Momentum

Momentum ⓘ
Bilardo isteka topunun momentumu, çarpışmadan sonra rafa dizilmiş toplara aktarılır.
Yaygın semboller	p, p
SI birimi	kg⋅m/s
Diğer birimler	sümüklü böcek ⋅ft/s
Korunmuş mu?	Evet
Boyut	MLT-1

Newton mekaniğinde doğrusal momentum, öteleme momentumu ya da sadece momentum, bir nesnenin kütlesi ve hızının çarpımıdır. Bir vektör niceliğidir, bir büyüklüğe ve bir yöne sahiptir. Eğer m bir nesnenin kütlesi ve v de hızı (aynı zamanda bir vektör niceliği) ise, o zaman nesnenin momentumu p 'dir: $\mathbf {p} =m\mathbf {v} .$ ⓘ

Uluslararası Birimler Sisteminde (SI) momentum ölçüm birimi, newton-saniyeye eşdeğer olan kilogram metre/saniyedir (kg⋅m/s). ⓘ

Newton'un ikinci hareket yasası, bir cismin momentumunun değişim oranının, üzerine etki eden net kuvvete eşit olduğunu belirtir. Momentum referans çerçevesine bağlıdır, ancak herhangi bir eylemsiz çerçevede korunmuş bir niceliktir, yani kapalı bir sistem dış kuvvetlerden etkilenmiyorsa, toplam doğrusal momentumu değişmez. Momentum aynı zamanda özel görelilikte (değiştirilmiş bir formülle) ve değiştirilmiş bir biçimde elektrodinamik, kuantum mekaniği, kuantum alan teorisi ve genel görelilikte de korunur. Uzay ve zamanın temel simetrilerinden biri olan öteleme simetrisinin bir ifadesidir. ⓘ

Klasik mekaniğin gelişmiş formülasyonları olan Lagrangian ve Hamiltonian mekaniği, simetrileri ve kısıtlamaları içeren koordinat sistemlerinin seçilmesine izin verir. Bu sistemlerde korunan nicelik genelleştirilmiş momentumdur ve genel olarak bu yukarıda tanımlanan kinetik momentumdan farklıdır. Genelleştirilmiş momentum kavramı kuantum mekaniğine taşınır ve burada bir dalga fonksiyonu üzerinde bir operatör haline gelir. Momentum ve konum operatörleri Heisenberg belirsizlik ilkesi ile ilişkilidir. ⓘ

Elektromanyetik alanlar, akışkan dinamikleri ve deforme olabilen cisimler gibi sürekli sistemlerde, bir momentum yoğunluğu tanımlanabilir ve momentumun korunumunun sürekli bir versiyonu, akışkanlar için Navier-Stokes denklemleri veya deforme olabilen katılar veya akışkanlar için Cauchy momentum denklemi gibi denklemlere yol açar. ⓘ

Newtonian

Momentum bir vektör niceliğidir: hem büyüklüğü hem de yönü vardır. Momentumun bir yönü olduğundan, nesnelerin çarpıştıktan sonra ortaya çıkan hareket yönünü ve hızını tahmin etmek için kullanılabilir. Aşağıda, momentumun temel özellikleri tek boyutta açıklanmaktadır. Vektör denklemleri skaler denklemlerle neredeyse aynıdır (bkz. çoklu boyutlar). ⓘ

Tek parçacık

Bir parçacığın momentumu geleneksel olarak p harfi ile gösterilir. Bu, parçacığın kütlesi (m harfi ile gösterilir) ve hızı (v) olmak üzere iki niceliğin çarpımıdır:

$p=mv.$ ⓘ

Momentum birimi, kütle ve hız birimlerinin çarpımıdır. SI birimlerinde, kütle kilogram cinsinden ve hız saniyede metre cinsinden ise, momentum saniyede kilogram metre cinsindendir (kg⋅m/s). Cgs birimlerinde, eğer kütle gram cinsinden ve hız saniyede santimetre cinsinden ise, momentum saniyede gram santimetre cinsindendir (g⋅cm/s). ⓘ

Bir vektör olan momentumun büyüklüğü ve yönü vardır. Örneğin, düz uçuşta 1 m/s hızla kuzeye doğru hareket eden 1 kg'lık bir model uçak, yere göre ölçüldüğünde kuzeye doğru 1 kg⋅m/s'lik bir momentuma sahiptir. ⓘ

Birçok parçacık

Bir parçacık sisteminin momentumu, momentumlarının vektörel toplamıdır. Eğer iki parçacık m₁ ve m₂ kütlelerine ve v₁ ve v₂ hızlarına sahipse, toplam momentum

${\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}$

İkiden fazla parçacığın momentumları daha genel olarak aşağıdaki şekilde toplanabilir:

$p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.$ ⓘ

Parçacıklardan oluşan bir sistemin, konumlarının ağırlıklı toplamıyla belirlenen bir nokta olan bir kütle merkezi vardır:

$r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.$ ⓘ

Eğer parçacıklardan biri ya da daha fazlası hareket ediyorsa, sistemin kütle merkezi de genellikle hareket ediyor olacaktır (sistem onun etrafında saf bir dönme hareketi içinde değilse). Eğer parçacıkların toplam kütlesi $m$ve kütle merkezi v_cm hızında hareket ediyorsa, sistemin momentumu şöyledir:

$p=mv_{\text{cm}}.$

Bu Euler'in birinci yasası olarak bilinir. ⓘ

Kuvvet ile ilişki

Bir parçacığa uygulanan net F kuvveti sabitse ve Δt zaman aralığı için uygulanıyorsa, parçacığın momentumu şu miktarda değişir

$\Delta p=F\Delta t\,.$ ⓘ

Diferansiyel formda bu Newton'un ikinci yasasıdır; bir parçacığın momentumunun değişim oranı, üzerine etki eden anlık F kuvvetine eşittir,

$F={\frac {dp}{dt}}.$ ⓘ

Bir parçacığın maruz kaldığı net kuvvet zamanın bir fonksiyonu olarak değişiyorsa, F(t), t₁ ve t₂ zamanları arasında momentumdaki (veya J impulsundaki) değişim

$\Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.$ ⓘ

İmpuls, türetilmiş newton saniye (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) veya dyne saniye (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s) birimleriyle ölçülür ⓘ

