Sonsuz

Sonsuzluk sembolü ⓘ

Sonsuzluk, sınırsız, sonsuz veya herhangi bir doğal sayıdan daha büyük olan şeydir. Genellikle sonsuzluk sembolü ile gösterilir $\infty$. ⓘ

Eski Yunanlılardan bu yana, sonsuzluğun felsefi doğası filozoflar arasında pek çok tartışmaya konu olmuştur. 17. yüzyılda sonsuzluk sembolünün ve sonsuz küçükler hesabının ortaya çıkmasıyla matematikçiler sonsuz serilerle ve bazı matematikçilerin (l'Hôpital ve Bernoulli dahil) sonsuz küçük nicelikler olarak gördükleri şeylerle çalışmaya başladılar, ancak sonsuzluk sonsuz süreçlerle ilişkilendirilmeye devam etti. Matematikçiler kalkülüsün temeli ile uğraşırken, sonsuzluğun bir sayı ya da büyüklük olarak ele alınıp alınamayacağı ve eğer alınabiliyorsa bunun nasıl yapılacağı belirsizliğini koruyordu. 19. yüzyılın sonunda Georg Cantor, sonsuz kümeler ve sonsuz sayılar üzerinde çalışarak sonsuzluğun matematiksel incelemesini genişletti ve bunların çeşitli boyutlarda olabileceğini gösterdi. Örneğin, bir çizgi tüm noktalarının kümesi olarak görülürse, bunların sonsuz sayısı (yani çizginin kardinalitesi) tam sayıların sayısından daha büyüktür. Bu kullanımda sonsuzluk matematiksel bir kavramdır ve sonsuz matematiksel nesneler tıpkı diğer matematiksel nesneler gibi incelenebilir, manipüle edilebilir ve kullanılabilir. ⓘ

Matematiksel sonsuzluk kavramı, özellikle sonsuz sayıda farklı boyutta sonsuz kümeler ortaya koyarak eski felsefi kavramı geliştirir ve genişletir. Modern matematiğin çoğunun geliştirilebildiği Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomları arasında, sonsuz kümelerin varlığını garanti eden sonsuzluk aksiyomu da yer alır. Matematiksel sonsuzluk kavramı ve sonsuz kümelerin manipülasyonu matematiğin her yerinde, hatta kombinatorik gibi bunlarla hiçbir ilgisi yokmuş gibi görünen alanlarda bile kullanılır. Örneğin, Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremi ispatı, temel aritmetik terimleriyle ifade edilen uzun süredir devam eden bir problemi çözmek için dolaylı olarak çok büyük sonsuz kümelerin varlığına dayanır. ⓘ

Fizik ve kozmolojide, Evren'in sonsuz olup olmadığı açık bir sorudur. ⓘ

∞ sembolünün farklı yazı biçimleri ⓘ

Tarih

Eski kültürler sonsuzluğun doğası hakkında çeşitli fikirlere sahipti. Eski Hintliler ve Yunanlılar sonsuzluğu modern matematiğin yaptığı gibi kesin bir formalizmle tanımlamamış, bunun yerine sonsuzluğa felsefi bir kavram olarak yaklaşmışlardır. Brihadaranyaka Upanishad'dan alınan aşağıdaki shanti mantrası, eski Hintlilerin sonsuzluk kavramını nasıl anladıklarının bir örneğidir. ⓘ

Devanagari	İngilizce Transliterasyon	İngilizce Çeviri ⓘ
ॐ पूर्णमदः पूर्णमिदम् पूर्णात् पूर्णमुदच्यते | पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते || ॐ शान्तिः शान्तिः शान्तिः ||	oṃ pūrṇam adaḥ pūrṇam idam pūrṇāt pūrṇam udacyate pūrṇasya pūrṇam ādāya pūrṇam evāvaśiṣyate oṃ śāntiḥ śāntiḥ śāntiḥ	Om! Bu sonsuzdur (İnsan) ve bu (evren) sonsuzdur. Sonsuz olan, sonsuz olandan çıkar. (Sonra) sonsuzluğu sonsuzdan (evrenden) alır, Yalnızca sonsuz (Brahman) olarak kalır. Om! Huzur! Huzur! Barış!

