Sayı

Karmaşık sayıların alt kümeleri ⓘ

Sayı, saymak, ölçmek ve etiketlemek için kullanılan matematiksel bir nesnedir. Orijinal örnekler 1, 2, 3, 4 ve benzeri doğal sayılardır. Sayılar dilde sayı sözcükleri ile temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tek tek sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Sadece nispeten az sayıda sembol ezberlenebildiğinden, temel rakamlar genellikle herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yolu olan bir rakam sisteminde düzenlenir. En yaygın rakam sistemi, rakam adı verilen on temel sayısal sembolün bir kombinasyonunu kullanarak herhangi bir sayının temsil edilmesine olanak tanıyan Hindu-Arap rakam sistemidir. Sayma ve ölçmedeki kullanımlarına ek olarak, rakamlar genellikle etiketler (telefon numaralarında olduğu gibi), sipariş (seri numaralarında olduğu gibi) ve kodlar (ISBN'lerde olduğu gibi) için kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam temsil ettiği sayıdan açıkça ayırt edilmez. ⓘ

Matematikte sayı kavramı yüzyıllar boyunca sıfırı (0), negatif sayıları, bir buçuk gibi rasyonel sayıları içerecek şekilde genişletilmiştir. $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$, 2'nin karekökü gibi gerçek sayılar $\left({\sqrt {2}}\right)$ ve π, ve reel sayıları -1'in karekökü ile genişleten karmaşık sayılar (ve katlarını ekleyerek veya çıkararak reel sayılarla kombinasyonları). Sayılarla yapılan hesaplamalar, en bilinenleri toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma olmak üzere aritmetik işlemlerle yapılır. Bu işlemlerin incelenmesine veya kullanılmasına aritmetik denir; bu terim aynı zamanda sayıların özelliklerinin incelenmesi olan sayı teorisine de atıfta bulunabilir. ⓘ

Pratik kullanımlarının yanı sıra, sayılar dünya çapında kültürel öneme sahiptir. Örneğin, Batı toplumunda 13 sayısı genellikle uğursuz olarak kabul edilir ve "bir milyon" tam bir miktardan ziyade "çok" anlamına gelebilir. Günümüzde sözde bilim olarak kabul edilse de, numeroloji olarak bilinen sayıların mistik önemine olan inanç antik ve ortaçağ düşüncesine nüfuz etmiştir. Numeroloji, Yunan matematiğinin gelişimini büyük ölçüde etkilemiş ve sayı teorisinde bugün hala ilgi çeken birçok sorunun araştırılmasını teşvik etmiştir. ⓘ

19. yüzyıl boyunca matematikçiler, sayıların belirli özelliklerini paylaşan ve bu kavramı genişleten birçok farklı soyutlama geliştirmeye başladılar. Bunlardan ilki, karmaşık sayı sisteminin çeşitli uzantılarından veya modifikasyonlarından oluşan hiperkompleks sayılardı. Modern matematikte sayı sistemleri, halkalar ve alanlar gibi daha genel cebirsel yapıların önemli özel örnekleri olarak kabul edilir ve "sayı" teriminin uygulanması, temel bir önemi olmayan bir konvansiyon meselesidir. ⓘ

Sayı ya da numara, bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Sayılar matematiğin harfleridir. ⓘ

Tarih

Rakamlar

Sayılar, sayıları temsil etmek için kullanılan semboller olan rakamlardan ayırt edilmelidir. Mısırlılar ilk şifreli rakam sistemini icat etmiş, Yunanlılar da sayma rakamlarını İyon ve Dor alfabeleriyle eşleştirmişlerdir. Roma alfabesindeki harflerin kombinasyonlarını kullanan bir sistem olan Roma rakamları, 14. yüzyılın sonlarında üstün Hindu-Arap rakam sisteminin yayılmasına kadar Avrupa'da baskın kaldı ve Hindu-Arap rakam sistemi bugün dünyada sayıları temsil etmek için en yaygın sistem olmaya devam ediyor. Sistemin etkinliğinin anahtarı, MS 500 civarında eski Hintli matematikçiler tarafından geliştirilen sıfır sembolüydü. ⓘ

Sayıların ilk kullanımı

Üzerinde çetele işareti olduğuna inanılan işaretler bulunan kemikler ve diğer eserler keşfedilmiştir. Bu çetele işaretleri gün sayıları, ay döngüleri gibi geçen zamanı saymak ya da hayvanlar gibi niceliklerin kaydını tutmak için kullanılmış olabilir. ⓘ

Bir çetele sisteminde (modern ondalık gösterimde olduğu gibi) basamak değeri kavramı yoktur, bu da büyük sayıların temsilini sınırlar. Yine de çetele sistemleri soyut sayı sisteminin ilk türü olarak kabul edilir. ⓘ

Yer değerine sahip bilinen ilk sistem Mezopotamya 60 tabanı sistemidir (MÖ 3400 civarı) ve bilinen en eski 10 tabanı sistemi MÖ 3100'de Mısır'da ortaya çıkmıştır. ⓘ

Sıfır

Sıfırın bilinen ilk belgelenmiş kullanımı MS 628 yılına aittir ve Hintli matematikçi Brahmagupta'nın ana eseri olan Brāhmasphuṭasiddhānta'da ortaya çıkmıştır. Brahmagupta 0'ı bir sayı olarak ele almış ve bölme işlemi de dahil olmak üzere 0'ı içeren işlemleri tartışmıştır. Bu zamana kadar (7. yüzyıl) kavram açıkça Kamboçya'ya Khmer rakamları olarak ulaşmıştı ve belgeler bu fikrin daha sonra Çin'e ve İslam dünyasına yayıldığını göstermektedir. ⓘ

MS 683 yılına ait bir yazıttan Khmer rakamlarıyla 605 sayısı. Sıfırın ondalık rakam olarak erken kullanımı. ⓘ

Brahmagupta'nın Brāhmasphuṭasiddhānta'sı sıfırdan bir sayı olarak bahseden ilk kitaptır, bu nedenle Brahmagupta genellikle sıfır kavramını ilk formüle eden kişi olarak kabul edilir. Sıfırın negatif ve pozitif sayılarla kullanımına ilişkin kurallar vermiştir, örneğin "sıfır artı pozitif sayı pozitif sayıdır ve negatif sayı artı sıfır negatif sayıdır." Brāhmasphuṭasiddhānta, Babilliler tarafından yapıldığı gibi başka bir sayıyı temsil eden bir yer tutucu rakam ya da Batlamyus ve Romalılar tarafından yapıldığı gibi nicelik eksikliğinin bir sembolü olarak değil, sıfırı kendi başına bir sayı olarak ele alan bilinen en eski metindir. ⓘ

