İntegral

Bir fonksiyonun belirli integrali, grafiği tarafından sınırlanan bölgenin işaretli alanı olarak gösterilebilir. ⓘ

Matematikte bir integral, yer değiştirme, alan, hacim ve sonsuz küçük verilerin birleştirilmesiyle ortaya çıkan diğer kavramları tanımlayacak şekilde fonksiyonlara sayılar atar. İntegral bulma işlemine entegrasyon denir. Türev ile birlikte integral, kalkülüsün temel ve önemli bir işlemidir ve matematik ve fizikte rastgele bir şeklin alanı, bir eğrinin uzunluğu ve bir katının hacmi gibi problemleri çözmek için bir araç olarak hizmet eder. ⓘ

Burada sıralanan integraller, belirli integraller olarak adlandırılanlardır ve gerçel doğrudaki iki nokta arasında verilen bir fonksiyonun grafiği tarafından sınırlanan düzlemdeki bölgenin işaretli alanı olarak yorumlanabilir. Geleneksel olarak, düzlemin yatay ekseninin üzerindeki alanlar pozitif, altındaki alanlar ise negatiftir. İntegraller, türevi verilen fonksiyon olan bir fonksiyon olan bir antiderivatif kavramına da atıfta bulunur. Bu durumda, belirsiz integraller olarak adlandırılırlar. Kalkülüsün temel teoremi belirli integralleri türev ile ilişkilendirir ve bir fonksiyonun karşıt türevi bilindiğinde belirli integralini hesaplamak için bir yöntem sağlar. ⓘ

Alan ve hacim hesaplama yöntemleri eski Yunan matematiğine dayansa da, integral ilkeleri 17. yüzyılın sonlarında Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak formüle edilmiş ve bir eğrinin altındaki alanı sonsuz küçük genişlikteki dikdörtgenlerin sonsuz toplamı olarak düşünmüşlerdir. Bernhard Riemann daha sonra, eğrisel bir bölgenin alanını, bölgeyi sonsuz ince dikey levhalara bölerek yaklaştıran bir sınırlama prosedürüne dayanan integrallerin titiz bir tanımını verdi. 20. yüzyılın başlarında Henri Lebesgue, Riemann'ın formülasyonunu genelleştirerek günümüzde Lebesgue integrali olarak adlandırılan tanımı ortaya koymuştur; bu tanım, daha geniş bir fonksiyon sınıfının Lebesgue ile bütünleştirilebilir olması anlamında Riemann'ınkinden daha sağlamdır. ⓘ

İntegraller, fonksiyonun türüne ve integralin üzerinde gerçekleştirildiği alana bağlı olarak genelleştirilebilir. Örneğin, iki veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar için bir çizgi integrali tanımlanır ve integral aralığı, aralığın iki uç noktasını birleştiren bir eğri ile değiştirilir. Yüzey integralinde, eğrinin yerini üç boyutlu uzayda bir yüzey parçası alır. ⓘ

f(x)'in a dan b'ye kadar olan integrali, y=f(x) fonsiyonunun a ile b arasındaki alanıdır. ⓘ

Alan hesabı olarak integralin uygulanması ⓘ

Tarih

Hesap öncesi entegrasyon

İntegralleri belirleyebilen belgelenmiş ilk sistematik teknik, antik Yunan astronomu Eudoxus'un (yaklaşık MÖ 370) alan ve hacimleri, alan veya hacmin bilindiği sonsuz sayıda bölüme ayırarak bulmaya çalışan tükenme yöntemidir. Bu yöntem MÖ 3. yüzyılda Arşimet tarafından daha da geliştirilerek kullanılmış ve bir dairenin alanını, bir kürenin yüzey alanını ve hacmini, bir elipsin alanını, bir parabolün altındaki alanı, bir paraboloidin bir parçasının hacmini, bir hiperboloidin bir parçasının hacmini ve bir spiralin alanını hesaplamak için kullanılmıştır. ⓘ

Benzer bir yöntem MS 3. yüzyılda Çin'de Liu Hui tarafından bağımsız olarak geliştirilmiş ve çemberin alanını bulmak için kullanılmıştır. Bu yöntem daha sonra 5. yüzyılda Çinli baba-oğul matematikçiler Zu Chongzhi ve Zu Geng tarafından bir kürenin hacmini bulmak için kullanılmıştır. ⓘ

Orta Doğu'da, Latincesi Alhazen olan Hasan İbn el-Heysem (yaklaşık 965 - yaklaşık 1040) dördüncü kuvvetlerin toplamı için bir formül türetmiştir. Sonuçları, integral kareler ve dördüncü kuvvetlerin toplamları için formüllerin bir paraboloidin hacmini hesaplamasına izin verdiği, şimdi bu fonksiyonun entegrasyonu olarak adlandırılan şeyi gerçekleştirmek için kullandı. ⓘ

İntegral hesapta bir sonraki önemli ilerlemeler 17. yüzyıla kadar ortaya çıkmaya başlamadı. Bu dönemde, Cavalieri'nin Bölünemezler yöntemiyle yaptığı çalışmalar ve Fermat'nın çalışmaları modern kalkülüsün temellerini atmaya başladı; Cavalieri, Cavalieri'nin kareleme formülünde xn'nin n = 9 derecesine kadar integrallerini hesapladı. İntegral ve türev arasındaki bağlantının ilk ipuçlarını veren Barrow ve Torricelli tarafından 17. yüzyılın başlarında daha ileri adımlar atıldı. Barrow, kalkülüsün temel teoreminin ilk kanıtını sağlamıştır. Wallis, Cavalieri'nin yöntemini genelleştirerek, negatif güçler ve kesirli güçler de dahil olmak üzere x'in genel bir güce göre integrallerini hesapladı. ⓘ

Leibniz ve Newton

İntegrasyon alanındaki en büyük ilerleme 17. yüzyılda Leibniz ve Newton tarafından kalkülüsün temel teoreminin bağımsız olarak keşfedilmesiyle gerçekleşmiştir. Teorem, integral ve türev arasında bir bağlantı olduğunu göstermektedir. Bu bağlantı, türevin karşılaştırmalı kolaylığı ile birleştiğinde, integralleri hesaplamak için kullanılabilir. Özellikle, kalkülüsün temel teoremi çok daha geniş bir problem sınıfının çözülmesine olanak tanır. Leibniz ve Newton'un geliştirdiği kapsamlı matematiksel çerçeve de aynı derecede önemlidir. Sonsuz küçükler hesabı adı verilen bu çerçeve, sürekli alanlardaki fonksiyonların hassas bir şekilde analiz edilmesine olanak sağlamıştır. Bu çerçeve sonunda, integraller için notasyonu doğrudan Leibniz'in çalışmalarından alınan modern kalkülüs haline geldi. ⓘ