Sabit m kütlesi varsayımı altında, aşağıdakileri yazmak eşdeğerdir

$F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,$

Dolayısıyla net kuvvet, parçacığın kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir. ⓘ

Örnek: Kütlesi 1 kg olan bir model uçak 2 s içinde durağan halden kuzeye doğru 6 m/s hıza ulaşır. Bu ivmeyi üretmek için gereken net kuvvet kuzeye doğru 3 newtondur. Momentumdaki değişim kuzeye doğru 6 kg⋅m/s'dir. Momentum değişim oranı kuzeye doğru 3 (kg⋅m/s)/s olup sayısal olarak 3 newtona eşittir. ⓘ

Korunum

Kapalı bir sistemde (çevresiyle herhangi bir madde alışverişinde bulunmayan ve dış güçler tarafından etkilenmeyen bir sistem) toplam momentum sabit kalır. Momentumun korunumu yasası olarak bilinen bu gerçek, Newton'un hareket yasaları tarafından ima edilir. Örneğin, iki parçacığın etkileşime girdiğini varsayalım. Üçüncü yasada açıklandığı gibi, aralarındaki kuvvetler büyüklük olarak eşit ancak yön olarak zıttır. Parçacıklar 1 ve 2 olarak numaralandırılırsa, ikinci yasa F₁ = dp₁/dt ve F₂ = dp₂/dt olduğunu belirtir. Bu nedenle,

${\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},$

Negatif işaret kuvvetlerin karşıt olduğunu gösterir. Eşdeğer olarak,

${\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.$ ⓘ

Eğer parçacıkların hızları etkileşimden önce u₁ ve u₂ ise ve etkileşimden sonra v₁ ve v₂ ise, o zaman

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$ ⓘ

Bu yasa, parçacıklar arasındaki kuvvet ne kadar karmaşık olursa olsun geçerlidir. Benzer şekilde, birden fazla parçacık varsa, her bir parçacık çifti arasında değiş tokuş edilen momentum sıfıra eklenir, dolayısıyla momentumdaki toplam değişim sıfırdır. Bu korunum yasası, çarpışmalar ve patlayıcı kuvvetlerin neden olduğu ayrılmalar da dahil olmak üzere tüm etkileşimler için geçerlidir. Newton yasalarının geçerli olmadığı durumlar için de genelleştirilebilir, örneğin görelilik teorisinde ve elektrodinamikte. ⓘ

Referans çerçevesine bağımlılık

Momentum ölçülebilir bir niceliktir ve ölçüm referans çerçevesine bağlıdır. Örneğin: m kg kütleli bir uçak havada 50 m/s hızla uçuyorsa, momentumu 50m kg.m/s olarak hesaplanabilir. Eğer uçak 5 m/s'lik bir rüzgarda uçuyorsa, Dünya yüzeyine göre hızı sadece 45 m/s'dir ve momentumu 45m kg.m/s olarak hesaplanabilir. Her iki hesaplama da eşit derecede doğrudur. Her iki referans çerçevesinde de momentumdaki herhangi bir değişimin ilgili fizik yasalarıyla tutarlı olduğu görülecektir. ⓘ

Bir parçacığın sabit bir referans çerçevesinde x konumuna sahip olduğunu varsayalım. Düzgün bir u hızıyla hareket eden başka bir referans çerçevesinin bakış açısından, konum (astarlanmış bir koordinatla temsil edilir) zamanla şu şekilde değişir

$x'=x-ut\,.$

Buna Galile dönüşümü denir. Parçacık ilk referans çerçevesinde dx/dt = v hızında hareket ediyorsa, ikincisinde şu hızda hareket eder

$v'={\frac {dx'}{dt}}=v-u\,.$

u değişmediği için ivmeler aynıdır:

$a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.$

Dolayısıyla, momentum her iki referans çerçevesinde de korunur. Dahası, kuvvet aynı biçime sahip olduğu sürece, her iki çerçevede de Newton'un ikinci yasası değişmez. Sadece nesneler arasındaki skaler mesafeye bağlı olan Newton yerçekimi gibi kuvvetler bu kriteri karşılar. Referans çerçevesinin bu bağımsızlığına Newton göreliliği ya da Galile değişmezliği denir. ⓘ

Referans çerçevesinin değiştirilmesi, genellikle hareket hesaplamalarını basitleştirebilir. Örneğin, iki parçacığın çarpışmasında, parçacıklardan birinin hareketsiz başladığı bir referans çerçevesi seçilebilir. Yaygın olarak kullanılan bir başka referans çerçevesi de kütle merkezi çerçevesidir - kütle merkeziyle birlikte hareket eden bir çerçeve. Bu çerçevede, toplam momentum sıfırdır. ⓘ

Çarpışmalara uygulama

Her birinin momentumu bilinen iki parçacık çarpışır ve birleşirse, momentumun korunumu yasası birleşen cismin momentumunu belirlemek için kullanılabilir. Eğer çarpışmanın sonucu iki parçacığın ayrılması ise, bu yasa her bir parçacığın momentumunu belirlemek için yeterli değildir. Çarpışmadan sonra bir parçacığın momentumu biliniyorsa, yasa diğer parçacığın momentumunu belirlemek için kullanılabilir. Alternatif olarak, çarpışmadan sonraki birleşik kinetik enerji biliniyorsa, yasa çarpışmadan sonra her bir parçacığın momentumunu belirlemek için kullanılabilir. Kinetik enerji genellikle korunmaz. Eğer korunursa, çarpışma elastik çarpışma olarak adlandırılır; korunmazsa, elastik olmayan bir çarpışmadır. ⓘ

Elastik çarpışmalar

Eşit kütlelerin elastik çarpışması ⓘ

Eşit olmayan kütlelerin elastik çarpışması ⓘ

Elastik bir çarpışma, hiçbir kinetik enerjinin ısıya veya başka bir enerji biçimine dönüşmediği bir çarpışmadır. Mükemmel elastik çarpışmalar, örneğin elektriksel itmenin nesneleri ayrı tuttuğu atomik veya nükleer saçılmada olduğu gibi, nesneler birbirine temas etmediğinde meydana gelebilir. Bir uydunun bir gezegen etrafındaki sapan manevrası da mükemmel elastik bir çarpışma olarak görülebilir. İki bilardo topu arasındaki çarpışma, yüksek sertliklerinden dolayı neredeyse tamamen elastik bir çarpışmaya iyi bir örnektir, ancak cisimler temas ettiğinde her zaman bir miktar dağılma olur. ⓘ