Erken Yunan

Yunanistan'da kaydedilen en eski sonsuzluk fikri, Sokrates öncesi Yunan filozoflarından Anaksimandros'a (MÖ 610 - 546) ait olabilir. "Sınırsız", "belirsiz" anlamına gelen ve belki de "sonsuz" olarak çevrilebilecek apeiron kelimesini kullanmıştır. ⓘ

Aristoteles (MÖ 350) potansiyel sonsuzluğu, ortaya çıkardığı çeşitli paradokslar nedeniyle imkansız olarak gördüğü gerçek sonsuzluktan ayırmıştır. Bu görüş doğrultusunda, Helenistik Yunanlıların "sonsuzdan korktukları" ileri sürülmüştür ki bu da örneğin Öklid'in (MÖ 300 civarı) neden asal sayıların sonsuz olduğunu değil de "Asal sayılar, asal sayıların atanmış herhangi bir çokluğundan daha fazladır" dediğini açıklamaktadır. Ayrıca, asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayarak Öklid'in "sonsuzun dehşetinin üstesinden gelen ilk kişi olduğu" da ileri sürülmüştür. Öklid'in paralel postulatı konusunda da benzer bir tartışma vardır.

Eğer iki [diğer] doğrunun üzerine düşen bir doğru, [kendi] aynı tarafında toplamı iki dik açıdan daha küçük iç açılar yaparsa, o zaman sonsuza kadar üretilen iki [diğer] doğru, [iç açıların toplamının] iki dik açıdan daha küçük olduğu [orijinal doğrunun] o tarafında buluşur.

Ancak diğer çevirmenler, "iki doğru çizgi, eğer sonsuza kadar üretilirse..." çevirisini tercih ederek, Öklid'in sonsuzluk kavramı konusunda rahat olduğu imasından kaçınmışlardır. Son olarak, sonsuzluk üzerine düşünmenin, bir "sonsuz korkusu" uyandırmak bir yana, tüm erken dönem Yunan felsefesinin temelini oluşturduğu ve Aristoteles'in "potansiyel sonsuzluğunun" bu dönemin genel eğiliminden bir sapma olduğu ileri sürülmüştür. ⓘ

Zeno: Aşil ve kaplumbağa

Elealı Zeno (yaklaşık 495 - yaklaşık MÖ 430) sonsuza ilişkin herhangi bir görüş ileri sürmemiştir. Bununla birlikte, paradoksları, özellikle de "Aşil ve Kaplumbağa", popüler kavramların yetersizliğini açıkça ortaya koymaları açısından önemli katkılardı. Paradokslar Bertrand Russell tarafından "ölçülemeyecek kadar ince ve derin" olarak tanımlanmıştır. ⓘ

Aşil bir kaplumbağayla yarışır ve kaplumbağaya avantaj sağlar.

• 1. Adım: Aşil kaplumbağanın başlangıç noktasına doğru koşarken kaplumbağa ileri doğru yürür.
• 2. Adım: Aşil, kaplumbağa daha da ilerlerken 1. Adımın sonunda kaplumbağanın olduğu yere ilerler.
• Adım #3: Aşil, kaplumbağa daha da ilerlerken Adım #2'nin sonunda kaplumbağanın olduğu yere ilerler.
• Adım #4: Aşil, kaplumbağa daha da ilerlerken 3. Adımın sonunda kaplumbağanın olduğu yere ilerler.

Vb. ⓘ

Görünüşe göre, Aşil kaplumbağayı asla geçemez, çünkü kaç adımı tamamlarsa tamamlasın, kaplumbağa onun önünde kalır. ⓘ

Zeno sonsuzluk hakkında bir noktaya değinmeye çalışmıyordu. Hareketi bir yanılsama olarak gören Eleatik okulun bir üyesi olarak, Aşil'in koşabileceğini varsaymanın bir hata olduğunu düşünüyordu. Bu çözümü kabul edilemez bulan sonraki düşünürler, argümanda başka zayıflıklar bulmak için iki bin yıldan fazla bir süre uğraşmışlardır. ⓘ

Nihayet 1821'de Augustin-Louis Cauchy hem tatmin edici bir limit tanımı hem de 0 < x < 1 için

$$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

ⓘ

Aşil'in saniyede 10 metre hızla koştuğunu, kaplumbağanın saniyede 0,1 metre hızla yürüdüğünü ve kaplumbağanın 100 metre önde olduğunu varsayalım. Kovalamacanın süresi a = 10 saniye ve x = 0,01 ile Cauchy'nin modeline uymaktadır. Aşil kaplumbağayı geçer; bu onu

$$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.$$

ⓘ

Antik Hindistan

Hindistan’a ait olan bir Matematiksel yapıt olan Surya Prajnapti tüm sayıları üç gruba ayırır. Bunlar: sayılabilir, sayılamaz ve sonsuzdur. Bu grupların her biri üç farklı alt gruba daha ayrılır.

