Tork

Tork ⓘ
Sadece bir düzlemde kısıtlanmış dönüşe sahip bir sistemde kuvvet F, tork τ, doğrusal momentum p ve açısal momentum L arasındaki ilişki (yerçekimi ve sürtünmeden kaynaklanan kuvvetler ve momentler dikkate alınmaz).
Ortak semboller	$\tau$, M
SI birimi	N⋅m
Diğer birimler	pound-kuvvet-feet, lbf⋅inch, ozf⋅in
SI temel birimlerinde	kg⋅m2⋅s-2
Boyut	M L2T-2

Fizik ve mekanikte tork, doğrusal kuvvetin dönme eşdeğeridir. Çalışma alanına bağlı olarak moment, kuvvet momenti, dönme kuvveti veya dönme etkisi olarak da adlandırılır. Bir kuvvetin vücudun dönme hareketinde değişiklik yaratma kabiliyetini temsil eder. Kavram, Arşimet'in kaldıraçların kullanımına ilişkin çalışmalarıyla ortaya çıkmıştır. Doğrusal bir kuvvetin bir itme veya çekme olması gibi, bir tork da belirli bir eksen etrafında bir cisme yapılan bir bükülme olarak düşünülebilir. Tork, kuvvetin büyüklüğü ile bir kuvvetin etki çizgisinin dönme ekseninden dik uzaklığının çarpımı olarak tanımlanır. Tork için kullanılan sembol tipik olarak ${\boldsymbol {\tau }}$, küçük harfli Yunanca tau harfi. Kuvvet momenti olarak adlandırıldığında, genellikle M ile gösterilir. ⓘ

Üç boyutta, tork bir sözde vektördür; noktasal parçacıklar için, konum vektörü (mesafe vektörü) ve kuvvet vektörünün çapraz çarpımı ile verilir. Rijit bir cismin torkunun büyüklüğü üç büyüklüğe bağlıdır: uygulanan kuvvet, torkun ölçüldüğü noktayı kuvvet uygulama noktasına bağlayan kaldıraç kolu vektörü ve kuvvet ile kaldıraç kolu vektörleri arasındaki açı. Sembollerle ifade edersek:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$

$\tau =\|\mathbf {r} \|\,\|\mathbf {F} \|\sin \theta \,\!$

burada

• ${\boldsymbol {\tau }}$ tork vektörüdür ve $\tau$ torkun büyüklüğüdür,
• $\mathbf {r}$ konum vektörüdür (torkun ölçüldüğü noktadan kuvvetin uygulandığı noktaya kadar olan bir vektör),
• $\mathbf {F}$ kuvvet vektörüdür,
• $\times$ sağ el kuralını izleyerek hem r hem de F'ye dik olan bir vektör üreten çapraz çarpımı ifade eder,
• $\theta$ kuvvet vektörü ile kaldıraç kolu vektörü arasındaki açıdır. ⓘ

Tork için SI birimi newton-metredir (N⋅m). Tork birimleri hakkında daha fazla bilgi için bkz. ⓘ

F kuvvetinin etkisinde dönen bir cisme, döndürme etkisini sadece kuvvetin konum vektörüne dik olan bileşeni uygular.τ = r × F, büyüklüğü τ = r F_⊥ = r F sinθ olur. ⓘ

Sembolik olarak; ⓘ

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$ ⓘ

$\tau =\|\mathbf {r} \|\,\|\mathbf {F} \|\sin \theta \,\!$ ⓘ

X: Çapraz çarpımı ⓘ

Kaldıraç kolunun uzunluğu bilhassa önemlidir, bu uzunluğu seçmek kaldıraç, makara, dişli çarklar ve diğer mekanik avantaj içeren basit makinaların işleyişi altında yatmaktadır. ⓘ

Terminolojiyi tanımlama

Tork teriminin (Latince torquēre "bükmek") James Thomson tarafından önerildiği ve Nisan 1884'te basıldığı söylenmektedir. Kullanım aynı yıl Silvanus P. Thompson tarafından Dynamo-Electric Machinery'nin ilk baskısında onaylanmıştır. Thompson terimi şu şekilde gerekçelendirmektedir:

