Topoloji

Yıldız topolojinin basit bir şeması

Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür. ⓘ

Bir homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin (içi boş) bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümü verilebilir. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, cismin bütünlüğünü bozmadan, çekip uzatarak ve/veya eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz. ⓘ

Özellikle 19. yüzyılın sonlarına doğru Henri Poincaré'nin çalışmalarıyla ulaşılabilmiş maksimum göreceli temellerine oturtulan topoloji, 20. yüzyıl boyunca gelişmiş ve çeşitli altdallara ayrılmıştır. En temel altdal olan nokta-küme topolojisi, topolojiyi kümeler teorisi düzeyinde inceler; tıkızlık, bağlantılılık, ayrılabilirlik, sayılabilirlik gibi temel kavramlarla ilgilenir. Cebirsel topoloji altdalı, homotopi, homoloji gibi cebirsel-topolojik kuramlar aracılığıyla topolojik uzayları inceler. Türevli topoloji, üzerinde türev işleminin tanımlanabildiği uzayları, örneğin çokkatlıları, türevlenebilir gönderim (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu. ⓘ

Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır. ⓘ

Üzerine topoloji konmuş iki küme arasındaki geçiş, ancak topolojileri gözeten ve sürekli denen gönderimlerle olasıdır. İki topolojik uzayın denkliği, aralarında topolojiyi koruyan ve topolojik eşyapı ya da homeomorfizma denen sürekli bir gönderimin varlığıyla ortaya çıkar. Kabaca, bu tür gönderimler topolojik nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek sürekli bir biçimde bir başka nesneye dönüştürler aracılığıyla inceler. Düşük boyutlu topoloji, 2, 3, 4 boyutlu çokkatlıları inceler. Kısacası, topoloji sözcüğünün başına gelen sözcük, altdalın hangi matematiksel yapıları kullanarak topolojik uzayları incelediğini belirtir; örneğin geometrik topoloji, simplektik topoloji, kontakt topoloji vs. ⓘ

Sadece bir yüzeyi ve bir kenarı olan Möbius şeritleri, topolojide incelenen bir nesne türüdür. ⓘ

Matematikte topoloji (Yunanca τόπος, 'yer, konum' ve λόγος, 'çalışma' kelimelerinden gelir), geometrik bir nesnenin germe, bükme, buruşturma ve eğme gibi sürekli deformasyonlar altında korunan özellikleriyle ilgilenir; yani delikler kapatmadan, delikler açmadan, yırtmadan, yapıştırmadan veya kendi içinden geçmeden. ⓘ

Topolojinin altında yatan fikirler, 17. yüzyılda geometria situs ve analysis situs'u tasarlayan Gottfried Leibniz'e kadar uzanmaktadır. Leonhard Euler'in Königsberg'in Yedi Köprüsü problemi ve polihedron formülü muhtemelen alanın ilk teoremleridir. Topoloji terimi 19. yüzyılda Johann Benedict Listing tarafından ortaya atılmıştır, ancak topolojik uzay fikri 20. yüzyılın ilk on yıllarına kadar geliştirilmemiştir. ⓘ

Önemsiz olmayan en basit düğüm olan kalınlaştırılmış yonca düğümünün üç boyutlu bir tasviri ⓘ

Motivasyon

Topolojinin arkasındaki motive edici anlayış, bazı geometrik problemlerin ilgili nesnelerin tam şekline değil, daha ziyade bir araya getirilme biçimlerine bağlı olduğudur. Örneğin, kare ve dairenin birçok ortak özelliği vardır: her ikisi de (topolojik açıdan) tek boyutlu nesnelerdir ve her ikisi de düzlemi iç ve dış kısım olmak üzere iki parçaya ayırır. ⓘ