• Sayılabilir: en düşük, ortalama, en yüksek.
• Sayısız: neredeyse sayısız, gerçekten sayısız ve çok büyük sayıda olduğundan dolayı sayısız.
• Sonsuz: neredeyse sonsuz, gerçekten sonsuz ve son derece sonsuz.

Bu sayı grupları kuramında iki tip sonsuz sayı birbirinden ayrılmıştır. Bu ayrım asaṃkhyāta (sayısız) ve ananta ( sınırsız) yani kesin olarak sınırlandırılmış ve genel olarak sınırlandırılmış sonsuzlar arasındadır. ⓘ

17. yüzyıl

17. yüzyılda Avrupalı matematikçiler sonsuz sayıları ve sonsuz ifadeleri sistematik bir şekilde kullanmaya başladılar. İlk olarak 1655 yılında John Wallis $\infty$ De sectionibus conicis adlı eserinde böyle bir sayıdan bahsetmiş ve bu sayıyı alan hesaplamalarında, bölgeyi sonsuz küçük şeritlere bölerek kullanmıştır. ${\tfrac {1}{\infty }}.$ Ancak Arithmetica infinitorum'da (yine 1655'te) sonsuz serileri, sonsuz çarpımları ve sonsuz sürekli kesirleri birkaç terim veya çarpan yazarak ve ardından "1, 6, 12, 18, 24, vb." gibi "&c." ekleyerek gösterir. ⓘ

Isaac Newton 1699 yılında De analysi per aequationes numero terminorum infinitas adlı eserinde sonsuz sayıda terime sahip denklemler hakkında yazmıştır. ⓘ

Matematik

Hermann Weyl 1930'da yaptığı matematiksel-felsefi bir konuşmaya şöyle başlar:

Matematik sonsuzun bilimidir. ⓘ

Sonsuz Sembolü

Sonsuz sembolü (kelebek veya sekiz eğrisi diye de adlandırılır) sonsuzluğu ifade etmek için kullanılan matematiksel bir semboldür. Bu sembol, Unicode’da U+221E, LaTeX’te ise \infty olarak kodlanmıştır. İlk olarak 1655 yılında John Wallis tarafından ortaya atılmıştır. Ortaya atıldığı günden beri matematik dışında modern mistisizm gibi matematik dışındaki alanlarda da kullanılmıştır. ⓘ

1655'te John Wallis tarafından tanıtılmıştır ve tanıtıldığından beri matematik dışında modern mistisizm ve edebi sembolojide de kullanılmıştır. ⓘ

Kalkülüs

Sonsuz küçükler hesabının mucitlerinden biri olan Gottfried Leibniz, sonsuz sayılar ve bunların matematikteki kullanımları hakkında geniş çaplı spekülasyonlarda bulunmuştur. Leibniz'e göre hem sonsuz küçükler hem de sonsuz büyüklükler ideal varlıklardı, kayda değer büyüklüklerle aynı doğaya sahip değillerdi, ancak Süreklilik Yasası uyarınca aynı özelliklere sahiptiler. ⓘ

Gerçek analiz

Gerçek analizde, sembol $\infty$"sonsuzluk" olarak adlandırılır ve sınırsız bir limiti ifade etmek için kullanılır. Gösterim $x\rightarrow \infty$ şu anlama gelir $x$ sınırsız bir şekilde artar ve $x\to -\infty$ şu anlama gelir $x$ sınırsız bir şekilde azalır. Örneğin, eğer $f(t)\geq 0$ her biri için $t$, sonra

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ şu anlama gelir $f(t)$ 'den sonlu bir alanı sınırlamaz. $a$ için $b.$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ altındaki alanın $f(t)$ sonsuzdur.
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ altındaki toplam alanın $f(t)$ sonludur ve aşağıdakilere eşittir $a.$ ⓘ