0'ın bir sayı olarak kullanımı, yer-değer sistemlerinde bir yer tutucu rakam olarak kullanımından ayırt edilmelidir. Birçok eski metin 0'ı kullanmıştır. Babil ve Mısır metinleri bunu kullanmıştır. Mısırlılar çift girişli muhasebede sıfır bakiyeyi ifade etmek için nfr kelimesini kullanmışlardır. Hint metinleri boşluk kavramını ifade etmek için Sanskritçe Shunye veya shunya kelimesini kullanmıştır. Matematik metinlerinde bu kelime genellikle sıfır sayısını ifade eder. Benzer bir şekilde, Pāṇini (MÖ 5. yüzyıl) Sanskrit dili için cebirsel gramerin erken bir örneği olan Ashtadhyayi'de null (sıfır) operatörünü kullanmıştır (ayrıca bkz. Pingala). ⓘ

Brahmagupta'dan önce sıfırın başka kullanımları da vardır, ancak belgeler Brāhmasphuṭasiddhānta'da olduğu kadar eksiksiz değildir. ⓘ

Kayıtlar, Antik Yunanlıların 0'ın bir sayı olarak statüsü konusunda emin olmadıklarını göstermektedir: kendilerine "'hiçbir şey' nasıl bir şey olabilir?" diye sormuşlar, bu da 0'ın ve boşluğun doğası ve varlığı hakkında ilginç felsefi ve Ortaçağ dönemine gelindiğinde dini tartışmalara yol açmıştır. Elealı Zeno'nun paradoksları kısmen 0'ın belirsiz yorumuna dayanmaktadır (Eski Yunanlılar 1'in bir sayı olup olmadığını bile sorgulamışlardır). ⓘ

Güney-orta Meksika'nın geç dönem Olmek halkı, Yeni Dünya'da muhtemelen MÖ 4. yüzyılda ama kesinlikle MÖ 40'ta sıfır için bir sembol, bir kabuk glifi kullanmaya başladı ve bu sembol Maya rakamlarının ve Maya takviminin ayrılmaz bir parçası haline geldi. Maya aritmetiğinde 20 tabanı olarak yazılan 4 ve 5 tabanları kullanılmıştır. George I. Sánchez 1961'de taban 4, taban 5 "parmak" abaküsünü rapor etmiştir. ⓘ

MS 130 yılına gelindiğinde, Hipparchus ve Babillilerden etkilenen Batlamyus, alfabetik Yunan rakamlarını kullanan bir seksajimal sayı sistemi içinde 0 için bir sembol (uzun bir üst çubuğu olan küçük bir daire) kullanıyordu. Sadece bir yer tutucu olarak değil, tek başına kullanıldığı için bu Helenistik sıfır, Eski Dünya'da gerçek bir sıfırın belgelenmiş ilk kullanımıdır. Syntaxis Mathematica'nın (Almagest) daha sonraki Bizans el yazmalarında, Helenistik sıfır Yunanca Omicron harfine dönüşmüştür (aksi takdirde 70 anlamına gelir). ⓘ

Bir başka gerçek sıfır, 525 yılına kadar (bilinen ilk kullanım Dionysius Exiguus tarafından) Roma rakamlarının yanı sıra tablolarda kullanıldı, ancak bir sembol olarak değil, hiçbir şey anlamına gelen nulla kelimesi olarak. Bölme işleminde kalan olarak 0 çıktığında, yine hiçbir şey anlamına gelen nihil kullanılıyordu. Bu ortaçağ sıfırları, gelecekteki tüm ortaçağ hesapçıları (Paskalya hesapçıları) tarafından kullanılmıştır. Baş harfleri olan N, Bede ya da bir meslektaşı tarafından 725 yılı civarında bir Roma rakamları tablosunda gerçek bir sıfır sembolü olarak kullanılmıştır. ⓘ

Negatif sayılar

Negatif sayıların soyut kavramı Çin'de MÖ 100-50 gibi erken bir tarihte fark edilmiştir. Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm, şekillerin alanlarını bulmak için yöntemler içermektedir; kırmızı çubuklar pozitif katsayıları, siyahlar ise negatifleri göstermek için kullanılmıştır. Batılı bir eserde ilk referans MS 3. yüzyılda Yunanistan'da görülmüştür. Diophantus, Arithmetica'da 4x + 20 = 0 (çözüm negatiftir) denklemine atıfta bulunmuş ve denklemin saçma bir sonuç verdiğini söylemiştir. ⓘ

600'lü yıllarda Hindistan'da borçları temsil etmek için negatif sayılar kullanılıyordu. Diophantus'un önceki referansı Hintli matematikçi Brahmagupta tarafından 628'de Brāhmasphuṭasiddhānta'da daha açık bir şekilde tartışılmış ve negatif sayılar günümüzde de kullanılan genel formdaki ikinci dereceden formülü üretmek için kullanılmıştır. Bununla birlikte, 12. yüzyılda Hindistan'da Bhaskara ikinci dereceden denklemler için negatif kökler verir, ancak negatif değerin "bu durumda alınmaması gerektiğini, çünkü yetersiz olduğunu; insanların negatif kökleri onaylamadığını" söyler. ⓘ

Fibonacci, borç olarak yorumlanabilecekleri finansal problemlerde (Liber Abaci'nin 13. bölümü, 1202) ve daha sonra kayıp olarak (Flos'ta) negatif çözümlere izin vermesine rağmen, Avrupalı matematikçiler çoğunlukla 17. yüzyıla kadar negatif sayı kavramına direnmişlerdir. René Descartes, cebirsel polinomlarda ortaya çıktıkları için bunlara yanlış kökler adını verdi, ancak gerçek köklerle yanlış kökleri değiştirmenin de bir yolunu buldu. Aynı zamanda, Çinliler negatif sayıları, karşılık gelen pozitif sayının rakamının sıfır olmayan en sağ basamağından çapraz bir vuruş çizerek gösteriyorlardı. Negatif sayıların bir Avrupa eserinde ilk kullanımı 15. yüzyılda Nicolas Chuquet tarafından olmuştur. Bunları üs olarak kullanmış, ancak "absürt sayılar" olarak adlandırmıştır. ⓘ

18. yüzyıl gibi yakın bir tarihte, denklemler tarafından döndürülen negatif sonuçların anlamsız olduğu varsayımıyla göz ardı edilmesi yaygın bir uygulamaydı. ⓘ

Rasyonel sayılar

Kesirli sayı kavramının tarih öncesi çağlara dayanması muhtemeldir. Eski Mısırlılar, Rhind Matematik Papirüsü ve Kahun Papirüsü gibi matematiksel metinlerde rasyonel sayılar için Mısır kesir notasyonunu kullanmışlardır. Klasik Yunan ve Hint matematikçileri, genel sayı teorisi çalışmalarının bir parçası olarak rasyonel sayılar teorisi üzerine çalışmalar yapmışlardır. Bunlardan en iyi bilineni Öklid'in yaklaşık MÖ 300 yılına tarihlenen Elementler'idir. Hint metinleri arasında en alakalı olanı, genel matematik çalışmasının bir parçası olarak sayı teorisini de kapsayan Sthananga Sutra'dır. ⓘ