Leonhard Euler, topoloji alanındaki ilk makalelerinden birinde, Königsberg (şimdiki Kaliningrad) kenti boyunca yedi köprünün her birinden tam olarak bir kez geçecek bir rota bulmanın imkansız olduğunu göstermiştir. Bu sonuç, köprülerin uzunluklarına ya da birbirlerine olan uzaklıklarına değil, yalnızca bağlantı özelliklerine bağlıydı: hangi köprülerin hangi adalara ya da nehir kenarlarına bağlandığı. Königsberg'in Yedi Köprüsü problemi, matematiğin çizge kuramı olarak bilinen dalına yol açtı. ⓘ

Bir kupanın bir çöreğe (torus) ve bir (deliksiz) ineğin bir küreye sürekli bir deformasyonu (bir tür homeomorfizm) ⓘ

Benzer şekilde, cebirsel topolojinin kıllı top teoremi, "kıllı bir topun üzerindeki saçları, inek yalaması yaratmadan düz bir şekilde tarayamayacağımızı" söyler. Bu gerçek, teoremin daha resmi ifadesi olan küre üzerinde yok olmayan sürekli bir teğet vektör alanı olmadığı gerçeğini fark etmemiş olsalar da çoğu insan için hemen ikna edicidir. Königsberg Köprüleri'nde olduğu gibi, sonuç kürenin şekline bağlı değildir; delikleri olmadığı sürece her türlü pürüzsüz blob için geçerlidir. ⓘ

Nesnelerin tam şekline bağlı olmayan bu problemlerle başa çıkmak için, bu problemlerin hangi özelliklere sahip olduğu konusunda net olmak gerekir yap dayanmaktadır. Bu ihtiyaçtan homeomorfizm kavramı ortaya çıkar. Her köprüden sadece bir kez geçmenin imkansızlığı, Königsberg'dekilere homeomorfik olan herhangi bir köprü düzenlemesi için geçerlidir ve tüylü top teoremi, bir küreye homeomorfik olan herhangi bir uzay için geçerlidir. ⓘ

Sezgisel olarak, iki uzaydan biri kesilmeden veya yapıştırılmadan diğerine deforme edilebiliyorsa homeomorfiktir. Geleneksel bir şaka, bir topoloğun bir kahve fincanını bir çörekten ayırt edemeyeceğidir, çünkü yeterince esnek bir çörek, bir çukur oluşturarak ve deliği bir tutamağa küçültürken aşamalı olarak büyüterek bir kahve fincanına yeniden şekillendirilebilir. ⓘ

Homeomorfizm en temel topolojik denklik olarak kabul edilebilir. Bir diğeri ise homotopi denkliğidir. Bunu teknik olmadan açıklamak daha zordur, ancak temel kavram, her ikisi de daha büyük bir nesnenin "ezilmesinden" kaynaklanıyorsa, iki nesnenin homotopi eşdeğeri olduğudur. ⓘ

Latin alfabesinin sans-serif yazı tipindeki eşdeğerlik sınıfları ⓘ
Homeomorfizm	Homotopi denkliği

İngiliz alfabesinin büyük harflerini homeomorfizm ve homotopi denkliğine göre sınıflandırmak giriş niteliğinde bir alıştırmadır. Sonuç, kullanılan yazı tipine ve harfleri oluşturan konturların bir miktar kalınlığa sahip olup olmadığına veya kalınlığı olmayan ideal eğriler olup olmadığına bağlıdır. Buradaki şekillerde sans-serif Myriad yazı tipi kullanılmış ve kalınlığı olmayan ideal eğrilerden oluştuğu varsayılmıştır. Homotopi denkliği homeomorfizmden daha kaba bir ilişkidir; bir homotopi denklik sınıfı birkaç homeomorfizm sınıfı içerebilir. Yukarıda açıklanan basit homotopi denkliği durumu burada iki harfin homotopi denk olduğunu göstermek için kullanılabilir. Örneğin, O, P'nin içine sığar ve P'nin kuyruğu "delik" kısmına sıkıştırılabilir. ⓘ

Homeomorfizm sınıfları şunlardır:

