Fraktal
Matematikte fraktal, genellikle topolojik boyutu kesinlikle aşan bir fraktal boyuta sahip, keyfi olarak küçük ölçeklerde ayrıntılı yapı içeren geometrik şekilleri tanımlamak için kullanılan bir terimdir. Birçok fraktal, Mandelbrot kümesinin ardışık büyütmelerinde gösterildiği gibi, çeşitli ölçeklerde benzer görünür. Giderek daha küçük ölçeklerde benzer desenlerin sergilenmesine, genişleyen simetri veya açılan simetri olarak da bilinen kendine benzerlik denir; bu çoğaltma Menger süngerinde olduğu gibi her ölçekte tamamen aynıysa, şekle afin kendine benzer denir. Fraktal geometri, ölçü teorisinin matematiksel dalı içinde yer alır. ⓘ
Fraktalların sonlu geometrik şekillerden farklı olmasının bir yolu da nasıl ölçeklendikleridir. Dolu bir çokgenin kenar uzunluklarının iki katına çıkarılması, alanını dört ile çarpar; bu da ikinin (yeni kenar uzunluğunun eski kenar uzunluğuna oranı) iki kuvvetine (dolu çokgenin geleneksel boyutu) yükseltilmesidir. Aynı şekilde, içi dolu bir kürenin yarıçapı iki katına çıkarılırsa, hacmi sekiz katına çıkar; bu da ikinin (yeni yarıçapın eski yarıçapa oranı) üçün kuvvetine (içi dolu kürenin geleneksel boyutu) eşittir. Bununla birlikte, bir fraktalın tek boyutlu uzunluklarının tümü iki katına çıkarılırsa, fraktalın uzamsal içeriği tam sayı olması gerekmeyen ve genel olarak geleneksel boyutundan daha büyük olan bir güçle ölçeklenir. Bu güce, geleneksel boyuttan (resmi olarak topolojik boyut olarak adlandırılır) ayırt etmek için geometrik nesnenin fraktal boyutu denir. ⓘ
Analitik olarak, birçok fraktal hiçbir yerde türevlenebilir değildir. Sonsuz bir fraktal eğri, sıradan bir çizgiden farklı olarak uzayda dolanıyormuş gibi düşünülebilir - topolojik olarak hala 1 boyutlu olmasına rağmen, fraktal boyutu uzayı yerel olarak sıradan bir çizgiden daha verimli bir şekilde doldurduğunu gösterir. ⓘ
17. yüzyılda özyineleme kavramlarıyla başlayan fraktallar, 19. yüzyılda Bernard Bolzano, Bernhard Riemann ve Karl Weierstrass'ın ufuk açıcı çalışmalarıyla sürekli ancak türevlenemeyen fonksiyonların incelenmesine ve 20. yüzyılda fraktallara ve bilgisayar tabanlı modellemeye olan ilginin artmasıyla birlikte fraktal kelimesinin icat edilmesine kadar giderek daha titiz matematiksel işlemlerden geçmiştir. ⓘ
Fraktal kavramının resmi olarak nasıl tanımlanması gerektiği konusunda matematikçiler arasında bazı anlaşmazlıklar vardır. Mandelbrot'un kendisi bunu "güzel, lanet olası zor, giderek daha kullanışlı" şeklinde özetlemiştir. İşte fraktallar budur." Daha resmi olarak, 1982 yılında Mandelbrot fraktal kavramını şu şekilde tanımlamıştır: "Fraktal, tanımı gereği Hausdorff-Besicovitch boyutunun topolojik boyutu kesinlikle aştığı bir kümedir." Daha sonra bunun çok kısıtlayıcı olduğunu görerek tanımı basitleştirdi ve şu şekilde genişletti: "Fraktal, her biri (en azından yaklaşık olarak) bütünün küçültülmüş boyutlu bir kopyası olan parçalara ayrılabilen kaba veya parçalanmış geometrik bir şekildir." Daha sonra Mandelbrot, "fraktalın bilgiççe bir tanım olmadan kullanılmasını, fraktal boyutun tüm varyantlara uygulanabilen genel bir terim olarak kullanılmasını" önerdi. ⓘ