Sonsuzluk, aşağıdaki gibi sonsuz serileri tanımlamak için de kullanılabilir:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ sonsuz serilerin toplamının bazı gerçek değerlere yakınsadığı anlamına gelir $a.$
• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ sonsuz serilerin toplamının, kısmi toplamların sınırsız bir şekilde artması anlamında, sonsuza doğru düzgün bir şekilde ıraksadığı anlamına gelir. ⓘ

Bir limiti tanımlamanın yanı sıra, sonsuzluk genişletilmiş gerçek sayı sisteminde bir değer olarak da kullanılabilir. Etiketlenmiş noktalar $+\infty$ ve $-\infty$ reel sayıların topolojik uzayına eklenebilir ve reel sayıların iki noktalı kompaktlaştırılması elde edilir. Buna cebirsel özelliklerin eklenmesi bize genişletilmiş reel sayıları verir. Ayrıca şunları da ele alabiliriz $+\infty$ ve $-\infty$ Bu da reel sayıların tek noktalı kompaktlaştırılmasına yol açar ki bu da reel projektif çizgidir. Projektif geometri aynı zamanda düzlem geometride sonsuzdaki bir doğruyu, üç boyutlu uzayda sonsuzdaki bir düzlemi ve genel boyutlar için her biri sonsuzdaki noktalardan oluşan sonsuzdaki bir hiper düzlemi ifade eder. ⓘ

Karmaşık analiz

Stereografik projeksiyonla, karmaşık düzlem bir küre üzerine "sarılabilir" ve kürenin en üst noktası sonsuzluğa karşılık gelir. Buna Riemann küresi denir. ⓘ

Karmaşık analizde sembol $\infty$"sonsuzluk" olarak adlandırılan, işaretsiz sonsuz bir limiti ifade eder. $x\rightarrow \infty$ büyüklük anlamına gelir $|x|$ . $x$ atanmış herhangi bir değerin ötesinde büyür. Etiketlenmiş bir nokta $\infty$ karmaşık düzleme, karmaşık düzlemin tek noktalı sıkıştırmasını veren topolojik bir uzay olarak eklenebilir. Bu yapıldığında ortaya çıkan uzay, genişletilmiş karmaşık düzlem ya da Riemann küresi olarak adlandırılan tek boyutlu karmaşık bir manifold ya da Riemann yüzeyidir. Yukarıda genişletilmiş reel sayılar için verilenlere benzer aritmetik işlemler de tanımlanabilir, ancak işaretlerde herhangi bir ayrım yoktur (bu da sonsuzun kendisine eklenemeyeceği tek istisnaya yol açar). Öte yandan, bu tür bir sonsuzluk sıfıra bölmeyi mümkün kılar, yani $z/0=\infty$ sıfır olmayan herhangi bir karmaşık sayı için $z$. Bu bağlamda, meromorfik fonksiyonları Riemann küresine aşağıdaki değerleri alan haritalar olarak düşünmek genellikle yararlıdır $\infty$ kutuplarda. Karmaşık değerli bir fonksiyonun etki alanı sonsuzdaki noktayı da içerecek şekilde genişletilebilir. Bu tür fonksiyonların önemli bir örneği Möbius dönüşümleri grubudur (bkz. Möbius dönüşümü § Genel Bakış). ⓘ

Standart olmayan analiz

Hiperreal sayı doğrusu üzerinde sonsuz küçükler (ε) ve sonsuzlar (ω) (1/ε = ω/1) ⓘ

Sonsuz küçükler hesabının Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından yapılan orijinal formülasyonunda sonsuz küçük nicelikler kullanılmıştır. 20. yüzyılda, bu işlemin düzgün sonsuz küçükler analizi ve standart olmayan analiz dahil olmak üzere çeşitli mantıksal sistemler aracılığıyla titiz bir temele oturtulabileceği gösterilmiştir. İkincisinde, sonsuz küçükler ters çevrilebilir ve tersleri sonsuz sayılardır. Bu anlamda sonsuzlar bir hipergerçek alanın parçasıdır; Cantorian transfinitlerinde olduğu gibi aralarında bir eşdeğerlik yoktur. Örneğin, eğer H bu anlamda bir sonsuz sayı ise, H + H = 2H ve H + 1 farklı sonsuz sayılardır. Standart olmayan kalkülüs için bu yaklaşım Keisler (1986)'da tam olarak geliştirilmiştir. ⓘ