C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W ve Z'ye karşılık gelen delik yok;
delik yok ve E, F, T ve Y'ye karşılık gelen üç kuyruk;
delik yok ve X'e karşılık gelen dört kuyruk var;
D ve O'ya karşılık gelen bir delik ve kuyruk yok;
P ve Q'ya karşılık gelen bir delik ve bir kuyruk;
A ve R'ye karşılık gelen bir delik ve iki kuyruk;
B'ye karşılık gelen iki delik ve kuyruk yok; ve
H ve K'ye karşılık gelen dört kuyruklu bir çubuk; K'deki "çubuk" neredeyse görülemeyecek kadar kısa. ⓘ

Homotopi sınıfları daha büyüktür, çünkü kuyruklar bir noktaya kadar sıkıştırılabilir. Bunlar:

tek delik,
iki delik ve
delik yok. ⓘ

Harfleri doğru sınıflandırmak için, aynı sınıftaki iki harfin eşdeğer olduğunu ve farklı sınıflardaki iki harfin eşdeğer olmadığını göstermeliyiz. Homeomorfizm durumunda bu, noktalar seçilerek ve bunların kaldırılmasının harflerin bağlantısını farklı şekilde kestiği gösterilerek yapılabilir. Örneğin, X ve Y homeomorfik değildir çünkü X'in merkez noktasını kaldırmak dört parça bırakır; Y'de bu noktaya karşılık gelen nokta ne olursa olsun, kaldırılması en fazla üç parça bırakabilir. Homotopi denkliği durumu daha zordur ve temel grup gibi cebirsel bir değişmezin sözde farklı sınıflarda farklı olduğunu gösteren daha ayrıntılı bir argüman gerektirir. ⓘ

Harf topolojisi şablon tipografisinde pratik bir öneme sahiptir. Örneğin, Braggadocio yazı tipi şablonları birbirine bağlı tek bir malzeme parçasından yapılmıştır. ⓘ

Tarihçe

Königsberg'in Yedi Köprüsü Euler tarafından çözülmüş bir problemdir. ⓘ

İyi tanımlanmış bir matematik disiplini olarak topoloji yirminci yüzyılın başlarında ortaya çıkmıştır, ancak bazı münferit sonuçların izi birkaç yüzyıl öncesine kadar sürülebilir. Bunlar arasında Leonhard Euler tarafından araştırılan bazı geometri soruları da yer almaktadır. Königsberg'in Yedi Köprüsü hakkındaki 1736 tarihli makalesi, topolojinin ilk pratik uygulamalarından biri olarak kabul edilir. 14 Kasım 1750'de Euler bir arkadaşına, bir çokyüzlünün kenarlarının önemini fark ettiğini yazmıştır. Bu onun çokyüzlü formülüne yol açmıştır: V - E + F = 2 (burada $V$ , E ve F sırasıyla çokyüzlünün köşe, kenar ve yüz sayısını göstermektedir). Bazı otoriteler bu analizi topolojinin doğuşuna işaret eden ilk teorem olarak kabul etmektedir. ⓘ

Diğer katkılar Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann ve Enrico Betti tarafından yapılmıştır. Listing, "Topologie" terimini 1847'de anadili Almanca'da yazdığı Vorstudien zur Topologie'de tanıttı ve kelimeyi basılı olarak ilk ortaya çıkışından önce on yıl boyunca yazışmalarda kullandı. İngilizce "topology" 1883 yılında Listing'in Nature dergisindeki ölüm ilanında "niteliksel geometriyi, niceliksel ilişkilerin ağırlıklı olarak ele alındığı sıradan geometriden" ayırmak için kullanıldı. ⓘ

Çalışmaları Henri Poincaré tarafından düzeltildi, pekiştirildi ve büyük ölçüde genişletildi. Poincaré, 1895 yılında, günümüzde cebirsel topolojinin bir parçası olarak kabul edilen homotopi ve homoloji kavramlarını tanıtan Analysis Situs üzerine çığır açan makalesini yayınladı. ⓘ