Matematikçiler arasındaki fikir birliği, teorik fraktalların, birçok örneği formüle edilmiş ve üzerinde çalışılmış, sonsuz derecede kendine benzer yinelemeli ve ayrıntılı matematiksel yapılar olduğu yönündedir. Fraktallar geometrik desenlerle sınırlı değildir, aynı zamanda zaman içindeki süreçleri de tanımlayabilir. Çeşitli derecelerde kendine benzerlik gösteren fraktal desenler görsel, fiziksel ve işitsel medyada işlenmiş ya da incelenmiş ve doğada, teknolojide, sanatta, mimaride ve hukukta yer bulmuştur. Fraktallar kaos teorisi alanında özel bir öneme sahiptir çünkü çoğu kaotik sürecin geometrik tasvirlerinde (tipik olarak ya çekiciler olarak ya da çekim havzaları arasındaki sınırlar olarak) ortaya çıkarlar. ⓘ
Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme veya oransal kırılma özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Öklid (Euklides) geometrideki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar doğadaki, Öklid'çi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimi tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Benoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan kavram, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır. ⓘ
Etimoloji
"Fraktal" terimi 1975 yılında matematikçi Benoît Mandelbrot tarafından ortaya atılmıştır. Mandelbrot bu terimi "kırık" veya "çatlak" anlamına gelen Latince frāctus kelimesine dayandırmış ve teorik kesirli boyutlar kavramını doğadaki geometrik desenlere genişletmek için kullanmıştır. ⓘ
Giriş
"Fraktal" kelimesi, matematikçilerden farklı olarak sıradan halk için genellikle farklı çağrışımlara sahiptir; halkın matematiksel kavramdan ziyade fraktal sanata aşina olma olasılığı daha yüksektir. Matematiksel kavramı resmi olarak tanımlamak matematikçiler için bile zordur, ancak temel özellikler biraz matematiksel altyapı ile anlaşılabilir. ⓘ
Örneğin "kendine benzerlik" özelliği, daha ince, daha önce görünmeyen, yeni bir yapıyı ortaya çıkarmak için dijital görüntüleri yakınlaştıran bir lens veya başka bir cihazla yakınlaştırmaya benzetilerek kolayca anlaşılabilir. Ancak bu işlem fraktallar üzerinde yapılırsa, yeni bir ayrıntı ortaya çıkmaz; hiçbir şey değişmez ve aynı örüntü tekrar tekrar ortaya çıkar ya da bazı fraktallar için neredeyse aynı örüntü tekrar tekrar ortaya çıkar. Kendine benzerliğin kendisi mutlaka sezgiye aykırı değildir (örneğin, insanlar paralel aynalardaki sonsuz gerileme veya homunculus, kafanın içindeki küçük adamın kafasının içindeki küçük adam gibi gayri resmi olarak kendine benzerlik üzerine düşünmüşlerdir...). Fraktallar için fark, yeniden üretilen örüntünün ayrıntılı olması gerektiğidir. ⓘ
Bu ayrıntılı olma fikri, çok fazla matematiksel altyapı olmadan anlaşılabilecek başka bir özellikle ilgilidir: Örneğin, topolojik boyutundan daha büyük bir fraktal boyuta sahip olmak, geometrik şekillerin genellikle nasıl algılandığına kıyasla bir fraktalın nasıl ölçeklendiğini ifade eder. Örneğin düz bir çizgi geleneksel olarak tek boyutlu olarak anlaşılır; böyle bir şekil her biri orijinalinin 1/3'ü uzunluğunda parçalara ayrılırsa, her zaman üç eşit parça vardır. Düz bir karenin iki boyutlu olduğu anlaşılır; böyle bir şekil her iki boyutta da 1/3 kat küçültülerek parçalara ayrılırsa, toplam 32 = 9 parça olur. ⓘ
Sıradan kendine benzer nesneler için n-boyutlu olmanın, her biri 1/r ölçek faktörü ile küçültülmüş parçalar halinde yeniden döşendiğinde toplam rn parça olacağı anlamına geldiğini görüyoruz. Şimdi Koch eğrisini ele alalım. Her biri 1/3 ölçek faktörü ile küçültülmüş dört alt kopyaya yeniden döşenebilir. Dolayısıyla, tam bir analoji ile, Koch eğrisinin "boyutunu" 3D = 4'ü sağlayan tek gerçek sayı D olarak düşünebiliriz. Bu sayı matematikçilerin Koch eğrisinin fraktal boyutu olarak adlandırdıkları sayıdır; kesinlikle geleneksel olarak bir eğrinin boyutu olarak algılanan sayı değildir (bu sayı bir tam sayı bile değildir!). Genel olarak, fraktalların önemli bir özelliği, fraktal boyutun geleneksel olarak anlaşılan boyuttan (resmi olarak topolojik boyut olarak adlandırılır) farklı olmasıdır. ⓘ