"Newtoncu kuvvet tanımının (bir çizgi boyunca) hareket üreten veya üretme eğiliminde olan şey olması gibi, tork da (bir eksen etrafında) burulma üreten veya üretme eğiliminde olan şey olarak tanımlanabilir. Bu eylemi tek ve kesin bir varlık olarak ele alan bir terim kullanmak, daha karmaĢık fikirleri akla getiren "çift" ve "moment" gibi terimler kullanmaktan daha iyidir. Bir mili döndürmek için uygulanan tek bir büküm kavramı, belirli bir kaldıraçla doğrusal bir kuvvet (veya bir çift kuvvet) uygulamak gibi daha karmaşık bir kavramdan daha iyidir." ⓘ

Günümüzde tork, coğrafi konuma ve çalışma alanına bağlı olarak farklı kelimeler kullanılarak ifade edilmektedir. Bu makale, tork kelimesinin kullanımında ABD fiziğinde kullanılan tanımı takip etmektedir. İngiltere'de ve ABD makine mühendisliğinde tork, genellikle moment olarak kısaltılan kuvvet momenti olarak adlandırılır. Bu terimler, tork teriminin yakından ilişkili "bir çiftin sonuç momenti" için kullanıldığı ABD makine mühendisliğinin aksine, ABD fiziği ve İngiltere fizik terminolojisinde birbirinin yerine kullanılabilir. ⓘ

ABD makine mühendisliği terminolojisinde tork ve moment

Tork, matematiksel olarak bir nesnenin açısal momentumundaki değişimin oranı olarak tanımlanır. Torkun tanımına göre, bir nesnenin bir veya iki açısal hızı ya da eylemsizlik momenti değişmektedir. Ve moment terimi, uygulanan bir ya da birkaç kuvvetin nesneyi bir eksende dönmeye zorlaması eğilimi olarak kullanılmaktadır. Ancak genellikle nesnenin açısal hızı değişmemektedir (bu konsept fizikte tork olarak adlandırılır). ⓘ

Örneğin, döndürücü kuvvet hızlanmaya sebep olan mile uygulandığında, geriye kalanı hızlandıran bir matkap gibi, elde edilen moment torktur. Tam aksine, bir kiriş üzerine uygulanan yan kuvvet moment (bükücü moment) üretir, ancak kirişin açısal momentumu değişmediği için, bu bükücü kuvvet tork olarak adlandırılamaz. Benzer şekilde, bir nesne üzerindeki kuvvet ikilisi açısal momentum üzerinde herhangi bir değişime sebep olmaz, bu şekilde bir moment de tork olarak adlandırılamaz. ⓘ

Bu makale, nesnenin açısal momentumunun değişip değişmediğine bakmaksızın bütün momentleri tork diye adlandırarak Amerikan fizik terimlerini kullanmaktadır. ⓘ

Açısal momentumun tanımı ve ilişkisi

Bir parçacık, dönüş eksenine bağlı bir pozisyona yerleştirilmiştir. F kuvvet bu parçacığa uygulandığında, F in dik bileşenleri tork üretir. Bu tork τ = r × F, τ = (r) (F⊥) = (r) (F) sinθ büyüklüğüne sahiptir ve sayfa dışına doğru yönelir. ⓘ

Bir kaldıracın sağ açısına uygulanan kuvvet kaldıracın kol uzunluğu ile çarpıldığında, tork elde edilir. 2 metrelik kaldıraç koluna 3 newton yük uygulandığında, veya 6 metrelik bir kaldıraç koluna 1 newtonluk kuvvet uygulandığından elde edilen tork aynıdır. Torkun yönü sağ el kuralı kullanılarak bulunabilir. Eğer sağ elin parmakları kaldıraç kolunun yönünden kuvvet yönüne doğru bükülürse, başparmak torkun yönünü gösterir. ⓘ

Daha genel manada, bir maddenin torku (bazı referans sistemlerinde r pozisyonuna sahip olan) çapraz çarpım olarak tanımlanabilir. ⓘ

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$ ⓘ

r parçacığının konum vektörü dayanağa yakın olduğunda, F bu parçacıkta hareket eden kuvvettir. Torkun τ büyüklüğü ise şöyledir:

$\tau =rF\sin \theta ,\!$ ⓘ

r parçacığın dönüş ekseninden olan uzaklığı ise, F uygulanan kuvvetin büyüklüğüdür ve θ pozisyon ve kuvvet vektörü arasındaki açıdır. Alternatif bir yöntem ise; ⓘ

$\tau =rF_{\perp },$ ⓘ

F⊥ parçacığın pozisyonuna dik olarak uygulanan kuvvetin miktarıdır. Parçacığın pozisyon vektörüne paralel olarak uygulanan herhangi bir kuvvet tork üretmez. ⓘ

Bu, tork vektörünün pozisyona ve kuvvet vektörüne dik olan çapraz çarpımın özelliklerini izler. Aynı zamanda torkun sebep olduğu, sonradan başlayan, yönü sağ el kuralı tarafından belirlenen dönüşün eksenini de gösterir. ⓘ

Bir maddenin dönüş ekseni boyunca üzerindeki dengelenmemiş tork, maddenin açısal momentumunun değişim miktarını belirler:

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$ ⓘ

L açısal momentum vektörü ve t de zamandır. Eğer birden fazla tork madde üzerinde çalışırsa, açısal momentumun değişim miktarını belirleyen şey net tork olur:

${\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}.$ ⓘ

Sabit eksenin dönüşü ise:

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$ ⓘ

I eylemsizliğin momenti ve ω açısal hızdır. Bunu takiben:

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }},$ ⓘ

α maddenin açısal ivmesidir ve rad/s² ile ölçülür. Bu denklemin şöyle bir sınırlaması vardır ki tork denklemi yalnızca dönüş ekseninin veya herhangi bir hareket türünün kütle merkezinin ani olduğu durumlarda yazılır- hareket isterse yalnızca geçiş, yalnızca dönüş ya da bu ikisinin karışımı olabilir. I, torkun yazıldığı eylemsizlik momentidir (ister ani eksen dönüşü ya da yalnızca kütle merkezi olsun). Eğer madde öteleme hareketinin dengesindeyse, tork denklemi hareket düzlemindeki bütün noktalarda aynıdır. ⓘ

Tork yalnızca sabit eksen etrafındaki dönüşle sınırlı değildir. Açısal momentum vektörünün yönüne ya da büyüklüğüne göre değişebilir, hız vektörü ve kuvvet vektörünün ışınsal olmayan içeriklerin arasındaki açıya bağlıdır, bu durum dayanağın koordinat sisteminde gözlemlenebilir. Dönmekte olan nesnenin net torku, dönme hızında değişime yol açmaksızın devinime sebep olabilir. ⓘ

Noktasal bir parçacığın hareketi için,

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

Burada I eylemsizlik momenti ve ω yörüngesel açısal hız sözde vektörüdür. Buradan şu sonuç çıkar

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {\mathrm {d} (mr^{2})}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},$

Burada α parçacığın açısal ivmesi ve p| doğrusal momentumunun radyal bileşenidir. Bu denklem, Newton'un İkinci Yasasının noktasal parçacıklar için dönme analoğudur ve her tür yörünge için geçerlidir. Kuvvet ve ivme her zaman paralel ve doğru orantılı olmasına rağmen, τ torkunun α açısal ivmesine paralel veya doğru orantılı olması gerekmediğine dikkat edin. Bu, kütlenin her zaman korunmasına rağmen, genel olarak eylemsizlik momentinin korunmaması gerçeğinden kaynaklanır. ⓘ

Tanımların eşdeğerliğinin kanıtı

Tek bir noktasal parçacık için açısal momentumun tanımı şöyledir:

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$

Burada p parçacığın doğrusal momentumu, r ise orijinden itibaren konum vektörüdür. Bunun zaman türevi şöyledir:

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} .$$

ⓘ

Bu sonuç, vektörleri bileşenlerine ayırarak ve çarpım kuralını uygulayarak kolayca kanıtlanabilir. Şimdi kuvvet tanımını kullanarak ${\textstyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ (kütle sabit olsun ya da olmasın) ve hız tanımı ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} }$