Ondalık kesirler kavramı, ondalık yer-değer gösterimiyle yakından bağlantılıdır; ikisi birlikte gelişmiş gibi görünmektedir. Örneğin, Jain matematik sutralarında pi sayısına veya 2'nin kareköküne ondalık kesir yaklaşımlarının hesaplanması yaygındır. Benzer şekilde, Babil matematik metinlerinde seksajimal (60 tabanı) kesirler sıklıkla kullanılmıştır. ⓘ

İrrasyonel sayılar

İrrasyonel sayıların bilinen en eski kullanımı M.Ö. 800 ile 500 yılları arasında yazılmış olan Hint Sulba Sutraları'nda yer almaktadır. İrrasyonel sayıların varlığına dair ilk kanıtlar genellikle Pisagor'a, daha spesifik olarak da 2'nin karekökünün irrasyonelliğine dair (büyük olasılıkla geometrik) bir kanıt üreten Metapontumlu Pisagorcu Hippasus'a atfedilir. Hikayeye göre Hippasus, 2'nin karekökünü bir kesir olarak göstermeye çalışırken irrasyonel sayıları keşfetmiştir. Ancak Pisagor sayıların mutlaklığına inanıyordu ve irrasyonel sayıların varlığını kabul edemezdi. Mantık yoluyla onların varlığını kanıtlayamazdı, ancak irrasyonel sayıları da kabul edemezdi ve bu yüzden, iddia edildiğine ve sık sık bildirildiğine göre, bu rahatsız edici haberin yayılmasını engellemek için Hippasus'u boğularak ölüme mahkum etti. ⓘ

16. yüzyıl, negatif integral ve kesirli sayıların Avrupa'da nihai kabulünü getirmiştir. 17. yüzyıla gelindiğinde matematikçiler genellikle ondalık kesirleri modern gösterimle kullanmışlardır. Ancak 19. yüzyıla kadar matematikçiler irrasyonelleri cebirsel ve transandantal parçalara ayırarak bir kez daha irrasyonellerin bilimsel çalışmasını üstlenmediler. Öklid'den beri bu konu neredeyse uykuda kalmıştı. 1872'de Karl Weierstrass (öğrencisi E. Kossak tarafından), Eduard Heine, Georg Cantor ve Richard Dedekind'in teorilerinin yayınlanması sağlandı. Charles Méray 1869'da Heine ile aynı noktadan yola çıkmıştı, ancak teori genellikle 1872 yılına atfedilir. Weierstrass'ın yöntemi Salvatore Pincherle (1880) tarafından tamamen ortaya konmuş, Dedekind'in yöntemi ise yazarın daha sonraki çalışması (1888) ve Paul Tannery'nin (1894) onayıyla daha da önem kazanmıştır. Weierstrass, Cantor ve Heine teorilerini sonsuz serilere dayandırırken, Dedekind kendi teorisini reel sayılar sisteminde tüm rasyonel sayıları belirli karakteristik özelliklere sahip iki gruba ayıran bir kesim (Schnitt) fikri üzerine kurmuştur. Bu konuya daha sonra Weierstrass, Kronecker ve Méray de katkıda bulunmuştur. ⓘ

Beşli ve daha yüksek dereceli denklemlerin köklerinin araştırılması önemli bir gelişmeydi, Abel-Ruffini teoremi (Ruffini 1799, Abel 1824) bunların radikallerle (sadece aritmetik işlemleri ve kökleri içeren formüller) çözülemeyeceğini gösterdi. Bu nedenle daha geniş bir cebirsel sayılar kümesini (polinom denklemlerinin tüm çözümleri) dikkate almak gerekiyordu. Galois (1832) polinom denklemlerini grup teorisine bağlayarak Galois teorisi alanını ortaya çıkarmıştır. ⓘ

İrrasyonel sayılarla yakından ilişkili olan (ve 1613'te Cataldi'ye atfedilen) sürekli kesirler, Euler'in ellerinde dikkat çekmiş ve 19. yüzyılın başında Joseph Louis Lagrange'ın yazılarıyla ön plana çıkmıştır. Diğer kayda değer katkılar Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) ve Günther (1872) tarafından yapılmıştır. Ramus konuyu ilk olarak determinantlarla ilişkilendirmiş ve Heine, Möbius ve Günther'in sonraki katkılarıyla Kettenbruchdeterminanten teorisi ortaya çıkmıştır. ⓘ

Transandantal sayılar ve gerçekler

Transandantal sayıların varlığı ilk olarak Liouville (1844, 1851) tarafından ortaya konmuştur. Hermite 1873'te e'nin transandantal olduğunu ve Lindemann 1882'de π'nin transandantal olduğunu kanıtladı. Son olarak Cantor, tüm reel sayılar kümesinin sayılamayacak kadar sonsuz olduğunu, ancak tüm cebirsel sayılar kümesinin sayılabilecek kadar sonsuz olduğunu, dolayısıyla sayılamayacak kadar sonsuz sayıda transandantal sayı olduğunu gösterdi. ⓘ

Sonsuzluk ve sonsuz küçükler

Bilinen en eski matematiksel sonsuzluk anlayışı, eski bir Hint yazısı olan Yajur Veda'da yer alır ve bir noktada şöyle der: "Sonsuzluktan bir parça çıkarırsanız veya sonsuzluğa bir parça eklerseniz, geriye kalan yine de sonsuzluktur." Sonsuzluk, MÖ 400'lerde Jain matematikçileri arasında popüler bir felsefi çalışma konusuydu. Beş tür sonsuzluk arasında ayrım yapmışlardır: bir ve iki yönde sonsuz, alanda sonsuz, her yerde sonsuz ve sürekli olarak sonsuz. Sembol ${\text{∞}}$ genellikle sonsuz bir miktarı temsil etmek için kullanılır. ⓘ

Aristoteles geleneksel Batı matematiksel sonsuzluk kavramını tanımlamıştır. Gerçek sonsuzluk ile potansiyel sonsuzluk arasında ayrım yapmıştır; genel kanı yalnızca ikincisinin gerçek değere sahip olduğu yönündedir. Galileo Galilei'nin İki Yeni Bilim adlı eserinde sonsuz kümeler arasında bire bir karşılıklar olduğu fikri tartışılmıştır. Ancak teorideki bir sonraki büyük ilerleme Georg Cantor tarafından yapıldı; 1895'te yeni küme teorisi hakkında bir kitap yayınladı, diğer şeylerin yanı sıra transfinit sayıları tanıttı ve süreklilik hipotezini formüle etti. ⓘ