Bu aynı zamanda üçüncü bir özelliğin, yani matematiksel denklemler olarak fraktalların "hiçbir yerde türevlenemez" olduğunun anlaşılmasını sağlar. Somut anlamda bu, fraktalların geleneksel yollarla ölçülemeyeceği anlamına gelir. Biraz daha açacak olursak, fraktal olmayan dalgalı bir eğrinin uzunluğunu bulmaya çalışırken, dalgaların üzerine uç uca yerleştirilebilecek kadar küçük bir ölçüm aletinin düz parçaları bulunabilir ve bu parçalar normal bir mezura ile ölçme yönteminde eğriye uyduğu düşünülecek kadar küçülebilir. Ancak Koch kar tanesi gibi sonsuz "dalgalı" bir fraktal eğriyi ölçerken, eğriye uyacak kadar küçük bir düz parça asla bulunamaz, çünkü pürüzlü desen her zaman keyfi olarak küçük ölçeklerde yeniden ortaya çıkar, esasen mezurayı eğriye daha sıkı ve daha sıkı oturtmaya çalışılan her seferinde ölçülen toplam uzunluğun içine biraz daha çeker. Sonuç olarak, eğrinin tamamını mükemmel bir şekilde kaplamak için sonsuz şeride ihtiyaç duyulur, yani kar tanesinin sonsuz bir çevresi vardır. ⓘ
Tarih
Fraktalların tarihi, esas olarak teorik çalışmalardan bilgisayar grafiklerindeki modern uygulamalara kadar uzanan bir yol izler ve bu yol boyunca birçok önemli kişi kanonik fraktal formlara katkıda bulunmuştur. Geleneksel Afrika mimarisinde yaygın bir tema, fraktal ölçeklendirmenin kullanılmasıdır; bu sayede yapının küçük parçaları, dairesel evlerden oluşan dairesel bir köy gibi daha büyük parçalara benzeme eğilimindedir. Pickover'a göre fraktalların ardındaki matematik, 17. yüzyılda matematikçi ve filozof Gottfried Leibniz'in özyinelemeli kendine benzerlik üzerine kafa yormasıyla şekillenmeye başlamıştır (ancak Leibniz bu anlamda sadece düz çizginin kendine benzer olduğunu düşünme hatasına düşmüştür). ⓘ
Leibniz yazılarında "kesirli üsler" terimini kullanmış, ancak "Geometri "nin henüz bunları bilmediğinden yakınmıştır. Gerçekten de, çeşitli tarihsel anlatımlara göre, bu noktadan sonra çok az matematikçi bu konularla ilgilenmiş ve ilgilenenlerin çalışmaları da, bazen matematiksel "canavarlar" olarak adlandırılan bu tür yabancı yeni kavramlara karşı gösterilen direnç nedeniyle büyük ölçüde karanlıkta kalmıştır. Böylece, 18 Temmuz 1872'de Karl Weierstrass, Prusya Kraliyet Bilimler Akademisi'nde, bugün fraktal olarak kabul edilebilecek bir grafiğe sahip, her yerde sürekli ama hiçbir yerde türevlenemez olma gibi sezgisel olmayan bir özelliğe sahip bir fonksiyonun ilk tanımını sunana kadar iki yüzyıl geçmemişti. ⓘ
Buna ek olarak, toplama indeksi arttıkça bölüm farkı keyfi olarak büyük hale gelmektedir. Bundan kısa bir süre sonra, 1883 yılında, Weierstrass'ın derslerine katılan Georg Cantor, Cantor kümeleri olarak bilinen ve alışılmadık özelliklere sahip olan ve günümüzde fraktallar olarak tanınan gerçek doğrunun alt kümelerinin örneklerini yayınladı. Yine bu yüzyılın son bölümünde Felix Klein ve Henri Poincaré, "kendi kendini tersine çeviren" fraktallar olarak adlandırılan bir fraktal kategorisi ortaya koydular. ⓘ
.png)
