Geometri

Öklid ve projektif geometride bir sonuç olan Desargues teoreminin bir gösterimi ⓘ

Geometri (Eski Yunanca γεωμετρία (geōmetría) 'arazi ölçümü'; γῆ (gê) 'toprak, kara' ve μέτρον (métron) 'bir ölçü'), aritmetik ile birlikte matematiğin en eski dallarından biridir. Uzayın mesafe, şekil, boyut ve şekillerin göreceli konumlarıyla ilgili özellikleriyle ilgilenir. Geometri alanında çalışan bir matematikçiye geometrici denir. ⓘ

19. yüzyıla kadar geometri neredeyse sadece temel kavramlar olarak nokta, doğru, düzlem, mesafe, açı, yüzey ve eğri kavramlarını içeren Öklid geometrisine ayrılmıştı. ⓘ

19. yüzyıl boyunca çeşitli keşifler geometrinin kapsamını önemli ölçüde genişletti. Bu keşiflerin en eskilerinden biri Gauss'un Theorema Egregium'udur ("dikkat çekici teorem") ve kabaca bir yüzeyin Gauss eğriliğinin Öklid uzayındaki herhangi bir özel gömülmeden bağımsız olduğunu ileri sürer. Bu, yüzeylerin içsel olarak, yani bağımsız uzaylar olarak incelenebileceğini ima eder ve manifoldlar ve Riemann geometrisi teorisine genişletilmiştir. ⓘ

Daha sonra 19. yüzyılda, paralel postülası olmayan geometrilerin (Öklid-dışı geometriler) herhangi bir çelişki yaratmadan geliştirilebileceği ortaya çıkmıştır. Genel göreliliğin temelini oluşturan geometri, Öklid dışı geometrinin ünlü bir uygulamasıdır. ⓘ

O zamandan bu yana, geometrinin kapsamı büyük ölçüde genişletilmiş ve alan, altta yatan yöntemlere (diferansiyel geometri, cebirsel geometri, hesaplamalı geometri, cebirsel topoloji, ayrık geometri (kombinatoryal geometri olarak da bilinir) vb. -Ya da Öklid uzaylarının göz ardı edilen özellikleri üzerine -mesafe ve paralelliği değil sadece noktaların hizalanmasını dikkate alan projektif geometri, açı ve mesafe kavramını göz ardı eden afin geometri, sürekliliği göz ardı eden sonlu geometri ve diğerleri. ⓘ

Başlangıçta fiziksel dünyayı modellemek için geliştirilen geometrinin neredeyse tüm bilimlerde ve ayrıca sanat, mimari ve grafikle ilgili diğer faaliyetlerde uygulamaları vardır. Geometrinin matematiğin görünüşte ilgisiz olan alanlarında da uygulamaları vardır. Örneğin, cebirsel geometri yöntemleri, Wiles'ın temel aritmetik terimleriyle ifade edilen ve birkaç yüzyıl boyunca çözülemeyen bir problem olan Fermat'ın Son Teoremi'ni kanıtlamasında temeldir. ⓘ

Geometri, arazi ölçümü sözcüklerinden türetilmiştir. Herodot (M.Ö. 450), geometrinin başlangıç yerinin Mısır olduğunu kabul eder. Ona göre geometri kavramı Mısır kö­kenlidir. Sözcüğün kullanımı da Eflatun, Aristo ve Thales’e kadar gider. Yalnız Öklid, geometri sözcüğü yerine Elements sözcüğünü yeğlemiştir. Elements sözcüğünün Yunanca karşılığı stoicheia sözcüğüdür. ⓘ

Günümüzde kullanılan doğru, yay, ışın, açı ortay, kenarortay gibi birçok temel geometri teriminin Türkçesi Mustafa Kemal Atatürk'ün Geometri adlı eserinde yazılan eserde önerdiği terimlerden yararlanılarak kullanılmaya başlanmıştır. ⓘ

Tarih

Bir Avrupalı ve bir Arap 15. yüzyılda geometri çalışırken ⓘ

Geometrinin kaydedilen en eski başlangıçları MÖ 2. binyılda antik Mezopotamya ve Mısır'a kadar izlenebilir. Erken geometri, ölçme, inşaat, astronomi ve çeşitli el sanatlarında bazı pratik ihtiyaçları karşılamak için geliştirilen, uzunluklar, açılar, alanlar ve hacimlerle ilgili deneysel olarak keşfedilmiş ilkelerin bir koleksiyonuydu. Geometri üzerine bilinen en eski metinler Mısır Rhind Papirüsü (MÖ 2000-1800) ve Moskova Papirüsü (MÖ 1890 civarı) ile Plimpton 322 (MÖ 1900) gibi Babil kil tabletleridir. Örneğin, Moskova Papirüsü kesik bir piramidin ya da frustumun hacmini hesaplamak için bir formül vermektedir. Daha sonraki kil tabletler (MÖ 350-50) Babilli astronomların Jüpiter'in konumunu ve zaman-hız uzayındaki hareketini hesaplamak için yamuk prosedürlerini uyguladıklarını göstermektedir. Bu geometrik prosedürler, ortalama hız teoremi de dahil olmak üzere Oxford Hesap Makineleri'ni 14 yüzyıl öncesinden haber vermektedir. Mısır'ın güneyinde eski Nubyalılar güneş saatlerinin ilk versiyonlarını da içeren bir geometri sistemi kurmuşlardır. ⓘ

