Paralelkenar

Paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. Karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşittir. ⓘ

Bir parelelkenar. ⓘ

Karşılaştırma yapmak gerekirse, sadece bir çift paralel kenarı olan bir dörtgen Amerikan İngilizcesinde yamuk veya İngiliz İngilizcesinde trapezdir. ⓘ

Paralelkenarın üç boyutlu karşılığı paralel yüzlüdür. ⓘ

Etimolojisi (Yunanca παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, "paralel çizgilerden oluşan" bir şekil) tanımı yansıtmaktadır. ⓘ

Özel durumlar

Dikdörtgen - Dört açısı eşit büyüklükte (dik açılar) olan bir paralelkenar.
Eşkenar dörtgen - Dört kenarı eşit uzunlukta olan paralelkenar. Ne dikdörtgen ne de eşkenar dörtgen olmayan herhangi bir paralelkenar geleneksel olarak eşkenar dörtgen olarak adlandırılırdı ancak bu terim modern matematikte kullanılmamaktadır.
Kare - Dört kenarı eşit uzunlukta ve açıları eşit büyüklükte (dik açılar) olan bir paralelkenardır. ⓘ

Karakterizasyonlar

Basit (kendisiyle kesişmeyen) bir dörtgen, ancak ve ancak aşağıdaki ifadelerden herhangi biri doğruysa paralelkenardır:

Karşılıklı iki kenar çifti paraleldir (tanım gereği).
Karşılıklı iki kenar çiftinin uzunlukları eşittir.
Karşılıklı iki çift açının ölçüleri eşittir.
Köşegenler birbirini dik keser.
Bir çift karşılıklı kenar paraleldir ve uzunlukları eşittir.
Bitişik açılar tamamlayıcıdır.
Her bir köşegen dörtgeni iki eş üçgene böler.
Kenarların karelerinin toplamı köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir. (Bu paralelkenar yasasıdır.)
İkinci dereceden dönme simetrisine sahiptir.
Herhangi bir iç noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. (Bu Viviani teoreminin bir uzantısıdır.)
Dörtgen düzleminde bir X noktası vardır ve X'ten geçen her düz çizgi dörtgeni eşit alanlı iki bölgeye ayırır.

Dolayısıyla, tüm paralelkenarlar yukarıda listelenen tüm özelliklere sahiptir ve tersine, basit bir dörtgende bu ifadelerden sadece biri doğruysa, o zaman bir paralelkenardır. ⓘ

Diğer özellikler

Bir paralelkenarın karşıt kenarları paraleldir (tanım gereği) ve bu nedenle asla kesişmezler.
Bir paralelkenarın alanı, köşegenlerinden biri tarafından oluşturulan bir üçgenin alanının iki katıdır.
Bir paralelkenarın alanı aynı zamanda iki komşu kenarın vektörel çapraz çarpımının büyüklüğüne eşittir.
Bir paralelkenarın orta noktasından geçen herhangi bir doğru alanı ikiye böler.
Dejenere olmayan herhangi bir afin dönüşüm, bir paralelkenarı başka bir paralelkenara götürür.
Bir paralelkenar 2. dereceden (180° boyunca) dönme simetrisine sahiptir (veya bir kare ise 4. dereceden). Aynı zamanda tam olarak iki yansıma simetri çizgisine sahipse, o zaman bir eşkenar dörtgen veya bir dikdörtgen (kare olmayan bir dikdörtgen) olmalıdır. Eğer dört yansıma simetri çizgisine sahipse, bu bir karedir.
Bir paralelkenarın çevresi 2(a + b)'dir; burada a ve b bitişik kenarların uzunluklarıdır.
Diğer dışbükey çokgenlerin aksine, bir paralelkenar, alanının iki katından daha az olan herhangi bir üçgenin içine yazılamaz.
Bir paralelkenarın kenarları üzerinde içten ya da dıştan inşa edilmiş dört karenin merkezleri bir karenin köşeleridir.
Bir paralelkenarın kenarlarına paralel iki doğru bir köşegenle eşzamanlı olarak inşa edilirse, bu köşegenin karşıt kenarlarında oluşan paralelkenarların alanı eşittir.
Bir paralelkenarın köşegenleri onu eşit alana sahip dört üçgene böler. ⓘ