Biçimselleştirme

Newton ve Leibniz entegrasyona sistematik bir yaklaşım getirmiş olsalar da, çalışmaları bir dereceye kadar titizlikten yoksundu. Piskopos Berkeley, Newton tarafından kullanılan kaybolan artışlara unutulmaz bir şekilde saldırmış ve bunları "giden niceliklerin hayaletleri" olarak adlandırmıştır. Kalkülüs, limitlerin geliştirilmesiyle daha sağlam bir temel kazandı. İntegrasyon ilk kez Riemann tarafından limitler kullanılarak titizlikle biçimlendirilmiştir. Tüm sınırlı parçalı sürekli fonksiyonlar sınırlı bir aralıkta Riemann tarafından integre edilebilir olsa da, daha sonra Riemann'ın tanımının geçerli olmadığı daha genel fonksiyonlar -özellikle Fourier analizi bağlamında- düşünüldü ve Lebesgue, ölçü teorisine (reel analizin bir alt alanı) dayanan farklı bir integral tanımı formüle etti. Riemann ve Lebesgue'nin yaklaşımlarını genişleten başka integral tanımları da önerilmiştir. Reel sayı sistemine dayanan bu yaklaşımlar günümüzde en yaygın olanlarıdır, ancak hiperreal sayı sistemine dayanan sonsuz bir Riemann toplamının standart parçası olarak integral tanımı gibi alternatif yaklaşımlar da mevcuttur. ⓘ

Tarihsel gösterim

Belirsiz integral için notasyon 1675 yılında Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından tanıtılmıştır. İntegral sembolü ∫'i, summa (ſumma olarak yazılır; Latince "toplam" veya "toplam") anlamına gelen ſ (uzun s) harfinden uyarladı. Belirli integral için modern gösterim, integral işaretinin üstünde ve altında sınırlarla birlikte, ilk olarak Joseph Fourier tarafından 1819-20 civarında Fransız Akademisi'nin Mémoires'inde kullanıldı ve 1822 tarihli kitabında yeniden basıldı. ⓘ

Isaac Newton entegrasyonu belirtmek için bir değişkenin üzerinde küçük bir dikey çubuk kullanmış ya da değişkeni bir kutunun içine yerleştirmiştir. Dikey çubuk, türevi belirtmek için kullanılan x′ veya x′ ile kolayca karıştırılabiliyordu ve kutu gösteriminin matbaacılar tarafından çoğaltılması zordu, bu nedenle bu gösterimler yaygın olarak benimsenmedi. ⓘ

Terimin ilk kullanımı

Terim ilk olarak 1690 yılında Jacob Bernoulli tarafından Latince olarak basılmıştır: "Ergo et horum Integralia aequantur". ⓘ

Terminoloji ve gösterim

Genel olarak, reel değerli bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığında reel bir x değişkenine göre integrali aşağıdaki gibi yazılır

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

İntegral işareti ∫ entegrasyonu temsil eder. x değişkeninin diferansiyeli olarak adlandırılan dx sembolü, integrasyon değişkeninin x olduğunu gösterir. f(x) fonksiyonuna integrand, a ve b noktalarına integrasyonun limitleri (veya sınırları) denir ve integralin [a, b] aralığı üzerinde olduğu söylenir, buna integrasyon aralığı denir. Bir fonksiyonun şöyle olduğu söylenir bütünleştirilebilir eğer tanım kümesi üzerindeki integrali sonlu ise. Limitler belirtilirse, integral belirli integral olarak adlandırılır. ⓘ

Limitler atlandığında, aşağıdaki gibi ⓘ

$\int f(x)\,dx,$ ⓘ

integral belirsiz integral olarak adlandırılır ve türevi integrand olan bir fonksiyon sınıfını (antiderivatif) temsil eder. Kalkülüsün temel teoremi, belirli integrallerin değerlendirilmesini belirsiz integrallerle ilişkilendirir. Sınırsız alanlarda ve/veya çoklu boyutlarda integral almayı kapsayacak şekilde integraller için gösterimin çeşitli uzantıları vardır (bu makalenin sonraki bölümlerine bakın). ⓘ

Gelişmiş ortamlarda, yalnızca basit Riemann integrali kullanıldığında veya integralin tam türü önemsiz olduğunda dx'i dışarıda bırakmak nadir değildir. Örneğin, şöyle yazılabilir ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$ Riemann integrali ve onun tüm genellemeleri tarafından paylaşılan bir özellik olan integralin doğrusallığını ifade etmek için. ⓘ

Yorumlamalar

√x'in 0'dan 1'e integraline yaklaşımlar, 5 sarı sağ uç nokta bölümü ve 12 yeşil sol uç nokta bölümü ile ⓘ

İntegraller birçok pratik durumda karşımıza çıkar. Örneğin, dikdörtgen şeklinde ve düz tabanlı bir yüzme havuzunun uzunluğu, genişliği ve derinliğinden havuzun içerebileceği su hacmi, yüzeyinin alanı ve kenarının uzunluğu belirlenebilir. Ancak havuz oval ve yuvarlak tabanlı ise, bu büyüklükler için tam ve kesin değerler bulmak için integral almak gerekir. Her durumda, aranan miktar sonsuz sayıda sonsuz küçük parçaya bölünebilir, ardından doğru bir yaklaşım elde etmek için parçalar toplanabilir. ⓘ

Örneğin, f(x) = √x fonksiyonunun x = 0 ve x = 1 arasındaki grafiğiyle sınırlanan bölgenin alanını bulmak için, aralığı beş adımda (0, 1/5, 2/5, ..., 1) geçebilir, ardından her bir parçanın sağ uç yüksekliğini kullanarak bir dikdörtgeni doldurabilir (böylece √0, √1/5, √2/5, ..., √1) ve yaklaşık bir değer elde etmek için alanlarını toplayabilirsiniz. ⓘ

$\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,$

Bu da tam değerden daha büyüktür. Alternatif olarak, bu alt aralıklar her bir parçanın sol uç yüksekliğine sahip olanlarla değiştirildiğinde, elde edilen yaklaşım çok düşüktür: bu tür on iki alt aralıkla yaklaşık alan yalnızca 0,6203'tür. Ancak, parça sayısı sonsuza kadar arttığında, aranan alanın tam değeri olan bir sınıra ulaşacaktır (bu durumda 2/3). Biri şöyle yazar ⓘ

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},$

yani 2/3, [0, 1] aralığında dx ile gösterilen sonsuz küçük adım genişlikleri ile çarpılan √x fonksiyon değerlerinin ağırlıklı bir toplamının sonucudur. ⓘ

Darboux toplamları

y = x² fonksiyonunun Darboux üst toplamları

y = x² fonksiyonunun Darboux alt toplamları ⓘ

Resmi tanımlar

Riemann toplamlarının yakınsaması

Bir integrali resmi olarak tanımlamanın birçok yolu vardır ve bunların hepsi eşdeğer değildir. Farklılıklar çoğunlukla diğer tanımlar altında integre edilemeyen farklı özel durumlarla başa çıkmak için, ancak bazen de pedagojik nedenlerle mevcuttur. En yaygın kullanılan tanımlar Riemann integralleri ve Lebesgue integralleridir. ⓘ

Riemann integrali

Riemann integrali, bir aralığın etiketlenmiş bölümlerine göre fonksiyonların Riemann toplamları cinsinden tanımlanır. Reel doğru üzerindeki kapalı bir [a, b] aralığının etiketli bir bölümü sonlu bir dizidir ⓘ

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$ ⓘ

Bu, [a, b] aralığını i ile indekslenen n adet [xi-1, xi] alt aralığına böler ve bunların her biri ti ∈ [xi-1, xi] seçkin noktası ile "etiketlenir". Böyle bir etiketlenmiş bölüme göre bir f fonksiyonunun Riemann toplamı şu şekilde tanımlanır ⓘ