Kapalı 2-manifoldların topolojik özellikleri ⓘ
Manifold	Euler num	Yönlendirilebilirlik	Betti numaraları			Burulma katsayısı (1-dim)
Manifold	Euler num	Yönlendirilebilirlik	b₀	b₁	b₂	Burulma katsayısı (1-dim)
Küre	2	Yönlendirilebilir	1	0	1	Hiçbiri
Torus	0	Yönlendirilebilir	1	2	1	Hiçbiri
2 delikli torus	−2	Yönlendirilebilir	1	4	1	Hiçbiri
g-holed torus (g cinsi)	$2 - 2 g$	Yönlendirilebilir	1	$2 g$	1	Hiçbiri
Projektif düzlem	1	Yönlendirilemez	1	0	0	2
Klein şişesi	0	Yönlendirilemez	1	1	0	2
c çapraz kapaklı küre ( $c > 0$ )	$2 - c$	Yönlendirilemez	1	$c - 1$	0	2
$g$ delikli 2-Manifold ve c çapraz kapakları ( $c > 0$ )	$2 - (2 g + c)$	Yönlendirilemez	1	$(2 g + c) - 1$	0	2

Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli ve diğerlerinin fonksiyon uzayları üzerine çalışmalarını birleştiren Maurice Fréchet, 1906 yılında metrik uzayı tanıttı. Metrik uzay artık genel bir topolojik uzayın özel bir durumu olarak kabul edilmekte ve verilen herhangi bir topolojik uzay potansiyel olarak birçok farklı metrik uzaya yol açmaktadır. 1914 yılında Felix Hausdorff "topolojik uzay" terimini ortaya atmış ve günümüzde Hausdorff uzayı olarak adlandırılan şeyin tanımını vermiştir. Günümüzde topolojik uzay, 1922 yılında Kazimierz Kuratowski tarafından verilen Hausdorff uzaylarının hafif bir genellemesidir. ⓘ

Modern topoloji, 19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor tarafından geliştirilen küme teorisi fikirlerine büyük ölçüde bağlıdır. Cantor, küme teorisinin temel fikirlerini oluşturmanın yanı sıra, Fourier serileri üzerine yaptığı çalışmanın bir parçası olarak Öklid uzayında nokta kümelerini ele almıştır. Daha ileri gelişmeler için nokta kümesi topolojisi ve cebirsel topolojiye bakınız. ⓘ

2022 Abel Ödülü, "en geniş anlamıyla topolojiye ve özellikle cebirsel, geometrik ve dinamik yönlerine yaptığı çığır açıcı katkılardan dolayı" Dennis Sullivan'a verilmiştir. ⓘ

Kavramlar

Kümeler üzerinde topolojiler

Topoloji terimi aynı zamanda topoloji adı verilen matematik alanının merkezinde yer alan belirli bir matematiksel fikri de ifade eder. Gayri resmi olarak, bir topoloji, bir kümenin elemanlarının birbirleriyle uzamsal olarak nasıl ilişkili olduğunu anlatır. Aynı küme farklı topolojilere sahip olabilir. Örneğin, reel doğru, karmaşık düzlem ve Cantor kümesi farklı topolojilere sahip aynı küme olarak düşünülebilir. ⓘ

Biçimsel olarak, $X$ bir küme ve $τ$ da $X$ 'in alt kümelerinin bir ailesi olsun. $τ$ , $X$ üzerinde bir topoloji olarak adlandırılır:

Hem boş küme hem de $X$ , $τ$ 'nun elemanlarıdır.
$τ$ 'nun elemanlarının herhangi bir birleşimi $τ$ 'nun bir elemanıdır.
$τ$ 'nun sonlu sayıda elemanlarının herhangi bir kesişimi $τ$ 'nun bir elemanıdır. ⓘ

Eğer $τ$ $X$ üzerinde bir topoloji ise, o zaman $(X, τ)$ çiftine topolojik uzay denir. $X τ$ gösterimi, belirli bir topoloji $τ$ ile donatılmış bir $X$ kümesini belirtmek için kullanılabilir. Tanım gereği, her topoloji bir $π$ -sistemidir. ⓘ