MÖ 7. yüzyılda Yunan matematikçi Miletoslu Thales, piramitlerin yüksekliğini ve gemilerin kıyıdan uzaklığını hesaplamak gibi problemleri çözmek için geometriyi kullanmıştır. Thales'in teoremine dört sonuç çıkararak geometriye uygulanan tümdengelimsel akıl yürütmenin ilk kullanımıyla tanınır. Pisagor, Pisagor teoreminin ilk ispatı ile tanınan Pisagor Okulu'nu kurmuştur, ancak teoremin ifadesi uzun bir geçmişe sahiptir. Eudoxus (MÖ 408-c. 355) eğrisel şekillerin alan ve hacimlerinin hesaplanmasına olanak tanıyan tükenme yönteminin yanı sıra, sonraki geometricilerin önemli ilerlemeler kaydetmesini sağlayan ölçülemez büyüklükler sorunundan kaçınan bir oranlar teorisi geliştirmiştir. MÖ 300 civarında geometri, tüm zamanların en başarılı ve etkili ders kitabı olarak kabul edilen ve aksiyomatik yöntemle matematiksel titizliği ortaya koyan ve bugün matematikte hala kullanılan tanım, aksiyom, teorem ve ispat formatının en eski örneği olan Elementler'i yazan Öklid tarafından devrim yaratmıştır. Elementler'in içeriğinin çoğu zaten bilinmesine rağmen, Öklid bunları tek ve tutarlı bir mantıksal çerçeve içinde düzenlemiştir. Elementler 20. yüzyılın ortalarına kadar Batı'daki tüm eğitimli insanlar tarafından biliniyordu ve içeriği bugün hala geometri derslerinde öğretilmektedir. Siraküzalı Arşimet (MÖ 287-212), sonsuz bir serinin toplamı ile bir parabolün yayının altındaki alanı hesaplamak için tükenme yöntemini kullandı ve pi sayısının oldukça doğru yaklaşımlarını verdi. Ayrıca kendi adını taşıyan spiral üzerinde çalışmış ve devrim yüzeylerinin hacimleri için formüller elde etmiştir. ⓘ

Geometri öğreten kadın. Öklid'in Elementler'inin bir Ortaçağ çevirisinin başındaki illüstrasyon, (yaklaşık 1310). ⓘ

Hintli matematikçiler de geometriye birçok önemli katkıda bulunmuşlardır. Satapatha Brahmana (MÖ 3. yüzyıl) ritüel geometrik yapılar için Sulba Sutralarına benzer kurallar içerir. (Hayashi 2005, s. 363)'e göre, Śulba Sutraları "Eski Babilliler tarafından zaten bilinmesine rağmen, Pisagor Teoremi'nin dünyadaki mevcut en eski sözlü ifadesini içerir. Bunlar, Diophantine denklemlerinin özel durumları olan Pisagor üçlülerinin listelerini içerir. Bakhshali el yazmasında bir avuç geometrik problem (düzensiz katıların hacimleriyle ilgili problemler de dahil olmak üzere) bulunmaktadır. Bakhshali el yazması ayrıca "sıfır için bir nokta içeren bir ondalık basamak değeri sistemi kullanmaktadır." Aryabhata'nın Aryabhatiya'sı (499) alan ve hacim hesaplamalarını içerir. Brahmagupta astronomi eseri Brāhma Sphuṭa Siddhānta'yı 628 yılında yazmıştır. 66 Sanskritçe mısra içeren 12. Bölüm iki kısma ayrılmıştır: "temel işlemler" (küp kökler, kesirler, oran ve orantı ve takas dahil) ve "pratik matematik" (karışım, matematiksel seriler, düzlemsel şekiller, tuğla istifleme, kereste kesme ve tahıl yığma dahil). İkinci bölümde, döngüsel bir dörtgenin köşegenleri üzerine ünlü teoremini ifade etmiştir. Bölüm 12 ayrıca döngüsel bir dörtgenin alanı için bir formül (Heron'un formülünün bir genellemesi) ve rasyonel üçgenlerin (yani rasyonel kenarları ve rasyonel alanları olan üçgenler) tam bir tanımını içeriyordu. ⓘ

Ortaçağ'da İslam matematiği geometrinin, özellikle de cebirsel geometrinin gelişimine katkıda bulunmuştur. El-Mahani (d. 853), küpü çoğaltmak gibi geometrik problemleri cebir problemlerine indirgeme fikrini tasarlamıştır. Sâbit ibn Kurra (Latince Thebit olarak bilinir) (836-901) geometrik niceliklerin oranlarına uygulanan aritmetik işlemlerle ilgilenmiş ve analitik geometrinin gelişimine katkıda bulunmuştur. Ömer Hayyam (1048-1131) kübik denklemlere geometrik çözümler bulmuştur. İbnü'l-Heysem (Alhazen), Ömer Hayyam ve Nasirüddin Tusi'nin Lambert dörtgeni ve Saccheri dörtgeni de dahil olmak üzere dörtgenler üzerine teoremleri hiperbolik geometrinin erken sonuçlarıydı ve Playfair aksiyomu gibi alternatif önermeleriyle birlikte bu çalışmalar, Witelo (yak. 1230-c. 1314) da dahil olmak üzere daha sonraki Avrupalı geometriciler arasında Öklid dışı geometrinin gelişimi üzerinde önemli bir etkiye sahipti. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis ve Giovanni Girolamo Saccheri gibi daha sonraki Avrupalı geometriciler arasında Öklid-dışı geometrinin gelişimi üzerinde önemli etkileri olmuştur. ⓘ