İki cisim arasındaki kafa kafaya elastik çarpışma, cisimlerden geçen bir doğru boyunca tek boyuttaki hızlarla temsil edilebilir. Hızlar çarpışmadan önce u₁ ve u₂ ve çarpışmadan sonra v₁ ve v₂ ise, momentum ve kinetik enerjinin korunumunu ifade eden denklemler şunlardır:

${\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}$ ⓘ

Referans çerçevesinin değiştirilmesi bir çarpışmanın analizini basitleştirebilir. Örneğin, biri sabit diğeri v hızıyla diğerine yaklaşan (şekildeki gibi) eşit m kütleli iki cisim olduğunu varsayalım. Kütle merkezi v/2 hızıyla hareket ediyor ve her iki cisim de ona doğru v/2 hızıyla hareket ediyor. Simetri nedeniyle, çarpışmadan sonra her ikisi de kütle merkezinden aynı hızda uzaklaşıyor olmalıdır. Kütle merkezinin hızını her ikisine de eklediğimizde, hareket eden cismin artık durduğunu ve diğerinin v hızıyla uzaklaştığını görürüz. Cisimlerin hızları ne olursa olsun, kütle merkezi çerçevesine geçiş bizi aynı sonuca götürür. Bu nedenle, son hızlar şu şekilde verilir

${\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.\end{aligned}}$ ⓘ

Genel olarak, ilk hızlar bilindiğinde, son hızlar şu şekilde verilir

$v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,$

$v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.$

Eğer bir cisim diğerinden çok daha büyük bir kütleye sahipse, cismin hızı çarpışmadan çok az etkilenirken diğer cisim büyük bir değişim yaşayacaktır. ⓘ

Esnek olmayan çarpışmalar

eşit kütleler arasında mükemmel elastik olmayan bir çarpışma ⓘ

Elastik olmayan bir çarpışmada, çarpışan cisimlerin kinetik enerjisinin bir kısmı diğer enerji biçimlerine (ısı veya ses gibi) dönüştürülür. Örnekler arasında, kinetik enerji kaybının etkisinin araçlardaki hasarda görülebildiği trafik çarpışmaları; elektronların enerjilerinin bir kısmını atomlara kaybetmesi (Franck-Hertz deneyinde olduğu gibi); ve kinetik enerjinin yeni parçacıklar şeklinde kütleye dönüştürüldüğü parçacık hızlandırıcıları yer almaktadır. ⓘ

Mükemmel elastik olmayan bir çarpışmada (ön cama çarpan bir böcek gibi), her iki cisim de daha sonra aynı harekete sahip olur. İki cisim arasındaki kafa kafaya elastik olmayan bir çarpışma, cisimlerden geçen bir doğru boyunca tek boyuttaki hızlarla temsil edilebilir. Eğer hızlar çarpışmadan önce u₁ ve u₂ ise, mükemmel elastik olmayan bir çarpışmada her iki cisim de çarpışmadan sonra v hızıyla hareket edecektir. Momentumun korunumunu ifade eden denklem şöyledir:

${\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}$

Eğer cisimlerden biri başlangıçta hareketsiz ise (örn. $u_{2}=0$), momentumun korunumu için denklem şöyledir

$m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,$

Yani

$v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.$

Farklı bir durumda, referans çerçevesi aşağıdaki gibi son hızda hareket ediyorsa $v=0$Cisimler mükemmel elastik olmayan bir çarpışma ile hareketsiz hale getirilir ve kinetik enerjinin %100'ü diğer enerji formlarına dönüştürülür. Bu durumda cisimlerin başlangıç hızları sıfırdan farklı olacaktır ya da cisimlerin kütlesiz olması gerekecektir. ⓘ

Çarpışmanın esnek olmamasının bir ölçütü de, göreli ayrılma hızının göreli yaklaşma hızına oranı olarak tanımlanan C_R restitüsyon katsayısıdır. Bu ölçü katı bir yüzeyden seken bir topa uygulanırken, aşağıdaki formül kullanılarak kolayca ölçülebilir:

$C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.$ ⓘ

Momentum ve enerji denklemleri, birlikte başlayıp sonra ayrılan nesnelerin hareketleri için de geçerlidir. Örneğin bir patlama, kimyasal, mekanik veya nükleer formda depolanan potansiyel enerjiyi kinetik enerjiye, akustik enerjiye ve elektromanyetik radyasyona dönüştüren bir zincirleme reaksiyonun sonucudur. Roketler de momentumun korunumundan yararlanır: itici gaz dışarı doğru itilerek momentum kazanır ve rokete eşit ve zıt bir momentum verilir. ⓘ

Çoklu boyutlar

İki boyutlu elastik çarpışma. Görüntüye dik bir hareket yoktur, bu nedenle hızları ve momentleri temsil etmek için sadece iki bileşene ihtiyaç vardır. İki mavi vektör çarpışmadan sonraki hızları temsil eder ve ilk (kırmızı) hızı elde etmek için vektörel olarak toplanır. ⓘ

Gerçek hareketin hem yönü hem de hızı vardır ve bir vektörle temsil edilmelidir. X, y, z eksenleri olan bir koordinat sisteminde hızın x yönünde vx, y yönünde vy, z yönünde vz bileşenleri vardır. Vektör kalın bir sembolle gösterilir:

$\mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).$

Benzer şekilde, momentum da vektörel bir büyüklüktür ve kalın harflerle gösterilir:

$\mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).$ ⓘ

Önceki bölümlerdeki denklemler, p ve v skalerlerinin p ve v vektörleri ile değiştirilmesi durumunda vektör formunda çalışır. Her vektör denklemi üç skaler denklemi temsil eder. Örneğin,

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

üç denklemi temsil eder:

${\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}$ ⓘ

Kinetik enerji denklemleri yukarıdaki değiştirme kuralının istisnalarıdır. Denklemler hala tek boyutludur, ancak her skaler vektörün büyüklüğünü temsil eder, örneğin,

$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.$

Her vektör denklemi üç skaler denklemi temsil eder. Genellikle koordinatlar, şekilde olduğu gibi sadece iki bileşene ihtiyaç duyulacak şekilde seçilebilir. Her bir bileşen ayrı ayrı elde edilebilir ve sonuçlar birleştirilerek bir vektör sonucu elde edilebilir. ⓘ