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};$ ⓘ

Böylece toplamın her bir terimi, yüksekliği verilen alt aralığın seçkin noktasındaki fonksiyon değerine eşit ve genişliği alt aralığın genişliği ile aynı olan bir dikdörtgenin alanıdır, Δi = xi-xi-1. Böyle bir etiketli bölümün ağı, bölüm tarafından oluşturulan en büyük alt aralığın genişliğidir, max_i=1...n Δi. Bir f fonksiyonunun [a, b] aralığı üzerindeki Riemann integrali aşağıdaki durumlarda S'ye eşittir:

Tümü için $\varepsilon >0$ var $\delta >0$ öyle ki, herhangi bir etiketli bölüm için $[a,b]$ daha az ağ ile $\delta$, ⓘ

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$ ⓘ

Seçilen etiketler her bir aralığın maksimum (sırasıyla minimum) değerini verdiğinde, Riemann toplamı bir üst (sırasıyla alt) Darboux toplamı haline gelir ve Riemann integrali ile Darboux integrali arasındaki yakın bağlantıyı gösterir. ⓘ

Lebesgue integrali

Riemann-Darboux integrasyonu (üstte) ve Lebesgue integrasyonu (altta) ⓘ

Hem teoride hem de uygulamalarda, integral altında limite geçebilmek genellikle ilgi çekicidir. Örneğin, bir problemin çözümüne uygun bir anlamda yaklaşan bir dizi fonksiyon sıklıkla oluşturulabilir. O zaman çözüm fonksiyonunun integrali, yaklaşımların integrallerinin limiti olmalıdır. Ancak, limit olarak elde edilebilecek birçok fonksiyon Riemann ile bütünleştirilebilir değildir ve bu nedenle bu tür limit teoremleri Riemann integrali ile geçerli değildir. Bu nedenle, daha geniş bir fonksiyon sınıfının entegre edilmesine izin veren bir integral tanımına sahip olmak büyük önem taşımaktadır. ⓘ

Böyle bir integral, integrallenebilir fonksiyonlar sınıfını genişletmek için şu gerçeği kullanan Lebesgue integralidir: bir fonksiyonun değerleri alan üzerinde yeniden düzenlenirse, bir fonksiyonun integrali aynı kalmalıdır. Böylece Henri Lebesgue kendi adını taşıyan integrali tanıttı ve bu integrali Paul Montel'e yazdığı bir mektupta şöyle açıkladı:

Cebimde biriktirdiğim belli bir meblağı ödemek zorundayım. Cebimden banknotları ve madeni paraları çıkarıyorum ve toplam tutara ulaşana kadar onları bulduğum sırayla alacaklıya veriyorum. Bu Riemann integralidir. Ama farklı bir şekilde ilerleyebilirim. Cebimdeki tüm parayı çıkardıktan sonra, banknotları ve madeni paraları aynı değerlere göre sıralarım ve sonra birkaç yığını birbiri ardına alacaklıya öderim. Bu benim integralim. ⓘ

Folland'ın belirttiği gibi, "f'nin Riemann integralini hesaplamak için [a, b] alanı alt aralıklara bölünür", Lebesgue integralinde ise "aslında f'nin aralığı bölünür". En basit durumda, bir A = [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsü μ(A), genişliği, b - a'dır, böylece Lebesgue integrali, her ikisi de mevcut olduğunda (uygun) Riemann integrali ile aynıdır. Daha karmaşık durumlarda, ölçülen kümeler, sürekliliği olmayan ve aralıklara benzemeyen oldukça parçalı olabilir. ⓘ

"f aralığını bölümleme" felsefesini kullanarak, negatif olmayan bir f fonksiyonunun integrali : R → R fonksiyonunun integrali, y = t ve y = t + dt arasındaki ince bir yatay şerit arasındaki alanların t üzerindeki toplamı olmalıdır. Bu alan sadece μ{ x : f(x) > t} dt'dir. f^∗(t) = μ{ x : f(x) > t } olsun. O halde f'nin Lebesgue integrali şu şekilde tanımlanır ⓘ

$\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt$ ⓘ

Burada sağdaki integral sıradan bir uygunsuz Riemann integralidir (f^∗ kesinlikle azalan pozitif bir fonksiyondur ve bu nedenle iyi tanımlanmış bir uygunsuz Riemann integraline sahiptir). Uygun bir fonksiyon sınıfı için (ölçülebilir fonksiyonlar) bu Lebesgue integralini tanımlar. ⓘ

Genel bir ölçülebilir f fonksiyonu, f'nin grafiği ile x ekseni arasındaki bölgelerin alanlarının mutlak değerlerinin toplamı sonlu ise Lebesgue integrali ile bütünleştirilebilirdir:

$\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .$ ⓘ

Bu durumda integral, Riemann durumunda olduğu gibi, x ekseninin üstündeki alan ile x ekseninin altındaki alan arasındaki farktır:

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu$ ⓘ

burada ⓘ

${\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}$ ⓘ

Diğer integraller

Riemann ve Lebesgue integralleri integralin en yaygın kullanılan tanımları olmasına rağmen, aşağıdakiler de dahil olmak üzere bir dizi başka tanım da mevcuttur:

• Darboux integrali, Darboux toplamları (kısıtlı Riemann toplamları) ile tanımlanır, ancak Riemann integraline eşdeğerdir - bir fonksiyon ancak ve ancak Riemann ile bütünleştirilebilirse Darboux ile bütünleştirilebilir. Darboux integralleri Riemann integrallerine göre daha kolay tanımlanabilme avantajına sahiptir.
• Riemann-Stieltjes integrali, Riemann integralinin bir değişken yerine bir fonksiyona göre integral alan bir uzantısıdır.
• Johann Radon tarafından daha da geliştirilen Lebesgue-Stieltjes integrali, hem Riemann-Stieltjes hem de Lebesgue integrallerini genelleştirir.
• Daniell integrali, Lebesgue integralini ve Lebesgue-Stieltjes integralini ölçülere bağlı olmadan kapsar.
• Haar integrali, 1933 yılında Alfréd Haar tarafından tanıtılan yerel olarak kompakt topolojik gruplar üzerinde entegrasyon için kullanılır.
• Henstock-Kurzweil integrali, Arnaud Denjoy, Oskar Perron ve (en zarif şekilde, gauge integrali olarak) Jaroslav Kurzweil tarafından çeşitli şekillerde tanımlanmış ve Ralph Henstock tarafından geliştirilmiştir.
• Itô integrali ve Stratonovich integrali, Brownian hareketi gibi semimartingale'lere göre entegrasyonu tanımlar.
• Young integrali, sınırsız varyasyonlu belirli fonksiyonlara göre bir tür Riemann-Stieltjes integralidir.
• Kaba yol integrali, bazı ek "kaba yol" yapısına sahip fonksiyonlar için tanımlanır ve hem semimartingales hem de kesirli Brownian hareketi gibi süreçlere karşı stokastik entegrasyonu genelleştirir.
• Choquet integrali, Fransız matematikçi Gustave Choquet tarafından 1953 yılında yaratılan bir alt veya üst katkı integrali. ⓘ