17. yüzyılın başlarında geometride iki önemli gelişme yaşandı. Bunlardan ilki, René Descartes (1596-1650) ve Pierre de Fermat (1601-1665) tarafından analitik geometrinin ya da koordinat ve denklemlerle geometrinin oluşturulmasıydı. Bu, kalkülüsün ve kesin bir niceliksel fizik biliminin gelişmesi için gerekli bir öncüldü. Bu dönemin ikinci geometrik gelişmesi, Girard Desargues (1591-1661) tarafından projektif geometrinin sistematik olarak incelenmesidir. İzdüşümsel geometri, özellikle sanatsal perspektifle ilgili olarak, izdüşümler ve kesitler altında değişmeyen şekillerin özelliklerini inceler. ⓘ

Geometride 19. yüzyılda yaşanan iki gelişme, geometrinin daha önce çalışılma şeklini değiştirmiştir. Bunlar Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai ve Carl Friedrich Gauss tarafından Öklid dışı geometrilerin keşfi ve Felix Klein'ın Erlangen Programı'nda (Öklid ve Öklid dışı geometrileri genelleştiren) simetrinin merkezi düşünce olarak formüle edilmesiydi. Dönemin iki usta geometricisi, öncelikle matematiksel analiz araçlarıyla çalışan ve Riemann yüzeyini tanıtan Bernhard Riemann (1826-1866) ve cebirsel topolojinin ve dinamik sistemlerin geometrik teorisinin kurucusu Henri Poincaré idi. Geometri anlayışındaki bu büyük değişikliklerin bir sonucu olarak, "uzay" kavramı zengin ve çeşitli bir şey haline geldi ve karmaşık analiz ve klasik mekanik gibi farklı teoriler için doğal bir arka plan oldu. ⓘ

Ana kavramlar

Aşağıda geometrideki en önemli kavramlardan bazıları verilmiştir. ⓘ

Aksiyomlar

Öklid'in paralel postülasının bir örneği ⓘ

Öklid, şimdiye kadar yazılmış en etkili kitaplardan biri olan Elementler'de geometriye soyut bir yaklaşım getirmiştir. Öklid, noktaların, doğruların ve düzlemlerin birincil ya da apaçık özelliklerini ifade eden belirli aksiyomlar ya da postulatlar ortaya koymuştur. Diğer özellikleri matematiksel akıl yürütme yoluyla titizlikle çıkarmaya devam etti. Öklid'in geometriye yaklaşımının karakteristik özelliği titizliğiydi ve aksiyomatik ya da sentetik geometri olarak biliniyordu. 19'uncu yüzyılın başında Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve diğerlerinin Öklid-dışı geometrileri keşfetmesi bu disipline olan ilginin yeniden canlanmasına yol açmış ve 20'nci yüzyılda David Hilbert (1862-1943) geometriye modern bir temel sağlamak amacıyla aksiyomatik akıl yürütmeyi kullanmıştır. ⓘ

Nesneler

Puanlar

Noktalar genellikle geometri oluşturmak için temel nesneler olarak kabul edilir. Öklid'in "parçası olmayan" tanımında veya sentetik geometride olduğu gibi sahip olmaları gereken özelliklerle tanımlanabilirler. Modern matematikte genellikle uzay adı verilen ve kendisi de aksiyomatik olarak tanımlanmış bir kümenin elemanları olarak tanımlanırlar. ⓘ

Bu modern tanımlarla, her geometrik şekil bir noktalar kümesi olarak tanımlanır; bir doğrunun içinden geçtiği noktaların kümesi olarak görülmeyen bir başka temel nesne olduğu sentetik geometride durum böyle değildir. ⓘ

Bununla birlikte, noktaların ilkel nesneler olmadığı, hatta noktasız modern geometriler de vardır. Bu tür geometrilerin en eskilerinden biri, Alfred North Whitehead tarafından 1919-1920 yıllarında formüle edilen Whitehead'in noktasız geometrisidir. ⓘ

Çizgiler

Öklid bir doğruyu "kendi üzerindeki noktalara göre eşit olarak uzanan" "ensiz uzunluk" olarak tanımlamıştır. Modern matematikte, çok sayıda geometri göz önüne alındığında, doğru kavramı geometrinin tanımlanma biçimine yakından bağlıdır. Örneğin, analitik geometride düzlemdeki bir doğru genellikle koordinatları belirli bir doğrusal denklemi sağlayan noktalar kümesi olarak tanımlanır, ancak insidans geometrisi gibi daha soyut bir ortamda bir doğru, üzerinde yer alan noktalar kümesinden farklı, bağımsız bir nesne olabilir. Diferansiyel geometride jeodezik, doğru kavramının eğri uzaylar için genelleştirilmesidir. ⓘ