Bir sonraki dönüm noktalarından biri 1904 yılında, Poincaré'nin fikirlerini genişleten ve Weierstrass'ın soyut ve analitik tanımından memnun olmayan Helge von Koch'un, benzer bir fonksiyonun elle çizilmiş görüntülerini içeren ve günümüzde Koch kar tanesi olarak adlandırılan daha geometrik bir tanım vermesi oldu. Bir başka dönüm noktası da on yıl sonra 1915'te Wacław Sierpiński'nin ünlü üçgenini ve bir yıl sonra da halısını inşa etmesiyle geldi. 1918 yılına gelindiğinde, iki Fransız matematikçi, Pierre Fatou ve Gaston Julia, bağımsız olarak çalışsalar da, karmaşık sayıların ve yinelemeli işlevlerin eşlenmesiyle ilişkili fraktal davranış olarak görülen ve fraktalların incelenmesinde çok önemli hale gelen çekiciler ve iticiler (yani, diğer noktaları çeken veya iten noktalar) hakkında daha fazla fikre yol açan sonuçlara esasen eşzamanlı olarak ulaştılar. ⓘ
Bu çalışmanın sunulmasından çok kısa bir süre sonra, Mart 1918'de, Felix Hausdorff "boyut" tanımını, fraktalların tanımının evrimi için önemli ölçüde genişleterek kümelerin tamsayı olmayan boyutlara sahip olmasına izin verdi. Kendine benzer eğriler fikri Paul Lévy tarafından daha da ileri götürülmüştür. 1938 tarihli Düzlem veya Uzay Eğrileri ve Bütüne Benzer Parçalardan Oluşan Yüzeyler adlı makalesinde Lévy C eğrisi adında yeni bir fraktal eğri tanımlamıştır. ⓘ
Farklı araştırmacılar, modern bilgisayar grafiklerinin yardımı olmadan, ilk araştırmacıların manuel çizimlerle tasvir edebilecekleri şeylerle sınırlı olduklarını, bu nedenle keşfettikleri birçok modelin güzelliğini görselleştirme ve bazı sonuçlarını takdir etme araçlarından yoksun olduklarını öne sürmüşlerdir (örneğin Julia kümesi, yalnızca birkaç yineleme yoluyla çok basit çizimler olarak görselleştirilebilirdi). Ancak bu durum 1960'larda Benoit Mandelbrot'un "Britanya Sahili Ne Kadar Uzun?" gibi makalelerde kendine benzerlik hakkında yazmaya başlamasıyla değişti. İstatistiksel Kendine Benzerlik ve Kesirli Boyut, Lewis Fry Richardson'ın daha önceki çalışmaları üzerine inşa edilmiştir. ⓘ
Mandelbrot 1975'te yüzlerce yıllık düşünce ve matematiksel gelişimi "fraktal" kelimesiyle somutlaştırdı ve matematiksel tanımını çarpıcı bilgisayar yapımı görselleştirmelerle açıkladı. Kanonik Mandelbrot kümesi gibi bu görüntüler popüler hayal gücünü ele geçirdi; birçoğu özyinelemeye dayanıyordu ve "fraktal" teriminin popüler anlamına yol açtı. ⓘ
1980 yılında Loren Carpenter, SIGGRAPH'ta fraktal olarak oluşturulmuş manzaralar üretmeye ve oluşturmaya yönelik yazılımını tanıttığı bir sunum yaptı. ⓘ
Tanım ve özellikler
Mandelbrot'un geometrik fraktalları tanımlamak için yayınladığı ve sıklıkla atıfta bulunulan bir tanım "her biri (en azından yaklaşık olarak) bütünün küçültülmüş boyutlu bir kopyası olan parçalara ayrılabilen kaba veya parçalanmış geometrik bir şekil" şeklindedir; bu genellikle yararlıdır ancak sınırlıdır. Yazarlar fraktalın tam tanımı konusunda hemfikir değildir, ancak çoğu genellikle öz-benzerlik ve fraktalların içine gömüldükleri uzayla kurdukları olağandışı ilişki gibi temel fikirler üzerinde durur. ⓘ
Üzerinde mutabık kalınan bir nokta, fraktal desenlerin fraktal boyutlarla karakterize edildiği, ancak bu sayıların karmaşıklığı ölçerken (yani, değişen ölçekle birlikte değişen ayrıntı), belirli fraktal desenlerin nasıl oluşturulacağına dair ayrıntıları ne benzersiz bir şekilde tanımladığı ne de belirttiğidir. 1975 yılında Mandelbrot "fraktal" kelimesini icat ettiğinde, bunu Hausdorff-Besicovitch boyutu topolojik boyutundan daha büyük olan bir nesneyi belirtmek için yapmıştır. Ancak bu gereklilik Hilbert eğrisi gibi uzayı dolduran eğriler tarafından karşılanmamaktadır. ⓘ
