Kalkülüs

Başlangıçta sonsuz küçükler hesabı veya "sonsuz küçükler hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekil çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genelleştirilmesi çalışması olduğu gibi, sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır. ⓘ

Diferansiyel kalkülüs ve integral kalkülüs olmak üzere iki ana dalı vardır; diferansiyel kalkülüs anlık değişim oranları ve eğrilerin eğimleri ile ilgilenirken, integral kalkülüs niceliklerin birikimi ve eğrilerin altında veya arasında kalan alanlarla ilgilenir. Bu iki dal, kalkülüsün temel teoremi ile birbiriyle ilişkilidir ve sonsuz dizilerin ve sonsuz serilerin iyi tanımlanmış bir limite yakınsaması gibi temel kavramları kullanırlar. ⓘ

Sonsuz küçükler hesabı 17. yüzyılın sonlarında Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilmiştir. Limit fikrinin kodlanması da dahil olmak üzere daha sonraki çalışmalar, bu gelişmeleri daha sağlam bir kavramsal temele oturtmuştur. Günümüzde kalkülüs bilim, mühendislik ve sosyal bilimlerde yaygın bir kullanıma sahiptir. ⓘ

Matematik eğitiminde kalkülüs, temel olarak fonksiyonlar ve limitlerin incelenmesine ayrılmış olan temel matematiksel analiz derslerini ifade eder. Kalkülüs kelimesi Latince'de "küçük çakıl taşı" ("taş" anlamına gelen calx kelimesinin küçültülmüş halidir) anlamına gelmektedir ve bu anlam tıpta hala devam etmektedir. Bu tür çakıl taşları mesafeleri saymak, oyları saymak ve abaküs aritmetiği yapmak için kullanıldığından, kelime bir hesaplama yöntemi anlamına geldi. Bu anlamda İngilizce'de en azından 1672 gibi erken bir tarihte, Leibniz ve Newton'un yayınlarından birkaç yıl önce kullanılmıştır. ⓘ

Diferansiyel kalkülüs ve integral kalkülüsün yanı sıra terim, belirli bir kavramı matematik açısından modellemeye çalışan belirli hesaplama yöntemlerini ve ilgili teorileri adlandırmak için de kullanılır. Bu konvansiyonun örnekleri arasında önermeler hesabı, Ricci hesabı, varyasyonlar hesabı, lambda hesabı ve süreç hesabı sayılabilir. Ayrıca, "kalkülüs" terimi Bentham'ın felicific kalkülüsü ve etik kalkülüs gibi sistemler için etik ve felsefede çeşitli şekillerde uygulanmıştır. ⓘ

Özellikle mühendislik alanında, tüm modellemelerin temelini ve fiziksel olaylarını matematiksel yani somut bir ortama çevirmek için kullanılır. İçerisinde Fonksiyon, limit, türev, integral ve diziler gibi konuları içerir. Kalkülüsün temeli cebir, trigonometri ve analitik geometri konularının üzerine inşa edilmiştir. ⓘ

Tarih

Modern kalkülüs 17. yüzyıl Avrupa'sında Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından geliştirilmiştir (birbirlerinden bağımsız olarak, ilk olarak aynı zamanlarda yayınlanmışlardır) ancak unsurları antik Yunan'da, daha sonra Çin ve Orta Doğu'da ve yine daha sonra Orta Çağ Avrupa'sında ve Hindistan'da ortaya çıkmıştır. ⓘ

Kalkülüsün geçmişi genelde antik çağ, orta çağ ve modern çağ olmak üzere farklı evrelere ayrılır. Newton ve Leibniz modern anlamda türev denklemini birbirlerinden bağımsızca yazmışlardır ve Kalkülüs tarihinin en önemli isimlerindendirler. ⓘ

Antik öncüler

Mısır

İntegral hesabın amaçlarından biri olan hacim ve alan hesaplamaları Mısır Moskova papirüsünde (MÖ 1820 civarı) bulunabilir, ancak formüller basit talimatlardır ve nasıl elde edildiklerine dair hiçbir gösterge yoktur. ⓘ

Yunanistan

Arşimet, bir parabolün altındaki alanı hesaplamak için tükenme yöntemini kullanmıştır. ⓘ

İntegral hesabın temellerini atan ve limit kavramının habercisi olan antik Yunan matematikçi Knidoslu Eudoxus (MÖ 390 - 337), koni ve piramit hacimlerinin formüllerini kanıtlamak için tükenme yöntemini geliştirmiştir. ⓘ

Helenistik dönemde bu yöntem Arşimet tarafından daha da geliştirilmiş ve sonsuz küçüklerin öncüsü olan bölünemezler kavramıyla birleştirilerek günümüzde integral hesap tarafından ele alınan çeşitli problemleri çözmesine olanak sağlamıştır. Bu problemler arasında örneğin katı bir yarım kürenin ağırlık merkezinin, dairesel bir paraboloidin frustumunun ağırlık merkezinin ve bir parabol ile onun sekant doğrularından biri tarafından sınırlanan bir bölgenin alanının hesaplanması yer alır. ⓘ

Çin

Tükenme yöntemi daha sonra Çin'de MS 3. yüzyılda Liu Hui tarafından bir dairenin alanını bulmak için bağımsız olarak keşfedilmiştir. MS 5. yüzyılda, Zu Chongzhi'nin oğlu Zu Gengzhi, bir kürenin hacmini bulmak için daha sonra Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak bir yöntem oluşturdu. ⓘ