Küme teorisi

Sonsuz bir küme ile onun uygun alt kümesi arasında bire bir karşılıklılık ⓘ

"Sonsuzluğun" farklı bir biçimi, ilk olarak Georg Cantor tarafından geliştirilen bir transfinit sayılar sistemi olan küme teorisinin ordinal ve kardinal sonsuzluklarıdır. Bu sistemde, ilk transfinit kardinal, doğal sayılar kümesinin kardinalitesi olan aleph-null'dur (ℵ₀). Niceliksel sonsuzun bu modern matematiksel anlayışı, 19. yüzyılın sonlarında Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind ve diğerlerinin koleksiyonlar veya kümeler fikrini kullanarak yaptıkları çalışmalardan gelişmiştir. ⓘ

Dedekind'in yaklaşımı esasen kümelerin boyutlarını karşılaştırmak için bire bir örtüşme fikrini bir standart olarak benimsemek ve Galileo'nun (Öklid'den türetilen) bütünün parça ile aynı boyutta olamayacağı görüşünü reddetmekti. (Bununla birlikte, Galileo'nun pozitif tam sayıların pozitif kare tam sayıların alt kümesiyle karşılaştırılamayacağı sonucuna vardığı Galileo paradoksuna bakınız, çünkü her ikisi de sonsuz kümelerdir). Sonsuz bir küme basitçe, uygun parçalarından en az biriyle aynı boyutta olan küme olarak tanımlanabilir; bu sonsuzluk kavramına Dedekind sonsuzluğu denir. Sağdaki diyagram bir örnek vermektedir: çizgileri sonsuz nokta kümeleri olarak düşünürsek, alttaki mavi çizginin sol yarısı bire-bir bir şekilde (yeşil karşılıklar) üstteki mavi çizgiye ve dolayısıyla alttaki mavi çizginin tamamına (kırmızı karşılıklar) eşlenebilir; dolayısıyla alttaki mavi çizginin tamamı ve sol yarısı aynı kardinaliteye, yani "büyüklüğe" sahiptir. ⓘ

Cantor iki tür sonsuz sayı tanımlamıştır: sıra sayıları ve kardinal sayılar. Sıralı sayılar, iyi düzenlenmiş kümeleri ya da sonsuz sayı sayıldıktan sonraki noktalar da dahil olmak üzere herhangi bir durma noktasına kadar devam eden saymayı karakterize eder. Pozitif tamsayılardan eşlemeler olan sonlu ve (sıradan) sonsuz dizilerin genelleştirilmesi, sıra sayılardan transfinit dizilere eşlemelere yol açar. Kardinal sayılar kümelerin boyutunu, yani kaç üye içerdiklerini tanımlar ve belirli bir boyuttaki ilk ordinal sayıyı o boyuttaki kardinal sayıyı temsil etmek üzere seçerek standartlaştırılabilir. En küçük sıra sonsuzluğu pozitif tam sayılardır ve tam sayıların kardinalitesine sahip herhangi bir küme sayılabilir şekilde sonsuzdur. Eğer bir küme pozitif tamsayılarla bire bir eşlenemeyecek kadar büyükse, sayılamaz olarak adlandırılır. Cantor'un görüşleri üstün gelmiş ve modern matematik gerçek sonsuzluğu tutarlı ve uyumlu bir teorinin parçası olarak kabul etmiştir. Hiperreal sayılar gibi bazı genişletilmiş sayı sistemleri, sıradan (sonlu) sayıları ve farklı boyutlardaki sonsuz sayıları içerir. ⓘ

Sürekliliğin kardinalitesi

Cantor’un ulaştığı en önemli sonuçlardan biri de sürekliliğin niceliği $\mathbf {c}$’nin doğal sayılarınkinden ${\aleph _{0}}$ büyük olmasıdır. Diğer bir deyişle doğal sayılardan N daha fazla gerçek sayı R vardır. Cantor bunu $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ şeklinde göstermiştir (bakınız Cantor'un köşegen yöntemi). Süreklilik hipotezi gerçek sayıların niceliği ile doğal sayıların niceliği arasında bir nicel sayı olmadığını söyler. Yani, $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$. Ancak bu hipotez yaygın olarak kabul görmüş Zermelo-Fraenkel küme kuramı ile ne kanıtlanabilir ne de yanlışlığı ortaya konulabilir. Nicel aritmetik sadece gerçek sayı doğrusundaki noktaların sayısının bu doğrudaki herhangi bir bölmedeki noktaların sayısına eşit olduğunu göstermek için kullanılmaz. Aynı zamanda bu, sonlu boyutlu herhangi bir uzaydaki bir düzlemdeki noktaların sayısının da eşit olduğunu belirtir. ⓘ