Düzlemler

Öklid geometrisinde düzlem, sonsuza kadar uzanan düz, iki boyutlu bir yüzeydir; diğer geometri türleri için tanımlar bunun genelleştirilmesidir. Düzlemler geometrinin birçok alanında kullanılır. Örneğin, düzlemler mesafelere veya açılara atıfta bulunmadan topolojik bir yüzey olarak incelenebilir; eş doğrusallık ve oranların incelenebildiği ancak mesafelerin incelenemediği bir afin uzay olarak incelenebilir; karmaşık analiz teknikleri kullanılarak karmaşık düzlem olarak incelenebilir; vb. ⓘ

Açılar

Öklid bir düzlem açıyı, bir düzlemde birbirini kesen ve birbirlerine göre düz olmayan iki doğrunun birbirine göre eğimi olarak tanımlar. Modern anlamda açı, açının kenarları olarak adlandırılan ve açının tepe noktası olarak adlandırılan ortak bir uç noktayı paylaşan iki ışının oluşturduğu şekildir. ⓘ

Akut (a), geniş (b) ve düz (c) açılar. Dar ve geniş açılar eğik açılar olarak da bilinir. ⓘ

Öklid geometrisinde açılar, çokgenleri ve üçgenleri incelemek için kullanılmasının yanı sıra kendi başlarına bir çalışma nesnesi oluşturur. Bir üçgenin açılarının veya bir birim çemberdeki açıların incelenmesi trigonometrinin temelini oluşturur. ⓘ

Diferansiyel geometri ve kalkülüste, düzlem eğrileri veya uzay eğrileri veya yüzeyleri arasındaki açılar türev kullanılarak hesaplanabilir. ⓘ

Eğriler

Eğri, düz (çizgi gibi) olabilen veya olmayan 1 boyutlu bir nesnedir; 2 boyutlu uzaydaki eğrilere düzlem eğrileri, 3 boyutlu uzaydakilere ise uzay eğrileri denir. ⓘ

Topolojide bir eğri, gerçek sayıların bir aralığından başka bir uzaya bir fonksiyon ile tanımlanır. Diferansiyel geometride de aynı tanım kullanılır, ancak tanımlayıcı fonksiyonun türevlenebilir olması gerekir Cebirsel geometri, bir boyutlu cebirsel çeşitler olarak tanımlanan cebirsel eğrileri inceler. ⓘ

Yüzeyler

Bir küre, parametrik olarak (x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ ile) veya dolaylı olarak (x² + y² + z² - r² = 0 ile) tanımlanabilen bir yüzeydir. ⓘ

Yüzey, küre veya paraboloid gibi iki boyutlu bir nesnedir. Diferansiyel geometri ve topolojide yüzeyler, sırasıyla difeomorfizmler veya homeomorfizmler tarafından bir araya getirilen iki boyutlu 'yamalar' (veya komşuluklar) ile tanımlanır. Cebirsel geometride yüzeyler polinom denklemleri ile tanımlanır. ⓘ

Manifoldlar

Manifold, eğri ve yüzey kavramlarının bir genellemesidir. Topolojide bir manifold, her noktanın Öklid uzayına homeomorfik olan bir komşuluğa sahip olduğu topolojik bir uzaydır. Diferansiyel geometride, diferansiyellenebilir bir manifold, her komşuluğun Öklid uzayına difeomorfik olduğu bir uzaydır. ⓘ

Manifoldlar, genel görelilik ve sicim teorisi de dahil olmak üzere fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. ⓘ

Uzunluk, alan ve hacim

Uzunluk, alan ve hacim bir nesnenin boyutunu veya kapsamını sırasıyla bir boyutta, iki boyutta ve üç boyutta tanımlar. ⓘ

Öklid geometrisi ve analitik geometride, bir doğru parçasının uzunluğu genellikle Pisagor teoremi ile hesaplanabilir. ⓘ

Alan ve hacim, uzunluktan ayrı temel nicelikler olarak tanımlanabilir ya da bir düzlemdeki veya 3 boyutlu uzaydaki uzunluklar cinsinden tanımlanabilir ve hesaplanabilir. Matematikçiler alan için birçok açık formül ve çeşitli geometrik nesnelerin hacmi için formüller bulmuşlardır. Analizde alan ve hacim, Riemann integrali veya Lebesgue integrali gibi integraller cinsinden tanımlanabilir. ⓘ

Metrikler ve ölçüler

MÖ 500-200 Zhoubi Suanjing'de olduğu gibi (3, 4, 5) üçgeni için Pisagor teoreminin görsel kontrolü. Pisagor teoremi Öklid metriğinin bir sonucudur. ⓘ

Uzunluk veya mesafe kavramı genelleştirilerek metrikler fikri ortaya çıkarılabilir. Örneğin, Öklid metriği Öklid düzlemindeki noktalar arasındaki mesafeyi ölçerken, hiperbolik metrik hiperbolik düzlemdeki mesafeyi ölçer. Diğer önemli metrik örnekleri arasında özel göreliliğin Lorentz metriği ve genel göreliliğin yarı-Riemann metrikleri sayılabilir. ⓘ