Kütle merkezi çerçevesini içeren basit bir yapı, durağan bir elastik küreye hareketli bir kürenin çarpması durumunda, çarpışmadan sonra ikisinin dik açılarla yöneleceğini göstermek için kullanılabilir (şekildeki gibi). ⓘ

Değişken kütleli nesneler

Momentum kavramı, yakıt püskürten bir roket veya gaz biriktiren bir yıldız gibi değişken kütleli nesnelerin davranışını açıklamada temel bir rol oynar. Böyle bir nesneyi analiz ederken, nesnenin kütlesini zamana göre değişen bir fonksiyon olarak ele alırız: m(t). Dolayısıyla cismin t zamanındaki momentumu p(t) = m(t)v(t) olur. Bu durumda, cisim üzerindeki F dış kuvvetinin cismin p(t) momentumuyla F = dp/dt ile ilişkili olduğunu söyleyerek Newton'un ikinci hareket yasasına başvurulabilir, ancak bu, d(mv)/dt'ye çarpım kuralı uygulanarak bulunan ilgili ifade gibi yanlıştır:

$F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.$ (yanlış)

Bu denklem değişken kütleli cisimlerin hareketini doğru bir şekilde tanımlamaz. Doğru denklem şudur

$F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},$

Burada u, nesnenin durgun çerçevesinde görüldüğü gibi fırlatılan/boşaltılan kütlenin hızıdır. Bu, eylemsiz bir çerçevede görüldüğü gibi nesnenin kendisinin hızı olan v'den farklıdır. ⓘ

Bu denklem, hem nesnenin momentumunun hem de fırlatılan/boşaltılan kütlenin momentumunun (dm) takip edilmesiyle elde edilir. Birlikte düşünüldüğünde, nesne ve kütle (dm) toplam momentumun korunduğu kapalı bir sistem oluşturur. ⓘ

$P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm$ ⓘ

Rölativistik

Lorentz değişmezliği

Newton fiziği, mutlak zaman ve uzayın herhangi bir gözlemcinin dışında var olduğunu varsayar; bu da Galile değişmezliğine yol açar. Ayrıca ışık hızının bir referans çerçevesinden diğerine değişebileceği öngörüsüyle sonuçlanır. Bu gözlemlere aykırıdır. Özel görelilik kuramında Einstein, hareket denklemlerinin referans çerçevesine bağlı olmadığı varsayımını korur, ancak ışık hızı c'nin değişmez olduğunu varsayar. Sonuç olarak, iki referans çerçevesindeki konum ve zaman, Galile dönüşümü yerine Lorentz dönüşümü ile ilişkilendirilir. ⓘ

Örneğin, bir referans çerçevesinin diğerine göre x yönünde v hızıyla hareket ettiğini düşünün. Galile dönüşümü hareketli çerçevenin koordinatlarını şu şekilde verir

${\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}$

Lorentz dönüşümü ise şunları verir

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}$

Burada γ Lorentz faktörüdür:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$ ⓘ

Newton'un ikinci yasası, kütle sabitken, Lorentz dönüşümü altında değişmez değildir. Bununla birlikte, bir nesnenin eylemsiz kütlesi m hızın bir fonksiyonu haline getirilerek değişmez hale getirilebilir:

$m=\gamma m_{0}\,;$

m₀ nesnenin değişmez kütlesidir. ⓘ

Değiştirilmiş momentum,

$\mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,$

Newton'un ikinci yasasına itaat eder:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.$ ⓘ

Klasik mekaniğin alanı içinde, göreli momentum Newton momentumuna çok yakındır: düşük hızda, γm₀v yaklaşık olarak momentum için Newton ifadesi olan m₀v'ye eşittir. ⓘ

Dört vektörlü formülasyon

Özel görelilik teorisinde fiziksel büyüklükler, üç uzay koordinatının yanı sıra dördüncü bir koordinat olarak zamanı da içeren dört vektör cinsinden ifade edilir. Bu vektörler genellikle büyük harflerle gösterilir, örneğin konum için R. Dört-momentum için ifade, koordinatların nasıl ifade edildiğine bağlıdır. Zaman normal birimleriyle verilebilir veya ışık hızıyla çarpılabilir, böylece dört vektörün tüm bileşenleri uzunluk boyutlarına sahip olur. İkinci ölçeklendirme kullanılırsa, τ ile tanımlanan bir uygun zaman aralığı

$c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,,$

Lorentz dönüşümleri altında değişmezdir (bu ifadede ve takip edenlerde (+ - - -) metrik imza kullanılmıştır, farklı yazarlar farklı kurallar kullanmaktadır). Matematiksel olarak bu değişmezlik iki yoldan biriyle sağlanabilir: dört vektörü Öklid vektörleri olarak ele alıp zamanı √-1 ile çarparak; ya da zamanı gerçek bir nicelik olarak tutup vektörleri bir Minkowski uzayına yerleştirerek. Bir Minkowski uzayında, U = (U₀, U₁, U₂, U₃) ve V = (V₀, V₁, V₂, V₃) iki dört vektörün skaler çarpımı şu şekilde tanımlanır

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.$ ⓘ

Tüm koordinat sistemlerinde, (kontravaryant) rölativistik dört hız şu şekilde tanımlanır

$\mathbf {U} \equiv {\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}=\gamma {\frac {d\mathbf {R} }{dt}}\,,$

ve (kontravaryant) dört-momentum ise

$\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,$

burada m₀ değişmez kütledir. Eğer R = (ct, x, y, z) (Minkowski uzayında) ise, o zaman

$\mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.$

Einstein'ın kütle-enerji eşdeğerliği, E = mc², kullanılarak bu şu şekilde yeniden yazılabilir

$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.$

Dolayısıyla, dört-momentumun korunumu Lorentz ile değişmezdir ve hem kütlenin hem de enerjinin korunumu anlamına gelir. ⓘ

Dört momentum vektörünün büyüklüğü m₀c'ye eşittir:

$\|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,$

'ye eşittir ve tüm referans çerçevelerinde değişmezdir. ⓘ

Rölativistik enerji-momentum ilişkisi fotonlar gibi kütlesiz parçacıklar için bile geçerlidir; m₀ = 0 olarak ayarlandığında