1960'larda Abraham Robinson, sonsuz büyük ve sonsuz küçük sayıların nasıl titizlikle tanımlanabileceğini ve standart olmayan analiz alanını geliştirmek için nasıl kullanılabileceğini gösterdi. Hiperreal sayılar sistemi, Newton ve Leibniz tarafından sonsuz küçükler hesabının icadından bu yana matematikçiler, bilim insanları ve mühendisler tarafından gelişigüzel kullanılan sonsuz ve sonsuz küçük sayılar hakkındaki fikirleri ele almak için titiz bir yöntemi temsil etmektedir. ⓘ

Sonsuzluğun modern geometrik versiyonu, her uzaysal yön için bir tane olmak üzere "sonsuzdaki ideal noktaları" ortaya koyan projektif geometri tarafından verilir. Belirli bir yöndeki her paralel doğru ailesinin karşılık gelen ideal noktaya yakınsayacağı varsayılır. Bu, perspektif çizimindeki ufuk noktaları fikriyle yakından ilişkilidir. ⓘ

Karmaşık sayılar

Negatif sayıların kareköklerine yapılan en eski atıf, MS 1. yüzyılda İskenderiyeli matematikçi ve mucit Heron'un, bir piramidin imkansız bir kabuğunun hacmini düşündüğü çalışmasında ortaya çıkmıştır. Üçüncü ve dördüncü derece polinomların kökleri için kapalı formüller 16. yüzyılda Niccolò Fontana Tartaglia ve Gerolamo Cardano gibi İtalyan matematikçiler tarafından keşfedildiğinde daha belirgin hale geldiler. Çok geçmeden bu formüllerin, sadece reel çözümlerle ilgilenilse bile, bazen negatif sayıların kareköklerinin manipülasyonunu gerektirdiği fark edildi. ⓘ

O zamanlar negatif sayıları bile sağlam bir zemine oturtmadıkları için bu durum iki kat rahatsız ediciydi. René Descartes 1637'de bu nicelikler için "hayali" terimini icat ettiğinde, bunu aşağılayıcı olarak tasarlamıştı. (Karmaşık sayıların "gerçekliği" üzerine bir tartışma için bkz. hayali sayı.) Bir başka kafa karışıklığı kaynağı da denklemin

$\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$

cebirsel özdeşlikle kaprisli bir şekilde tutarsız görünüyordu

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},$

a ve b pozitif reel sayıları için geçerli olan bu özdeşlik, a ve b'den birinin pozitif diğerinin negatif olduğu karmaşık sayı hesaplamalarında da kullanılmıştır. Bu özdeşliğin ve ilgili özdeşliğin yanlış kullanımı

${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}$

a ve b'nin her ikisinin de negatif olduğu durumda Euler'i bile rahatsız etmiştir. Bu zorluk sonunda onu i yerine özel bir sembol kullanma geleneğine yöneltmiştir ${\sqrt {-1}}$ bu hatadan korunmak için. ⓘ

18. yüzyıl Abraham de Moivre ve Leonhard Euler'in çalışmalarına sahne olmuştur. De Moivre'nin formülü (1730):

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

Euler'in karmaşık analiz formülü (1748) ise bize şunu verir:

$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.$ ⓘ

Caspar Wessel 1799'da geometrik yorumu açıklayana kadar karmaşık sayıların varlığı tam olarak kabul edilmemiştir. Carl Friedrich Gauss birkaç yıl sonra karmaşık sayıları yeniden keşfedip popüler hale getirdi ve bunun sonucunda karmaşık sayılar teorisi kayda değer bir genişleme gösterdi. Ancak karmaşık sayıların grafiksel gösterimi fikri 1685 gibi erken bir tarihte Wallis'in De algebra tractatus adlı eserinde ortaya çıkmıştı. ⓘ

Yine 1799'da Gauss, karmaşık sayılar üzerindeki her polinomun bu alemde tam bir çözüm kümesine sahip olduğunu göstererek cebirin temel teoreminin genel kabul gören ilk kanıtını sundu. Karmaşık sayılar teorisinin genel kabul görmesi, Augustin Louis Cauchy ve Niels Henrik Abel'in, özellikle de karmaşık sayıları iyi bilinen bir başarıyla cesurca kullanan ilk kişi olan Abel'in çabalarına bağlıdır. ⓘ

Gauss, a ve b'nin integral ya da rasyonel olduğu (ve i'nin x² + 1 = 0'ın iki kökünden biri olduğu) a + bi biçimindeki karmaşık sayılar üzerinde çalıştı. Öğrencisi Gotthold Eisenstein, ω'nin x³ - 1 = 0'ın karmaşık bir kökü olduğu a + bω türünü inceledi. Karmaşık sayıların bu tür diğer sınıfları (siklotomik alanlar olarak adlandırılır), k'nın daha yüksek değerleri için xk - 1 = 0 birliğinin köklerinden türetilir. Bu genelleme büyük ölçüde, 1893'te Felix Klein tarafından geometrik varlıklar olarak ifade edilen ideal sayıları da icat eden Ernst Kummer'e bağlıdır. ⓘ

1850'de Victor Alexandre Puiseux kutuplar ve dallanma noktaları arasında ayrım yaparak önemli bir adım attı ve temel tekil noktalar kavramını ortaya attı. Bu, sonunda genişletilmiş karmaşık düzlem kavramına yol açtı. ⓘ

Asal sayılar

Asal sayılar kayıtlı tarih boyunca incelenmiştir. Öklid, Elementler'in bir kitabını asal sayılar teorisine ayırmıştır; bu kitapta asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlamış ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını sunmuştur. ⓘ

MÖ 240 yılında Eratosthenes, asal sayıları hızlı bir şekilde ayırmak için Eratosthenes'in eleğini kullanmıştır. Ancak Avrupa'da asal sayılar teorisinin daha da geliştirilmesi Rönesans ve sonraki dönemlere dayanır. ⓘ

1796'da Adrien-Marie Legendre, asal sayıların asimptotik dağılımını tanımlayan asal sayı teoremini ortaya attı. Asal sayıların dağılımına ilişkin diğer sonuçlar arasında Euler'in asal sayıların karşılıklılarının toplamının ıraksadığına dair kanıtı ve yeterince büyük herhangi bir çift sayının iki asal sayının toplamı olduğunu iddia eden Goldbach varsayımı yer almaktadır. Asal sayıların dağılımıyla ilgili bir başka varsayım da 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından formüle edilen Riemann hipotezidir. Asal sayı teoremi nihayet 1896 yılında Jacques Hadamard ve Charles de la Vallée-Poussin tarafından kanıtlanmıştır. Goldbach ve Riemann'ın varsayımları kanıtlanmamış ve çürütülmemiş olarak kalmıştır. ⓘ

