Hacim

Cilt ⓘ
Sıvıların hacimlerini ölçmek için bir ölçü kabı kullanılabilir. Bu kap hacmi fincan, sıvı ons ve mililitre birimleriyle ölçer.
Yaygın semboller	V
SI birimi	Metreküp [m3]
Diğer birimler	Litre, sıvı ons, galon, quart, pint, tsp, sıvı dram, in3, yd3, varil
SI temel birimlerinde	1 m3
Boyut	L3

Hacim, kapalı bir yüzey tarafından çevrelenen üç boyutlu alan miktarını ifade eden skaler bir niceliktir. Örneğin, bir maddenin (katı, sıvı, gaz veya plazma) veya 3D şeklin kapladığı veya içerdiği alan. Hacim genellikle SI tarafından türetilen birim olan metre küp kullanılarak sayısal olarak ölçülür. Bir kabın hacmi genellikle kabın kapasitesi olarak anlaşılır; yani, kabın kendisinin kapladığı alan miktarından ziyade, kabın tutabileceği sıvı (gaz veya sıvı) miktarı. Üç boyutlu matematiksel şekillere de hacim atanır. Düzgün, düz kenarlı ve dairesel şekiller gibi bazı basit şekillerin hacimleri aritmetik formüller kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Karmaşık şekillerin hacimleri, şeklin sınırı için bir formül mevcutsa integral hesapla hesaplanabilir. Tek boyutlu şekiller (çizgiler gibi) ve iki boyutlu şekiller (kareler gibi) üç boyutlu uzayda sıfır hacme sahiptir. ⓘ

Bir katının hacmi (ister düzenli ister düzensiz şekilli olsun) sıvı yer değiştirmesi ile belirlenebilir. Sıvının yer değiştirmesi bir gazın hacmini belirlemek için de kullanılabilir. İki maddenin birleşik hacmi genellikle maddelerden sadece birinin hacminden daha büyüktür. Ancak, bazen bir madde diğerinin içinde çözünür ve bu gibi durumlarda birleşik hacim toplam değildir. ⓘ

Diferansiyel geometride hacim, hacim formu ile ifade edilir ve önemli bir global Riemann değişmezidir. Termodinamikte hacim temel bir parametredir ve basınca eşlenik bir değişkendir. ⓘ

Birimler

The New Student's Reference Work 1914'ten hacim ölçümleri.

Yaklaşık metrik (mL) dönüşümü ⓘ

	İmp.	A.B.D.
		Sıvı	Kuru
Gill	142	118	138
Pint	568	473	551
Quart	1137	946	1101
Galon	4546	3785	4405

Herhangi bir uzunluk birimi, karşılık gelen bir hacim birimi verir: kenarları verilen uzunlukta olan bir küpün hacmi. Örneğin, santimetreküp (cm³), kenarları bir santimetre (1 cm) uzunluğunda olan bir küpün hacmidir. ⓘ

Uluslararası Birimler Sisteminde (SI) standart hacim birimi metreküptür (m³). Metrik sistemde de hacim birimi olarak litre (L) kullanılır ve bir litre 10 santimetrelik bir küpün hacmine eşittir. Böylece

1 litre = (10 cm)³ = 1000 santimetreküp = 0,001 metreküp, ⓘ

Yani

1 metreküp = 1000 litre.

Küçük sıvı miktarları genellikle mililitre cinsinden ölçülür, burada

1 mililitre = 0,001 litre = 1 santimetreküp.

Aynı şekilde, büyük miktarlar megalitre cinsinden ölçülebilir, burada

1 milyon litre = 1000 metreküp = 1 megalitre. ⓘ

Kübik inç, kübik ayak, kübik yarda, kübik mil, çay kaşığı, yemek kaşığı, sıvı ons, sıvı dram, solungaç, pint, quart, galon, minim, varil, kordon, peck, bushel, hogshead, acre-foot ve board foot gibi çeşitli diğer geleneksel hacim birimleri de kullanılmaktadır. Bunların hepsi hacim birimleridir. ⓘ