$E=pc\,.$ ⓘ

Rölativistik bir "bilardo" oyununda, durağan bir parçacığa hareketli bir parçacık elastik bir çarpışmayla çarparsa, daha sonra ikisinin oluşturduğu yollar dar bir açı oluşturacaktır. Bu, dik açılarla hareket ettikleri göreceli olmayan durumdan farklıdır. ⓘ

Düzlemsel bir dalganın dört-momentumu, dalga dört-vektörü ile ilişkilendirilebilir

$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$

Bir parçacık için, zamansal bileşenler arasındaki ilişki, E = ħ ω, Planck-Einstein ilişkisidir ve uzamsal bileşenler arasındaki ilişki, p = ħ k, bir de Broglie madde dalgasını tanımlar. ⓘ

Genelleştirilmiş

Newton yasalarının birçok hareket türüne uygulanması zor olabilir çünkü hareket kısıtlamalarla sınırlandırılmıştır. Örneğin, abaküs üzerindeki bir boncuk tel boyunca hareket etmekle ve bir sarkaç bobu pivottan sabit bir mesafede sallanmakla kısıtlanmıştır. Bu gibi birçok kısıtlama, normal Kartezyen koordinatların daha az sayıda olabilecek bir dizi genelleştirilmiş koordinatla değiştirilmesiyle dahil edilebilir. Genelleştirilmiş koordinatlarda mekanik problemlerini çözmek için rafine matematiksel yöntemler geliştirilmiştir. Kanonik veya eşlenik momentum olarak da bilinen ve hem doğrusal momentum hem de açısal momentum kavramlarını genişleten genelleştirilmiş bir momentum ortaya koyarlar. Genelleştirilmiş momentumdan ayırt etmek için, kütle ve hızın çarpımı mekanik, kinetik veya kinematik momentum olarak da adlandırılır. İki ana yöntem aşağıda açıklanmaktadır. ⓘ

Lagrangian mekaniği

Lagrangian mekaniğinde, bir Lagrangian kinetik enerji T ile potansiyel enerji V arasındaki fark olarak tanımlanır:

${\mathcal {L}}=T-V\,.$

Genelleştirilmiş koordinatlar q = (q₁, q₂, ... , q_N) vektörü olarak gösterilirse ve zaman farklılaşması değişken üzerinde bir nokta ile gösterilirse, hareket denklemleri (Lagrange veya Euler-Lagrange denklemleri olarak bilinir) bir dizi N denklemidir:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.$

Eğer bir qi koordinatı Kartezyen bir koordinat değilse, ilişkili genelleştirilmiş momentum bileşeni pi'nin doğrusal momentum boyutlarına sahip olması gerekmez. Qi bir Kartezyen koordinat olsa bile, potansiyel hıza bağlıysa pi mekanik momentumla aynı olmayacaktır. Bazı kaynaklar kinematik momentumu Π sembolü ile temsil etmektedir. ⓘ

Bu matematiksel çerçevede, genelleştirilmiş bir momentum genelleştirilmiş koordinatlarla ilişkilendirilir. Bileşenleri şu şekilde tanımlanır

$p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.$

Her bir pj bileşeninin qj koordinatı için eşlenik momentum olduğu söylenir. ⓘ

Şimdi eğer verilen bir qi koordinatı Lagrangian'da görünmüyorsa (zaman türevi görünse de), o zaman

$p_{j}={\text{constant}}\,.$

Bu, momentumun korunumunun genelleştirilmesidir. ⓘ

Genelleştirilmiş koordinatlar sadece sıradan uzaysal koordinatlar olsa bile, eşlenik momentumların sıradan momentum koordinatları olması gerekmez. Elektromanyetizma ile ilgili bölümde buna bir örnek verilmiştir. ⓘ

Hamilton mekaniği

Hamilton mekaniğinde, Lagrangian'ın (genelleştirilmiş koordinatların ve türevlerinin bir fonksiyonu) yerini genelleştirilmiş koordinatların ve momentumun bir fonksiyonu olan bir Hamiltonian alır. Hamiltonyen şu şekilde tanımlanır

${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,$

Burada momentum, Lagrangian'ın yukarıdaki gibi türevlendirilmesiyle elde edilir. Hamilton hareket denklemleri şunlardır

${\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}\,.\end{aligned}}$

Lagrangian mekaniğinde olduğu gibi, genelleştirilmiş bir koordinat Hamiltonyende görünmüyorsa, eşlenik momentum bileşeni korunur. ⓘ

Simetri ve korunum

Momentumun korunumu, uzayın homojenliğinin (kayma simetrisi) matematiksel bir sonucudur (uzaydaki konum, momentumun kanonik eşlenik niceliğidir). Yani, momentumun korunumu fizik yasalarının konuma bağlı olmadığı gerçeğinin bir sonucudur; bu Noether teoreminin özel bir durumudur. Bu simetriye sahip olmayan sistemler için momentumun korunumunu tanımlamak mümkün olmayabilir. Momentumun korunumunun geçerli olmadığı örnekler arasında genel görelilikteki eğri uzaylar veya yoğun madde fiziğindeki zaman kristalleri yer alır. ⓘ

Momentum, öteleme invaryansının Noether yüküdür. Öyle ki, sadece parçacıklar değil, alanlar ve diğer her şey momentuma sahip olabilir. Ancak uzay-zamanın eğri olduğu yerlerde, öteleme invaryansı için hiçbir Noether yükü yoktur. ⓘ

Elektromanyetik

Bir tarladaki parçacık

Maxwell'in denklemlerinde parçacıklar arasındaki kuvvetlere elektrik ve manyetik alanlar aracılık eder. Elektrik alan E ve manyetik alan B'nin birleşiminden dolayı q yüklü bir parçacık üzerindeki elektromanyetik kuvvet (Lorentz kuvveti)

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).$

(SI birimlerinde). Bir elektrik potansiyeli φ(r, t) ve manyetik vektör potansiyeli A(r, t) vardır. Relativistik olmayan rejimde, genelleştirilmiş momentumu

$\mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,$ ⓘ

rölativistik mekanikte ise bu durum ⓘ

$\mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .$ ⓘ

Miktar $V=q\mathbf {A}$ bazen potansiyel momentum olarak da adlandırılır. Parçacığın elektromanyetik alanlarla etkileşiminden kaynaklanan momentumdur. Bu isim potansiyel enerji ile bir benzeşimdir $U=q\varphi$Bu da parçacığın elektromanyetik alanlarla etkileşiminden kaynaklanan enerjidir. Bu büyüklükler dört vektör oluşturur, dolayısıyla analoji tutarlıdır; ayrıca, potansiyel momentum kavramı elektromanyetik alanların sözde gizli momentumunu açıklamak için önemlidir ⓘ