Ortaçağ

Orta Doğu

Alhazen, 11. yüzyıl Arap matematikçisi ve fizikçisi ⓘ

Orta Doğu'da Hasan İbn el-Heysem, Latince adıyla Alhazen (MS 965 - 1040) dördüncü kuvvetlerin toplamı için bir formül türetmiştir. Elde ettiği sonuçları, günümüzde bu fonksiyonun entegrasyonu olarak adlandırılan işlemi gerçekleştirmek için kullandı; burada integral kareler ve dördüncü kuvvetlerin toplamlarına ilişkin formüller bir paraboloidin hacmini hesaplamasına olanak sağladı. ⓘ

Hindistan

14. yüzyılda Hintli matematikçiler, bazı trigonometrik fonksiyonlara uygulanabilen, türevi andıran, katı olmayan bir yöntem ortaya koymuşlardır. Sangamagrama'lı Madhava ve Kerala Astronomi ve Matematik Okulu böylece kalkülüsün bileşenlerini belirtmiştir. Bu bileşenleri kapsayan tam bir teori artık Batı dünyasında Taylor serileri ya da sonsuz seri yaklaşımları olarak bilinmektedir. Ancak, "birçok farklı fikri türev ve integral gibi iki birleştirici tema altında birleştirmeyi, ikisi arasındaki bağlantıyı göstermeyi ve kalkülüsü bugün sahip olduğumuz büyük problem çözme aracına dönüştürmeyi" başaramadılar. ⓘ

Modern

Kalkülüs modern matematiğin ilk başarısıdır ve önemini abartmak zordur. Bence modern matematiğin başlangıcını diğer her şeyden daha açık bir şekilde tanımlar ve mantıksal gelişimi olan matematiksel analiz sistemi hala kesin düşüncedeki en büyük teknik ilerlemeyi oluşturur.

-John von Neumann ⓘ

Johannes Kepler'in Stereometrica Doliorum adlı çalışması integral hesabın temelini oluşturmuştur. Kepler, bir elipsin alanını hesaplamak için elipsin odağından çizilen birçok yarıçapın uzunluklarını toplayarak bir yöntem geliştirdi. ⓘ

Önemli bir çalışma, Bonaventura Cavalieri tarafından yazılan ve Kepler'in yöntemlerinin kaynağı olan, hacimlerin ve alanların sonsuz derecede ince kesitlerin hacimlerinin ve alanlarının toplamı olarak hesaplanması gerektiğini savunan bir incelemeydi. Fikirler Arşimet'in Yöntem'indekilere benziyordu, ancak bu risalenin 13. yüzyılda kaybolduğuna ve ancak 20. yüzyılın başlarında yeniden keşfedildiğine inanılıyordu ve bu nedenle Cavalieri tarafından bilinmiyor olabilirdi. Yöntemleri hatalı sonuçlara yol açabildiğinden ve ortaya attığı sonsuz küçük nicelikler ilk başlarda itibar görmediğinden Cavalieri'nin çalışmalarına pek saygı duyulmamıştır. ⓘ

Kalkülüsün resmi çalışması, Cavalieri'nin sonsuz küçükler hesabını Avrupa'da yaklaşık aynı zamanlarda geliştirilen sonlu farklar hesabıyla bir araya getirdi. Pierre de Fermat, Diophantus'tan ödünç aldığını iddia ederek, sonsuz küçük bir hata terimine kadar eşitliği temsil eden yeterlilik kavramını ortaya attı. Bu kombinasyon John Wallis, Isaac Barrow ve James Gregory tarafından gerçekleştirilmiş, son ikisi 1670 civarında kalkülüsün ikinci temel teoreminin öncüllerini kanıtlamıştır. ⓘ

Isaac Newton, hareket ve yerçekimi kanunlarında kalkülüs kullanımını geliştirmiştir. ⓘ

Çarpım kuralı ve zincir kuralı, yüksek türev ve Taylor serisi kavramları ve analitik fonksiyonlar Isaac Newton tarafından matematiksel fizik problemlerini çözmek için uyguladığı kendine özgü bir notasyonda kullanılmıştır. Çalışmalarında Newton, fikirlerini zamanın matematiksel diline uyacak şekilde yeniden ifade etmiş, sonsuz küçük sayılarla yapılan hesaplamaların yerine eşdeğer geometrik argümanlar kullanmıştır. Principia Mathematica'da (1687) tartıştığı gezegen hareketi, dönen bir sıvının yüzeyinin şekli, dünyanın basıklığı, bir sikloid üzerinde kayan bir ağırlığın hareketi ve diğer birçok problemi çözmek için kalkülüs yöntemlerini kullandı. Diğer çalışmalarında, kesirli ve irrasyonel güçler de dahil olmak üzere fonksiyonlar için seri açılımları geliştirdi ve Taylor serisinin ilkelerini anladığı açıktı. Tüm bu keşiflerini yayınlamadı ve o dönemde sonsuz küçüklük yöntemleri hala itibarsız olarak görülüyordu. ⓘ

Gottfried Wilhelm Leibniz kalkülüs kurallarını açıkça ifade eden ilk kişiydi. ⓘ

Bu fikirler, başlangıçta Newton tarafından intihal yapmakla suçlanan Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından gerçek bir sonsuz küçükler hesabı olarak düzenlenmiştir. Leibniz artık kalkülüsün bağımsız bir mucidi ve ona katkıda bulunan kişi olarak kabul edilmektedir. Leibniz'in katkısı, ikinci ve daha yüksek türevlerin hesaplanmasına izin vererek ve çarpım kuralı ile zincir kuralını diferansiyel ve integral formlarında sağlayarak, sonsuz küçük niceliklerle çalışmak için net bir kurallar dizisi sağlamak olmuştur. Newton'un aksine, Leibniz notasyon seçimlerinde özenli bir çaba göstermiştir. ⓘ