Özellikleri

Doğrusallık

Kapalı bir [a, b] aralığında Riemann ile bütünleştirilebilir fonksiyonlar topluluğu, noktasal toplama ve bir skaler ile çarpma işlemleri ve integral alma işlemi altında bir vektör uzayı oluşturur ⓘ

$f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx$ ⓘ

bu vektör uzayı üzerinde doğrusal bir fonksiyoneldir. Böylece, integrallenebilir fonksiyonlar topluluğu lineer kombinasyonların alınması altında kapalıdır ve bir lineer kombinasyonun integrali integrallerin lineer kombinasyonudur:

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$ ⓘ

Benzer şekilde, μ ölçüsü ile verilen bir E ölçü uzayı üzerindeki gerçek değerli Lebesgue-integrallenebilir fonksiyonlar kümesi doğrusal kombinasyonlar alarak kapalıdır ve dolayısıyla bir vektör uzayı oluşturur ve Lebesgue integrali ⓘ

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu$ ⓘ

bu vektör uzayı üzerinde doğrusal bir fonksiyoneldir, öyle ki:

$\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .$ ⓘ

Daha genel olarak, yerel olarak kompakt bir topolojik alan K üzerinde yerel olarak kompakt tam bir topolojik vektör uzayı V'de değerler alan bir ölçü uzayı (E,μ) üzerindeki tüm ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayını düşünün, f : E → V. O zaman her f fonksiyonuna V'nin bir elemanını veya ∞ sembolünü atayan soyut bir entegrasyon haritası tanımlanabilir, ⓘ

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,$ ⓘ

doğrusal kombinasyonlarla uyumludur. Bu durumda doğrusallık, integrali V'nin bir elemanı olan (yani "sonlu") fonksiyonların alt uzayı için geçerlidir. En önemli özel durumlar, K R, C veya p-adik sayıların Qp alanının sonlu bir uzantısı olduğunda ve V, K üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olduğunda ve K = C ve V karmaşık bir Hilbert uzayı olduğunda ortaya çıkar. ⓘ

Doğrusallık, bazı doğal süreklilik özellikleri ve belirli bir "basit" fonksiyon sınıfı için normalleştirme ile birlikte, integralin alternatif bir tanımını vermek için kullanılabilir. Bu, Daniell'in X kümesi üzerindeki gerçek değerli fonksiyonlar için geliştirdiği yaklaşımdır ve Nicolas Bourbaki tarafından yerel olarak kompakt bir topolojik vektör uzayında değerleri olan fonksiyonlar için genelleştirilmiştir. İntegralin aksiyomatik karakterizasyonu için Hildebrandt 1953'e bakınız. ⓘ

Eşitsizlikler

Kapalı ve sınırlı bir [a, b] aralığında tanımlanan Riemann-integrallenebilir fonksiyonlar için bir dizi genel eşitsizlik geçerlidir ve diğer integral kavramlarına (Lebesgue ve Daniell) genelleştirilebilir. ⓘ

• Üst ve alt sınırlar. a, b] üzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonu, bu aralıkta zorunlu olarak sınırlıdır. Böylece [a, b]'deki tüm x'ler için m ≤ f (x) ≤ M olacak şekilde m ve M reel sayıları vardır. Bu nedenle f'nin [a, b] üzerindeki alt ve üst toplamları sırasıyla m(b - a) ve M(b - a) ile sınırlı olduğundan, şu sonuç çıkar
  $$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).$$
• Fonksiyonlar arasındaki eşitsizlikler. Eğer [a, b] içindeki her x için f(x) ≤ g(x) ise, o zaman f'nin üst ve alt toplamlarının her biri yukarıda sırasıyla g'nin üst ve alt toplamları ile sınırlanır.
  $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$
  M(b - a), [a, b] üzerinde M değerine sahip sabit fonksiyonun integrali olduğundan, bu yukarıdaki eşitsizliklerin bir genellemesidir. Ayrıca, eğer fonksiyonlar arasındaki eşitsizlik kesinse, integraller arasındaki eşitsizlik de kesindir. Yani, [a, b] içindeki her x için f(x) < g(x) ise, o zaman
  $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$
• Alt aralıklar. Eğer [c, d], [a, b]'nin bir alt aralığı ise ve f (x) tüm x'ler için negatif değilse, o zaman
  $$\int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$
• Fonksiyonların çarpımları ve mutlak değerleri. Eğer f ve g iki fonksiyon ise, o zaman bunların noktasal çarpımlarını, kuvvetlerini ve mutlak değerlerini ele alabiliriz:
  $$(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.$$
  Eğer f [a, b] üzerinde Riemann ile bütünleştirilebilir ise, aynı şey |f| için de geçerlidir ve
  $$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.$$
  Ayrıca, eğer f ve g'nin her ikisi de Riemann ile bütünleştirilebilir ise, fg de Riemann ile bütünleştirilebilirdir ve
  $$\left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).$$
  Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak bilinen bu eşitsizlik, Hilbert uzay teorisinde önemli bir rol oynar; burada sol taraf, [a, b] aralığında iki kare bütünlenebilir f ve g fonksiyonunun iç çarpımı olarak yorumlanır.
• Hölder eşitsizliği. Varsayalım ki p ve q iki reel sayı, 1 ≤ p, q ≤ ∞ ve 1/p + 1/q = 1 olsun ve f ve g iki Riemann ile bütünleştirilebilir fonksiyon olsun. O zaman |f|p ve |g|q fonksiyonları da integrallenebilirdir ve aşağıdaki Hölder eşitsizliği geçerlidir:
  $$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$$
  p = q = 2 için, Hölder eşitsizliği Cauchy-Schwarz eşitsizliğine dönüşür.
• Minkowski eşitsizliği. Varsayalım ki p ≥ 1 reel bir sayı olsun ve f ve g Riemann ile bütünleştirilebilir fonksiyonlar olsun. O zaman | f |p, | g |p ve | f + g |p de Riemann ile bütünleştirilebilirdir ve aşağıdaki Minkowski eşitsizliği geçerlidir:
  $$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$$
  Lebesgue integrali için bu eşitsizliğin bir benzeri L^p uzaylarının yapımında kullanılır. ⓘ

Konvansiyonlar

Bu bölümde, f reel değerli Riemann ile bütünleştirilebilir bir fonksiyondur. İntegral ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ ⓘ

Bu, f fonksiyonunun üst ve alt toplamlarının, xi değerleri artan bir a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ xn = b bölümü üzerinde değerlendirildiği anlamına gelir. Geometrik olarak bu, entegrasyonun "soldan sağa" gerçekleştiğini, f'nin [x i , x i +1] aralıklarında değerlendirildiğini ve daha yüksek indeksli bir aralığın daha düşük indeksli bir aralığın sağında yer aldığını gösterir. Aralığın uç noktaları olan a ve b değerlerine f integralinin sınırları denir. a > b ise integraller de tanımlanabilir:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.$ ⓘ

a = b olduğunda, bu şu anlama gelir:

$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.$ ⓘ

İlk kural [a, b]'nin alt aralıkları üzerinde integral almak için gereklidir; ikincisi ise dejenere bir aralık veya bir nokta üzerinde alınan bir integralin sıfır olması gerektiğini söyler. Birinci kuralın bir nedeni, f'nin [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilirliğinin, f'nin [c, d] herhangi bir alt aralık üzerinde integrallenebilir olduğu anlamına gelmesidir, ancak özellikle integraller, eğer c [a, b]'nin herhangi bir elemanı ise, o zaman özelliğine sahiptir:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$ ⓘ