Ana sınıflandırma

Sayı sistemleri Kompleks $:\;\mathbb {C}$ Gerçek $:\;\mathbb {R}$ Rasyonel $:\;\mathbb {Q}$ Tamsayı $:\;\mathbb {Z}$ Doğal $:\;\mathbb {N}$ Sıfır: 0 ⓘ Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tamsayılar Kesir Sonlu ondalık Dyadic (sonlu ikili) Tekrar eden ondalık Mantıksız Cebirsel irrasyonel Transandantal Hayali

Sayılar, doğal sayılar ve reel sayılar gibi sayı sistemleri olarak adlandırılan kümeler halinde sınıflandırılabilir. Başlıca sayı kategorileri aşağıdaki gibidir:

Ana sayı sistemleri ⓘ

$\mathbb {N}$	Doğal	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... veya 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ veya $\mathbb {N} _{1}$ bazen kullanılır.
$\mathbb {Z}$	Tamsayı	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	Rasyonel	a ve b'nin tam sayı olduğu ve b'nin 0 olmadığı a/b
$\mathbb {R}$	Gerçek	Yakınsak bir rasyonel sayı dizisinin limiti
$\mathbb {C}$	Kompleks	a + bi burada a ve b reel sayılardır ve i -1'in resmi kareköküdür

Her bir sayı sistemini bir sonrakinin uygun bir alt kümesiyle (gösterimin kötüye kullanılması yoluyla) tanımlamakta genellikle bir sorun yoktur, çünkü bu sayı sistemlerinin her biri bir sonrakinin uygun bir alt kümesine kanonik olarak izomorfiktir. Ortaya çıkan hiyerarşi, örneğin, rasyonel sayılar olan gerçek sayılar hakkında biçimsel olarak doğru bir şekilde konuşmaya izin verir ve sembolik olarak şöyle yazarak ifade edilir

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$. ⓘ

Doğal sayılar

1'den başlayan doğal sayılar ⓘ

En bilinen sayılar doğal sayılardır (bazen tam sayılar veya sayma sayıları olarak da adlandırılır): 1, 2, 3 ve bu şekilde devam eder. Geleneksel olarak, doğal sayılar dizisi 1 ile başlardı (0, Antik Yunanlılar için bir sayı olarak bile kabul edilmezdi.) Ancak, 19. yüzyılda, küme teorisyenleri ve diğer matematikçiler 0'ı (boş kümenin kardinalitesi, yani 0 eleman, dolayısıyla 0 en küçük kardinal sayıdır) doğal sayılar kümesine dahil etmeye başladılar. Günümüzde farklı matematikçiler bu terimi 0'ı içeren ya da içermeyen her iki kümeyi de tanımlamak için kullanmaktadır. Tüm doğal sayılar kümesinin matematiksel sembolü N'dir ve şu şekilde de yazılır $\mathbb {N}$ve bazen $\mathbb {N} _{0}$ veya $\mathbb {N} _{1}$ kümenin sırasıyla 0 veya 1 ile başlaması gerektiğini belirtmek gerektiğinde. ⓘ

Günümüzde matematiksel işlemler için neredeyse evrensel olarak kullanılan 10 tabanlı sayı sisteminde, doğal sayıların sembolleri on basamak kullanılarak yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Radiks veya taban, bir rakam sisteminin sayıları temsil etmek için kullandığı sıfır dahil benzersiz sayısal rakamların sayısıdır (ondalık sistem için radiks 10'dur). Bu 10 taban sisteminde, bir doğal sayının en sağındaki rakamın yer değeri 1'dir ve diğer her rakam, sağındaki rakamın yer değerinin on katı bir yer değerine sahiptir. ⓘ

Modern matematik için aksiyomatik bir temel oluşturabilen küme teorisinde, doğal sayılar eşdeğer küme sınıfları ile temsil edilebilir. Örneğin 3 sayısı, tam olarak üç elemanı olan tüm kümelerin sınıfı olarak gösterilebilir. Alternatif olarak, Peano Aritmetiği'nde 3 sayısı sss0 şeklinde gösterilir; burada s "ardıl" fonksiyonudur (yani 3, 0'ın üçüncü ardılıdır). Birçok farklı gösterim mümkündür; 3'ü resmi olarak temsil etmek için gereken tek şey belirli bir sembolü veya sembol desenini üç kez yazmaktır. ⓘ

Tamsayılar

Pozitif bir tamsayının negatifi, karşılık gelen pozitif tamsayıya eklendiğinde 0 üreten bir sayı olarak tanımlanır. Negatif sayılar genellikle negatif işareti (eksi işareti) ile yazılır. Örnek olarak, 7'nin negatifi -7 olarak yazılır ve 7 + (-7) = 0. Negatif sayılar kümesi doğal sayılar kümesi (0 dahil) ile birleştirildiğinde, sonuç tam sayılar kümesi olarak tanımlanır, Z ayrıca şöyle yazılır $\mathbb {Z}$. Burada Z harfi Almanca Zahl 'sayı' kelimesinden gelmektedir. Tam sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemleri ile bir halka oluşturur. ⓘ

Doğal sayılar, tam sayıların bir alt kümesini oluşturur. Doğal sayılara sıfırın dahil edilip edilmemesi konusunda ortak bir standart olmadığından, sıfır içermeyen doğal sayılar genellikle pozitif tam sayılar olarak adlandırılır ve sıfır içeren doğal sayılar negatif olmayan tam sayılar olarak adlandırılır. ⓘ

Oransız sayılar veya irrasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Q' kümesi ile gösterilirler. Bu kümenin en bilinen üyesi pi sayısıdır. Hiçbir oranlı sayı oransız sayılar kümesine dahil değildir. Aynı şekilde hiçbir oransız sayı da oranlı sayılar kümesine dahil değildir. ⓘ

Örnek

• $\pi \!$, $e\!$
• ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$ ⓘ

Rasyonel sayılar

Rasyonel bir sayı, payı tamsayı ve paydası pozitif tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen bir sayıdır. Negatif paydalara izin verilir, ancak her rasyonel sayı pozitif paydalı bir kesre eşit olduğundan genellikle bundan kaçınılır. Kesirler, aralarında bir bölme çubuğu bulunan iki tamsayı, pay ve payda olarak yazılır. m/n kesri, bir bütünün n eşit parçaya bölünmüş m parçasını temsil eder. İki farklı kesir aynı rasyonel sayıya karşılık gelebilir; örneğin 1/2 ve 2/4 eşittir, yani:

${1 \over 2}={2 \over 4}.$ ⓘ

Genel olarak,

${a \over b}={c \over d}$ eğer ve sadece ${a\times d}={c\times b}.$ ⓘ

Eğer m'nin mutlak değeri n'den büyükse (pozitif olması gerekir), kesrin mutlak değeri 1'den büyüktür. Kesirler 1'den büyük, küçük veya eşit olabilir ve ayrıca pozitif, negatif veya 0 olabilir. Tüm rasyonel sayılar kümesi tam sayıları içerir, çünkü her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabilir. Örneğin -7, -7/1 şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayıların sembolü Q'dur (bölüm için), ayrıca şöyle de yazılır $\mathbb {Q}$. ⓘ