Bugün, Leibniz ve Newton'a genellikle kalkülüsü bağımsız olarak icat ettikleri ve geliştirdikleri için kredi verilmektedir. Newton kalkülüsü genel fiziğe uygulayan ilk kişidir ve Leibniz bugün kalkülüste kullanılan notasyonun çoğunu geliştirmiştir. Hem Newton hem de Leibniz'in sağladığı temel anlayışlar türev ve integral yasaları, ikinci ve daha yüksek türevler ve yaklaşık polinom serisi kavramıdır. ⓘ

Newton ve Leibniz sonuçlarını ilk yayınladıklarında, hangi matematikçinin (ve dolayısıyla hangi ülkenin) övgüyü hak ettiği konusunda büyük tartışmalar yaşandı. Newton sonuçlarını ilk olarak elde etti (daha sonra Akışlar Yöntemi'nde yayınlanacaktı), ancak Leibniz önce "Nova Methodus pro Maximis et Minimis "i yayınladı. Newton, Leibniz'in, Newton'un Royal Society'nin birkaç üyesiyle paylaştığı yayınlanmamış notlarından fikirlerini çaldığını iddia etti. Bu tartışma İngilizce konuşan matematikçileri uzun yıllar boyunca kıta Avrupası matematikçilerinden ayırmış ve İngiliz matematiğine zarar vermiştir. Leibniz ve Newton'un makalelerinin dikkatli bir incelemesi, sonuçlarına bağımsız olarak ulaştıklarını, Leibniz'in ilk olarak entegrasyonla, Newton'un ise türevle başladığını göstermektedir. Bununla birlikte, yeni disipline adını veren Leibniz'dir. Newton kalkülüsünü "akışkanlar bilimi" olarak adlandırmış ve bu terim İngiliz okullarında 19. yüzyıla kadar varlığını sürdürmüştür. Kalkülüs üzerine İngilizce yazılmış ve Leibniz notasyonunu kullanan ilk tam inceleme 1815 yılına kadar yayınlanmamıştır. ⓘ

Leibniz ve Newton'un zamanından bu yana, birçok matematikçi kalkülüsün sürekli gelişimine katkıda bulunmuştur. Hem sonsuz küçükler hem de integral hesap üzerine ilk ve en eksiksiz çalışmalardan biri 1748 yılında Maria Gaetana Agnesi tarafından yazılmıştır. ⓘ

Maria Gaetana Agnesi ⓘ

Temeller

Kalkülüste temeller, aksiyomlar ve tanımlardan yola çıkarak konunun titizlikle geliştirilmesini ifade eder. Kalkülüsün erken dönemlerinde sonsuz küçük niceliklerin kullanımının titiz olmadığı düşünülmüş ve başta Michel Rolle ve Bishop Berkeley olmak üzere birçok yazar tarafından şiddetle eleştirilmiştir. Berkeley 1734'te yazdığı Analist adlı kitabında sonsuz küçük sayıları ölmüş niceliklerin hayaletleri olarak tanımlamıştır. Newton ve Leibniz'i takip eden yüzyılın büyük bir bölümünde matematikçileri meşgul eden kalkülüs için titiz bir temel üzerinde çalışmak, günümüzde de bir dereceye kadar aktif bir araştırma alanıdır. ⓘ

Maclaurin de dahil olmak üzere birçok matematikçi sonsuz küçükler kullanmanın sağlamlığını kanıtlamaya çalışmıştır, ancak Cauchy ve Weierstrass'ın çalışmaları sayesinde sonsuz küçük niceliklerin sadece "kavramlarından" kaçınmanın bir yolu ancak 150 yıl sonra bulunabilecektir. Diferansiyel ve integral hesabın temelleri atılmıştı. Cauchy'nin Cours d'Analyse kitabında, sonsuz küçükler cinsinden bir süreklilik tanımı ve türev tanımında (ε, δ)-limit tanımının (biraz kesin olmayan) bir prototipi de dahil olmak üzere geniş bir temel yaklaşım yelpazesi buluyoruz. Weierstrass çalışmasında limit kavramını resmileştirmiş ve sonsuz küçükleri ortadan kaldırmıştır (tanımı aslında nilsquare sonsuz küçükleri doğrulayabilmesine rağmen). Weierstrass'ın çalışmalarını takiben, kalkülüsü sonsuz küçük nicelikler yerine limitlere dayandırmak yaygınlaştı, ancak konu hala zaman zaman "sonsuz küçük kalkülüs" olarak adlandırılmaktadır. Bernhard Riemann bu fikirleri integralin kesin bir tanımını vermek için kullandı. Ayrıca bu dönemde kalkülüs fikirleri karmaşık analizin geliştirilmesiyle karmaşık düzleme genelleştirilmiştir. ⓘ

Modern matematikte kalkülüsün temelleri, kalkülüs teoremlerinin tam tanımlarını ve ispatlarını içeren reel analiz alanına dahildir. Kalkülüsün erişim alanı da büyük ölçüde genişletilmiştir. Henri Lebesgue, Émile Borel'in daha önceki gelişmelerine dayanarak ölçü teorisini icat etti ve bunu en patolojik fonksiyonlar hariç hepsinin integrallerini tanımlamak için kullandı. Laurent Schwartz, herhangi bir fonksiyonun türevini almak için kullanılabilecek dağılımları tanıttı. ⓘ