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} .$$

ⓘ

Momentumun çapraz çarpımı $\mathbf {p}$ ilişkili hızı ile $\mathbf {v}$ sıfırdır çünkü hız ve momentum paraleldir, dolayısıyla ikinci terim yok olur. ⓘ

Tanım gereği, tork τ = r × F. Bu nedenle, bir parçacık üzerindeki tork açısal momentumunun zamana göre birinci türevidir. ⓘ

Birden fazla kuvvet uygulanırsa, Newton'un ikinci yasası bunun yerine F_net = ma olarak okunur ve şu sonuç çıkar

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.$$

ⓘ

Bu, noktasal parçacıklar için genel bir kanıttır. ⓘ

İspat, yukarıdaki ispatın noktasal parçacıkların her birine uygulanması ve ardından tüm noktasal parçacıklar üzerinden toplanması suretiyle noktasal parçacıklardan oluşan bir sisteme genelleştirilebilir. Benzer şekilde, yukarıdaki kanıt kütle içindeki her bir noktaya uygulanarak ve daha sonra tüm kütle üzerinde integral alınarak kanıt sürekli bir kütleye genelleştirilebilir. ⓘ

Birimler

Tork, kuvvet çarpı mesafe boyutuna sahiptir, sembolik olarak T-2L²M. Bu temel boyutlar enerji veya iş ile aynı olmasına rağmen, resmi SI literatürü newton metre (N⋅m) biriminin kullanılmasını ve asla joule kullanılmamasını önermektedir. Newton metre birimi doğru şekilde N⋅m olarak gösterilir. ⓘ

Tork için geleneksel İmparatorluk ve ABD birimleri pound foot (lbf-ft) veya küçük değerler için pound inch'tir (lbf-in). ABD'de tork en yaygın olarak foot-pound (lb-ft veya ft-lb olarak gösterilir) ve inch-pound (in-lb olarak gösterilir) olarak adlandırılır. Uygulayıcılar, bunların enerji veya kütle momentine değil (ft-lb sembolizminin uygun şekilde ima edeceği gibi) torka atıfta bulunduğunu bilmek için bağlama ve kısaltmadaki tire işaretine bağlıdır. ⓘ

Özel durumlar ve diğer gerçekler

Moment kolu formülü

Moment kolu diyagramı ⓘ

Fizik dışındaki alanlarda torkun tanımı olarak sıklıkla verilen çok kullanışlı bir özel durum aşağıdaki gibidir:

$\tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).$ ⓘ

"Moment kolunun" yapısı, yukarıda bahsedilen r ve F vektörleriyle birlikte sağdaki şekilde gösterilmiştir. Bu tanımla ilgili sorun, torkun yönünü değil sadece büyüklüğünü vermesidir ve bu nedenle üç boyutlu durumlarda kullanılması zordur. Eğer kuvvet r yer değiştirme vektörüne dik ise, moment kolu merkeze olan mesafeye eşit olacaktır ve tork verilen kuvvet için maksimum olacaktır. Dik bir kuvvetten kaynaklanan bir torkun büyüklüğü için denklem:

$\tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).$ ⓘ

Örneğin, bir kişi 0,5 m uzunluğundaki bir anahtarın uç kısmına 10 N'luk bir kuvvet uygularsa (veya herhangi bir uzunluktaki bir anahtarın bükülme noktasından tam olarak 0,5 m uzağa 10 N'luk bir kuvvet uygularsa), tork 5 N⋅m olacaktır - kişinin anahtarı hareket düzleminde ve anahtara dik bir kuvvet uygulayarak hareket ettirdiği varsayılır. ⓘ

İki karşıt kuvvet Fg ve -Fg'nin neden olduğu tork, açısal momentum L'de bu tork yönünde bir değişikliğe neden olur. Bu da tepenin eğilmesine neden olur. ⓘ