Tek boyutlu bir çizgide iki boyutlu bir karedeki ile aynı sayıda nokta olduğunu gösteren fraktal yapının ilk üç adımı. ⓘ

Bu sonuçların ilki (−π/2, π/2) Aralığı ve R arasında birebir benzeşme gösteren bir tanjant işlevi düşünüldüğünde aşikârdır. İkinci sonuç Cantor tarafından 1878’de kanıtlandı ancak 1980’de Giuseppe Peano boşluk dolduran eğrileri, dönüşler ve çeşitli bükülmeler sonucunda herhangi bir kareyi küpü ya da hiperküpü ya da sonlu boyutu olan bir uzayı dolduracak hale gelen eğri çizgiler, ortaya attığında sezgisel olarak anlaşılabilecek şekilde aşikâr oldu. Bu çizgiler bir karenin herhangi bir kenarındaki noktalar ile içindeki noktalar arasında birebir benzeşme kurmak için kullanılabilir. ⓘ

Geometri

19. yüzyılın sonuna kadar geometride sonsuzluk, herhangi bir sınır olmaksızın devam ettirilebilen süreçler bağlamı dışında nadiren tartışılıyordu. Örneğin, bir doğru, şimdi doğru parçası olarak adlandırılan şeydi, ancak istenildiği kadar uzatılabilirdi; ancak sonsuza kadar uzatılması söz konusu değildi. Benzer şekilde, bir çizginin genellikle sonsuz sayıda noktadan oluştuğu düşünülmezdi, ancak bir noktanın yerleştirilebileceği bir konumdu. Sonsuz sayıda olası konum olsa bile, bir çizgi üzerine yalnızca sonlu sayıda nokta yerleştirilebilir. Bunun bir tanığı, modern matematikçilerin genellikle "özelliğe sahip noktaların kümesi" (çoğul) diyecekleri "bazı özellikleri karşılayan bir noktanın yeri" (tekil) ifadesidir. ⓘ

Gerçek sonsuzluğu içeren matematiksel bir kavramın nadir istisnalarından biri, paralel çizgilerin "sonsuzda" kesiştiğini gösteren perspektif etkisini modellemek için Öklid uzayına sonsuzdaki noktaların eklendiği projektif geometridir. Matematiksel olarak, sonsuzdaki noktalar bazı özel durumları dikkate almama avantajına sahiptir. Örneğin, projektif düzlemde iki farklı doğru tam olarak bir noktada kesişir, oysa sonsuzdaki noktalar olmadan paralel doğrular için kesişme noktası yoktur. Bu nedenle, paralel ve paralel olmayan doğrular klasik geometride ayrı ayrı incelenmelidir, ancak projektif geometride ayırt edilmeleri gerekmez. ⓘ

Matematiğin temeli için küme teorisinin kullanılmasından önce, noktalar ve doğrular ayrı varlıklar olarak görülüyordu ve bir nokta bir doğru üzerinde konumlandırılabiliyordu. Küme teorisinin matematikte evrensel olarak kullanılmasıyla birlikte, bakış açısı önemli ölçüde değişmiştir: bir çizgi artık noktalarının kümesi olarak kabul edilir ve bir noktanın bir çizgi üzerinde yer almak yerine bir çizgiye ait olduğu söylenir (ancak, ikinci ifade hala kullanılmaktadır). ⓘ

Özellikle modern matematikte doğrular sonsuz kümelerdir. ⓘ

Sonsuz boyut

Klasik geometride ortaya çıkan vektör uzayları her zaman sonlu bir boyuta, genellikle iki veya üç boyuta sahiptir. Ancak, bir vektör uzayının soyut tanımı bu anlama gelmez ve sonsuz boyutlu vektör uzayları düşünülebilir. Bu durum, fonksiyon uzaylarının genellikle sonsuz boyutlu vektör uzayları olduğu fonksiyonel analizde tipik olarak geçerlidir. ⓘ