Limitler kalkülüsün temeline yönelik tek titiz yaklaşım değildir. Bir başka yol da Abraham Robinson'un standart olmayan analizini kullanmaktır. Robinson'un 1960'larda geliştirdiği yaklaşım, orijinal Newton-Leibniz anlayışında olduğu gibi, gerçek sayı sistemini sonsuz küçük ve sonsuz sayılarla genişletmek için matematiksel mantığın teknik mekanizmalarını kullanır. Ortaya çıkan sayılara hipergerçek sayılar denir ve bunlar kalkülüsün olağan kurallarının Leibniz benzeri bir gelişimini vermek için kullanılabilir. Ayrıca, türevler sırasında daha yüksek güçlü sonsuz küçük sayıların ihmal edilmesini zorunlu kılması bakımından standart olmayan analizden farklı olan düzgün sonsuz küçük analiz de vardır. ⓘ

Önem

Kalkülüs fikirlerinin çoğu daha önce Yunanistan, Çin, Hindistan, Irak, İran ve Japonya'da geliştirilmiş olsa da, kalkülüsün kullanımı Avrupa'da 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz'in daha önceki matematikçilerin çalışmaları üzerine temel prensipleri inşa etmesiyle başlamıştır. Kalkülüsün gelişimi, daha önceki anlık hareket ve eğrilerin altındaki alan kavramları üzerine inşa edilmiştir. ⓘ

Diferansiyel hesabın uygulamaları arasında hız ve ivme, bir eğrinin eğimi ve optimizasyon ile ilgili hesaplamalar yer alır. İntegral hesabın uygulamaları arasında alan, hacim, yay uzunluğu, kütle merkezi, iş ve basınç ile ilgili hesaplamalar yer alır. Daha ileri düzey uygulamalar arasında güç serileri ve Fourier serileri yer almaktadır. ⓘ

Kalkülüs ayrıca uzay, zaman ve hareketin doğasını daha kesin bir şekilde anlamak için de kullanılır. Yüzyıllar boyunca matematikçiler ve filozoflar sıfıra bölme veya sonsuz sayıda sayının toplamını içeren paradokslarla boğuşmuşlardır. Bu sorular hareket ve alan çalışmalarında ortaya çıkmaktadır. Antik Yunan filozofu Elealı Zeno bu tür paradokslara birkaç ünlü örnek vermiştir. Kalkülüs, özellikle limit ve sonsuz seriler gibi paradoksları çözen araçlar sağlar. ⓘ

İlkeler

Limitler ve sonsuz küçükler

Kalkülüs genellikle çok küçük miktarlarla çalışılarak geliştirilir. Tarihsel olarak, bunu yapmanın ilk yöntemi sonsuz küçüklüklerdi. Bunlar gerçek sayılar gibi ele alınabilen ancak bir anlamda "sonsuz küçük" olan nesnelerdir. Örneğin, bir sonsuz küçük sayı 0'dan büyük olabilir, ancak 1, 1/2, 1/3, ... dizisindeki herhangi bir sayıdan ve dolayısıyla herhangi bir pozitif reel sayıdan küçük olabilir. Bu açıdan bakıldığında kalkülüs, sonsuz küçük sayıları manipüle etmek için kullanılan tekniklerin bir koleksiyonudur. Semboller $dx$ ve $dy$ sonsuz küçük olarak kabul edildi ve türev $dy/dx$ basitçe onların oranıydı. ⓘ

Sonsuz küçükler yaklaşımı 19. yüzyılda gözden düştü çünkü sonsuz küçükler kavramını kesinleştirmek zordu. 19. yüzyılın sonlarında, sonsuz küçükler akademide yerini limitlere epsilon, delta yaklaşımına bıraktı. Limitler, bir fonksiyonun belirli bir girdideki davranışını, yakın girdilerdeki değerleri açısından tanımlar. Gerçek sayı sisteminin içsel yapısını kullanarak (en küçük-üst sınır özelliğine sahip bir metrik uzay olarak) küçük ölçekli davranışı yakalarlar. Bu uygulamada kalkülüs, belirli limitleri manipüle etmek için kullanılan tekniklerin bir koleksiyonudur. Sonsuz küçük sayıların yerini giderek daha küçük sayılardan oluşan diziler alır ve bir fonksiyonun sonsuz küçük davranışı, bu diziler için sınırlayıcı davranış alınarak bulunur. Limitlerin kalkülüs için daha titiz bir temel sağladığı düşünülmüş ve bu nedenle 20. yüzyıl boyunca standart yaklaşım haline gelmiştir. Bununla birlikte, sonsuz küçükler kavramı 20. yüzyılda standart olmayan analizin ve sonsuz küçüklerin manipülasyonu için sağlam temeller sağlayan pürüzsüz sonsuz küçükler analizinin tanıtılmasıyla yeniden canlandırıldı. ⓘ

Diferansiyel hesap

(x₀, f(x₀)) noktasında teğet doğru. Bir eğrinin bir noktadaki türevi f′(x), o eğriye o noktada teğet olan doğrunun eğimidir (yükselme-alçalma). ⓘ

Diferansiyel hesap, bir fonksiyonun türevinin tanımı, özellikleri ve uygulamalarının incelenmesidir. Türev bulma işlemine türev alma denir. Bir fonksiyon ve etki alanında bir nokta verildiğinde, o noktadaki türev, fonksiyonun o nokta yakınındaki küçük ölçekli davranışını kodlamanın bir yoludur. Bir fonksiyonun etki alanındaki her noktada türevini bularak, türev fonksiyonu veya sadece orijinal fonksiyonun türevi olarak adlandırılan yeni bir fonksiyon üretmek mümkündür. Biçimsel olarak türev, bir fonksiyonu girdi olarak alan ve çıktı olarak ikinci bir fonksiyon üreten doğrusal bir operatördür. Bu, fonksiyonların genellikle bir sayı girip başka bir sayı çıkardığı temel cebirde incelenen birçok işlemden daha soyuttur. Örneğin, ikiye katlama fonksiyonuna üç girdisi verilirse, altı çıktısı verir ve kare alma fonksiyonuna üç girdisi verilirse, dokuz çıktısı verir. Ancak türev, kare alma fonksiyonunu bir girdi olarak alabilir. Bu, türevin kare alma fonksiyonunun tüm bilgilerini (örneğin ikinin dörde, üçün dokuza, dördün on altıya vb. gönderilmesi) aldığı ve bu bilgileri başka bir fonksiyon üretmek için kullandığı anlamına gelir. Kare alma fonksiyonunun türevini alarak üretilen fonksiyon, ikiye katlama fonksiyonu olarak ortaya çıkar. ⓘ