$X$ 'in bir alt kümesinin tümleyeni $τ$ içindeyse (yani tümleyeni açıksa) kapalı olduğu söylenir. $τ$ 'nun üyelerine $X$ 'in açık kümeleri denir. $X$ 'in bir alt kümesi açık, kapalı, her ikisi de (clopen küme) ya da hiçbiri olmayabilir. Boş küme ve $X$ 'in kendisi her zaman hem kapalı hem de açıktır. Bir $x$ noktasını içeren $X$ 'in açık bir alt kümesine $x$ 'in komşuluğu denir. ⓘ

Sürekli fonksiyonlar ve homeomorfizmler

Sürekli bir dönüşüm, bir kahve kupasını çöreğe dönüştürebilir.
Keenan Crane ve Henry Segerman'ın seramik modeli. ⓘ

Bir topolojik uzaydan diğerine bir fonksiyon veya harita, herhangi bir açık kümenin ters görüntüsü açıksa sürekli olarak adlandırılır. Eğer fonksiyon gerçek sayıları gerçek sayılara (her iki uzay da standart topolojiye sahip) eşliyorsa, o zaman bu sürekli tanımı kalkülüsteki sürekli tanımına eşdeğerdir. Eğer sürekli bir fonksiyon bire-bir ve onto ise ve fonksiyonun tersi de sürekli ise, o zaman fonksiyona homeomorfizm denir ve fonksiyonun etki alanının aralığa homeomorfik olduğu söylenir. Bunu söylemenin bir başka yolu da fonksiyonun topolojiye doğal bir uzantısı olduğudur. Eğer iki uzay homeomorfik ise, aynı topolojik özelliklere sahiptirler ve topolojik olarak aynı kabul edilirler. Küp ve küre homeomorfiktir, tıpkı kahve fincanı ve çörek gibi. Ancak daire ile çörek homeomorfik değildir. ⓘ

Manifoldlar

Topolojik uzaylar son derece çeşitli ve egzotik olabilmekle birlikte, topolojinin birçok alanı manifoldlar olarak bilinen daha tanıdık uzay sınıfına odaklanır. Bir manifold, her noktasının yakınında Öklid uzayına benzeyen topolojik bir uzaydır. Daha doğrusu, n boyutlu bir manifoldun her noktası, n boyutlu Öklid uzayına homeomorfik olan bir komşuluğa sahiptir. Çizgiler ve daireler, ancak sekiz rakamı değil, bir boyutlu manifoldlardır. Tüm yüzeyler manifold olmasa da iki boyutlu manifoldlar da yüzey olarak adlandırılır. Örnekler arasında, üç boyutta kendi kendine kesişmeden gerçekleştirilebilen düzlem, küre ve torus ve gerçekleştirilemeyen Klein şişesi ve gerçek projektif düzlem yer alır (yani, tüm gerçekleştirmeleri manifold olmayan yüzeylerdir). ⓘ

Konular

Genel topoloji

Genel topoloji, topolojide kullanılan temel küme teorisi tanımları ve yapıları ile ilgilenen topoloji dalıdır. Diferansiyel topoloji, geometrik topoloji ve cebirsel topoloji de dahil olmak üzere topolojinin diğer birçok dalının temelini oluşturur. Genel topolojinin bir diğer adı da nokta kümesi topolojisidir. ⓘ