İlk konvansiyonla, ortaya çıkan bağıntı ⓘ

${\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}$ ⓘ

o zaman a, b ve c'nin herhangi bir döngüsel permütasyonu için iyi tanımlanmıştır. ⓘ

Kalkülüsün temel teoremi

Kalkülüsün temel teoremi, türev ve integralin ters işlemler olduğu ifadesidir: sürekli bir fonksiyon önce integre edilir ve sonra türevlendirilirse, orijinal fonksiyon elde edilir. Bazen kalkülüsün ikinci temel teoremi olarak da adlandırılan önemli bir sonuç, integral alınacak fonksiyonun bir antiderivatifini kullanarak integrallerin hesaplanmasına izin verir. ⓘ

İlk teorem

f kapalı bir [a, b] aralığında tanımlı sürekli gerçek değerli bir fonksiyon olsun. F, [a, b] içindeki tüm x'ler için aşağıdaki şekilde tanımlanan fonksiyon olsun ⓘ

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$ ⓘ

O halde, F [a, b] üzerinde sürekli, (a, b) açık aralığında türevlenebilir ve ⓘ

$F'(x)=f(x)$ ⓘ

(a, b) içindeki tüm x'ler için. ⓘ

İkinci teorem

f kapalı bir [a, b] aralığında tanımlı ve [a, b] üzerinde bir F karşıt türevini kabul eden gerçel değerli bir fonksiyon olsun. Yani, f ve F öyle fonksiyonlardır ki [a, b]'deki tüm x'ler için ⓘ

$f(x)=F'(x).$ ⓘ

Eğer f [a, b] üzerinde integrallenebilir ise ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$ ⓘ

Uzantılar

Uygun olmayan integraller

Uygun olmayan integral$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$ hem alan hem de aralık için sınırsız aralıklara sahiptir. ⓘ

"Uygun" bir Riemann integrali, integralin kapalı ve sınırlı bir aralıkta tanımlı ve sonlu olduğunu ve entegrasyon limitleri tarafından paranteze alındığını varsayar. Uygun olmayan bir integral, bu koşullardan biri veya daha fazlası sağlanmadığında ortaya çıkar. Bazı durumlarda bu tür integraller, giderek daha büyük aralıklar üzerinde bir dizi uygun Riemann integralinin limiti dikkate alınarak tanımlanabilir. ⓘ

Eğer aralık sınırsızsa, örneğin üst ucunda, o zaman uygun olmayan integral, bu uç nokta sonsuza giderken limittir:

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ ⓘ

İntegral sadece yarı açık bir aralıkta, örneğin (a, b] üzerinde tanımlı veya sonlu ise, o zaman yine bir limit sonlu bir sonuç sağlayabilir:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.$ ⓘ

Yani, uygun olmayan integral, integral aralığının bir uç noktası belirli bir reel sayıya veya ∞'a veya -∞'a yaklaştıkça uygun integrallerin limitidir. Daha karmaşık durumlarda, her iki uç noktada veya iç noktalarda limitler gereklidir. ⓘ

Çoklu entegrasyon

Çift integral bir yüzeyin altındaki hacmi hesaplar $z=f(x,y)$ ⓘ

Tek değişkenli pozitif bir fonksiyonun belirli integrali nasıl fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasındaki bölgenin alanını temsil ediyorsa, iki değişkenli pozitif bir fonksiyonun çift integrali de fonksiyon tarafından tanımlanan yüzey ile fonksiyonun etki alanını içeren düzlem arasındaki bölgenin hacmini temsil eder. Örneğin, iki boyutta bir fonksiyon x ve y olmak üzere iki gerçek değişkene bağlıdır ve bir f fonksiyonunun R dikdörtgeni üzerindeki integrali iki aralığın Kartezyen çarpımı olarak verilir $R=[a,b]\times [c,d]$ yazılabilir ⓘ

$\int _{R}f(x,y)\,dA$ ⓘ

Burada dA diferansiyeli integralin alana göre alındığını gösterir. Bu çift integral Riemann toplamları kullanılarak tanımlanabilir ve R alanı üzerinde z = f(x,y) grafiği altındaki (işaretli) hacmi temsil eder. Uygun koşullar altında (örneğin, f sürekli ise), Fubini teoremi bu integralin eşdeğer bir yinelenen integral olarak ifade edilebileceğini belirtir ⓘ

$\int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.$ ⓘ

Bu, çift integral hesaplama problemini tek boyutlu integral hesaplamaya indirger. Bu nedenle, R üzerindeki integral için başka bir gösterim çift integral işareti kullanır:

$\iint _{R}f(x,y)\,dA.$ ⓘ

Daha genel alanlar üzerinde integral almak mümkündür. Bir f fonksiyonunun hacme göre integrali, n-boyutlu bir D bölgesi üzerinde $\mathbb {R} ^{n}$ gibi sembollerle gösterilir:

$\int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.$ ⓘ

Çizgi integralleri ve yüzey integralleri

Bir çizgi integrali, bir eğri boyunca elemanları toplar. ⓘ

İntegral kavramı, daha yüksek boyutlu uzaylar içindeki eğri çizgiler ve yüzeyler gibi daha genel entegrasyon alanlarına genişletilebilir. Bu tür integraller sırasıyla çizgi integrali ve yüzey integrali olarak bilinir. Bunlar, vektör alanları ile uğraşırken olduğu gibi fizikte önemli uygulamalara sahiptir. ⓘ

Bir çizgi integrali (bazen yol integrali olarak da adlandırılır), integre edilecek fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği bir integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanımdadır. Kapalı bir eğri durumunda buna kontur integrali de denir. ⓘ

Entegre edilecek fonksiyon bir skaler alan veya bir vektör alanı olabilir. Çizgi integralinin değeri, eğri üzerindeki bazı skaler fonksiyonlarla (genellikle yay uzunluğu veya bir vektör alanı için, vektör alanının eğrideki bir diferansiyel vektörle skaler çarpımı) ağırlıklandırılmış eğri üzerindeki tüm noktalardaki alan değerlerinin toplamıdır. Bu ağırlıklandırma, çizgi integralini aralıklar üzerinde tanımlanan daha basit integrallerden ayırır. Fizikteki birçok basit formülün çizgi integralleri açısından doğal sürekli analogları vardır; örneğin, işin kuvvet, F, ile yer değiştirme, s, çarpımına eşit olduğu gerçeği (vektör büyüklükleri açısından) şu şekilde ifade edilebilir:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .$ ⓘ

Elektrik alanı veya yerçekimi alanı gibi bir F vektör alanında C yolu boyunca hareket eden bir nesne için, alan tarafından nesne üzerinde yapılan toplam iş, s'den s + ds'ye hareket ederken yapılan diferansiyel işin toplanmasıyla elde edilir. Bu da çizgi integralini verir ⓘ

$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .$ ⓘ

Yüzey integralinin tanımı, yüzeyin küçük yüzey elemanlarına bölünmesine dayanır. ⓘ