Farklı bir yönde, uzunluk, alan ve hacim kavramları, ölçülerin klasik alan ve hacim kurallarına benzer kuralları izlediği kümelere bir boyut veya ölçü atama yöntemlerini inceleyen ölçü teorisi tarafından genişletilir. ⓘ

Uygunluk ve benzerlik

Uygunluk ve benzerlik, iki şeklin benzer özelliklere sahip olduğunu tanımlayan kavramlardır. Öklid geometrisinde benzerlik aynı şekle sahip nesneleri tanımlamak için kullanılırken, uygunluk hem boyut hem de şekil bakımından aynı olan nesneleri tanımlamak için kullanılır. Hilbert, geometri için daha titiz bir temel oluşturma çalışmalarında, uygunluğu, özellikleri aksiyomlarla tanımlanan tanımsız bir terim olarak ele almıştır. ⓘ

Uygunluk ve benzerlik, geometrik nesnelerin farklı türdeki dönüşümler tarafından korunan özelliklerini inceleyen dönüşüm geometrisinde genelleştirilmiştir. ⓘ

Pergel ve çizgeç konstrüksiyonları

Klasik geometriciler, başka bir şekilde tanımlanmış olan geometrik nesneleri inşa etmeye özel bir önem vermişlerdir. Klasik olarak, çoğu geometrik yapıda kullanılan tek aletler pergel ve çizgeçtir. Ayrıca, her konstrüksiyonun sonlu sayıda adımda tamamlanması gerekiyordu. Ancak bazı problemlerin sadece bu araçlarla çözülmesinin zor ya da imkansız olduğu ortaya çıkmış ve neusis, parabol ve diğer eğriler ya da mekanik cihazlar kullanılarak ustaca yapılar bulunmuştur. ⓘ

Boyut

Fraktal boyutu=log4/log3 ve topolojik boyutu=1 olan Koch kar tanesi ⓘ

Geleneksel geometrinin 1 (bir doğru), 2 (bir düzlem) ve 3 (üç boyutlu uzay olarak düşünülen ortam dünyamız) boyutlarına izin verdiği yerlerde, matematikçiler ve fizikçiler yaklaşık iki yüzyıldır daha yüksek boyutlar kullanmışlardır. Daha yüksek boyutların matematiksel kullanımına bir örnek, sistemin serbestlik derecelerine eşit bir boyuta sahip olan fiziksel bir sistemin konfigürasyon uzayıdır. Örneğin, bir vidanın konfigürasyonu beş koordinatla tanımlanabilir. ⓘ

Genel topolojide boyut kavramı doğal sayılardan sonsuz boyuta (örneğin Hilbert uzayları) ve pozitif reel sayılara (fraktal geometride) kadar genişletilmiştir. Cebirsel geometride, bir cebirsel çeşitliliğin boyutu, en yaygın durumlarda hepsi eşdeğer olan, görünüşte farklı bir dizi tanım almıştır. ⓘ

Simetri

Hiperbolik düzlemin bir döşemesi ⓘ

Geometride simetri teması neredeyse geometri biliminin kendisi kadar eskidir. Daire, düzgün çokgenler ve platonik katılar gibi simetrik şekiller birçok eski filozof için derin bir öneme sahipti ve Öklid'in zamanından önce ayrıntılı olarak araştırılmıştı. Simetrik desenler doğada ortaya çıkar ve Leonardo da Vinci, M. C. Escher ve diğerlerinin grafikleri de dahil olmak üzere çok sayıda biçimde sanatsal olarak işlenmiştir. 19'uncu yüzyılın ikinci yarısında simetri ve geometri arasındaki ilişki yoğun bir incelemeye tabi tutulmuştur. Felix Klein'ın Erlangen programı, çok kesin bir anlamda, bir dönüşüm grubu kavramıyla ifade edilen simetrinin geometrinin ne olduğunu belirlediğini ilan etti. Klasik Öklid geometrisinde simetri kongrüanslar ve katı hareketlerle temsil edilirken, projektif geometride benzer bir rolü kolinasyonlar, yani düz çizgileri düz çizgiler haline getiren geometrik dönüşümler oynar. Ancak Bolyai ve Lobachevsky, Riemann, Clifford ve Klein ve Sophus Lie'nin yeni geometrilerinde Klein'ın 'bir geometriyi simetri grubu aracılığıyla tanımlama' fikri ilham kaynağı olmuştur. Hem kesikli hem de sürekli simetriler geometride önemli rol oynar; birincisi topoloji ve geometrik grup teorisinde, ikincisi ise Lie teorisi ve Riemann geometrisinde. ⓘ

Farklı bir simetri türü, diğer alanların yanı sıra projektif geometride ikilik ilkesidir. Bu meta-fenomen kabaca şu şekilde tanımlanabilir: herhangi bir teoremde, noktayı düzlemle, birleşmeyi buluşmayla, içinde bulunmayı içermekle değiştirin ve sonuç eşit derecede doğru bir teoremdir. Benzer ve yakından ilişkili bir ikilik biçimi, bir vektör uzayı ile onun ikili uzayı arasında mevcuttur. ⓘ