Korunum

Newton mekaniğinde, momentumun korunumu yasası, her kuvvetin karşılıklı eşit ve zıt bir kuvvete sahip olduğunu belirten etki ve tepki yasasından türetilebilir. Bazı koşullar altında, hareket eden yüklü parçacıklar birbirlerine zıt olmayan yönlerde kuvvet uygulayabilir. Bununla birlikte, parçacıkların ve elektromanyetik alanın birleşik momentumu korunur. ⓘ

Vakum

Lorentz kuvveti parçacığa bir momentum kazandırır, dolayısıyla Newton'un ikinci yasasına göre parçacık elektromanyetik alanlara bir momentum kazandırmalıdır. ⓘ

Vakumda, birim hacim başına momentum

$\mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,$

Burada μ₀ vakum geçirgenliği ve c ışık hızıdır. Momentum yoğunluğu, birim alan başına enerji transferinin yönlü oranını veren Poynting vektörü S ile orantılıdır:

$\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.$ ⓘ

Eğer momentum bir Q bölgesi üzerindeki V hacmi boyunca korunacaksa, Lorentz kuvveti yoluyla maddenin momentumundaki değişiklikler elektromanyetik alanın momentumundaki değişiklikler ve momentumun dışarı akışı ile dengelenmelidir. Eğer P_mech, Q'daki tüm parçacıkların momentumu ise ve parçacıklar bir süreklilik olarak ele alınırsa, Newton'un ikinci yasası şunu verir

${\frac {d\mathbf {P} _{\text{mech}}}{dt}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)dV\,.$

Elektromanyetik momentum

$\mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,$

ve momentumun her bir i bileşeninin korunumu için denklem şöyledir

${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right)d\Sigma \,.$

Sağdaki terim, hacmin içine ve dışına momentum akışını temsil eden σ yüzeyinin Σ yüzey alanı üzerindeki bir integraldir ve n_j, S'nin yüzey normalinin bir bileşenidir. T_ij niceliğine Maxwell gerilme tensörü denir ve şu şekilde tanımlanır

$T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.$ ⓘ

Medya

Yukarıdaki sonuçlar mikroskobik Maxwell denklemleri içindir ve vakumdaki (veya ortamdaki çok küçük ölçekteki) elektromanyetik kuvvetlere uygulanabilir. Ortamda momentum yoğunluğunu tanımlamak daha zordur çünkü elektromanyetik ve mekanik ayrımı keyfidir. Elektromanyetik momentum yoğunluğunun tanımı şu şekilde değiştirilir

$\mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,$

Burada H alanı B alanı ve M manyetizasyonu ile şu şekilde ilişkilidir

$\mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.$

Elektromanyetik stres tensörü ortamın özelliklerine bağlıdır. ⓘ

Kuantum mekanik

Kuantum mekaniğinde momentum, dalga fonksiyonu üzerinde kendinden eşlenik bir operatör olarak tanımlanır. Heisenberg belirsizlik ilkesi, tek bir gözlemlenebilir sistemin momentum ve konumunun aynı anda ne kadar doğru bilinebileceğine ilişkin sınırları tanımlar. Kuantum mekaniğinde konum ve momentum eşlenik değişkenlerdir. ⓘ

Konum temelinde tanımlanan tek bir parçacık için momentum operatörü şu şekilde yazılabilir

$\mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,$ ⓘ

Burada ∇ gradyan operatörü, ħ indirgenmiş Planck sabiti ve i hayali birimdir. Bu, momentum operatörünün yaygın olarak karşılaşılan bir biçimidir, ancak diğer tabanlarda momentum operatörü başka biçimler alabilir. Örneğin, momentum uzayında momentum operatörü şu şekilde gösterilir

$\mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,$ ⓘ

Burada ψ(p) dalga fonksiyonuna etki eden p operatörü, ψ(x) dalga fonksiyonuna etki eden konum operatörünün x değeri ile çarpılmış dalga fonksiyonunu vermesine benzer bir şekilde, p değeri ile çarpılmış dalga fonksiyonunu verir. ⓘ

Hem kütleli hem de kütlesiz nesneler için, göreli momentum faz sabiti ile ilişkilidir $\beta$ tarafından

$p=\hbar \beta$

Elektromanyetik radyasyon (görünür ışık, ultraviyole ışık ve radyo dalgaları dahil) fotonlar tarafından taşınır. Fotonların (ışığın parçacık yönü) kütlesi olmamasına rağmen, yine de momentum taşırlar. Bu da güneş yelkeni gibi uygulamalara yol açmaktadır. Dielektrik ortam içinde ışığın momentumunun hesaplanması biraz tartışmalıdır (bkz. Abraham-Minkowski tartışması). ⓘ

Konum tabanında tasvir edilen bir parçacığın momentum işlemcisi şöyledir; ⓘ

$\mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,$ ⓘ

Deforme olabilen cisimlerde ve akışkanlarda

Süreklilik içinde koruma

Maddi bir cismin hareketi ⓘ

Akışkanlar dinamiği ve katı mekaniği gibi alanlarda, tek tek atomların veya moleküllerin hareketini takip etmek mümkün değildir. Bunun yerine, malzemeler, her noktada, yakındaki küçük bir bölgedeki atomların özelliklerinin ortalamasının atandığı bir parçacık veya sıvı parselinin bulunduğu bir süreklilik ile yaklaştırılmalıdır. Özellikle, t zamanına ve r konumuna bağlı olan bir ρ yoğunluğuna ve v hızına sahiptir. ⓘ

Hidrostatik dengede bir su sütunu düşünün. Su üzerindeki tüm kuvvetler dengededir ve su hareketsizdir. Herhangi bir su damlası üzerinde iki kuvvet dengededir. Bunlardan ilki, içindeki her bir atom ve moleküle doğrudan etki eden yerçekimidir. Birim hacim başına yerçekimi kuvveti ρg'dir, burada g yerçekimi ivmesidir. İkinci kuvvet, çevresindeki su tarafından yüzeyine uygulanan tüm kuvvetlerin toplamıdır. Aşağıdan gelen kuvvet, yukarıdan gelen kuvvetten sadece yerçekimini dengelemek için gereken miktarda daha büyüktür. Birim alan başına düşen normal kuvvet p basıncıdır. Damlacık içindeki birim hacim başına düşen ortalama kuvvet basıncın gradyanıdır, dolayısıyla kuvvet dengesi denklemi şöyledir