İlgili terimler

Kapasite, Oxford İngilizce Sözlüğü tarafından "bir kabın içeriğine ve onları tutan şeyin şeklini alan sıvılara, tahıllara veya benzerlerine uygulanan ölçü" olarak tanımlanmaktadır. (Kapasite kelimesinin, kapasite yönetimi gibi başka ilgisiz anlamları da vardır). Kapasite, hacimle yakından ilişkili olsa da anlam olarak aynı değildir; bir kabın kapasitesi her zaman iç kısmındaki hacimdir. Kapasite birimleri SI litre ve ondan türetilen birimler ile gill, pint, gallon ve diğerleri gibi İmparatorluk birimleridir. Hacim birimleri uzunluk birimlerinin küpleridir. Metrik sistemde kapasite ve hacim birimleri birbiriyle yakından ilişkilidir: bir litre tam olarak 1 desimetre küp, yani 10 cm kenarlı bir küpün kapasitesidir. Diğer sistemlerde dönüşüm önemsiz değildir; örneğin bir aracın yakıt deposunun kapasitesi nadiren fit küp cinsinden değil, galon cinsinden ifade edilir (bir İngiliz galonu 0,1605 fit küp hacmi doldurur). ⓘ

Bir nesnenin yoğunluğu, kütlenin hacme oranı olarak tanımlanır. Yoğunluğun tersi, hacmin kütleye bölünmesi olarak tanımlanan özgül hacimdir. Özgül hacim, termodinamikte önemli bir kavram olup, çalışan bir akışkanın hacmi genellikle incelenen bir sistemin önemli bir parametresidir. ⓘ

Akışkanlar dinamiğinde hacimsel akış hızı, birim zamanda belirli bir yüzeyden geçen akışkan hacmidir (örneğin saniyede metreküp [m³ s-1]). ⓘ

Hacimsel alan, kapasite veya hacme ek olarak bir şekle sahip 3 boyutlu bir bölgedir. ⓘ

Kalkülüs

Matematiğin bir dalı olan kalkülüste, R³'teki bir D bölgesinin hacmi, sabit fonksiyonun üçlü integrali ile verilir $f(x,y,z)=1$ bölge üzerinde ve genellikle şu şekilde yazılır:

$\iiint \limits _{D}1\,dx\,dy\,dz.$ ⓘ

Silindirik koordinatlarda hacim integrali şöyledir ⓘ

$\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,$ ⓘ

Küresel koordinatlarda (aşağıdaki açılar için konvansiyonu kullanarak $\theta$ azimut olarak ve $\varphi$ kutup ekseninden ölçülür; kurallar hakkında daha fazla bilgi için bakınız), hacim integrali ⓘ

$\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$ ⓘ

Formüller

Şekil	Hacim formülü	Değişkenler ⓘ
Küp	$a^{3}$
Kübik	$abc$
Prizma (B: taban alanı)	$Bh$
Piramit (B: taban alanı)	${\frac {1}{3}}Bh$
Parallelepiped	$abc{\sqrt {K}}$ ${\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$
Düzenli tetrahedron	${{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$
Küre	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Küresel Kabuk	${\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})$
Elipsoid	${\frac {4}{3}}\pi abc$
Dairesel Silindir	$\pi r^{2}h$
Koni	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
Katı torus	$2\pi ^{2}Rr^{2}$
Devrimin katı	$\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$
Sürekli alana sahip katı gövde $A(x)$ kesitlerinin (örnek: Steinmetz katı)	$\int _{a}^{b}A(x)\mathrm {d} x$	Yukarıdaki devir katı için: $A(x)=\pi f(x)^{2}$

Aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip bir koni, küre ve silindirin hacim oranları

Yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir koni, küre ve silindir ⓘ

Yukarıdaki formüller, aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip bir koni, küre ve silindirin hacimlerinin 1 : 2 : 3 oranında olduğunu göstermek için aşağıdaki gibi kullanılabilir. ⓘ

Koni, silindir ve kürenin yarıçapı r, yüksekliği ise h (ya da 2r) olsun. ⓘ

Sonra, Koninin hacmi:

${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,$ ⓘ

Kürenin hacmi:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,$ ⓘ

Silindirin hacmi:

$\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.$ ⓘ

Küre ve silindir hacimlerinin 2:3 oranının keşfi Arşimet'e atfedilir. ⓘ

Formül türevleri

Küre

Bir kürenin hacmi, kalınlığı dx olan sonsuz sayıda sonsuz küçük dairesel diskin integralidir. 0 merkezli ve r yarıçaplı bir kürenin hacmi için hesaplama aşağıdaki gibidir. ⓘ