Daha açık bir ifadeyle "ikiye katlama fonksiyonu" g(x) = 2x ve "kareleme fonksiyonu" f(x) = x² ile gösterilebilir. "Türev" şimdi "x²" ifadesiyle tanımlanan f(x) fonksiyonunu, yani ikinin dörde, üçün dokuza, dördün on altıya vb. gönderilmesi gibi tüm bilgileri girdi olarak alır ve bu bilgileri başka bir fonksiyon olan g(x) = 2x fonksiyonunun çıktısını almak için kullanır. ⓘ

Lagrange'ın notasyonunda, türevin sembolü asal olarak adlandırılan kesme işaretine benzer bir işarettir. Böylece, f olarak adlandırılan bir fonksiyonun türevi f′ ile gösterilir, "f asal" veya "f çizgi" olarak telaffuz edilir. Örneğin, f(x) = x² kare alma fonksiyonu ise, f′(x) = 2x onun türevidir (yukarıdaki iki katına çıkarma fonksiyonu g). ⓘ

Fonksiyonun girdisi zamanı temsil ediyorsa, türev zamana göre değişimi temsil eder. Örneğin, f girdi olarak bir zamanı alan ve çıktı olarak bir topun o andaki konumunu veren bir fonksiyon ise, f'nin türevi konumun zaman içinde nasıl değiştiğini, yani topun hızını gösterir. ⓘ

Bir fonksiyon doğrusal ise (yani, fonksiyonun grafiği düz bir çizgi ise), fonksiyon y = mx + b şeklinde yazılabilir; burada x bağımsız değişken, y bağımlı değişken, b y-kesişimidir ve:

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$ ⓘ

Bu, düz bir doğrunun eğimi için kesin bir değer verir. Ancak fonksiyonun grafiği düz bir çizgi değilse, y'deki değişimin x'teki değişime bölümü değişir. Türevler, girdideki değişime göre çıktıdaki değişim kavramına kesin bir anlam verir. Somutlaştırmak gerekirse, f bir fonksiyon olsun ve f'nin etki alanında bir a noktası sabitlensin. (a, f(a)) fonksiyonun grafiği üzerinde bir noktadır. Eğer h sıfıra yakın bir sayı ise, a + h a'ya yakın bir sayıdır. Bu nedenle, (a + h, f(a + h)), (a, f(a))'ya yakındır. Bu iki nokta arasındaki eğim ⓘ

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ ⓘ

Bu ifadeye fark bölümü denir. Bir eğri üzerindeki iki noktadan geçen doğruya sekant doğrusu denir, dolayısıyla m (a, f(a)) ile (a + h, f(a + h)) arasındaki sekant doğrusunun eğimidir. Sekant doğrusu, fonksiyonun a noktasındaki davranışına yalnızca bir yaklaşımdır çünkü a ile a + h arasında ne olduğunu hesaba katmaz. h'yi sıfıra ayarlayarak a'daki davranışı keşfetmek mümkün değildir çünkü bu sıfıra bölmeyi gerektirir ki bu da tanımsızdır. Türev, h sıfıra yaklaştıkça limit alınarak tanımlanır, yani h'nin tüm küçük değerleri için f'nin davranışını dikkate alır ve h'nin sıfıra eşit olduğu durum için tutarlı bir değer çıkarır:

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.$ ⓘ

Geometrik olarak türev, f'nin a'daki grafiğine teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tıpkı türevin fark bölümlerinin bir limiti olması gibi sekant doğrularının bir limitidir. Bu nedenle türev bazen f fonksiyonunun eğimi olarak da adlandırılır. ⓘ

İşte özel bir örnek, 3 girişindeki kare alma fonksiyonunun türevi. f(x) = x² kare alma fonksiyonu olsun. ⓘ

Bir eğrinin bir noktadaki türevi f′(x), o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimidir. Bu eğim, sekant doğrularının eğimlerinin sınır değeri dikkate alınarak belirlenir. Burada ilgili fonksiyon (kırmızı ile çizilmiş) f(x) = x³ - x'tir. (-3/2, -15/8) noktasından geçen teğet doğrunun (yeşil ile çizilmiş) eğimi 23/4'tür. Bu görüntüdeki dikey ve yatay ölçeklerin farklı olduğuna dikkat edin. ⓘ

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}$ ⓘ

Kare alma fonksiyonuna (3, 9) noktasında teğet olan doğrunun eğimi 6'dır, yani sağa gittiğinden altı kat daha hızlı yukarı gitmektedir. Az önce açıklanan limit işlemi, kareleme fonksiyonunun etki alanındaki herhangi bir nokta için gerçekleştirilebilir. Bu, kare alma fonksiyonunun türev fonksiyonunu ya da kısaca kare alma fonksiyonunun türevini tanımlar. Yukarıdakine benzer bir hesaplama, kare alma fonksiyonunun türevinin ikiye katlama fonksiyonu olduğunu gösterir. ⓘ