Statik denge

Bir cismin statik dengede olması için sadece kuvvetlerin toplamının değil, aynı zamanda herhangi bir noktadaki torkların (momentlerin) toplamının da sıfır olması gerekir. Yatay ve dikey kuvvetlerin olduğu iki boyutlu bir durum için, kuvvetlerin toplamı gereksinimi iki denklemdir: ΣH = 0 ve ΣV = 0 ve tork için üçüncü bir denklem: Στ = 0. Yani, iki boyutta statik olarak belirlenmiş denge problemlerini çözmek için üç denklem kullanılır. ⓘ

Net kuvvete karşı tork

Sistem üzerindeki net kuvvet sıfır olduğunda, uzaydaki herhangi bir noktadan ölçülen tork aynıdır. Örneğin, düzgün bir manyetik alanda akım taşıyan bir döngü üzerindeki tork, referans noktası ne olursa olsun aynıdır. Eğer net kuvvet $\mathbf {F}$ sıfır değildir ve ${\boldsymbol {\tau }}_{1}$ 'den ölçülen torktur. $\mathbf {r} _{1}$'den ölçülen tork, daha sonra $\mathbf {r} _{2}$ o

$${\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F}$$

ⓘ

Makine torku

Bir motosikletin tork eğrisi ("BMW K 1200 R 2005"). Yatay eksen krank milinin dönme hızını (rpm cinsinden), dikey eksen ise motorun bu hızda sağlayabildiği torku (newton metre cinsinden) göstermektedir. ⓘ

Tork, bir motorun temel özelliklerinin bir parçasını oluşturur: bir motorun güç çıkışı, torkunun eksenin dönme hızıyla çarpımı olarak ifade edilir. İçten yanmalı motorlar yalnızca sınırlı bir dönme hızı aralığında (küçük bir otomobil için tipik olarak yaklaşık 1.000-6.000 rpm) faydalı tork üretir. Bu aralıkta değişen tork çıkışı bir dinamometre ile ölçülebilir ve bir tork eğrisi olarak gösterilebilir. ⓘ

Buhar motorları ve elektrik motorları sıfır rpm'ye yakın maksimum tork üretme eğilimindedir ve dönme hızı arttıkça (artan sürtünme ve diğer kısıtlamalar nedeniyle) tork azalır. Pistonlu buhar motorları ve elektrik motorları ağır yükleri debriyaj olmadan sıfır devirden başlatabilir. ⓘ

Tork, güç ve enerji arasındaki ilişki

Bir kuvvetin bir mesafe boyunca hareket etmesine izin verilirse, mekanik iş yapıyor demektir. Benzer şekilde, torkun bir dönme mesafesi boyunca hareket etmesine izin verilirse, iş yapar. Matematiksel olarak, kütle merkezi boyunca sabit bir eksen etrafında dönme için, W işi şu şekilde ifade edilebilir ⓘ

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,$

Burada τ torktur ve θ₁ ve θ₂ (sırasıyla) gövdenin ilk ve son açısal konumlarını temsil eder. ⓘ

İspat

Sonlu bir doğrusal yer değiştirme üzerine etki eden değişken bir kuvvet tarafından yapılan iş $s$ kuvvetin temel bir doğrusal yer değiştirmeye göre integre edilmesiyle verilir $\mathrm {d} \mathbf {s}$

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$ ⓘ

Bununla birlikte, sonsuz küçük doğrusal yer değiştirme $\mathrm {d} \mathbf {s}$ karşılık gelen bir açısal yer değiştirme ile ilişkilidir $\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ ve yarıçap vektörü $\mathbf {r}$ olarak

$\mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$ ⓘ

İş için yukarıdaki ifadenin yerine konması şunları verir

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$ ⓘ

İfade $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$ tarafından verilen bir skaler üçlü çarpımdır. $\left[\mathbf {F} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\,\mathbf {r} \right]$. Aynı skaler üçlü çarpım için alternatif bir ifade şöyledir

$\left[\mathbf {F} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\,\mathbf {r} \right]=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ ⓘ

Ancak torkun tanımına göre,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ ⓘ

İş ifadesindeki karşılık gelen ikame, aşağıdakileri verir,

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ ⓘ

Entegrasyon parametresi doğrusal yer değiştirmeden açısal yer değiştirmeye değiştirildiğinden, entegrasyonun sınırları da buna uygun olarak değişir ve