Gerçek sayılar

Reel sayıların sembolü R'dir ve şu şekilde de yazılır $\mathbb {R} .$ Tüm ölçüm sayılarını içerirler. Her reel sayı sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Aşağıdaki paragraf öncelikle pozitif reel sayılara odaklanacaktır. Negatif reel sayılar aritmetiğin genel kurallarına göre ele alınır ve gösterimi basitçe karşılık gelen pozitif rakamın önüne bir eksi işareti eklenerek yapılır, örneğin -123.456. ⓘ

Çoğu gerçek sayıya yalnızca ondalık sayılarla yaklaşılabilir; bu sayılarda ondalık nokta, basamak değeri 1 olan rakamın sağına yerleştirilir. Ondalık noktanın sağındaki her basamak, solundaki basamağın basamak değerinin onda biri kadar bir basamak değerine sahiptir. Örneğin 123.456, 123456/1000'i ya da başka bir deyişle yüz, iki onluk, üç birlik, dört ondalık, beş yüzlük ve altı bindelik değerleri temsil eder. Bir gerçek sayı ancak rasyonelse ve kesirli kısmı asal çarpanları 2 veya 5 ya da her ikisi olan bir paydaya sahipse sonlu sayıda ondalık basamakla ifade edilebilir, çünkü bunlar ondalık sistemin tabanı olan 10'un asal çarpanlarıdır. Bu nedenle, örneğin, yarım 0,5, beşte bir 0,2, onda bir 0,1 ve ellide bir 0,02'dir. Diğer gerçek sayıların ondalık sayı olarak gösterilmesi, ondalık noktanın sağında sonsuz bir basamak dizisi gerektirecektir. Bu sonsuz basamak dizisi bir örüntü izliyorsa, üç nokta veya tekrar eden örüntüyü gösteren başka bir gösterimle yazılabilir. Böyle bir ondalık sayıya tekrarlayan ondalık sayı denir. Böylece 1/3, 0,333... şeklinde yazılabilir ve örüntünün devam ettiğini belirtmek için bir üç nokta konabilir. Sonsuza kadar tekrar eden 3'ler de 0,3 olarak yazılır. ⓘ

Bu tekrar eden ondalık sayıların (sıfırların tekrarı da dahil olmak üzere) tam olarak rasyonel sayıları ifade ettiği, yani tüm rasyonel sayıların aynı zamanda gerçek sayılar olduğu, ancak her gerçek sayının rasyonel olduğu durumunun söz konusu olmadığı ortaya çıkmıştır. Rasyonel olmayan bir reel sayıya irrasyonel denir. Ünlü bir irrasyonel reel sayı, herhangi bir dairenin çevresinin çapına oranı olan π sayısıdır. Pi sayısı şu şekilde yazılır

$\pi =3.14159265358979\dots ,$

Bazen olduğu gibi, üç nokta ondalık sayıların tekrar ettiği anlamına gelmez (tekrar etmezler), daha ziyade bunların bir sonu olmadığı anlamına gelir. π'nin irrasyonel olduğu kanıtlanmıştır. İrrasyonel bir reel sayı olduğu kanıtlanmış bir diğer iyi bilinen sayı ise

${\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,$

Bu sayıların her ikisi de trilyonlarca (1 trilyon = 10¹² = 1.000.000.000.000) basamağa (bilgisayar tarafından) yaklaştırılmıştır. ⓘ

Sadece bu önemli örnekler değil, neredeyse tüm gerçek sayılar irrasyoneldir ve bu nedenle tekrar eden kalıpları ve dolayısıyla karşılık gelen ondalık sayıları yoktur. Yalnızca yuvarlatılmış veya kesilmiş gerçek sayıları ifade eden ondalık sayılarla yaklaştırılabilirler. Yuvarlatılmış ya da kesilmiş herhangi bir sayı zorunlu olarak rasyonel bir sayıdır ve bu sayılardan sadece sayılabilir kadar çok vardır. Tüm ölçümler doğaları gereği yaklaşık değerlerdir ve her zaman bir hata payına sahiptirler. Dolayısıyla 123.456, 1234555/10000'den büyük veya eşit ve 1234565/10000'den kesinlikle küçük (3 ondalıklıya yuvarlama) veya 123456/1000'den büyük veya eşit ve 123457/1000'den kesinlikle küçük (3. ondalıktan sonra kesme) herhangi bir gerçek sayının yaklaşımı olarak kabul edilir. Ölçümün kendisinden daha büyük bir doğruluğa işaret eden rakamlar çıkarılmalıdır. Kalan rakamlar daha sonra anlamlı rakamlar olarak adlandırılır. Örneğin, bir cetvelle yapılan ölçümler nadiren en az 0,001 m hata payı olmadan yapılabilir. Bir dikdörtgenin kenarları 1,23 m ve 4,56 m olarak ölçülürse, çarpma işlemi dikdörtgenin alanını 5,614591 m2 ile 5,603011 m2 arasında verir. Ondalık basamaktan sonraki ikinci basamak bile korunmadığından, sonraki basamaklar anlamlı değildir. Bu nedenle sonuç genellikle 5,61'e yuvarlanır. ⓘ

Aynı kesrin birden fazla şekilde yazılabilmesi gibi, aynı gerçek sayının da birden fazla ondalık gösterimi olabilir. Örneğin, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., hepsi 1 doğal sayısını temsil eder. Verilen bir gerçek sayının yalnızca aşağıdaki ondalık gösterimleri vardır: sonlu sayıda ondalık basamağa bir yaklaşım, sınırsız sayıda ondalık basamak için devam eden bir modelin oluşturulduğu bir yaklaşım veya yalnızca sonlu sayıda ondalık basamağa sahip tam bir değer. Bu son durumda, sıfır olmayan son rakamın yerine bir küçük rakam ve ardından sınırsız sayıda 9 gelebilir ya da sıfır olmayan son rakamın ardından sınırsız sayıda sıfır gelebilir. Böylece 3.74 tam gerçek sayısı 3.7399999999... ve 3.74000000000.... şeklinde de yazılabilir. Benzer şekilde, sınırsız sayıda 0 içeren bir ondalık sayı, ondalık basamağın sağındaki 0'lar atılarak yeniden yazılabilir ve sınırsız sayıda 9 içeren bir ondalık sayı, en sağdaki -9 basamağı bir artırılarak ve bu basamağın sağındaki tüm 9'lar 0'a dönüştürülerek yeniden yazılabilir. Son olarak, ondalık basamağın sağındaki sınırsız 0 dizisi atılabilir. Örneğin, 6.849999999999... = 6.85 ve 6.850000000000... = 6.85. Son olarak, bir sayıdaki tüm rakamlar 0 ise, sayı 0'dır ve bir sayıdaki tüm rakamlar bitmeyen bir 9'lar dizisi ise, ondalık basamağın sağındaki dokuzları düşürebilir ve ondalık basamağın solundaki 9'lar dizisine bir ekleyebilirsiniz. Örneğin, 99.999... = 100. ⓘ