Topolojide, bazı yapılar sonsuz boyutlu topolojik uzaylar oluşturabilir. Özellikle, yinelenen döngü uzaylarında durum böyledir. ⓘ

Fraktaller

Fraktal bir cismin yapısı temel olarak tekrarlanarak büyültme ile oluşur. Fraktaller yapıları bozulmadan sınırsız miktarda büyütülebilir ve düzgün hale gelirler. Çevre uzunlukları sonsuzdur ancak bazı fraktal cisimlerin sonsuz uzunlukta çevreleri olmasına rağmen sonlu miktarda yüzey alanları vardır. Sonsuz çevresi ve sonlu yüzey alanı olan bu tip fraktal eğrilere örnek olarak Koch kar tanesi örnek olarak gösterilebilir. ⓘ

Sonsuzluk içermeyen matematik

Leopold Kronecker sonsuzluk kavramına ve matematikçi arkadaşlarının 1870'ler ve 1880'lerde bu kavramı nasıl kullandıklarına şüpheyle yaklaşıyordu. Bu şüphecilik, yapılandırmacılık ve sezgicilik gibi genel felsefi ve matematiksel okullarda matematik felsefesinin aşırı bir biçimi olan finitizm adı verilen matematik felsefesinde geliştirildi. ⓘ

Fizik

Fizikte, gerçek sayılar sürekli ölçümler için, doğal sayılar ise sayılabilir ölçümler için kullanılır. Bundan dolayı, ölçülemez miktarların sonsuz değere sahip olduğu fizikçiler tarafından kabul görmüştür. Örneğin, genişletilmiş gerçek sayılar sisteminde bir sonsuz değeri almak ya da sonsuz sayıdaki olayların sayılması. Ayrıca herhangi bir cismin sonsuz kütleye ya da enerjiye sahip olamayacağı farz edilir. Bir diğer yandan bazı sonsuz kavramların varlığı kabul edilir ancak bunlara dair deneysel bir bilgi yoktur. ⓘ

Kozmoloji

Evrenin sonsuz olduğuna dair yayınlanmış ilk öneri 1576 yılında Thomas Digges'ten gelmiştir. Sekiz yıl sonra, 1584'te İtalyan filozof ve astronom Giordano Bruno Sonsuz Evren ve Dünyalar Üzerine'de sınırsız bir evren önerdi: "Sayısız güneş vardır; sayısız dünya, yedi gezegenin güneşimizin etrafında dönmesine benzer bir şekilde bu güneşlerin etrafında döner. Bu dünyalarda canlı varlıklar yaşamaktadır." ⓘ

Kozmologlar uzun zamandır fiziksel evrenimizde sonsuzluğun var olup olmadığını keşfetmeye çalışmaktadır: Sonsuz sayıda yıldız var mı? Evren sonsuz hacme sahip midir? Uzay "sonsuza kadar devam eder mi"? Bu hala kozmolojinin açık bir sorusudur. Sonsuz olma sorusu mantıksal olarak sınırlara sahip olma sorusundan ayrıdır. Örneğin Dünya'nın iki boyutlu yüzeyi sonludur, ancak kenarı yoktur. Dünya'nın eğriliğine göre düz bir çizgide ilerleyen biri eninde sonunda başladığı noktaya geri dönecektir. Evren de, en azından prensipte, benzer bir topolojiye sahip olabilir. Eğer öyleyse, kişi evrende yeterince uzun bir süre düz bir çizgide seyahat ettikten sonra eninde sonunda başlangıç noktasına geri dönebilir. ⓘ

Evrenin eğriliği, kozmik arka plan radyasyonunun spektrumundaki çok kutuplu momentler aracılığıyla ölçülebilir. Bugüne kadar, WMAP uzay aracı tarafından kaydedilen radyasyon modellerinin analizi, evrenin düz bir topolojiye sahip olduğuna işaret etmektedir. Bu, sonsuz bir fiziksel evrenle tutarlı olacaktır. ⓘ

Ancak, eğriliği düz olsa bile evren sonlu olabilir. Bunu anlamanın kolay bir yolu, ekranın bir kenarından ayrılan öğelerin diğer kenarda yeniden ortaya çıktığı video oyunları gibi iki boyutlu örnekleri düşünmektir. Bu tür oyunların topolojisi toroidaldir ve geometrisi düzdür. Üç boyutlu uzay için de birçok olası sınırlı, düz olasılık mevcuttur. ⓘ