Bu iki nokta arasındaki eğim ⓘ

Leibniz notasyonu

Yukarıdaki örnekte türev için Leibniz tarafından tanıtılan yaygın bir gösterim şöyledir

${\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}$

Limitlere dayalı bir yaklaşımda, dy/dx sembolü iki sayının bölümü olarak değil, yukarıda hesaplanan limit için bir kısaltma olarak yorumlanmalıdır. Ancak Leibniz bu sembolü sonsuz küçüklükteki iki sayının bölümünü temsil etmesi için kullanmıştır. dy, x'e uygulanan sonsuz küçüklükteki bir dx değişiminin y'de neden olduğu sonsuz küçüklükteki değişimdir. d/dx'i, bir fonksiyonu girdi olarak alan ve çıktı olarak başka bir fonksiyonu, türevi veren bir türev operatörü olarak da düşünebiliriz. Örneğin:

${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.$ ⓘ

Bu kullanımda, paydadaki dx "x'e göre" olarak okunur. Doğru gösterimin bir başka örneği de şöyle olabilir:

${\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}$ ⓘ

Kalkülüs sonsuz küçükler yerine limitler kullanılarak geliştirildiğinde bile, dx ve dy gibi sembolleri gerçek sayılarmış gibi kullanmak yaygındır; bu tür manipülasyonlardan kaçınmak mümkün olsa da, bazen toplam türev gibi işlemleri ifade ederken notasyonel olarak uygundurlar. ⓘ

İntegral hesap

İntegral hesap, birbiriyle ilişkili iki kavram olan belirsiz integral ve belirli integralin tanımlarının, özelliklerinin ve uygulamalarının incelenmesidir. Bir integralin değerini bulma işlemine entegrasyon denir. Teknik dilde, integral hesap birbiriyle ilişkili iki doğrusal operatörü inceler. ⓘ

Antiderivatif olarak da bilinen belirsiz integral, türevin ters işlemidir. F, F'nin bir türevi olduğunda F, f'nin belirsiz integralidir. (Bir fonksiyon ve onun belirsiz integrali için küçük ve büyük harflerin kullanılması kalkülüste yaygındır). ⓘ

Belirli integral bir fonksiyon girer ve bir sayı çıkarır, bu da girdinin grafiği ile x ekseni arasındaki alanların cebirsel toplamını verir. Belirli integralin teknik tanımı, Riemann toplamı olarak adlandırılan dikdörtgenlerin alanlarının toplamının limitini içerir. ⓘ

Motive edici bir örnek, belirli bir zamanda kat edilen mesafedir. Hız sabitse, sadece çarpma işlemine ihtiyaç vardır:

$\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}$

Ancak hız değişirse, mesafeyi bulmak için daha güçlü bir yöntem gereklidir. Bu yöntemlerden biri, zamanı birçok kısa zaman aralığına bölerek kat edilen mesafeyi yaklaşık olarak hesaplamak, ardından her aralıkta geçen süreyi o aralıktaki hızlardan biriyle çarpmak ve ardından her aralıkta kat edilen yaklaşık mesafenin toplamını (Riemann toplamı) almaktır. Temel fikir, sadece kısa bir süre geçerse, hızın aşağı yukarı aynı kalacağıdır. Ancak, Riemann toplamı kat edilen mesafenin yalnızca yaklaşık bir değerini verir. Kat edilen tam mesafeyi bulmak için tüm bu Riemann toplamlarının limitini almalıyız. ⓘ

Sabit hız ⓘ

Entegrasyon, iki nokta (burada a ve b) arasında f(x) ile tanımlanan bir eğrinin altındaki alanın ölçülmesi olarak düşünülebilir. ⓘ

Hız sabit olduğunda, verilen zaman aralığında kat edilen toplam mesafe, hız ve zaman çarpılarak hesaplanabilir. Örneğin, 3 saat boyunca saatte 50 mil hızla sabit bir şekilde seyahat etmek toplam 150 mil mesafe ile sonuçlanır. Soldaki diyagramda, sabit hız ve zaman grafiğe döküldüğünde, bu iki değer yüksekliği hıza ve genişliği geçen süreye eşit olan bir dikdörtgen oluşturur. Dolayısıyla, hız ve zamanın çarpımı aynı zamanda (sabit) hız eğrisinin altındaki dikdörtgen alanı da hesaplar. Bir eğrinin altındaki alan ile kat edilen mesafe arasındaki bu bağlantı, belirli bir süre boyunca dalgalanan bir hız sergileyen düzensiz şekilli herhangi bir bölgeye genişletilebilir. Eğer sağdaki diyagramda f(x) zaman içinde değişen hızı temsil ediyorsa, kat edilen mesafe (a ve b ile temsil edilen zamanlar arasında) gölgeli s bölgesinin alanıdır. ⓘ

Bu alanı yaklaşık olarak hesaplamak için sezgisel bir yöntem, a ve b arasındaki mesafeyi, her bir parçanın uzunluğu Δx sembolü ile temsil edilen bir dizi eşit parçaya bölmek olacaktır. Her küçük parça için f(x) fonksiyonunun bir değerini seçebiliriz. O zaman tabanı Δx ve yüksekliği h olan dikdörtgenin alanı, o segmentte kat edilen mesafeyi (Δx zamanının h hızıyla çarpımı) verir. Bu tür dikdörtgenlerin toplamı, eksen ile eğri arasındaki alanın yaklaşık bir değerini verir ve bu da kat edilen toplam mesafenin yaklaşık bir değeridir. Δx için daha küçük bir değer daha fazla dikdörtgen ve çoğu durumda daha iyi bir yaklaşım verecektir, ancak kesin bir cevap için Δx sıfıra yaklaştıkça bir limit almamız gerekir. ⓘ