Gerçek sayılar ayrıca en küçük üst sınır özelliği adı verilen önemli ancak oldukça teknik bir özelliğe sahiptir. ⓘ

Aynı zamanda tam olan herhangi bir sıralı alanın gerçel sayılara izomorfik olduğu gösterilebilir. Bununla birlikte, reel sayılar cebirsel olarak kapalı bir cisim değildir, çünkü cebirsel denklemin bir çözümünü (genellikle eksi birin karekökü olarak adlandırılır) içermezler $x^{2}+1=0$. ⓘ

Karmaşık sayılar

Daha büyük bir soyutlama düzeyine geçildiğinde, gerçek sayılar karmaşık sayılara genişletilebilir. Bu sayı kümesi tarihsel olarak kübik ve kuadratik polinomların kökleri için kapalı formüller bulmaya çalışmaktan doğmuştur. Bu, negatif sayıların kareköklerini içeren ifadelere ve nihayetinde yeni bir sayının tanımlanmasına yol açtı: Leonhard Euler tarafından atanan ve hayali birim olarak adlandırılan bir sembol olan i ile gösterilen -1'in karekökü. Karmaşık sayılar şu formdaki tüm sayılardan oluşur

$\,a+bi$

Burada a ve b reel sayılardır. Bu nedenle karmaşık sayılar, iki gerçek boyutlu bir vektör uzayı olan karmaşık düzlemdeki noktalara karşılık gelir. a + bi ifadesinde a reel sayıya reel kısım, b ise hayali kısım olarak adlandırılır. Karmaşık bir sayının gerçel kısmı 0 ise, o sayıya hayali sayı denir veya tamamen hayali olarak adlandırılır; hayali kısım 0 ise, o zaman sayı bir gerçek sayıdır. Dolayısıyla reel sayılar karmaşık sayıların bir alt kümesidir. Karmaşık bir sayının gerçek ve hayali kısımlarının her ikisi de tamsayı ise, bu sayıya Gauss tamsayısı denir. Karmaşık sayıların sembolü C veya $\mathbb {C}$. ⓘ

Cebirin temel teoremi, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı bir alan oluşturduğunu, yani karmaşık katsayılı her polinomun karmaşık sayılarda bir kökü olduğunu ileri sürer. Reel sayılar gibi, karmaşık sayılar da tam bir cisim oluşturur, ancak reel sayılardan farklı olarak sıralı değildir. Yani, i'nin 1'den büyük olduğunu söylemenin tutarlı bir anlamı olmadığı gibi, i'nin 1'den küçük olduğunu söylemenin de bir anlamı yoktur. Teknik terimlerle, karmaşık sayılar alan işlemleriyle uyumlu bir toplam düzenden yoksundur. ⓘ

Tam sayıların alt sınıfları

Çift ve tek sayılar

Çift sayı, ikiye "eşit olarak bölünebilen", yani kalansız olarak ikiye bölünebilen bir tamsayıdır; tek sayı ise çift olmayan bir tamsayıdır. (Eski moda "eşit olarak bölünebilir" terimi artık neredeyse her zaman "bölünebilir" olarak kısaltılmaktadır). Herhangi bir n tek sayısı, uygun bir k tamsayısı için n = 2k + 1 formülüyle oluşturulabilir. k = 0 ile başlayarak, negatif olmayan ilk tek sayılar {1, 3, 5, 7, ...}'dir. Herhangi bir m çift sayısı m = 2k biçimine sahiptir, burada k yine bir tam sayıdır. Benzer şekilde, negatif olmayan ilk çift sayılar {0, 2, 4, 6, ...} şeklindedir. ⓘ

Asal sayılar

Genellikle sadece asal olarak kısaltılan asal sayı, iki küçük pozitif tamsayının çarpımı olmayan 1'den büyük bir tamsayıdır. İlk birkaç asal sayı 2, 3, 5, 7 ve 11'dir. Asal sayıları oluşturmak için tek ve çift sayılarda olduğu gibi basit bir formül yoktur. Asal sayılar 2000 yılı aşkın bir süredir geniş çapta incelenmiş ve sadece bazıları yanıtlanmış olan birçok soruya yol açmıştır. Bu soruların incelenmesi sayılar teorisine aittir. Goldbach'ın varsayımı hala cevaplanmamış sorulara bir örnektir: "Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır?" ⓘ

Yanıtlanan sorulardan biri, birden büyük her tam sayının asal sayıların yeniden düzenlenmesi dışında tek bir şekilde asal sayıların çarpımı olup olmadığıdır; kanıtlanan bu iddia aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılır. Öklid'in Elementler'inde bir kanıt bulunmaktadır. ⓘ

Diğer tamsayı sınıfları

Doğal sayıların birçok alt kümesi özel çalışmalara konu olmuş ve genellikle onları inceleyen ilk matematikçinin adıyla anılmıştır. Bu tür tam sayı kümelerine örnek olarak Fibonacci sayıları ve mükemmel sayılar verilebilir. Daha fazla örnek için Tamsayı dizisi bölümüne bakınız. ⓘ

Karmaşık sayıların alt sınıfları

Cebirsel, irrasyonel ve transandantal sayılar

Cebirsel sayılar, tam sayı katsayıları olan bir polinom denkleminin çözümü olan sayılardır. Rasyonel sayı olmayan reel sayılara irrasyonel sayılar denir. Cebirsel olmayan karmaşık sayılara transandantal sayılar denir. Tam sayı katsayılı monik bir polinom denkleminin çözümü olan cebirsel sayılara cebirsel tam sayılar denir. ⓘ

Oluşturulabilir sayılar

Klasik çizgeç ve pergelle inşa etme problemlerinden hareketle, inşa edilebilir sayılar, gerçek ve hayali kısımları çizgeç ve pergel kullanılarak, birim uzunluktaki belirli bir parçadan başlayarak sonlu sayıda adımda inşa edilebilen karmaşık sayılardır. ⓘ

Hesaplanabilir sayılar

Yinelemeli sayı olarak da bilinen hesaplanabilir bir sayı, girdi olarak pozitif bir n sayısı verildiğinde, hesaplanabilir sayının ondalık gösteriminin ilk n basamağını üreten bir algoritmanın var olduğu bir gerçek sayıdır. Eşdeğer tanımlar μ-recursive fonksiyonlar, Turing makineleri veya λ-calculus kullanılarak verilebilir. Hesaplanabilir sayılar, bir polinomun köklerinin hesaplanması da dahil olmak üzere tüm olağan aritmetik işlemler için kararlıdır ve bu nedenle gerçek cebirsel sayıları içeren gerçek bir kapalı alan oluşturur. ⓘ