Fraktallar için tek bir tanım bulmanın zorluğu nedeniyle, bazıları fraktalların kesin olarak tanımlanmaması gerektiğini savunmaktadır. Falconer'e göre, fraktallar yalnızca genel olarak aşağıdaki özelliklerin bir araya gelmesiyle karakterize edilmelidir; ⓘ
- Aşağıdakileri içerebilen kendine benzerlik
- Tam kendine benzerlik: Koch kar tanesi gibi tüm ölçeklerde aynıdır
- Yarı kendine benzerlik: aynı desene farklı ölçeklerde yaklaşır; tüm fraktalın çarpıtılmış ve dejenere biçimlerde küçük kopyalarını içerebilir; örneğin, Mandelbrot kümesinin uyduları tüm kümenin yaklaşımlarıdır, ancak tam kopyaları değildir.
- İstatistiksel kendine benzerlik: Bir örüntüyü stokastik olarak tekrarlar, böylece sayısal veya istatistiksel ölçüler ölçekler arasında korunur; örneğin, Koch kar tanesi gibi fraktalları tanımlayan tekrarlanan birim kadar düzgün bir şekilde ölçeklendirilmiş ve tekrarlanan bir segment bulmayı beklemeyeceğiniz Britanya kıyı şeridinin iyi bilinen örneği gibi rastgele oluşturulmuş fraktallar.
- Niteliksel kendine benzerlik: bir zaman serisinde olduğu gibi
- Multifraktal ölçeklendirme: birden fazla fraktal boyut veya ölçeklendirme kuralı ile karakterize edilir
- Keyfi olarak küçük ölçeklerde ince veya ayrıntılı yapı. Bu yapının bir sonucu olarak fraktallar ortaya çıkan özelliklere sahip olabilir (bu listedeki bir sonraki kriterle ilgili).
- Geleneksel Öklid geometrisi dilinde kolayca tanımlanamayan yerel ve küresel düzensizlik, özyinelemeli olarak tanımlanmış bir dizi aşamanın sınırı olarak tanımlanabilir. Fraktal desenlerin görüntüleri için bu durum "düzgün bir şekilde yığılan yüzeyler" ve "girdaplar üzerine girdaplar" gibi ifadelerle dile getirilmiştir; bkz. fraktal üretmek için yaygın teknikler ⓘ
Bir grup olarak bu kriterler, diğer tipik fraktal özelliklere sahip olmadan kendine benzer olabilenler gibi belirli durumları hariç tutmak için kılavuzlar oluşturur. Örneğin düz bir çizgi kendine benzerdir ancak fraktal değildir çünkü ayrıntıdan yoksundur ve özyinelemeye ihtiyaç duymadan Öklid dilinde kolayca tanımlanabilir. ⓘ
Fraktal oluşturmak için yaygın teknikler
Fraktalların görüntüleri fraktal üreten programlar tarafından oluşturulabilir. Kelebek etkisi nedeniyle, tek bir değişkendeki küçük bir değişiklik öngörülemeyen bir sonuca yol açabilir. ⓘ
- Yinelenen fonksiyon sistemleri (IFS) - sabit geometrik değiştirme kuralları kullanır; stokastik veya deterministik olabilir; örneğin, Koch kar tanesi, Cantor kümesi, Haferman halısı, Sierpinski halısı, Sierpinski contası, Peano eğrisi, Harter-Heighway ejderha eğrisi, T-kare, Menger süngeri
- Garip çekiciler - bir haritanın yinelemelerini veya kaos sergileyen başlangıç değeri diferansiyel veya fark denklemleri sisteminin çözümlerini kullanın (örneğin, multifraktal görüntüye veya lojistik haritaya bakın)
- L-sistemleri - dizgi yeniden yazımını kullanır; bitkiler, biyolojik hücreler (örneğin nöronlar ve bağışıklık sistemi hücreleri), kan damarları, akciğer yapısı vb. gibi dallanma modellerine veya uzay doldurma eğrileri ve eğimler gibi kaplumbağa grafik modellerine benzeyebilir
- Kaçış zamanı fraktalları - bir uzaydaki (karmaşık düzlem gibi) her noktada bir formül veya yineleme ilişkisi kullanır; genellikle yarı kendine benzer; "yörünge" fraktalları olarak da bilinir; örneğin Mandelbrot kümesi, Julia kümesi, Yanan Gemi fraktal, Nova fraktal ve Lyapunov fraktal. Kaçış zamanı formüllerinin bir veya iki iterasyonuyla oluşturulan 2 boyutlu vektör alanları da noktalar (veya piksel verileri) bu alandan tekrar tekrar geçirildiğinde fraktal bir form ortaya çıkarır.
