Limit

Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites 'den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamındadır. Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz'in eserlerinde görülmüştür. Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pek çok fizik probleminin kolayca ele alınmasını sağlar. ⓘ

Matematikte limit, girdi (veya indeks) bir değere yaklaştıkça bir fonksiyonun (veya dizinin) yaklaştığı değerdir. Limitler kalkülüs ve matematiksel analiz için gereklidir ve sürekliliği, türevleri ve integralleri tanımlamak için kullanılır. ⓘ

Bir dizinin limiti kavramı, topolojik bir ağın limiti kavramına daha da genelleştirilir ve kategori teorisindeki limit ve doğrudan limit ile yakından ilişkilidir. ⓘ

Formüllerde, bir fonksiyonun limiti genellikle şu şekilde yazılır

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

(birkaç yazar "lim" yerine "Lt" kullansa da) ve "x c'ye yaklaşırken x'in f limiti L'ye eşittir" şeklinde okunur. Bir f fonksiyonunun x c'ye yaklaştıkça L limitine yaklaştığı gerçeği bazen bir sağ ok (→ veya $\rightarrow$), içinde olduğu gibi

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,$

"$f$ . $x$ eğilimindedir $L$ olarak $x$ eğilimindedir $c$". ⓘ

Bir fonksiyonun limiti

Bir x noktası c'nin δ uzaklığı içinde olduğunda, f(x) değeri L'nin ε uzaklığı içindedir. ⓘ

Tüm x > S için, f(x) değeri L'nin ε uzaklığı içindedir. ⓘ

f'nin gerçel değerli bir fonksiyon ve c'nin de gerçel bir sayı olduğunu varsayalım. Sezgisel olarak konuşursak, ifade ⓘ

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ ⓘ

Bu durumda, yukarıdaki denklem "x c'ye yaklaştıkça f'nin limiti L'dir" şeklinde okunabilir. ⓘ

Augustin-Louis Cauchy 1821'de, ardından Karl Weierstrass, (ε, δ) limit tanımı olarak bilinen bir fonksiyonun limit tanımını resmileştirdi. Tanım, herhangi bir küçük pozitif sayıyı temsil etmek için ε (küçük harfli Yunanca epsilon) kullanır, böylece "f(x) L'ye keyfi olarak yaklaşır", f(x)'in sonunda (L - ε, L + ε) aralığında yer aldığı anlamına gelir, bu da mutlak değer kullanılarak |f(x) - L| < ε şeklinde yazılabilir. "x c'ye yaklaştıkça" ifadesi, c'den uzaklığı bazı pozitif δ sayısından (küçük harfli Yunanca delta) daha az olan x değerlerine atıfta bulunduğumuzu gösterir - yani, x'in (c - δ, c) veya (c, c + δ) içindeki değerleri, 0 < |x - c| < δ ile ifade edilebilir. İlk eşitsizlik x'in ≠ c olduğu anlamına gelirken, ikincisi x'in c'den δ uzaklığında olduğunu gösterir. ⓘ

Yukarıdaki limit tanımı, f(c) ≠ L olsa bile doğrudur. Aslında, f fonksiyonunun c'de tanımlanmış olması bile gerekmez. ⓘ

Örneğin, eğer ⓘ

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$ ⓘ

o zaman f(1) tanımlı değildir (bkz. Belirsiz form), ancak x keyfi olarak 1'e yaklaştıkça, f(x) de buna uygun olarak 2'ye yaklaşır:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1) ⓘ
1.900	1.990	1.999	tanımsız	2.001	2.010	2.100

Böylece f(x), sadece x'i 1'e yeterince yaklaştırarak 2'nin limitine keyfi olarak yaklaştırılabilir. ⓘ

Başka bir deyişle,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$$

ⓘ

Bu, cebirsel olarak da şu şekilde hesaplanabilir ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ tüm x ≠ 1 reel sayıları için. ⓘ

Şimdi, x + 1, x'te 1'de sürekli olduğundan, şimdi x için 1'i ekleyerek denklemi elde edebiliriz

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$$

ⓘ

Sonlu değerlerdeki limitlere ek olarak, fonksiyonların sonsuzda da limitleri olabilir. Örneğin, şu fonksiyonu düşünün

$$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$$

nerede:

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999 ⓘ

x aşırı derecede büyüdükçe, f(x) değeri 2'ye yaklaşır ve f(x) değeri, x'i yeterince büyük yaparak istenildiği kadar 2'ye yaklaştırılabilir. Yani bu durumda, x sonsuza yaklaştıkça f(x)'in limiti 2'dir ya da matematiksel gösterimle,

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$$

ⓘ

Bir dizinin sınırı

Aşağıdaki diziyi göz önünde bulundurun: 1.79, 1.799, 1.7999, ... Sayıların dizinin limiti olan 1.8'e "yaklaştığı" gözlemlenebilir. ⓘ

Biçimsel olarak, a₁, a₂, ...'nin bir reel sayı dizisi olduğunu varsayalım. L reel sayısının bu dizinin limiti olduğu söylenebilir:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ⓘ

olarak okunur

"n sonsuza yaklaştıkça an'ın limiti L'ye eşittir" ⓘ

eğer ve sadece ⓘ

Her ε > 0 reel sayısı için, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, tüm n > N için |an - L| < ε olur. ⓘ