Çağdaş geometri

Öklid geometrisi

Öklid geometrisi klasik anlamda geometridir. Fiziksel dünyanın uzayını modellediği için mekanik, astronomi, kristalografi gibi birçok bilimsel alanda ve mühendislik, mimarlık, jeodezi, aerodinamik ve navigasyon gibi birçok teknik alanda kullanılır. Ulusların çoğunun zorunlu eğitim müfredatı noktalar, doğrular, düzlemler, açılar, üçgenler, eşlik, benzerlik, katı şekiller, daireler ve analitik geometri gibi Öklid kavramlarının incelenmesini içerir. ⓘ

Diferansiyel geometri

Diferansiyel geometri, eğrilik içeren problemleri incelemek için kalkülüs araçlarını kullanır. ⓘ

Diferansiyel geometri, geometri problemlerini incelemek için kalkülüs ve lineer cebir tekniklerini kullanır. Diğerlerinin yanı sıra fizik, ekonometri ve biyoinformatik alanlarında uygulamaları vardır. ⓘ

Özellikle diferansiyel geometri, Albert Einstein'ın evrenin eğri olduğuna dair genel görelilik varsayımı nedeniyle matematiksel fizik için önemlidir. Diferansiyel geometri ya içsel (yani ele aldığı uzaylar, geometrik yapısı her noktanın yakınında mesafelerin nasıl ölçüleceğini belirleyen bir Riemann metriği tarafından yönetilen pürüzsüz manifoldlardır) ya da dışsal (incelenen nesnenin bazı ortam düz Öklid uzayının bir parçası olduğu) olabilir. ⓘ

Öklidyen olmayan geometri

Öklid geometrisi, geometrinin tarihsel olarak incelenen tek biçimi değildi. Küresel geometri astronomlar, astrologlar ve denizciler tarafından uzun süredir kullanılmaktadır. ⓘ

Immanuel Kant, içsel bir zihin yetisi tarafından a priori olarak doğru olduğu bilinen tek bir mutlak geometri olduğunu savunmuştur: Öklid geometrisi sentetik a priori idi. Bu görüş ilk başta Saccheri gibi düşünürler tarafından bir şekilde sorgulanmış, ardından Bolyai, Lobachevsky ve Gauss'un (teorisini hiçbir zaman yayınlamamıştır) çalışmalarında Öklid-dışı geometrinin devrim niteliğindeki keşfi ile nihayet yıkılmıştır. Sıradan Öklid uzayının geometrinin gelişimi için yalnızca bir olasılık olduğunu gösterdiler. Geometri konusuna ilişkin geniş bir vizyon daha sonra Riemann tarafından, ancak ölümünden sonra yayınlanan 1867 tarihli açılış dersi Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'de (Geometrinin dayandığı hipotezler üzerine) ifade edildi. Riemann'ın yeni uzay fikri Albert Einstein'ın genel görelilik kuramında çok önemli bir rol oynadı. Uzunluk kavramının tanımlandığı çok genel uzayları göz önünde bulunduran Riemann geometrisi, modern geometrinin temel dayanaklarından biridir. ⓘ

Topoloji

Yonca düğümünün kalınlaşması ⓘ

Topoloji, sürekli eşlemelerin özellikleriyle ilgilenen bir alandır ve Öklid geometrisinin bir genellemesi olarak düşünülebilir. Pratikte topoloji genellikle uzayların bağlantılılık ve kompaktlık gibi büyük ölçekli özellikleriyle ilgilenmek anlamına gelir. ⓘ

Yirminci yüzyılda büyük bir gelişme gösteren topoloji alanı, teknik anlamda dönüşümlerin homeomorfizmler olduğu bir tür dönüşüm geometrisidir. Bu durum sıklıkla "topoloji lastik tabaka geometrisidir" şeklinde ifade edilmiştir. Topolojinin alt alanları arasında geometrik topoloji, diferansiyel topoloji, cebirsel topoloji ve genel topoloji yer alır. ⓘ

Cebirsel geometri

Quintic Calabi-Yau üç katı ⓘ

Cebirsel geometri alanı, Kartezyen koordinat geometrisinden gelişmiştir. Diğer konuların yanı sıra projektif geometri, çift yönlü geometri, cebirsel çeşitler ve değişmeli cebirin yaratılması ve çalışılmasıyla birlikte periyodik büyüme dönemleri geçirmiştir. 1950'lerin sonlarından 1970'lerin ortalarına kadar, büyük ölçüde Jean-Pierre Serre ve Alexander Grothendieck'in çalışmaları nedeniyle temel bir gelişme göstermiştir. Bu, şemaların kullanılmasına ve çeşitli kohomoloji teorileri de dahil olmak üzere topolojik yöntemlere daha fazla vurgu yapılmasına yol açmıştır. Yedi Milenyum Ödülü probleminden biri olan Hodge varsayımı, cebirsel geometride bir sorudur. Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremi'ni kanıtlaması, sayılar teorisinin uzun süredir devam eden bir problemini çözmek için cebirsel geometrinin gelişmiş yöntemlerini kullanmaktadır. ⓘ

Genel olarak cebirsel geometri, çok değişkenli polinomlar gibi değişmeli cebir kavramlarını kullanarak geometriyi inceler. Kriptografi ve sicim teorisi de dahil olmak üzere birçok alanda uygulamaları vardır. ⓘ