Alan formülü

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle

Bir paralelkenar, aynı alana sahip bir dikdörtgen olarak yeniden düzenlenebilir. ⓘ

Alan formülü için animasyon

K=bh

. ⓘ

Genel dışbükey dörtgenler için verilen tüm alan formülleri paralelkenarlar için de geçerlidir. Paralelkenarlara özgü başka formüller de vardır: Tabanı b ve yüksekliği h olan bir paralelkenar bir yamuk ve bir dik üçgene bölünebilir ve soldaki şekilde gösterildiği gibi bir dikdörtgen olarak yeniden düzenlenebilir. Bu, bir paralelkenarın alanının aynı taban ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanı ile aynı olduğu anlamına gelir:

K=bh.

ⓘ

Paralelkenarın alanı, paralelkenarın içi olan mavi bölgenin alanıdır ⓘ

Taban × yükseklik alan formülü sağdaki şekil kullanılarak da türetilebilir. Sağdaki paralelkenarın K alanı (mavi alan), dikdörtgenin toplam alanından iki turuncu üçgenin alanının çıkarılmasıyla elde edilir. Dikdörtgenin alanı şöyledir ⓘ

K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,

ⓘ

ve tek bir turuncu üçgenin alanı ⓘ

K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,

ⓘ

Bu nedenle, paralelkenarın alanı ⓘ

K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.

ⓘ

İki B ve C kenarı ve θ açısı için başka bir alan formülü şöyledir ⓘ

K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,

ⓘ

B ve C kenarları (B ≠ C) ve C açısı olan bir paralelkenarın alanı $\gamma$ köşegenlerin kesişme noktasında şu şekilde verilir ⓘ

K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.

ⓘ

Paralelkenar, iki komşu kenarın B ve C uzunlukları ile köşegenlerden birinin D₁ uzunluğundan belirlendiğinde, alan Heron'un formülünden bulunabilir. Spesifik olarak ⓘ

K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}

ⓘ

nerede $S=(B+C+D_{1})/2$ ve öncü faktör 2, seçilen köşegenin paralelkenarı iki eş üçgene bölmesi gerçeğinden gelir. ⓘ

Köşelerin Kartezyen koordinatları cinsinden alan

Vektörler olsun $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ ve izin ver $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ a ve b elemanlarını içeren matrisi göstermektedir. a ve b tarafından oluşturulan paralelkenarın alanı $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ . ⓘ

Vektörler olsun $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ ve izin ver $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$ . O halde a ve b tarafından oluşturulan paralelkenarın alanı aşağıdakilere eşittir ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$ . ⓘ

Bırakın puanlar $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ . O zaman köşeleri a, b ve c olan paralelkenarın alanı, a, b ve c satırları kullanılarak oluşturulan ve son sütunu aşağıdaki gibi birlerle doldurulan bir matrisin determinantının mutlak değerine eşittir:

K=\left|\,\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.

ⓘ

Köşegenlerin birbirini kestiğinin kanıtı

Bir paralelkenarın köşegenlerinin birbirini kestiğini kanıtlamak için eş üçgenleri kullanacağız:

\angle ABE\cong \angle CDE

(alternatif iç açıların ölçüleri eşittir)

\angle BAE\cong \angle DCE

(alternatif iç açıların ölçüleri eşittir). ⓘ

(çünkü bunlar bir transversalin AB ve DC paralel doğruları ile yaptığı açılardır). ⓘ

Ayrıca, AB kenarı DC kenarına eşit uzunluktadır, çünkü bir paralelkenarın karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşittir. ⓘ

Bu nedenle, ABE ve CDE üçgenleri uyumludur (ASA postulatı, karşılık gelen iki açı ve dahil edilen kenar). ⓘ

Bu nedenle,

AE=CE

BE=DE.