Entegrasyon sembolü şöyledir $\int$, uzatılmış bir S (S "toplam" anlamına gelir). Belirli integral şu şekilde yazılır:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ ⓘ

ve "x'e göre f-of-x'in a'dan b'ye integrali" olarak okunur. Leibniz'in dx gösterimi, eğrinin altındaki alanı sonsuz sayıda dikdörtgene bölmeyi önerir, böylece bunların genişliği Δx sonsuz küçük dx olur. Kalkülüsün limitlere dayalı bir formülasyonunda, gösterim ⓘ

$\int _{a}^{b}\cdots \,dx$ ⓘ

bir fonksiyonu girdi olarak alan ve bir sayıyı, alanı, çıktı olarak veren bir operatör olarak anlaşılmalıdır. Sonlandırıcı diferansiyel, dx, bir sayı değildir ve f(x) ile çarpılmaz, ancak Δx limit tanımının bir hatırlatıcısı olarak, integralin sembolik manipülasyonlarında bu şekilde ele alınabilir. Biçimsel olarak diferansiyel, fonksiyonun üzerinde entegre edildiği değişkeni gösterir ve entegrasyon operatörü için bir kapanış parantezi görevi görür. ⓘ

Belirsiz integral veya antiderivatif yazılır:

$\int f(x)\,dx.$ ⓘ

Sadece bir sabitle farklılaşan fonksiyonlar aynı türeve sahiptir ve verilen bir fonksiyonun antiderivatifinin aslında sadece bir sabitle farklılaşan bir fonksiyon ailesi olduğu gösterilebilir. C'nin herhangi bir sabit olduğu y = x² + C fonksiyonunun türevi y′ = 2x olduğundan, bu fonksiyonun antiderivatifi şu şekilde verilir:

$\int 2x\,dx=x^{2}+C.$

Belirsiz integral veya antiderivatifte bulunan belirtilmemiş sabit C, entegrasyon sabiti olarak bilinir. ⓘ

Temel teorem

Kalkülüsün temel teoremi, türev ve integralin ters işlemler olduğunu belirtir. Daha doğrusu, karşıt türevlerin değerlerini belirli integrallerle ilişkilendirir. Bir türevin tersini hesaplamak genellikle belirli integral tanımını uygulamaktan daha kolay olduğundan, kalkülüsün temel teoremi belirli integralleri hesaplamak için pratik bir yol sağlar. Ayrıca, türevin integralin tersi olduğu gerçeğinin kesin bir ifadesi olarak da yorumlanabilir. ⓘ

Kalkülüsün temel teoremi şöyle der: Eğer bir f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ise ve eğer F, (a, b) aralığında türevi f olan bir fonksiyon ise, o zaman ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$ ⓘ

Ayrıca, (a, b) aralığındaki her x için, ⓘ

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).$ ⓘ

Hem Newton hem de Leibniz tarafından gerçekleştirilen bu farkındalık, çalışmaları bilindikten sonra analitik sonuçların çoğalmasında kilit rol oynamıştır. (Newton ve Leibniz'in kendilerinden hemen önce gelenlerden ne ölçüde etkilendiklerini ve özellikle Leibniz'in Isaac Barrow'un çalışmalarından neler öğrenmiş olabileceğini, aralarındaki öncelik tartışması nedeniyle belirlemek zordur). Temel teorem, karşıt türevler için formüller bularak limit işlemleri yapmadan birçok belirli integrali hesaplamak için cebirsel bir yöntem sağlar. Bu aynı zamanda bir diferansiyel denklemin prototip çözümüdür. Diferansiyel denklemler bilinmeyen bir fonksiyonu türevleriyle ilişkilendirir ve bilimlerde her yerde bulunur. ⓘ

Uygulamalar

Nautilus kabuğu'nun logaritmik spirali, kalkülüsle ilgili büyümeyi ve değişimi tasvir etmek için kullanılan klasik bir görüntüdür. ⓘ

Matematiksel olarak modellenmiş ve optimal çözüm aranan bir problemi çözmek için aktüerya bilimi, bilgisayar bilimi, istatistik, mühendislik, ekonomi, işletme, tıp, demografi ve fizik bilimlerinin her dalında Kalkülüs kullanılır. Birinin (sabit olmayan) değişim oranlarından toplam değişime geçmesine ya da tam tersine gitmesine izin verir ve birçok kez bir problemi incelerken birini bildiğimiz ve diğer bilmediğimizi bulmaya çalışırız. ⓘ

Fizik özellikle kalkülüs kullanır; klasik mekanik ve elektromanyetizma içindeki tüm kavramlar kalkülüs yoluyla ilişkilidir. Yoğunluğu bilinen bir cismin kütlesi, cisimlerin atalet momenti ve korunumlu alandaki bir cismin toplam enerjisi kalkülüs kullanılarak hesaplanabilir. ⓘ

Mekanikte kalkülüsün kullanımına örnek Newton'un ikinci hareket yasası'dır: Tarihsel olarak açıkça belirtildiği gibi, bir cismin momentumunun değişim türevini ifade eden "hareket değişikliği" terimini açıkça kullanır ve cisme etki eden ve aynı yöndeki bileşke kuvvete eşittir. Günümüzde yaygın olarak Kuvvet = Kütle × ivme olarak ifade edilir, diferansiyel hesabı ifade eder çünkü ivme, hızın zamana göre türevi veya yörüngenin veya uzamsal konumun ikinci zaman türevidir. Bir nesnenin nasıl hızlandığını bilmekten yola çıkarak, yolunu türetmek için kalkülüsü kullanırız. ⓘ