Karmaşık geometri

Karmaşık geometri, karmaşık düzlem üzerinde modellenen veya karmaşık düzlemden doğan geometrik yapıların doğasını inceler. Karmaşık geometri, diferansiyel geometri, cebirsel geometri ve birkaç karmaşık değişkenin analizinin kesiştiği noktada yer alır ve sicim teorisi ve ayna simetrisine uygulamalar bulmuştur. ⓘ

Karmaşık geometri ilk olarak Bernhard Riemann'ın Riemann yüzeyleri üzerine yaptığı çalışmalarda ayrı bir çalışma alanı olarak ortaya çıkmıştır. Riemann'ın ruhuna uygun çalışmalar 1900'lerin başında İtalyan cebirsel geometri okulu tarafından yürütülmüştür. Karmaşık geometrinin çağdaş ele alınışı, konuya demet kavramını getiren ve karmaşık geometri ile cebirsel geometri arasındaki ilişkileri aydınlatan Jean-Pierre Serre'nin çalışmalarıyla başlamıştır. Karmaşık geometrinin başlıca çalışma nesneleri karmaşık manifoldlar, karmaşık cebirsel varyeteler ve karmaşık analitik varyeteler ile bu uzaylar üzerindeki holomorfik vektör demetleri ve tutarlı demetlerdir. Karmaşık geometride çalışılan uzayların özel örnekleri arasında Riemann yüzeyleri ve Calabi-Yau manifoldları yer alır ve bu uzaylar sicim teorisinde kullanım alanı bulur. Özellikle, sicimlerin dünya sayfaları Riemann yüzeyleri tarafından modellenir ve süper sicim teorisi 10 boyutlu uzayzamanın ekstra 6 boyutunun Calabi-Yau manifoldları tarafından modellenebileceğini öngörür. ⓘ

Ayrık geometri

Ayrık geometri, çeşitli küre paketlerinin incelenmesini içerir. ⓘ

Ayrık geometri, dışbükey geometri ile yakın bağlantıları olan bir konudur. Temel olarak noktalar, çizgiler ve daireler gibi basit geometrik nesnelerin göreli konumlarına ilişkin sorularla ilgilenir. Örnekler arasında küre paketleri, üçgenlemeler, Kneser-Poulsen varsayımı vb. yer alır. Kombinatorik ile birçok yöntem ve ilkeyi paylaşır. ⓘ

Hesaplamalı geometri

Hesaplamalı geometri, geometrik nesneleri manipüle etmek için algoritmalar ve bunların uygulamaları ile ilgilenir. Tarihsel olarak önemli problemler arasında gezgin satıcı problemi, minimum yayılan ağaçlar, gizli çizgi kaldırma ve doğrusal programlama yer almaktadır. ⓘ

Geometrinin genç bir alanı olmasına rağmen, bilgisayarla görme, görüntü işleme, bilgisayar destekli tasarım, tıbbi görüntüleme vb. alanlarda birçok uygulaması vardır. ⓘ

Geometrik grup teorisi

İki a ve b üreteci üzerindeki serbest grubun Cayley grafiği ⓘ

Geometrik grup teorisi, sonlu üretilen grupları incelemek için büyük ölçekli geometrik teknikler kullanır. Grigori Perelman'ın bir Milenyum Ödülü Problemi olan Poincaré varsayımının ispatını içeren Geometrizasyon varsayımının ispatında olduğu gibi düşük boyutlu topoloji ile yakından bağlantılıdır. ⓘ

Geometrik grup teorisi genellikle bir grubun geometrik bir temsili olan Cayley grafiği etrafında döner. Diğer önemli konular arasında yarı izometriler, Gromov-hiperbolik gruplar ve dik açılı Artin grupları yer almaktadır. ⓘ

Dışbükey geometri

Dışbükey geometri, genellikle gerçek analiz ve ayrık matematik tekniklerini kullanarak Öklid uzayında ve daha soyut analoglarında dışbükey şekilleri araştırır. Konveks analiz, optimizasyon ve fonksiyonel analiz ile yakın bağlantıları ve sayı teorisinde önemli uygulamaları vardır. ⓘ

Konveks geometrinin geçmişi antik çağlara kadar uzanmaktadır. Arşimet dışbükeyliğin bilinen ilk kesin tanımını vermiştir. Konveks geometride yinelenen bir kavram olan izoperimetrik problem, Zenodorus da dahil olmak üzere Yunanlılar tarafından da incelenmiştir. Arşimet, Platon, Öklid ve daha sonra Kepler ve Coxeter dışbükey politopları ve özelliklerini incelemişlerdir. 19. yüzyıldan itibaren matematikçiler, yüksek boyutlu politoplar, dışbükey cisimlerin hacmi ve yüzey alanı, Gauss eğriliği, algoritmalar, eğimler ve kafesler de dahil olmak üzere dışbükey matematiğin diğer alanları üzerinde çalışmışlardır. ⓘ

Uygulamalar

Geometri, bazıları aşağıda açıklanan birçok alanda uygulama alanı bulmuştur. ⓘ

Sanat

Bou Inania Medresesi, Fes, Fas, ayrıntılı geometrik mozaikler oluşturan zellige mozaik karolar ⓘ