- Rastgele fraktallar - stokastik kuralları kullanır; örneğin, Lévy uçuşu, perkolasyon kümeleri, kendinden kaçınan yürüyüşler, fraktal manzaralar, Brown hareketinin yörüngeleri ve Brown ağacı (yani, difüzyonla sınırlı agregasyon veya reaksiyonla sınırlı agregasyon kümelerinin modellenmesiyle oluşturulan dendritik fraktallar). ⓘ
- Sonlu alt bölümleme kuralları - tilingleri rafine etmek için özyinelemeli bir topolojik algoritma kullanır ve hücre bölünmesi sürecine benzerler. Cantor kümesi ve Sierpinski halısının oluşturulmasında kullanılan yinelemeli süreçler, barisentrik alt bölümleme gibi sonlu alt bölümleme kurallarına örnektir. ⓘ
Uygulamalar
Simüle edilmiş fraktallar
Fraktal desenler, fiziksel zaman ve uzayın pratik sınırları nedeniyle sonsuz yerine bir dizi ölçekte de olsa kapsamlı bir şekilde modellenmiştir. Modeller teorik fraktalları veya fraktal özelliklere sahip doğal fenomenleri simüle edebilir. Modelleme sürecinin çıktıları son derece sanatsal renderlar, araştırma çıktıları veya fraktal analiz için ölçütler olabilir. Fraktalların teknolojiye bazı özel uygulamaları başka bir yerde listelenmiştir. Görüntüler ve modellemenin diğer çıktıları, fraktal görüntünün herhangi bir fraktal özellik sergilemeyen bir bölgesine yakınlaştırmanın mümkün olduğu durumlarda olduğu gibi, tam olarak fraktal özelliklere sahip olmasalar bile normalde "fraktal" olarak adlandırılırlar. Ayrıca, bunlar gerçek fraktalların özellikleri olmayan hesaplama veya görüntüleme artefaktlarını içerebilir. ⓘ
Modellenen fraktallar sesler, dijital görüntüler, elektrokimyasal desenler, sirkadiyen ritimler vb. olabilir. Fraktal desenler fiziksel 3 boyutlu uzayda ve sanal olarak yeniden yapılandırılmıştır, genellikle "in silico" modelleme olarak adlandırılır. Fraktal modelleri genellikle yukarıda özetlenenler gibi teknikleri uygulayan fraktal üreten yazılımlar kullanılarak oluşturulur. Bir örnek olarak, ağaçlar, eğrelti otları, sinir sistemi hücreleri, kan ve akciğer damarları ve doğadaki diğer dallanma şekilleri, özyinelemeli algoritmalar ve L-sistem teknikleri kullanılarak bilgisayarda modellenebilir. ⓘ
Bazı örüntülerin özyinelemeli doğası bazı örneklerde açıkça görülmektedir; bir ağacın dalı ya da bir eğrelti otunun yaprağı bütünün minyatür bir kopyasıdır: özdeş değildir, ancak doğada benzerdir. Benzer şekilde, rastgele fraktallar gerçek dünyadaki birçok düzensiz nesneyi tanımlamak/yaratmak için kullanılmıştır. Fraktalları modellemenin bir sınırlaması, bir fraktal modelin doğal bir fenomene benzemesinin, modellenen fenomenin modelleme algoritmalarına benzer bir süreçle oluştuğunu kanıtlamamasıdır. ⓘ
Fraktal özelliklere sahip doğal fenomenler