Yüzey integrali, çift integralleri bir yüzey (uzayda eğri bir küme olabilir) üzerinde integral almaya genelleştirir; çizgi integralinin çift integral analoğu olarak düşünülebilir. Entegre edilecek fonksiyon bir skaler alan veya bir vektör alanı olabilir. Yüzey integralinin değeri, yüzey üzerindeki tüm noktalardaki alanın toplamıdır. Bu, yüzeyin Riemann toplamları için bölümleme sağlayan yüzey elemanlarına ayrılmasıyla elde edilebilir. ⓘ

Yüzey integrallerinin uygulamalarına bir örnek olarak, bir S yüzeyi üzerinde bir vektör alanı düşünün; yani, S'deki her x noktası için v(x) bir vektördür. Bir akışkanın S boyunca aktığını düşünün, öyle ki v(x) akışkanın x'teki hızını belirler. Akı, birim zamanda S boyunca akan akışkan miktarı olarak tanımlanır. Akıyı bulmak için, her noktada S'ye birim yüzey normali ile v'nin nokta çarpımını almak gerekir, bu da yüzey üzerinde entegre edilen bir skaler alan verecektir:

$\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.$ ⓘ

Bu örnekteki akışkan akısı, su veya hava gibi fiziksel bir akışkandan ya da elektrik veya manyetik akıdan kaynaklanıyor olabilir. Bu nedenle yüzey integrallerinin fizikte, özellikle de klasik elektromanyetizma teorisinde uygulamaları vardır. ⓘ

Kontur integralleri

Karmaşık analizde integrand, x reel değişkeninin reel fonksiyonu yerine z karmaşık değişkeninin karmaşık değerli fonksiyonudur. Karmaşık bir fonksiyon bir eğri boyunca integre edildiğinde $\gamma$ karmaşık düzlemde, integral aşağıdaki gibi gösterilir ⓘ

$\int _{\gamma }f(z)\,dz.$ ⓘ

Bu, kontur integrali olarak bilinir. ⓘ

Diferansiyel formların integralleri

Diferansiyel form, çok değişkenli kalkülüs, diferansiyel topoloji ve tensörler alanlarında kullanılan matematiksel bir kavramdır. Diferansiyel formlar dereceye göre düzenlenir. Örneğin, bir-form koordinatların diferansiyellerinin ağırlıklı bir toplamıdır, örneğin:

$E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz$ ⓘ

Burada E, F, G üç boyuttaki fonksiyonlardır. Bir diferansiyel tek-form, yönlendirilmiş bir yol üzerinde entegre edilebilir ve elde edilen integral, bir çizgi integrali yazmanın başka bir yoludur. Burada temel diferansiyeller dx, dy, dz, üç koordinat eksenine paralel sonsuz küçük yönlendirilmiş uzunlukları ölçer. ⓘ

Bir diferansiyel iki form, aşağıdaki formun bir toplamıdır ⓘ

$G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.$ ⓘ

Burada temel iki form $dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz$ koordinat iki düzlemine paralel yönlendirilmiş alanları ölçer. Sembol $\wedge$ Yönlendirilmiş uzunlukları temsil eden iki formun kama çarpımının yönlendirilmiş bir alanı temsil etmesi anlamında çapraz çarpıma benzeyen kama çarpımını gösterir. İki form, yönlendirilmiş bir yüzey üzerinde integre edilebilir ve elde edilen integral, aşağıdaki akıyı veren yüzey integraline eşdeğerdir $E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k}$. ⓘ

Çapraz çarpım ve üç boyutlu vektör hesabının aksine, kama çarpımı ve diferansiyel formlar hesabı keyfi boyutlarda ve daha genel manifoldlarda (eğriler, yüzeyler ve bunların daha yüksek boyutlu analogları) anlamlıdır. Dış türev, vektör hesabının gradyan ve kıvrımının rolünü oynar ve Stokes teoremi aynı anda vektör hesabının üç teoremini genelleştirir: diverjans teoremi, Green teoremi ve Kelvin-Stokes teoremi. ⓘ

Toplamlar

İntegrasyonun ayrık eşdeğeri toplamadır. Toplamlar ve integraller, Lebesgue integralleri teorisi veya zaman ölçeği hesabı kullanılarak aynı temellere oturtulabilir. ⓘ

Fonksiyonel integraller

Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, eski değişkende yerine konur. ⓘ

Bir değişken üzerinde (veya fizikte bir uzay veya zaman boyutu üzerinde) değil, bir fonksiyonlar uzayı üzerinde gerçekleştirilen bir integral, fonksiyonel integral olarak adlandırılır. ⓘ

Uygulamalar

İntegraller birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, olasılık teorisinde, bazı rastgele değişkenlerin belirli bir aralıkta olma olasılığını belirlemek için integraller kullanılır. Dahası, tüm bir olasılık yoğunluk fonksiyonu altındaki integral 1'e eşit olmalıdır, bu da negatif değerleri olmayan bir fonksiyonun yoğunluk fonksiyonu olup olamayacağının test edilmesini sağlar. ⓘ

İntegraller, eğri bir sınıra sahip iki boyutlu bir bölgenin alanını hesaplamak için kullanılabileceği gibi, eğri bir sınıra sahip üç boyutlu bir nesnenin hacmini hesaplamak için de kullanılabilir. İki boyutlu bir bölgenin alanı yukarıda bahsedilen belirli integral kullanılarak hesaplanabilir. Disk veya pul gibi üç boyutlu bir nesnenin hacmi, bir silindirin hacmi için denklem kullanılarak disk entegrasyonu ile hesaplanabilir, $\pi r^{2}h$, nerede $r$ yarıçaptır. Bir eğrinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulan basit bir disk söz konusu olduğunda, yarıçap f(x) ile verilir ve yüksekliği dx diferansiyelidir. Sınırları a ve b olan bir integral kullanıldığında, diskin hacmi şuna eşit olur:

$$\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.$$

İntegraller fizikte kinematik gibi alanlarda yer değiştirme, zaman ve hız gibi nicelikleri bulmak için de kullanılır. Örneğin, doğrusal harekette, bir nesnenin zaman aralığındaki yer değiştirmesi $[a,b]$ tarafından verilir:

$x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,$ ⓘ

burada $v(t)$ zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilen hızdır. Bir kuvvet tarafından yapılan iş $F(x)$ (konumun bir fonksiyonu olarak verilir) bir başlangıç konumundan $A$ nihai bir konuma $B$ dır:

$W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.$ ⓘ

İntegraller termodinamikte de kullanılır; burada termodinamik integral, verilen iki durum arasındaki serbest enerji farkını hesaplamak için kullanılır. ⓘ

Hesaplama

Analitik

Bir reel değişkenin belirli integrallerini hesaplamak için kullanılan en temel teknik kalkülüsün temel teoremine dayanır. f(x), verilen bir [a, b] aralığı üzerinde integre edilecek x fonksiyonu olsun. Ardından, f'nin bir karşıt türevini bulun; yani, aralık üzerinde F′ = f olacak şekilde bir F fonksiyonu. Analizin temel teoremine göre, integrand ve integralin integrasyon yolu üzerinde tekillik olmaması koşuluyla, ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$ ⓘ