Matematik ve sanat çeşitli şekillerde ilişkilidir. Örneğin perspektif teorisi, geometride şekillerin metrik özelliklerinden daha fazlası olduğunu göstermiştir: perspektif, izdüşümsel geometrinin kökenidir. ⓘ

Sanatçılar tasarımda orantı kavramlarını uzun süredir kullanmaktadır. Vitruvius insan figürü için karmaşık bir ideal oranlar teorisi geliştirmiştir. Bu kavramlar Michelangelo'dan modern çizgi roman sanatçılarına kadar birçok sanatçı tarafından kullanılmış ve uyarlanmıştır. ⓘ

Altın oran, sanatta tartışmalı bir role sahip olan özel bir orandır. Genellikle estetik açıdan en hoş uzunluk oranı olduğu iddia edilen bu oranın ünlü sanat eserlerine dahil edildiği sıklıkla belirtilse de, en güvenilir ve kesin örnekler bu efsanenin farkında olan sanatçılar tarafından kasıtlı olarak yapılmıştır. ⓘ

Tilings ya da mozaiklemeler tarih boyunca sanatta kullanılmıştır. M. C. Escher'in sanatında olduğu gibi İslam sanatında da mozaiklerden sıkça yararlanılmıştır. Escher'in çalışmalarında hiperbolik geometriden de yararlanılmıştır. ⓘ

Cézanne, tüm imgelerin küre, koni ve silindirden oluşturulabileceği teorisini geliştirmiştir. Kesin şekil listesi yazardan yazara değişmekle birlikte, bu teori bugün de sanat teorisinde kullanılmaktadır. ⓘ

Mimari

Geometrinin mimaride birçok uygulaması vardır. Aslında geometrinin mimari tasarımın özünde yattığı söylenmektedir. Geometrinin mimariye uygulamaları arasında zorlanmış perspektif oluşturmak için izdüşümsel geometrinin kullanımı, kubbe ve benzeri nesnelerin inşasında konik kesitlerin kullanımı, mozaiklerin kullanımı ve simetrinin kullanımı yer alır. ⓘ

Fizik

Astronomi alanı, özellikle yıldızların ve gezegenlerin gök küresi üzerindeki konumlarının haritalanması ve gök cisimlerinin hareketleri arasındaki ilişkinin tanımlanmasıyla ilgili olduğu için, tarih boyunca önemli bir geometrik problem kaynağı olarak hizmet etmiştir. ⓘ

Riemann geometrisi ve pseudo-Riemann geometrisi genel görelilikte kullanılır. Sicim teorisi, kuantum bilgi teorisinde olduğu gibi geometrinin çeşitli varyantlarını kullanır. ⓘ

Matematiğin diğer alanları

Pisagorcular bir üçgenin kenarlarının ölçülemeyen uzunluklara sahip olabileceğini keşfettiler. ⓘ

Kalkülüs geometriden güçlü bir şekilde etkilenmiştir. Örneğin, René Descartes tarafından koordinatların tanıtılması ve cebirdeki eşzamanlı gelişmeler geometri için yeni bir aşamaya işaret etti, çünkü düzlem eğrileri gibi geometrik şekiller artık fonksiyonlar ve denklemler şeklinde analitik olarak temsil edilebiliyordu. Bu durum 17. yüzyılda sonsuz küçükler hesabının ortaya çıkmasında kilit bir rol oynamıştır. Analitik geometri, hesap öncesi ve hesap müfredatının temel dayanaklarından biri olmaya devam etmektedir. ⓘ

Bir diğer önemli uygulama alanı da sayılar teorisidir. Antik Yunan'da Pisagorcular sayıların geometrideki rolünü düşünmüşlerdir. Ancak, ölçülemeyen uzunlukların keşfi onların felsefi görüşleriyle çelişmiştir. 19. yüzyıldan bu yana geometri, sayı teorisindeki problemleri çözmek için, örneğin sayıların geometrisi veya daha yakın zamanda Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremi'ni kanıtlamasında kullanılan şema teorisi aracılığıyla kullanılmıştır. ⓘ

Kullanım alanları

Geometri günlük yaşamın hemen her alanında gereklidir. Geometride uzunluk, alan, hacim, yüzey, açı gibi kavramlar bazı nicelikleri belirlemede kullanılır. ⓘ

Geometrinin en çok iç içe olduğu dallar; cebir ve trigonometri, mimarlık, mühendislikler (Yol, köprü, yapı, makine, gemi ve uçak yapımı; maden, su ve elektrik işleri gibi bayındırlık ve zanaatla ilgili teknik çalışmalar vb.), endüstriyel alanlar, simülasyonlar, bilgisayar programları ve grafikleri, sibernetik, tasarım, sanat vb.dir. Geometrinin kullanılmadığı meslek ya da alan yok gibidir desek yerinde olur. ⓘ

Sanat eserlerinin geometrik olması onlara estetik değerler kazandırmıştır. Ünlü ressam Leonardo da Vinci’nin resimde vücut oranları üzerine yaptığı çalışmalar, çizdiği eskizler bulunmaktadır. Bu orana Altın Oran denmektedir. ⓘ