Dairesel diskin yüzey alanı şöyledir $\pi r^{2}$. ⓘ

Dairesel disklerin yarıçapı, x ekseni onları dik kesecek şekilde tanımlandığında

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ⓘ

veya

$z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ⓘ

Burada y veya z, belirli bir x değerindeki diskin yarıçapını temsil etmek üzere alınabilir. ⓘ

Disk yarıçapı olarak y kullanıldığında, kürenin hacmi şu şekilde hesaplanabilir

$\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.$ ⓘ

Şimdi

$\int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.$ ⓘ

Verimlerin birleştirilmesi $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$ ⓘ

Bu formül, kürenin yüzey alanı formülü kullanılarak daha hızlı bir şekilde türetilebilir. $4\pi r^{2}$. Kürenin hacmi sonsuz ince küresel kabuk katmanlarından oluşur ve küre hacmi aşağıdakilere eşittir ⓘ

$\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$ ⓘ

Koni

Koni, piramidal şeklin bir türüdür. Piramitler için temel denklem olan taban çarpı yüksekliğin üçte biri, koniler için de geçerlidir. ⓘ

Bununla birlikte, kalkülüs kullanılarak, bir koninin hacmi, kalınlığı dx olan sonsuz sayıda sonsuz ince dairesel diskin integralidir. Tabanı (0, 0, 0) merkezli ve yarıçapı r olan h yüksekliğindeki bir koninin hacmi için hesaplama aşağıdaki gibidir. ⓘ

Her bir dairesel diskin yarıçapı x = 0 ise r, x = h ise 0'dır ve bu ikisi arasında doğrusal olarak değişir,

$r{\frac {h-x}{h}}.$ ⓘ

O halde dairesel diskin yüzey alanı

$\pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.$ ⓘ

Koninin hacmi şu şekilde hesaplanabilir

$\int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,$ ⓘ

ve sabitlerin çıkarılmasından sonra

${\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx$ ⓘ

Entegrasyon bize şunları verir

${\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$ ⓘ

Diferansiyel geometri

Matematiğin bir dalı olan diferansiyel geometride, türevlenebilir bir manifold üzerindeki bir hacim formu, hiçbir yerde sıfıra eşit olmayan üst dereceden (yani derecesi manifoldun boyutuna eşit olan) bir diferansiyel formdur. Bir manifold ancak ve ancak yönlendirilebilir ise bir hacim formuna sahiptir. Yönlendirilebilir bir manifoldun sonsuz sayıda hacim formu vardır, çünkü bir hacim formunu vanishing olmayan bir fonksiyonla çarpmak başka bir hacim formu verir. Yönlendirilebilir olmayan manifoldlarda, bunun yerine daha zayıf bir yoğunluk kavramı tanımlanabilir. Hacim formunun integrali, bu forma göre manifoldun hacmini verir. ⓘ

Yönlendirilmiş bir pseudo-Riemannian manifoldun doğal bir hacim formu vardır. Yerel koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir

$\omega ={\sqrt {|g|}}\,dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n},$ ⓘ

nerede $dx^{i}$ manifoldun kotanjant demeti için pozitif yönelimli bir temel oluşturan 1-formlardır ve $g$ manifold üzerindeki metrik tensörün matris temsilinin aynı temel cinsinden determinantıdır. ⓘ

Termodinamik

Termodinamikte, bir sistemin hacmi, termodinamik durumunu tanımlamak için önemli bir kapsamlı parametredir. Yoğun bir özellik olan özgül hacim, sistemin kütle birimi başına düşen hacmidir. Hacim, durumun bir fonksiyonudur ve basınç ve sıcaklık gibi diğer termodinamik özelliklere bağlıdır. Örneğin, hacim ideal bir gazın basıncı ve sıcaklığı ile ideal gaz yasası ile ilişkilidir. ⓘ

Hesaplama

Nesnelerin hacmini sayısal olarak hesaplama görevi, bilgisayar bilimlerinde hesaplamalı geometri alanında incelenmekte ve çeşitli nesne türleri için bu hesaplamayı yaklaşık veya tam olarak gerçekleştirmek için verimli algoritmalar araştırılmaktadır. Örneğin, konveks hacim yaklaştırma tekniği, bir üyelik oracle'ı kullanarak herhangi bir konveks cismin hacminin nasıl yaklaşık olarak hesaplanacağını gösterir. ⓘ