Bazen integralleri değerlendirmek için geliştirilmiş birçok teknikten birini kullanmak gerekir. Bu tekniklerin çoğu, bir integrali daha anlaşılır olması umulan farklı bir integral olarak yeniden yazar. Bu teknikler arasında yerine koyarak integral alma, parçalara ayırarak integral alma, trigonometrik yerine koyarak integral alma ve kısmi kesirlerle integral alma yer alır. ⓘ

Daha karmaşık integralleri hesaplamak için alternatif yöntemler mevcuttur. Birçok temel olmayan integral bir Taylor serisinde genişletilebilir ve terim terim integre edilebilir. Bazen, ortaya çıkan sonsuz seriler analitik olarak toplanabilir. İntegralin Meijer G-fonksiyonlarının bir çarpımı olarak yazılabileceği varsayılarak, Meijer G-fonksiyonlarını kullanan konvolüsyon yöntemi de kullanılabilir. Belirli integralleri hesaplamanın daha az yaygın birçok yolu da vardır; örneğin, dikdörtgen bir bölge üzerindeki bir integrali sonsuz bir toplama dönüştürmek için Parseval özdeşliği kullanılabilir. Bazen, bir integral bir hile ile değerlendirilebilir; bunun bir örneği için Gauss integraline bakınız. ⓘ

Devirli katıların hacimlerinin hesaplanması genellikle disk integrasyonu veya kabuk integrasyonu ile yapılabilir. ⓘ

Çeşitli tekniklerle elde edilen özel sonuçlar integraller listesinde toplanmıştır. ⓘ

Sembolik

Matematik, fizik ve mühendislikteki birçok problem, integral için açık bir formülün istendiği entegrasyonu içerir. Bu amaçla yıllar boyunca kapsamlı integral tabloları derlenmiş ve yayınlanmıştır. Bilgisayarların yaygınlaşmasıyla birlikte, birçok profesyonel, eğitimci ve öğrenci, entegrasyon da dahil olmak üzere zor veya sıkıcı görevleri yerine getirmek için özel olarak tasarlanmış bilgisayar cebiri sistemlerine yönelmiştir. Sembolik integrasyon, Macsyma ve Maple gibi bu tür ilk sistemlerin geliştirilmesinin motivasyonlarından biri olmuştur. ⓘ

Sembolik integral almadaki en büyük matematiksel zorluk, birçok durumda, nispeten basit bir fonksiyonun, rasyonel ve üstel fonksiyonlar, logaritma, trigonometrik fonksiyonlar ve ters trigonometrik fonksiyonlar ile çarpma ve bileşim işlemlerini içeren kapalı formda ifade edilebilecek integrallere sahip olmamasıdır. Risch algoritması, temel bir fonksiyonun antiderivatifinin temel olup olmadığını belirlemek ve eğer temel ise hesaplamak için genel bir kriter sağlar. Ancak, kapalı antiderivatif ifadeleri olan fonksiyonlar istisnadır ve sonuç olarak, bilgisayarlı cebir sistemlerinin rastgele oluşturulmuş bir temel fonksiyon için antiderivatif bulma umudu yoktur. Olumlu yönden bakacak olursak, eğer antiderivatiflerin 'yapı taşları' önceden sabitlenmişse, verilen bir fonksiyonun antiderivatifinin bu bloklar ve çarpma ve bileşim işlemleri kullanılarak ifade edilip edilemeyeceğine karar vermek ve varsa sembolik cevabı bulmak mümkün olabilir. Mathematica, Maple ve diğer bilgisayar cebiri sistemlerinde uygulanan Risch algoritması, rasyonel fonksiyonlar, radikaller, logaritma ve üstel fonksiyonlardan oluşturulan fonksiyonlar ve antiderivatifler için tam da bunu yapar. ⓘ

Bazı özel integraller özel bir çalışma gerektirecek kadar sık ortaya çıkar. Özellikle, antiderivatifler kümesinde özel fonksiyonların (Legendre fonksiyonları, hipergeometrik fonksiyon, gamma fonksiyonu, eksik gamma fonksiyonu ve benzeri gibi) bulunması faydalı olabilir. Risch algoritmasını bu tür fonksiyonları içerecek şekilde genişletmek mümkündür ancak zordur ve aktif bir araştırma konusu olmuştur. ⓘ

Son zamanlarda, polinom katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümleri olan D-sonlu fonksiyonları kullanan yeni bir yaklaşım ortaya çıkmıştır. Temel ve özel fonksiyonların çoğu D-sonludur ve bir D-sonlu fonksiyonun integrali de bir D-sonlu fonksiyondur. Bu, bir D-sonlu fonksiyonun antiderivatifini bir diferansiyel denklemin çözümü olarak ifade etmek için bir algoritma sağlar. Bu teori aynı zamanda bir D-fonksiyonunun belirli integralinin ilk katsayılar tarafından verilen bir serinin toplamı olarak hesaplanmasına izin verir ve herhangi bir katsayıyı hesaplamak için bir algoritma sağlar. ⓘ

Sayısal

Sayısal kareleme yöntemleri: dikdörtgen yöntemi, trapezoidal kural, Romberg yöntemi, Gauss kareleme ⓘ

Belirli integraller çeşitli sayısal integrasyon yöntemleri kullanılarak yaklaştırılabilir. Dikdörtgen yöntemi, fonksiyonun altındaki bölgeyi fonksiyon değerlerine karşılık gelen bir dizi dikdörtgene bölmeye dayanır ve toplamı bulmak için adım genişliği ile çarpılır. Daha iyi bir yaklaşım olan trapezoidal kural, Riemann toplamında kullanılan dikdörtgenlerin yerine trapezoidleri koyar. Yamuk kuralı ilk ve son değerleri yarı yarıya ağırlıklandırır, ardından daha iyi bir yaklaşım elde etmek için adım genişliği ile çarpar. Trapezoidal kuralın arkasındaki, fonksiyona daha doğru yaklaşımların integral için daha iyi yaklaşımlar sağladığı fikri daha da ileri götürülebilir: Simpson kuralı, integrali parçalı ikinci dereceden bir fonksiyona yaklaştırır. ⓘ

Riemann toplamları, trapezoidal kural ve Simpson kuralı, Newton-Cotes formülleri olarak adlandırılan bir kareleme kuralları ailesinin örnekleridir. Derece n Newton-Cotes kareleme kuralı, her bir alt aralıktaki polinoma derece n polinomu ile yaklaşır. Bu polinom, aralıktaki fonksiyonun değerlerini enterpole etmek için seçilir. Daha yüksek dereceli Newton-Cotes yaklaşımları daha doğru olabilir, ancak daha fazla fonksiyon değerlendirmesi gerektirirler ve Runge fenomeni nedeniyle sayısal yanlışlıklardan muzdarip olabilirler. Bu soruna bir çözüm, integrandın Chebyshev polinomları cinsinden genişletilerek yaklaştırıldığı Clenshaw-Curtis quadrature yöntemidir. ⓘ

Romberg'in yöntemi, adım genişliklerini kademeli olarak yarıya indirir ve T(h₀), T(h₁) vb. ile gösterilen yamuk yaklaşımları verir; burada h_k+1, hk'nın yarısıdır. Her yeni adım boyutu için yeni fonksiyon değerlerinin yalnızca yarısının hesaplanması gerekir; diğerleri önceki boyuttan devam eder. Daha sonra yaklaşımlar üzerinden bir polinomun enterpolasyonu yapılır ve T(0)'a ekstrapolasyon yapılır. Gauss kareleme, bir dizi ortogonal polinomun köklerindeki fonksiyonu değerlendirir. N-noktalı Gauss yöntemi 2n - 1'e kadar dereceli polinomlar için kesindir. ⓘ