Hesaplanabilir sayılar, bir bilgisayarda tam olarak temsil edilebilen reel sayılar olarak görülebilir: hesaplanabilir bir sayı, ilk rakamları ve diğer rakamları hesaplamak için bir program ile tam olarak temsil edilir. Ancak, hesaplanabilir sayılar pratikte nadiren kullanılır. Bunun bir nedeni, iki hesaplanabilir sayının eşitliğini test etmek için bir algoritma olmamasıdır. Daha doğrusu, herhangi bir hesaplanabilir sayıyı girdi olarak alan ve her durumda bu sayının sıfıra eşit olup olmadığına karar veren bir algoritma mevcut değildir. ⓘ

Hesaplanabilir sayılar kümesi doğal sayılarla aynı kardinaliteye sahiptir. Bu nedenle, neredeyse tüm gerçek sayılar hesaplanamaz. Bununla birlikte, hesaplanamayan bir gerçek sayıyı açıkça üretmek çok zordur. ⓘ

Kavramın uzantıları

p-adik sayılar

P-adik sayılar ondalık noktanın solunda sonsuz uzunlukta açılımlara sahip olabilir, aynı şekilde reel sayılar da sağda sonsuz uzunlukta açılımlara sahip olabilir. Ortaya çıkan sayı sistemi, rakamlar için hangi tabanın kullanıldığına bağlıdır: herhangi bir taban mümkündür, ancak asal sayı tabanı en iyi matematiksel özellikleri sağlar. P-adik sayılar kümesi rasyonel sayıları içerir, ancak karmaşık sayıları içermez. ⓘ

Sonlu bir cisim üzerindeki cebirsel bir fonksiyon cisminin elemanları ve cebirsel sayılar birçok benzer özelliğe sahiptir (bkz. Fonksiyon cismi analojisi). Bu nedenle, sayı teorisyenleri tarafından genellikle sayı olarak kabul edilirler. Bu benzetmede p-adik sayılar önemli bir rol oynar. ⓘ

Hiperkompleks sayılar

Karmaşık sayılara dahil olmayan bazı sayı sistemleri, karmaşık sayıların yapısını genelleştirecek şekilde gerçek sayılardan oluşturulabilir. Bunlar bazen hiperkompleks sayılar olarak adlandırılır. Bunlar arasında Sir William Rowan Hamilton tarafından tanıtılan ve çarpmanın değişmeli olmadığı kuaterniyonlar H, çarpmanın değişmeli olmamasının yanı sıra birleşmeli de olmadığı oktoniyonlar ve çarpmanın alternatif olmadığı, ne birleşmeli ne de değişmeli olduğu sedeniyonlar yer alır. ⓘ

Transfinit sayılar

Sonsuz kümelerle ilgilenmek için, doğal sayılar sıra sayılarına ve kardinal sayılara genelleştirilmiştir. Birincisi kümenin sıralamasını verirken, ikincisi büyüklüğünü verir. Sonlu kümeler için hem sıra hem de kardinal sayılar doğal sayılarla özdeşleştirilir. Sonsuz durumda, birçok sıra sayısı aynı kardinal sayıya karşılık gelir. ⓘ

Standart olmayan sayılar

Hipergerçek sayılar standart olmayan analizde kullanılır. Hipergerçekler veya standart olmayan gerçekler (genellikle *R olarak gösterilir), R gerçek sayılar sıralı alanının uygun bir uzantısı olan ve aktarım ilkesini karşılayan bir sıralı alanı ifade eder. Bu ilke, R hakkındaki doğru birinci dereceden ifadelerin *R hakkındaki doğru birinci dereceden ifadeler olarak yeniden yorumlanmasına izin verir. ⓘ

Süper gerçek ve gerçeküstü sayılar, sonsuz küçük sayılar ve sonsuz büyük sayılar ekleyerek gerçek sayıları genişletir, ancak yine de alanlar oluşturur. ⓘ

Sayıların sınıflandırılması, sayı sistemi

Sayma sayılar

Sayma sayıları boştan farklı bir kümenin elemanlarını azlık veya çokluk yönünden nitelemekten ziyade onların içindeki eleman miktarına göre verilen bir temsilciler kümesi olarak tanımlanır. Temsilcilere verilen isme kanonik temsilci denir. Her sayma sayısı aynı zamanda bir kanonik temsilcidir. Sayma sayılarına sıfırın dahil olmamasının sebebi boş kümenin içinde temsil edecek bir elemanın olmamasıdır. ⓘ

$\scriptstyle \mathbb {N} ^{+}=\left\{1,2,3,...\right\}$ ⓘ

Tam sayılar

Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ile gösterilir. ⓘ

$\scriptstyle \mathbb {Z} =\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ ⓘ

Sınıflama özeti

Matematiksel notasyonda yukarıdaki bütün semboller büyük harfle ve kalın olarak yazılır. ⓘ

$\scriptstyle \mathbb {N} \subset \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \scriptstyle \mathbb {Q} \subset \scriptstyle \mathbb {R} \subset \scriptstyle \mathbb {C}$ ⓘ

Bir tablo olarak sayılar için şöyle sınıflandırma yapılabilir:

$\scriptstyle \mathbb {C} {\mbox{ Karmaşık}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {R} &{\mbox{Gerçek}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {Q} &{\mbox{Rasyonel}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {Z} &{\mbox{Tam sayılar}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {N} &{\mbox{Doğal Sayılar}}\\\end{cases}}\\&{\mbox{Oranlı}}\end{cases}}\\&{\mbox{İrrasyonel}}\end{cases}}\\jjj&{\mbox{Sanal}}\end{cases}}$ ⓘ

Diğer Tip Sayılar

Bu sayılara ek olarak matematikte, kümeler teorisinin uğraş alanında olan ordinal sayılar ve kardinal sayılar da sayı kavramının genişletilmesiyle elde edilmişlerdir. Bütünleme tekniğinin değişik bir uygulanmasıyla elde edilen p-sel sayılar ve reel sayılara sonsuz küçükler ve büyüklerin eklenmesiyle elde edilen sürreel sayılar da sayı kavramının parçaları olarak düşünülürler. ⓘ

Sayı (dilbilim)

Dilbilim alanında sayılar ya da sayı adları, biçimbilimsel (morfolojik) olarak bağımsız bir sözcük kategorisidir. ⓘ

Türkçede sayı türleri

• asal sayılar (iki, üç ,beş, yedi ...)
• sıra sayıları (onuncu, yüzüncü ...)
• üleştirme sayıları (ikişer, onar ...)
• kesir sayıları (beşte bir ...) ⓘ

Sayı sıfatı

Dilbilimde, sayı kavramı içeren sıfatlara sayı sıfatı denir (örneğin on yıl, ikinci gün, birer kişi dizimlerindeki on, ikinci, birer sözcükleri). ⓘ