Çalışmanın temel nesnesi, bir topoloji ile donatılmış kümeler olan topolojik uzaylardır, yani sonlu kesişimler ve (sonlu veya sonsuz) birleşimler altında kapalı olan açık kümeler olarak adlandırılan bir alt kümeler ailesidir. Süreklilik, kompaktlık ve bağlantılılık gibi topolojinin temel kavramları açık kümeler açısından tanımlanabilir. Sezgisel olarak, sürekli fonksiyonlar yakın noktaları yakın noktalara götürür. Kompakt kümeler, keyfi olarak küçük boyutlu sonlu sayıda küme tarafından kapsanabilen kümelerdir. Bağlantılı kümeler, birbirinden uzak iki parçaya bölünemeyen kümelerdir. Yakın, keyfi olarak küçük ve uzak kelimelerinin hepsi açık kümeler kullanılarak kesin hale getirilebilir. Belirli bir uzay üzerinde çeşitli topolojiler tanımlanabilir. Bir topolojiyi değiştirmek, açık kümeler koleksiyonunu değiştirmekten ibarettir. Bu, hangi fonksiyonların sürekli olduğunu ve hangi alt kümelerin kompakt veya bağlantılı olduğunu değiştirir. ⓘ

Metrik uzaylar, herhangi iki nokta arasındaki mesafenin metrik adı verilen bir fonksiyonla tanımlandığı önemli bir topolojik uzay sınıfıdır. Bir metrik uzayda açık küme, açık disklerin birleşimidir; burada x merkezli r yarıçaplı bir açık disk, x'e uzaklığı r'den küçük olan tüm noktaların kümesidir. Birçok yaygın uzay, topolojisi bir metrikle tanımlanabilen topolojik uzaylardır. Reel doğru, karmaşık düzlem, reel ve karmaşık vektör uzayları ve Öklid uzayları için durum böyledir. Bir metriğe sahip olmak birçok ispatı basitleştirir. ⓘ

Cebirsel topoloji

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları incelemek için cebir araçlarını kullanan bir matematik dalıdır. Temel amaç, topolojik uzayları homeomorfizme kadar sınıflandıran cebirsel değişmezleri bulmaktır, ancak genellikle çoğu homotopi denkliğine kadar sınıflandırır. ⓘ

Bu değişmezlerin en önemlileri homotopi grupları, homoloji ve kohomolojidir. ⓘ

Cebirsel topoloji öncelikle topolojik problemleri incelemek için cebir kullansa da, topolojiyi cebirsel problemleri çözmek için kullanmak da bazen mümkündür. Örneğin cebirsel topoloji, serbest bir grubun herhangi bir alt grubunun yine serbest bir grup olduğuna dair uygun bir kanıt sağlar. ⓘ

Diferansiyel topoloji

Diferansiyel topoloji, diferansiyellenebilir manifoldlar üzerindeki diferansiyellenebilir fonksiyonlarla ilgilenen bir alandır. Diferansiyel geometri ile yakından ilişkilidir ve birlikte diferansiyellenebilir manifoldların geometrik teorisini oluştururlar. ⓘ

Daha spesifik olarak, diferansiyel topoloji, tanımlanması için bir manifold üzerinde yalnızca pürüzsüz bir yapı gerektiren özellikleri ve yapıları ele alır. Düzgün manifoldlar, diferansiyel topolojide var olan belirli denklik ve deformasyon türlerine engel teşkil edebilecek ekstra geometrik yapılara sahip manifoldlardan "daha yumuşaktır". Örneğin, hacim ve Riemann eğriliği, aynı düzgün manifold üzerindeki farklı geometrik yapıları ayırt edebilen değişmezlerdir - yani, belirli manifoldlar düzgün bir şekilde "düzleştirilebilir", ancak bu, uzayı çarpıtmayı ve eğriliği veya hacmi etkilemeyi gerektirebilir. ⓘ

Geometrik topoloji

Geometrik topoloji, öncelikle düşük boyutlu manifoldlara (yani 2, 3 ve 4 boyutlu uzaylar) ve bunların geometri ile etkileşimine odaklanan bir topoloji dalıdır, ancak bazı yüksek boyutlu topolojileri de içerir. Geometrik topolojideki bazı konu örnekleri, yönlendirilebilirlik, sap ayrışımları, yerel düzlük, buruşma ve düzlemsel ve yüksek boyutlu Schönflies teoremidir. ⓘ