Maxwell'in elektromanyetizma teorisi ve Einstein'ın genel görelilik teorisi de diferansiyel hesabın dilinde ifade edilir. Kimya ayrıca reaksiyon hızlarını ve radyoaktif bozunmayı belirlemede kalkülüsü kullanır. Biyolojide nüfus dinamikleri, nüfus değişikliklerini modellemek için üreme ve ölüm oranlarıyla başlar. ⓘ

Kalkülüs, diğer matematik disiplinleriyle birlikte kullanılabilir. Örneğin, bir etki alanındaki bir dizi nokta için "en uygun" doğrusal yaklaşımı bulmak için doğrusal cebir ile birlikte kullanılabilir. Veya varsayılan bir yoğunluk fonksiyonundan sürekli bir rastgele değişkenin olasılığını belirlemek için olasılık teorisi'nde kullanılabilir. Analitik geometri’de fonksiyonların grafiklerinin incelenmesinde, yüksek noktaları ve alçak noktaları (maksimum ve minimum), eğimi, içbükeylik ve büküm noktaları’nı bulmak için kalkülüs kullanılır. ⓘ

Basit C kapalı eğrisi etrafındaki bir çizgi integrali ile, C tarafından sınırlanan D düzlem bölgesi üzerindeki bir çift katlı integral arasındaki ilişkiyi veren Green Teoremi, bir çizimdeki düz bir yüzey alanını hesaplamak için kullanılan planimetre denilen alete uygulanır. Örneğin, bir mülkün yerleşim planı tasarlanırken, düzensiz şekilli bir çiçek tarhının veya yüzme havuzunun kapladığı alan miktarını hesaplamak için kullanılabilir. ⓘ

Basit bir kapalı dikdörtgen "C" eğrisi etrafındaki bir fonksiyonun çift katlı integrali ile eğrinin kenarı boyunca köşe noktalarındaki terstürev değerlerinin doğrusal bir bileşimi arasındaki ilişkiyi veren Ayrık Green Teoremi, dikdörtgen alanlardaki değerlerin toplamlarının hızlı hesaplanmasına imkan verir. Örneğin, özellikleri hızlı bir şekilde çıkarmak ve nesneyi tespit etmek için görüntülerdeki dikdörtgen alanların toplamlarını verimli bir şekilde hesaplamak için kullanılabilir; kullanılabilecek başka bir algoritma toplanan alan tablosu'dur. ⓘ

Tıp alanında, akışı en üst düzeye çıkarmak için bir kan damarının optimal dallanma açısını bulmak için kalkülüs kullanılabilir. Belirli bir ilacın vücuttan atılması için bozunma yasalarından dozlama yasalarını türetmek için kullanılır. Nükleer tıpta, hedefe yönelik tümör tedavilerinde radyasyon taşıma modelleri oluşturmak için kullanılır. ⓘ

Ekonomide kalkülüs, hem marjinal maliyet hem de marjinal gelir'i kolayca hesaplamanın bir yolunu sağlayarak maksimum kârın belirlenmesine izin verir. ⓘ

Kalkülüs, denklemlere yaklaşık çözümler bulmak için de kullanılır; pratikte diferansiyel denklemleri çözmenin ve çoğu uygulamada kök bulma yapmanın standart yoludur. Örnekler, Newton yöntemi, sabit nokta yinelemesi ve doğrusal yaklaşım gibi yöntemlerdir. Örneğin, uzay aracı, sıfır yerçekimi ortamlarında eğri rotaları yaklaşık olarak belirlemek için Euler yöntemi'nin bir varyasyonunu kullanır. ⓘ

Çeşitler

Yıllar boyunca, farklı amaçlar için kalkülüsün birçok yeniden formülasyonu araştırılmıştır. ⓘ

Standart olmayan kalkülüs

Sonsuz küçük sayılarla yapılan kesin olmayan hesaplamalar, 1870'lerden başlayarak geniş ölçüde titiz (ε, δ) limit tanımıyla değiştirildi. Bu arada, sonsuz küçükler ile hesaplamalar devam etti ve genellikle doğru sonuçlara yol açtı. Bu durum Abraham Robinson'u, üzerinde kalkülüs teoremlerinin hala geçerli olduğu sonsuz küçük niceliklere sahip bir sayı sistemi geliştirmenin mümkün olup olmadığını araştırmaya yöneltti. 1960 yılında Edwin Hewitt ve Jerzy Łoś'un çalışmalarını temel alarak standart olmayan analizi geliştirmeyi başardı. Standart olmayan analiz teorisi matematiğin birçok dalında uygulanabilecek kadar zengindir. Bu nedenle, yalnızca kalkülüsün geleneksel teoremlerine adanmış kitap ve makaleler genellikle standart olmayan kalkülüs başlığını taşır. ⓘ

Düzgün sonsuz küçükler analizi

Bu, kalkülüsün sonsuz küçükler cinsinden bir başka yeniden formülasyonudur. F. W. Lawvere'in fikirlerine dayanan ve kategori teorisi yöntemlerini kullanan bu formülasyon, tüm fonksiyonları sürekli ve ayrık varlıklar cinsinden ifade edilemez olarak görür. Bu formülasyonun bir yönü, dışlanmış orta yasasının bu formülasyonda geçerli olmamasıdır. ⓘ

Yapıcı analiz

Yapıcı matematik, bir sayının, fonksiyonun ya da başka bir matematiksel nesnenin varlığına ilişkin kanıtların nesnenin bir yapısını vermesi gerektiğinde ısrar eden bir matematik dalıdır. Bu nedenle yapısal matematik dışlanmış orta yasasını da reddeder. Kalkülüsün yapıcı bir çerçevede yeniden formüle edilmesi genellikle yapıcı analiz konusunun bir parçasıdır. ⓘ