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ ⓘ

Tork ve açısal yer değiştirme aynı yöndeyse, skaler çarpım bir büyüklükler çarpımına indirgenir; yani ${\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\left|{\boldsymbol {\tau }}\right|\left|\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\right|\cos 0=\tau \,\mathrm {d} \theta$ veren ⓘ

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta$ ⓘ

İş-enerji prensibine göre W aynı zamanda cismin dönme kinetik enerjisi Er'deki değişimi de temsil eder ve şu şekilde verilir ⓘ

$E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},$ ⓘ

Burada I cismin eylemsizlik momenti ve ω açısal hızıdır. ⓘ

Güç, birim zamanda yapılan iştir ve şu şekilde verilir

$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},$

Burada P güç, τ tork, ω açısal hız ve $\cdot$ skaler çarpımı temsil eder. ⓘ

Cebirsel olarak denklem, belirli bir açısal hız ve güç çıkışı için torku hesaplamak üzere yeniden düzenlenebilir. Tork tarafından enjekte edilen gücün yalnızca anlık açısal hıza bağlı olduğuna dikkat edin - tork uygulanırken açısal hızın artmasına, azalmasına veya sabit kalmasına bağlı değildir (bu, bir kuvvet tarafından enjekte edilen gücün yalnızca anlık hıza bağlı olduğu doğrusal duruma eşdeğerdir - varsa ortaya çıkan ivmeye değil). ⓘ

Pratikte bu ilişki bisikletlerde gözlemlenebilir: Bisikletler tipik olarak iki yol tekerleği, dairesel bir zincirle birbirine geçen ön ve arka dişliler (zincir dişlisi olarak adlandırılır) ve bisikletin aktarım sistemi birden fazla dişli oranının kullanılmasına izin veriyorsa (yani çok vitesli bisiklet) bir vites değiştirici mekanizmadan oluşur ve bunların tümü kadroya bağlıdır. Bisikleti süren kişi olan bisikletçi, pedalları çevirerek giriş gücünü sağlar ve böylece ön dişliyi (genellikle aynakol dişlisi olarak adlandırılır) çevirir. Bisikletçi tarafından sağlanan giriş gücü, kadans (yani dakika başına pedal devir sayısı) ile bisikletin aynakol milindeki torkun çarpımına eşittir. Bisikletin aktarma organları giriş gücünü yol tekerleğine iletir, o da aldığı gücü bisikletin çıkış gücü olarak yola aktarır. Bisikletin dişli oranına bağlı olarak, bir (tork, rpm) giriş çifti bir (tork, rpm) çıkış çiftine dönüştürülür. Daha büyük bir arka dişli kullanarak veya çok vitesli bisikletlerde daha düşük bir vitese geçerek, tork artarken yol tekerleklerinin açısal hızı azalır, bunların çarpımı (yani güç) değişmez. ⓘ

Tutarlı birimler kullanılmalıdır. Metrik SI birimleri için güç watt, tork newton metre ve açısal hız saniyedeki radyandır (rpm ve saniyedeki devir değil). ⓘ

Ayrıca, newton metre birimi, enerji birimi olan joule ile boyutsal olarak eşdeğerdir. Bununla birlikte, tork durumunda birim bir vektöre atanırken, enerji için bir skalere atanır. Bu, newton metre ve joule'ün boyutsal eşdeğerliğinin ilk durumda uygulanabileceği, ancak ikinci durumda uygulanamayacağı anlamına gelir. Bu sorun, radyanı boyutsuz bir birimden ziyade temel bir birim olarak ele alan yönelimsel analizde ele alınmaktadır. ⓘ

Diğer birimlere dönüştürme

Farklı güç veya tork birimleri kullanıldığında bir dönüştürme faktörü gerekli olabilir. Örneğin, açısal hız (zaman başına radyan) yerine dönme hızı (zaman başına devir) kullanılıyorsa, devir başına 2π radyan faktörü ile çarpılır. Aşağıdaki formüllerde P güç, τ tork ve ν (Yunanca nu harfi) dönme hızıdır.

$P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu$ ⓘ

Birimler gösterilmektedir:

$P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rev/sec)}}$ ⓘ

Dakikada 60 saniyeye böldüğümüzde aşağıdakiler elde edilir.