Yüksek boyutlu topolojide, karakteristik sınıflar temel bir değişmezdir ve cerrahi teorisi anahtar bir teoridir. ⓘ

Düşük boyutlu topoloji, 2 boyutta tekdüzeleştirme teoreminde yansıtıldığı gibi güçlü bir şekilde geometriktir - her yüzey sabit eğrilik metriğini kabul eder; geometrik olarak 3 olası geometriden birine sahiptir: pozitif eğrilik / küresel, sıfır eğrilik / düz ve negatif eğrilik / hiperbolik - ve 3 boyutta geometrizasyon varsayımı (şimdi teorem) - her 3 manifold, her biri sekiz olası geometriden birine sahip olan parçalara bölünebilir. ⓘ

2 boyutlu topoloji tek değişkenli karmaşık geometri olarak incelenebilir (Riemann yüzeyleri karmaşık eğrilerdir) - tekdüzeleştirme teoremi ile her konformal metrik sınıfı benzersiz bir karmaşık sınıfa eşdeğerdir ve 4 boyutlu topoloji iki değişkenli karmaşık geometri açısından incelenebilir (karmaşık yüzeyler), ancak her 4-manifold karmaşık bir yapı kabul etmez. ⓘ

Genelleştirmeler

Bazen, topolojinin araçlarını kullanmak gerekir ancak bir "nokta kümesi" mevcut değildir. Noktasız topolojide bunun yerine açık kümelerin kafesi teorinin temel kavramı olarak kabul edilirken, Grothendieck topolojileri keyfi kategoriler üzerinde tanımlanan ve bu kategoriler üzerinde demetlerin tanımlanmasına ve bununla birlikte genel kohomoloji teorilerinin tanımlanmasına izin veren yapılardır. ⓘ

Uygulamalar

Biyoloji

Topoloji, moleküller ve nano yapılar (örneğin, zarlı nesneler) dahil olmak üzere çeşitli biyolojik sistemleri incelemek için kullanılmıştır. Özellikle, devre topolojisi ve düğüm teorisi, katlanmış proteinlerin ve nükleik asitlerin topolojisini sınıflandırmak ve karşılaştırmak için kapsamlı bir şekilde uygulanmıştır. Devre topolojisi, katlanmış moleküler zincirleri, zincir içi temaslarının ve zincir geçişlerinin ikili düzenine göre sınıflandırır. Topolojinin bir dalı olan düğüm teorisi, biyolojide belirli enzimlerin DNA üzerindeki etkilerini incelemek için kullanılır. Bu enzimler DNA'yı keser, büker ve yeniden bağlayarak daha yavaş elektroforez gibi gözlemlenebilir etkilerle düğümlenmeye neden olur. Topoloji, evrimsel biyolojide fenotip ve genotip arasındaki ilişkiyi temsil etmek için de kullanılır. Oldukça farklı görünen fenotipik formlar, genetik değişikliklerin gelişim sırasında fenotipik değişikliklerle nasıl eşleştiğine bağlı olarak yalnızca birkaç mutasyonla ayrılabilir. Sinirbilimde, Euler karakteristiği ve Betti sayısı gibi topolojik nicelikler, sinir ağlarındaki aktivite modellerinin karmaşıklığını ölçmek için kullanılmıştır. ⓘ

Bilgisayar bilimi

Topolojik veri analizi, bir kümenin büyük ölçekli yapısını belirlemek için cebirsel topoloji tekniklerini kullanır (örneğin, bir nokta bulutunun küresel mi yoksa toroidal mi olduğunu belirlemek). Topolojik veri analizi tarafından kullanılan ana yöntem şudur:

Bir dizi veri noktasını, bir yakınlık parametresiyle indekslenen bir basit kompleksler ailesiyle değiştirmek.
Bu topolojik kompleksleri cebirsel topoloji yoluyla, özellikle de kalıcı homoloji teorisi yoluyla analiz etmek.
Bir veri kümesinin kalıcı homolojisini, barkod olarak adlandırılan bir Betti sayısının parametrelendirilmiş bir versiyonu şeklinde kodlayın. ⓘ