$-\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.$ ⓘ

Eğer kuvvetler dengelenmezse, damlacık hızlanır. Bu ivme basitçe ∂v/∂t kısmi türevi değildir çünkü belirli bir hacimdeki sıvı zamanla değişir. Bunun yerine, maddi türev gereklidir:

${\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.$

Herhangi bir fiziksel niceliğe uygulanan maddi türev, bir noktadaki değişim oranını ve akışkan noktadan taşınırken adveksiyondan kaynaklanan değişiklikleri içerir. Birim hacim başına, momentumdaki değişim oranı ρDv/Dt'ye eşittir. Bu da damlacık üzerindeki net kuvvete eşittir. ⓘ

Bir damlacığın momentumunu değiştirebilecek kuvvetler, yukarıdaki gibi basınç ve yerçekimi gradyanını içerir. Ek olarak, yüzey kuvvetleri damlacığı deforme edebilir. En basit durumda, damlacığın yüzeyine paralel bir kuvvet tarafından uygulanan bir τ kayma gerilmesi, deformasyon oranı veya gerinim oranı ile orantılıdır. Böyle bir kayma gerilimi, akışkanın bir tarafta diğerinden daha hızlı hareket etmesi nedeniyle bir hız gradyanına sahip olması durumunda ortaya çıkar. Eğer x yönündeki hız z ile değişiyorsa, z yönüne normal birim alan başına x yönündeki teğetsel kuvvet

$\sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,$

burada μ viskozitedir. Bu aynı zamanda yüzey boyunca bir x-momentum akısı veya birim alan başına akıştır. ⓘ

Viskozite etkisi de dahil olmak üzere, Newton akışkanının sıkıştırılamaz akışı için momentum dengesi denklemleri şunlardır

$\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,$

Bunlar Navier-Stokes denklemleri olarak bilinir. ⓘ

Momentum dengesi denklemleri katılar da dahil olmak üzere daha genel malzemelere genişletilebilir. Normali i yönünde ve kuvveti j yönünde olan her yüzey için bir σ_ij gerilme bileşeni vardır. Dokuz bileşen, hem basınç hem de kaymayı içeren Cauchy gerilme tensörü σ'yı oluşturur. Momentumun yerel korunumu Cauchy momentum denklemi ile ifade edilir:

$\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,$

Burada f vücut kuvvetidir. ⓘ

Cauchy momentum denklemi katıların ve sıvıların deformasyonlarına genel olarak uygulanabilir. Gerilme ve şekil değiştirme oranı arasındaki ilişki malzemenin özelliklerine bağlıdır (bkz. Viskozite türleri). ⓘ

Akustik dalgalar

Bir ortamdaki bozulma, kaynağından uzağa yayılan salınımlara veya dalgalara yol açar. Bir akışkanda, p basıncındaki küçük değişiklikler genellikle akustik dalga denklemi ile tanımlanabilir:

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,$

Burada c ses hızıdır. Bir katı içinde, basınç (P dalgaları) ve kayma (S dalgaları) yayılımı için benzer denklemler elde edilebilir. ⓘ

Bir vi hızı tarafından bir ρv_j momentum bileşeninin akısı veya birim alan başına taşınımı ρ v_jv_j'ye eşittir. Yukarıdaki akustik denkleme yol açan doğrusal yaklaşımda, bu akının zaman ortalaması sıfırdır. Ancak, doğrusal olmayan etkiler sıfır olmayan bir ortalamaya yol açabilir. Dalganın kendisi ortalama bir momentuma sahip olmasa bile momentum akısının meydana gelmesi mümkündür. ⓘ

Kavramın tarihçesi

Yaklaşık MS 530 yılında İskenderiye'de çalışan Bizanslı filozof John Philoponus, Aristoteles'in Fizik kitabına yazdığı yorumda bir momentum kavramı geliştirmiştir. Aristoteles hareket eden her şeyin bir şey tarafından hareket ettirilmesi gerektiğini iddia etmiştir. Örneğin, fırlatılan bir top hava hareketleri tarafından hareket ettirilmelidir. Çoğu yazar Galileo'nun zamanına kadar Aristoteles'in teorisini kabul etmeye devam etti, ancak birkaçı şüpheciydi. Philoponus, Aristoteles'in bir nesnenin hareketinin, geçişine direnen aynı hava tarafından desteklendiği iddiasındaki saçmalığa dikkat çekmiştir. Bunun yerine nesneye fırlatma eylemi sırasında bir ivme kazandırıldığını öne sürdü. İbn Sînâ (Latince adıyla Avicenna olarak da bilinir) Philoponus'u okumuş ve kendi hareket teorisini 1020 yılında Şifa Kitabı'nda yayımlamıştır. Bir mermiye fırlatan tarafından bir ivme kazandırıldığını kabul etti; ancak bunun boşlukta bile azalacak geçici bir erdem olduğuna inanan Philoponus'un aksine, onu dağıtmak için hava direnci gibi dış kuvvetler gerektiren kalıcı bir erdem olarak gördü. Philoponus'un ve muhtemelen İbn Sînâ'nın çalışmaları Avrupalı filozoflar Peter Olivi ve Jean Buridan tarafından okunmuş ve geliştirilmiştir. Yaklaşık 1350 yılında Paris Üniversitesi rektörlüğüne getirilen Buridan, itici gücün ağırlık çarpı hız ile orantılı olduğuna atıfta bulunmuştur. Dahası, Buridan'ın teorisi selefinden farklıydı; çünkü Buridan itici gücün kendi kendine dağıldığını düşünmüyor, bir cismin itici gücüne karşı koyabilecek hava direnci ve yerçekimi kuvvetleri tarafından durdurulacağını ileri sürüyordu. ⓘ