Daha yüksek boyutlu integrallerin hesaplanmasında (örneğin hacim hesaplamaları) Monte Carlo integrasyonu gibi alternatiflerden önemli ölçüde yararlanılır. ⓘ

Mekanik

İki boyutlu keyfi bir şeklin alanı, planimetre adı verilen bir ölçüm aleti kullanılarak belirlenebilir. Düzensiz nesnelerin hacmi, nesne suya batırıldığında yer değiştiren sıvı ile hassas bir şekilde ölçülebilir. ⓘ

Geometrik

Alan bazen eşdeğer bir karenin geometrik pergel ve düz kenar yapıları yoluyla bulunabilir. ⓘ

Farklılaştırma ile bütünleştirme

Kempf, Jackson ve Morales, bir integralin türev yoluyla hesaplanmasını sağlayan matematiksel ilişkileri göstermiştir. Hesaplamaları Dirac delta fonksiyonunu ve kısmi türev operatörünü içermektedir $\partial _{x}$. Bu aynı zamanda fonksiyonel integrallere de uygulanabilir ve fonksiyonel türev ile hesaplanmalarına olanak tanır. ⓘ

Örnekler

Kalkülüsün Temel Teoremini Kullanma

Kalkülüsün temel teoremi, temel fonksiyonların doğrudan hesaplanmasına olanak tanır. ⓘ

$\int _{0}^{\pi }\sin(x)dx=-\cos(x)\mid _{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-(-\cos(0))=2$ ⓘ

Köken

Sir Isaac Newton ⓘ

Bernhard Riemann ⓘ

• Dilimize İngilizceden veya Fransızcadan geçmiş integral sözcüğü "bütüne ait olan" anlamına gelir ve İngilizceye Orta Fransızca intégral sözcüğünden; Orta Latince integralis (tüm yapmak, tümlemek) sözcüğünden; Latince integer (tüm, bütün, tam) sözcüğünden gelmiştir. Ayrıca integer sözcüğü tam sayı terimine karşılık olarak İngilizceye geçmiştir.
• Türkçede tümlev sözcüğü, Osmanlıca mütemmem ile tamamî sözcüklerinin ve İngilizcedeki integral sözcüğünün anlamını karşılamak için türetilmiştir. tümlev sözcüğü, "tümlenmiş şey" anlamına gelir. İsimden fiil yapan /-ev,-av/ yapım ekiyle kullanımda olan tümle[mek] fiilinden; isimden fiil yapan /-le[mek]/ yapım ekiyle muhtemelen Öz Türkçe *tüm (bknz. tümen) kökünden türetilmiştir.
• Osmanlıcada mütemmem sözcüğü kullanılmış (Arapçadaki *tm (tam) kökünden gelir) ancak Arapçada şu anda "olgun, evrimleşmiş, bütünleşmiş" anlamındaki tekâmül [1] 23 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. sözcüğü kullanılmaktadır(kâmil, mükemmel, küme ile aynı kökten: *kml). ⓘ

İntegral alma yöntemleri

Basit örnek

Aşağıdaki 6.dereceden bir polinomu ilkel fonksiyon kullanarak çözmek neredeyse imkânsızdır. Bunun için değişken değiştirme yöntemini kullanalım:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.\,$ ⓘ

Bu denklemde x³ = u değişken değişimini uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir:

$u^{2}-9u+8=0\,$ ⓘ

Böylece denklem ikinci dereceden denklem biçimine dönüştü. Bu denklemin kökleri; ⓘ

$u=1\quad {\mbox{ve}}\quad u=8'dir.$ ⓘ

Bu yeni değişkenin sonuçlarını, ham değişkende yerine koyalım:

$x^{3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x^{3}=8\quad \Rightarrow \qquad x=(1)^{1/3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x=(8)^{1/3}=2.\,$ ⓘ

Kısmi integral

Eğer integral ${\int f(x)g(x)dx}$ şeklinde verilmiş ve $f(x)$ veya $g(x)$ birbirleri cinsinden yazılamıyorsa kısmi integrasyon yöntemi uygulanır. Bu indirgeme sırasıyla logaritma, ters trigonometrik fonksiyonlar, polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar ve son olarak üstel fonksiyonlara uygulanır. Bazı eğitmenler bu fonksiyonların baş harflerini ("LAPTÜ") bir kolay hatırlama yöntemi olarak kullanır. ⓘ

$\int f(x)g(x)dx$ ⓘ

integralinde $f(x)$ yukarıdaki sıralamada önce geliyorsa, $f(x)=u$ değişken değiştirmesi yapılır ve geri kalan ifadeler ile $g(x)dx=dv$ denklemi kurulur. Bunu takiben, ${\textstyle u={df(x) \over dx}}$, ${\textstyle v=G(x)}$ denliklerine ulaşılır. Burada $G(x)$, $g(x)$'in integrali alınmış halidir. ⓘ

Sonuç olarak verilen integral $I$, $v$ ve $u$ cinsinden yazılabilir: ${\textstyle I}$ = $uv-\int vdu$ ⓘ

Örnek 1

$\int lnxdx$ integrali değişken değiştirme yöntemiyle integrallenemez bu yüzden kısmi integrasyon uygulamak gerekir. Yukarıdaki indirgeme sırasında logaritma ($lnx$) önceliklidir, dolayısıyla: $lnx=u$, $dx=dv$ ⓘ

${\frac {dx}{x}}=du$, $x=v$ ⓘ

Burada belirsiz integralin keyfi sabiti $c$ henüz eklenmemiştir. Bu sabit en son integralde eklenecektir. Kısmi integrasyon formülü uygulandığında, ⓘ

$uv-\int vdu$ $=xlnx-\int {\frac {1}{x}}xdx$ halini alır. İntegraldeki $x$'ler sadeleşir. Sonuç bulunur: $xlnx-x$ $+c$ ⓘ

Örnek 2

$\int xe^{x}dx$ integrali için de kısmi integral uygulanmalıdır. Yukarıdaki indirgeme önceliğine göre polinom ($x$) üstel fonksiyondan ($e^{x}$) önce gelir: $x=u$, $e^{x}=dv$ ⓘ

$dx=du$, $e^{x}=v$ ⓘ

Bunu takiben, ⓘ

$uv-\int vdu$ $=xe^{x}-\int e^{x}dx$ ⓘ

işlemleri yapılarak sonuç bulunur: $xe^{x}-e^{x}$$+c$ ⓘ

Basit fonksiyonların integralleri

Rasyonel fonksiyonlar

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ eğer }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$ ⓘ

İrrasyonel fonksiyonlar

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C$ ⓘ

Logaritmik fonksiyonlar

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$ ⓘ

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$ ⓘ

Üslü fonksiyonlar

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

$\int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C$ ⓘ

Trigonometrik fonksiyonlar

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$ ⓘ

Hiperbolik fonksiyonlar

$\int \sinh x\,dx=\,coshx+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C$ ⓘ

Ters hiperbolik fonksiyonlar

$\int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$ ⓘ