Alan teorisi gibi programlama dili semantiğinin çeşitli dalları topoloji kullanılarak biçimlendirilir. Bu bağlamda, Steve Vickers, Samson Abramsky ve Michael B. Smyth'in çalışmalarını temel alarak, topolojik uzayları açık kümeler üzerinde Boolean veya Heyting cebirleri olarak karakterize eder ve bu cebirler semidecidable (eşdeğer olarak, sonlu gözlemlenebilir) özellikler olarak karakterize edilir. ⓘ

Fizik

Topoloji, yoğun madde fiziği, kuantum alan teorisi ve fiziksel kozmoloji gibi alanlarda fizikle ilgilidir. ⓘ

Katılardaki mekanik özelliklerin topolojik bağımlılığı, makine mühendisliği ve malzeme bilimi disiplinlerinin ilgi alanına girmektedir. Elektriksel ve mekanik özellikler, moleküllerin ve malzemelerdeki temel birimlerin düzenine ve ağ yapılarına bağlıdır. Buruşuk topolojilerin basınç dayanımı, çoğunlukla boş alan olan bu tür yapıların ağırlığa karşı yüksek dayanımını anlama girişimlerinde incelenmektedir. Topoloji, sertlik ve sürtünmenin yüzey yapılarının boyutluluğuna bağımlılığının çoklu cisim fiziğindeki uygulamalarla ilgi konusu olduğu Temas mekaniğinde daha da önemlidir. ⓘ

Topolojik kuantum alan teorisi (veya topolojik alan teorisi veya TQFT), topolojik değişmezleri hesaplayan bir kuantum alan teorisidir. ⓘ

TQFT'ler fizikçiler tarafından icat edilmiş olsa da, diğer şeylerin yanı sıra düğüm teorisi, cebirsel topolojide dört-manifold teorisi ve cebirsel geometride moduli uzayları teorisi ile ilgili olmaları nedeniyle matematiksel açıdan da ilgi çekicidirler. Donaldson, Jones, Witten ve Kontsevich, topolojik alan teorisiyle ilgili çalışmalarından dolayı Fields Madalyası kazanmışlardır. ⓘ

Calabi-Yau manifoldlarının topolojik sınıflandırmasının sicim teorisinde önemli etkileri vardır, çünkü farklı manifoldlar farklı sicim türlerini sürdürebilir. ⓘ

Kozmolojide topoloji, evrenin genel şeklini tanımlamak için kullanılabilir. Bu araştırma alanı genellikle uzay-zaman topolojisi olarak bilinir. ⓘ

Yoğun maddede topolojik fiziğin ilgili bir uygulaması, geri saçılmadan korunan bir akım olan tek yönlü akım elde etme olasılığından gelir. İlk olarak elektronikte ünlü kuantum Hall etkisi ile keşfedilmiş ve daha sonra fiziğin diğer alanlarında, örneğin fotonikte F.D.M Haldane tarafından genelleştirilmiştir. ⓘ

Robotik

Bir robotun olası pozisyonları, konfigürasyon uzayı adı verilen bir manifold ile tanımlanabilir. Hareket planlama alanında, konfigürasyon uzayında iki nokta arasındaki yollar bulunur. Bu yollar, robotun eklemlerinin ve diğer parçalarının istenen poza doğru hareketini temsil eder. ⓘ

Oyunlar ve bulmacalar

Teğet bulmacalar, bulmacanın şekillerinin ve bileşenlerinin topolojik yönlerine dayanır. ⓘ

Lif sanatı

Modüler bir yapıda parçaların kesintisiz bir şekilde birleştirilmesi için, her parçayı çevreleyen ve her kenardan yalnızca bir kez geçen bir düzende kesintisiz bir yol oluşturmak gerekir. Bu işlem Eulerian yolunun bir uygulamasıdır. ⓘ