René Descartes evrendeki toplam "hareket miktarının" (Latince: quantitas motus) korunduğuna inanıyordu; burada hareket miktarı boyut ve hızın çarpımı olarak anlaşılır. Bu, modern momentum yasasının bir ifadesi olarak okunmamalıdır, çünkü ağırlık ve boyuttan farklı bir kütle kavramı yoktu ve daha da önemlisi, korunanın hızdan ziyade hız olduğuna inanıyordu. Dolayısıyla Descartes'a göre hareket eden bir cisim bir yüzeyden sekerek yönünü değiştirse ama hızını değiştirmese, hareket miktarında hiçbir değişiklik olmazdı. Galileo, İki Yeni Bilim adlı eserinde, Descartes'ın hareket miktarını benzer şekilde tanımlamak için İtalyanca impeto kelimesini kullanmıştır. ⓘ

Leibniz, "Metafizik Üzerine Söylem" adlı eserinde, Descartes'ın "hareketin niceliğinin" korunumuna ilişkin yapısına karşı, farklı büyüklükteki blokların farklı mesafelere bırakılması örneğini kullanarak bir argüman sunmuştur. Kuvvetin korunduğunu ancak bir nesnenin boyutu ve hızının çarpımı olarak yorumlanan hareket miktarının korunmadığını belirtmiştir. ⓘ

Christiaan Huygens, Descartes'ın iki cismin elastik çarpışmasına ilişkin yasalarının yanlış olması gerektiği sonucuna oldukça erken varmış ve doğru yasaları formüle etmiştir. Önemli bir adım, problemlerin Galile değişmezliğini kabul etmesiydi. Daha sonra görüşlerinin yayılması uzun yıllar aldı. Bunları 1661 yılında Londra'da William Brouncker ve Christopher Wren'e bizzat iletti. Spinoza'nın 1666'da, yani İkinci İngiliz-Hollanda Savaşı sırasında Henry Oldenburg'a bu konuda yazdıkları gizli tutuldu. Huygens aslında bunları 1652-6 döneminde De motu corporum ex percussione adlı bir el yazmasında çalışmıştı. Savaş 1667'de sona erdi ve Huygens sonuçlarını 1668'de Royal Society'de açıkladı. Bunları 1669'da Journal des sçavans'da yayınladı. ⓘ

Momentumun korunumu yasasının ilk doğru ifadesi İngiliz matematikçi John Wallis tarafından 1670 tarihli Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus adlı eserinde yapılmıştır: "Cismin durgun ya da hareketli ilk durumu devam edecektir" ve "Kuvvet dirençten büyükse, hareket ortaya çıkacaktır". Wallis hareket miktarı için momentumu, kuvvet için ise vis'i kullanmıştır. Newton'un Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica'sı 1687'de ilk kez yayınlandığında, matematiksel momentum için kullanılacak kelimeler konusunda benzer bir arayış içindeydi. Tanım II'de quantitas motus, "hareketin niceliği", "maddenin hızından ve niceliğinden birlikte kaynaklanan" olarak tanımlanır ve bu da onu momentum olarak tanımlar. Dolayısıyla, Kanun II'de mutatio motus'tan, "hareketin değişimi "nden, uygulanan kuvvetle orantılı olarak söz ettiğinde, genellikle hareketten değil momentumdan söz ettiği kabul edilir. Geriye sadece hareket miktarına standart bir terim atamak kalmıştır. "Momentum "un matematiksel anlamda ilk kullanımı net değildir, ancak Jennings'in Miscellanea'sı 1721'de, Newton'un Principia Mathematica'sının son baskısından beş yıl önce, momentum M veya "hareket miktarı" öğrenciler için Q ve V'nin çarpımı olan "bir dikdörtgen" olarak tanımlanıyordu; burada Q "madde miktarı" ve V "hız "dır, s/t. ⓘ

1728'de Cyclopedia şöyle der:

"Herhangi bir Cismin Momentumu, İtici Gücü ya da Hareket Miktarı, Hızının (ya da belirli bir Zamanda hareket ettiği Alanın, bkz. Hareket) Kütlesiyle çarpımının Faktörüdür [yani çarpımıdır]." ⓘ

Momentumun çağdaş tanımları

Göreli mekanikte momentum

Dörtlü vektör formülasyonu

Göreli dörtlü momentum, dörtlü vektörlerin Lorentz ötelemeleri altında değişmez kalmalarından dolayı, Albert Einstein tarafından önerilmiş tir. Dörtlü-momentum P şöyle tanımlanır:

$\mathbf {P} :=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})\,,$ ⓘ

burada E = γm₀c² ,sistemin toplam göreli enerjisi, ve p_x, p_y, ve p_z sırasıyla göreli momentumun x-, y-, ve z bileşenlerini temsil eder. ⓘ

Momentum dörtlü vektörünün büyüklüğü || P ||, m₀c’ye eşittir, çünkü ⓘ

$||\mathbf {P} ||^{2}=(E/c)^{2}-p^{2}=(m_{0}c)^{2}\,.$ ⓘ

dir ve her gözlem çerçevesi için değişmezdir. Kapalı bir sistemde, toplam dörtlü momentum korunur ki bu en nihayetinde hem enerjinin hem de momentumun korunumunu birleştirip, bir tek denkleme indirgemiş olur. Örneğin, in the radiationless collision of two particles with rest masses $m_{1}$ ve $m_{2}$ kütleli, $\mathbf {v} _{1}$ ve$\mathbf {v} _{2}$ ilk hızlarına sahip göreli iki parçacığın ışımasız çarpışmalarındaki, $\mathbf {v} _{3}$ ve $\mathbf {v} _{4}$ son hızları, dörtlü momentumun korunumundan aşağıdaki gibi bulunabilir ⓘ

$\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}\,,$ ⓘ

burada ⓘ

$\mathbf {P} _{i}=m_{i}\gamma _{i}(c,\mathbf {v} _{i}).$ ⓘ

Esnek çarpışmalarda, durgun kütle değişmez iken ($m_{1}=m_{3}$ and $m_{2}=m_{4}$), esnek olmayan çarpışmalarda durgun kütlelerde değişiklik olur. Dörtlü momentumun korunumunun, uzay-zamanın homojen olmasının bir sonucu olduğu ispatlanabilir. ⓘ

Açısal momentum

Açısal momentum çember şeklinde bir düzlemde dönen bir cismin sahip olduğu bir özelliktir. Momentum gibi sabittir: ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ ⓘ

r : Parçacığın seçilen orijin noktasına göre uzaklık vektörü ⓘ

p : Parçacığın momentumu ⓘ