$P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}$ ⓘ

Burada dönme hızı dakika başına devir (rpm) cinsindendir. ⓘ

Bazı kişiler (örneğin Amerikalı otomotiv mühendisleri) güç için beygir gücü (mekanik), tork için foot-pound (lbf⋅ft) ve dönüş hızı için rpm kullanır. Bu da formülün şu şekilde değişmesine neden olur:

$P({\rm {hp}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})}{33,000}}.$ ⓘ

Aşağıdaki sabit (dakika başına foot-pound cinsinden) beygir gücünün tanımına göre değişir; örneğin metrik beygir gücü kullanıldığında yaklaşık 32.550 olur. ⓘ

Diğer birimlerin kullanımı (örneğin, güç için saat başına BTU) farklı bir özel dönüştürme faktörü gerektirecektir. ⓘ

$P=\tau \times 2\pi \times \omega$ ⓘ

Türetme

Dönen bir nesne için, dönme çevresinde kat edilen doğrusal mesafe, yarıçap ile kat edilen açının çarpımıdır. Yani: doğrusal mesafe = yarıçap × açısal mesafe. Ve tanım gereği, doğrusal mesafe = doğrusal hız × zaman = yarıçap × açısal hız × zaman. ⓘ

Torkun tanımına göre: tork = yarıçap × kuvvet. Bunu kuvvet = tork ÷ yarıçap olacak şekilde yeniden düzenleyebiliriz. Bu iki değer güç tanımında yerine konabilir:

${\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Yarıçap r ve zaman t denklemden düşmüştür. Ancak, açısal hız, türetmenin başında doğrusal hız ve açısal hız arasında varsayılan doğrudan ilişki nedeniyle birim zamanda radyan cinsinden olmalıdır. Eğer dönme hızı birim zamanda devir olarak ölçülürse, doğrusal hız ve mesafe yukarıdaki denklemde orantılı olarak 2π kadar arttırılır:

${\text{power}}={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}.\,$ ⓘ

Eğer tork newton metre cinsinden ve dönme hızı saniyedeki devir cinsinden ise, yukarıdaki denklem saniyedeki newton metre veya watt cinsinden gücü verir. İmparatorluk birimleri kullanılırsa ve tork pound-kuvvet feet cinsinden ve dönüş hızı dakika başına devir cinsinden ise, yukarıdaki denklem gücü dakika başına foot pound-kuvvet cinsinden verir. Denklemin beygir gücü formu daha sonra beygir gücü başına 33.000 ft⋅lbf/dk dönüştürme faktörü uygulanarak elde edilir:

${\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{horsepower}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\[6pt]&\approx {\frac {{\text{torque}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aligned}}$ ⓘ

çünkü $5252.113122\approx {\frac {33,000}{2\pi }}.\,$ ⓘ

Momentler prensibi

Varignon teoremi olarak da bilinen momentler prensibi (aynı adı taşıyan geometrik teoremle karıştırılmamalıdır), bir noktaya uygulanan birkaç kuvvetten kaynaklanan sonuç torklarının, katkıda bulunan torkların toplamına eşit olduğunu belirtir:

$\tau =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.$ ⓘ

Buradan, bir nesne üzerindeki bir pivot etrafında hareket eden iki kuvvetten kaynaklanan torkların aşağıdaki durumlarda dengelendiği sonucu çıkar

$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {0} .$ ⓘ

Tork çarpanı

Tork üç yöntemle çoğaltılabilir: dayanak noktasını bir kolun uzunluğunu artıracak şekilde konumlandırarak; daha uzun bir kol kullanarak; veya bir hız düşürücü dişli takımı veya dişli kutusu kullanarak. Böyle bir mekanizma, dönme hızı azaldıkça torku çoğaltır. ⓘ

Tork Çarpanı

Tork çarpanı, küçülme oranı 1 den büyük vites kutularıdır. Girdiye verilen tork, her bir küçülme oranı ile çarpılır ve çıktıya iletilir, dolayısıyla dönüş hızı azalmış, daha büyük bir tork elde edilir. ⓘ