ⓘ

AC ve BD köşegenleri birbirlerini eşit uzunlukta parçalara böldükleri için, köşegenler birbirlerini ikiye bölerler. ⓘ

Ayrı olarak, AC ve BD köşegenleri birbirlerini E noktasında kestikleri için, E noktası her bir köşegenin orta noktasıdır. ⓘ

Paralelkenarların kafesi

Paralelkenarlar düzlemi öteleme yoluyla döşeyebilir. Kenarlar eşitse veya açılar doğruysa, kafesin simetrisi daha yüksektir. Bunlar 2 boyutta dört Bravais kafesini temsil eder. ⓘ

Kafesler ⓘ
Form	Kare	Dikdörtgen	Rhombus	Paralelkenar
Sistem	Kare (tetragonal)	Dikdörtgen (ortorombik)	Ortalanmış dikdörtgen (ortorombik)	Eğik (monoklinik)
Kısıtlamalar	α=90°, a=b	α=90°	a=b	Hiçbiri
Simetri	p4m, [4,4], sıra 8n	pmm, [∞,2,∞], sıra 4n		p1, [∞⁺,2,∞⁺], sıra 2n
Form

Diğer şekillerden doğan paralelkenarlar

Varignon teoreminin sözsüz ispatı:

Rastgele bir dörtgen ve köşegenleri.
Benzer üçgenlerin tabanları mavi köşegene paraleldir.
Aynı şey kırmızı köşegen için de geçerlidir.
Taban çiftleri, dört büyük üçgenin alanlarının toplamı olan Al 2 Aq (iki çiftin her biri dörtgeni yeniden oluşturur) ve küçük üçgenlerin alanı olan As, Al'nin dörtte biri (yarım doğrusal boyutlar çeyrek alan verir) olduğundan, dörtgenin alanının yarısı olan Aq ile bir paralelkenar oluşturur ve paralelkenarın alanı Aq eksi As'dir. ⓘ

Otomatikleştirilmiş üçgen

Bir otomedyen üçgen, medyanları kenarlarıyla aynı oranlarda (farklı bir sırada olsa da) olan bir üçgendir. Eğer ABC, A köşesinin a kenarının karşısında durduğu, G'nin (ABC'nin üç medyanının kesiştiği) merkez noktası olduğu ve AL'nin ABC'nin genişletilmiş medyanlarından biri olduğu ve L'nin ABC'nin çevresi üzerinde yer aldığı bir otomedyan üçgen ise, BGCL bir paralelkenardır. ⓘ

Varignon paralelkenarı

Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları, Varignon paralelkenarı adı verilen bir paralelkenarın köşeleridir. Eğer dörtgen dışbükey veya içbükey ise (yani kendi kendini kesmiyorsa), Varignon paralelkenarının alanı dörtgenin alanının yarısıdır. ⓘ

Bir elipsin tanjant paralelkenarı

Bir elips için, iki çapın eşlenik olduğu söylenir, ancak ve ancak bir çapın uç noktasındaki elipse teğet doğrusu diğer çapa paralel ise. Bir elipsin her eşlenik çap çiftinin, eşlenik çapların dört uç noktasında elipse teğet doğrular tarafından oluşturulan, bazen sınırlayıcı paralelkenar olarak da adlandırılan, karşılık gelen bir teğet paralelkenarı vardır. Belirli bir elips için tüm teğet paralelkenarlar aynı alana sahiptir. ⓘ

Herhangi bir eşlenik çap çiftinden veya herhangi bir teğet paralelkenardan bir elipsi yeniden oluşturmak mümkündür. ⓘ

Bir paralel yüzlü elipsin yüzleri

Bir paralel yüzlü, altı yüzü paralelkenar olan üç boyutlu bir şekildir. ⓘ