sabiti 6.02×10²³ büyüklüğündedir) özelliklerinin sadece istatistiksel bir açıklaması yapılabilir. ⓘ

Kuantum olaylarını tanımlamak için olasılık teorisi gereklidir. Erken 20. yüzyıl fiziğinin devrim niteliğindeki keşfi, atom altı ölçeklerde meydana gelen ve kuantum mekaniği yasaları tarafından yönetilen tüm fiziksel süreçlerin rastgele karakteriydi. Nesnel dalga fonksiyonu deterministik olarak gelişir, ancak Kopenhag yorumuna göre, gözlem yapma olasılıklarıyla ilgilenir, sonuç bir gözlem yapıldığında dalga fonksiyonunun çökmesiyle açıklanır. Ancak, araçsalcılık uğruna determinizmin kaybedilmesi evrensel bir onay görmemiştir. Albert Einstein, Max Born'a yazdığı bir mektupta şöyle demiştir: "Tanrı'nın zar atmadığına ikna oldum". Einstein gibi, dalga fonksiyonunu keşfeden Erwin Schrödinger de kuantum mekaniğinin altta yatan deterministik bir gerçekliğin istatistiksel bir yaklaşımı olduğuna inanıyordu. Ölçümün istatistiksel mekaniğinin bazı modern yorumlarında, öznel olarak olasılıklı deneysel sonuçların ortaya çıkmasını açıklamak için kuantum tutarsızlığına başvurulur. ⓘ