Sezgisel olarak bu, mutlak değer |an - L| an ve L arasındaki uzaklık olduğundan, dizinin tüm elemanlarının eninde sonunda limite keyfi olarak yaklaştığı anlamına gelir. Her dizinin bir limiti yoktur; eğer varsa yakınsak, yoksa ıraksak olarak adlandırılır. Yakınsak bir dizinin yalnızca bir limiti olduğu gösterilebilir. ⓘ

Bir dizinin limiti ve bir fonksiyonun limiti yakından ilişkilidir. Bir yandan, bir {an} dizisinin n sonsuza yaklaştıkça limiti, {n} doğal sayıları üzerinde tanımlı bir a(n)- fonksiyonunun sonsuzdaki limitidir. Öte yandan, eğer X bir f(x) fonksiyonunun alanı ise ve f(xn)'nin n sonsuza yaklaştıkça limiti, {X - {x0}}'da x0'a yakınsayan her keyfi {xn} nokta dizisi için L ise, o zaman f(x) fonksiyonunun x x0'a yaklaştıkça limiti L'dir. ⓘ

şu anlama gelir ⓘ

"Standart kısım" olarak limit

Standart olmayan analizde (sayı sisteminin hiperreal genişlemesini içerir), bir dizinin limiti $(a_{n})$ değerinin standart kısmı olarak ifade edilebilir $a_{H}$ dizisinin doğal uzantısının sonsuz hipernatürel indeksi n=H'dir. Böylece,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).$

Burada, standart parça fonksiyonu "st" her bir sonlu hipergerçek sayıyı en yakın gerçek sayıya yuvarlar (aralarındaki fark sonsuz küçüktür). Bu, indeksin "çok büyük" değerleri için dizideki terimlerin dizinin limit değerine "çok yakın" olduğu şeklindeki doğal sezgiyi resmileştirir. Tersine, bir hipergerçek sayının standart kısmı $a=[a_{n}]$ ultra güç yapısında bir Cauchy dizisi ile temsil edilir $(a_{n})$, basitçe bu dizinin limitidir:

$\operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

Bu anlamda, limiti almak ve standart kısmı almak eşdeğer prosedürlerdir. ⓘ

Yakınsama ve sabit nokta

Yakınsamanın resmi bir tanımı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Varsayalım ki $p_{n}$ olarak $n$ gider $0$ için $\infty$ 'ye yakınsayan bir dizidir. $p$ile $p_{n}\neq p$ herkes için $n$. Eğer pozitif sabitler $\lambda$ ve $\alpha$ ile var

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|p_{n+1}-p\right|}{\left|p_{n}-p\right|^{\alpha }}}=\lambda$

sonra $p_{n}$ olarak $n$ gider $0$ için $\infty$ 'ye yakınsar $p$ düzen $\alpha$, asimptotik hata sabiti ile $\lambda$. ⓘ

Bir fonksiyon verildiğinde $f$ sabit bir nokta ile $p$dizisinin yakınsamasını kontrol etmek için bir kontrol listesi vardır $p_{n}$. ⓘ

1. Önce p'nin gerçekten bir sabit nokta olduğunu kontrol edin:

   $f(p)=p$

2. Doğrusal yakınsama olup olmadığını kontrol edin. Bulmakla başlayın $\left|f'(p)\right|$. Eğer... ⓘ

$\left|f'(p)\right|\in (0,1)$	o zaman doğrusal yakınsama vardır ⓘ
$\left|f'(p)\right|>1$	seri farklılaşıyor
$\left|f'(p)\right|=0$	o zaman en azından doğrusal yakınsama vardır ve belki daha iyi bir şey, ifade ikinci dereceden yakınsama için kontrol edilmelidir

3. Doğrusaldan daha iyi bir şey olduğu tespit edilirse, ifade ikinci dereceden yakınsama için kontrol edilmelidir. Bulmakla başlayın $\left|f(p)\right|$ Eğer... ⓘ

$\left|f(p)\right|\neq 0$	olması koşuluyla ikinci dereceden yakınsama vardır. $f(p)$ süreklidir ⓘ
$\left|f(p)\right|=0$	o zaman ikinci dereceden yakınsamadan daha iyi bir şey vardır
$\left|f(p)\right|$ mevcut değil	o zaman doğrusaldan daha iyi bir yakınsama vardır ancak yine de ikinci dereceden değildir

Limitin hesaplanabilirliği

Limitleri hesaplamak zor olabilir. Yakınsama modülü karar verilemez olan limit ifadeleri vardır. Özyineleme teorisinde limit lemması, limitleri kullanarak karar verilemez problemleri kodlamanın mümkün olduğunu kanıtlar. ⓘ

Önemli limitler

• $\lim _{x\to \infty }(1+{\frac {k}{x}})^{x}=e^{k}$
• $\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {k}{x}}=e^{k}$
• $\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1$ ⓘ

Limit teoremleri

Eğer $\lim _{x\to \infty }f(x)=a$ ve $\lim _{x\to \infty }g(x)=b$ ise o zaman aşağıdaki denklemler doğrudur:

• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\pm g(x))=a\pm b$
• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {a}{b}}$, eğer $b\neq 0$.
• Eğer $|f(x)|\leq |g(x)|$ ve $\lim _{x\to \infty }g(x)=0$, o zaman $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$. ⓘ