Sonsuzluk kavramı, Michio Kaku gibi astrofizikçiler tarafından açıklandığında, sonsuz sayıda ve çeşitlilikte evren olduğunu öne süren çoklu evren hipotezine de uzanmaktadır. ⓘ

Mantık

Mantıkta, sonsuz gerileme argümanı "bir tezin kusurlu olduğunu göstermeyi amaçlayan belirgin bir felsefi argüman türüdür çünkü ya (A formu) böyle bir seri mevcut olmadığında ya da (B formu) mevcut olsaydı, tezin oynaması gereken rolden (örneğin, gerekçelendirme) yoksun olacağı durumlarda sonsuz bir seri üretir." ⓘ

Hesaplama

IEEE kayan nokta standardı (IEEE 754) bir pozitif ve bir negatif sonsuzluk değeri (ve ayrıca belirsiz değerler) belirtir. Bunlar aritmetik taşma, sıfıra bölme ve diğer istisnai işlemlerin sonucu olarak tanımlanır. ⓘ

Java ve J gibi bazı programlama dilleri, programcının pozitif ve negatif sonsuzluk değerlerine dil sabitleri olarak açık bir şekilde erişmesine izin verir. Bunlar, diğer tüm değerlerden (sırasıyla) daha büyük veya daha küçük olarak karşılaştırıldıklarından, en büyük ve en küçük öğeler olarak kullanılabilirler. Sıralama, arama veya pencereleme içeren algoritmalarda sentinel değerler olarak kullanımları vardır. ⓘ

En büyük ve en küçük elemanlara sahip olmayan, ancak ilişkisel operatörlerin aşırı yüklenmesine izin veren dillerde, bir programcının en büyük ve en küçük elemanları oluşturması mümkündür. Programın başlangıç durumundan itibaren bu tür değerlere açık erişim sağlamayan ancak kayan noktalı veri türünü uygulayan dillerde, sonsuzluk değerlerine yine de erişilebilir ve belirli işlemlerin sonucu olarak kullanılabilir. ⓘ

Programlamada sonsuz döngü, çıkış koşulu asla yerine getirilmeyen, dolayısıyla süresiz olarak çalışan bir döngüdür. ⓘ

Sanat, oyun ve bilişsel bilimler

Perspektif sanat eseri, gözlemciden sonsuz uzaklıkta bulunan ve kabaca sonsuzdaki matematiksel noktalara karşılık gelen ufuk noktaları kavramını kullanır. Bu, sanatçıların uzayı, mesafeleri ve formları gerçekçi bir şekilde işleyen resimler yaratmalarına olanak tanır. Sanatçı M.C. Escher özellikle çalışmalarında sonsuzluk kavramını bu ve diğer şekillerde kullanmasıyla bilinir. ⓘ

Sınırsız bir tahta üzerinde oynanan satranç çeşitlerine sonsuz satranç denir. ⓘ

Bilişsel bilimci George Lakoff, matematik ve bilimlerdeki sonsuzluk kavramını bir metafor olarak değerlendirmektedir. Bu bakış açısı, sürekli artan <1,2,3,...> dizisi olarak tanımlanan temel sonsuzluk metaforuna (BMI) dayanmaktadır. ⓘ

Bu sembol genellikle romantik bir şekilde sonsuz aşkı temsil etmek için kullanılır. Bu amaçla çeşitli mücevher türleri sonsuzluk şeklinde biçimlendirilmiştir. ⓘ

Gökkuşağı sonsuzluk sembolü, özellikle Otizmli bireyler olmak üzere, nörodiverjan bireyleri temsil etmek için kullanılan popüler bir semboldür. Bu sembol, daha önce kullanılan yapboz parçasına kıyasla Otistik insanları daha iyi temsil ettiği için benimsenmiştir. ⓘ

Tarihçe

Antik kültürler sonsuz hakkında çeşitli fikirlere sahipti. Antik Yunanlar ve Antik Hindistanlılar sonsuz kavramının modern matematikçilerin tanımladığı şekilde tanımlamak yerine bu kavrama felsefi bir fikir olarak yaklaştılar. ⓘ