Doğada bulunan yaklaşık fraktallar, geniş ancak sonlu ölçek aralıklarında kendine benzerlik gösterir. Örneğin fraktallar ve yapraklar arasındaki bağlantı şu anda ağaçlarda ne kadar karbon bulunduğunu belirlemek için kullanılmaktadır. Fraktal özelliklere sahip olduğu bilinen fenomenler şunları içerir: ⓘ
- Aktin hücre iskeleti
- Yosun
- Hayvan renklenme desenleri
- Kan damarları ve pulmoner damarlar
- Bulutlar ve yağış alanları
- Kıyı Şeritleri
- Kraterler
- Kristaller
- DNA
- Depremler
- Fay hatları
- Geometrik optik
- Kalp atış hızları
- Kalp sesleri
- Göl kıyıları ve alanları
- Yıldırımlar
- Dağ keçisi boynuzları
- Ağlar
- Polimerler
- Süzülme
- Sıradağlar
- Okyanus dalgaları
- Ananas
- Proteinler
- Satürn'ün Halkaları
- Nehir ağları
- Romanesco brokoli
- Kar Taneleri
- Toprak gözenekleri
- Türbülanslı akışlarda yüzeyler
- Ağaçlar
- Toz taneleri
- Brownian hareketi (tek boyutlu bir Wiener süreci tarafından oluşturulur). ⓘ
Soğuk cam üzerinde doğal olarak oluşan don kristalleri fraktal desenler oluşturur
Geometrik bir optik sistemde fraktal havza sınırı
Tutkal kaplı iki akrilik levha birbirinden ayrıldığında bir fraktal oluşur
Akrilik cam blok içindeki yüksek voltaj kırılması fraktal bir Lichtenberg figürü yaratıyor
Romanesco brokolisi, doğal bir fraktala yaklaşan kendine benzer bir form gösteriyor
Fraktal buz çözme desenleri, kutupsal Mars. Desenler donmuş CO2'nin süblimleşmesiyle oluşuyor. Görüntünün genişliği yaklaşık bir kilometre.
Ahşap üzerinde fraktal olarak büyüyen balçık küfü Brefeldia maxima ⓘ
.jpg)
Hücre biyolojisinde fraktallar
Fraktallar genellikle dallanma süreçleri ve diğer karmaşık örüntü oluşumları yoluyla ortaya çıktıkları canlı organizmalar alanında görülür. Ian Wong ve çalışma arkadaşları, göç eden hücrelerin kümelenme ve dallanma yoluyla fraktallar oluşturabildiğini göstermiştir. Sinir hücreleri, yüzey/hacim oranının büyük ölçüde artırılmasıyla geliştirilmiş olgularla hücre yüzeyindeki süreçler aracılığıyla işlev görür. Sonuç olarak sinir hücrelerinin sıklıkla fraktal desenler oluşturduğu görülmüştür. Bu süreçler hücre fizyolojisinde ve farklı patolojilerde çok önemlidir. ⓘ
Birden fazla hücre altı yapının da fraktallar halinde bir araya geldiği görülmüştür. Diego Krapf, dallanma süreçleri aracılığıyla insan hücrelerindeki aktin filamentlerinin fraktal desenler halinde bir araya geldiğini göstermiştir. Benzer şekilde Matthias Weiss da endoplazmik retikulumun fraktal özellikler sergilediğini göstermiştir. Şu anki anlayış, fraktalların hücre biyolojisinde proteinlerden organellere ve tüm hücrelere kadar her yerde bulunduğu yönündedir. ⓘ
Yaratıcı çalışmalarda
1999 yılından bu yana çok sayıda bilimsel grup, Jackson Pollock'un (1912-1956) doğrudan yatay tuval üzerine boya dökerek yaptığı 50'den fazla resim üzerinde fraktal analiz gerçekleştirmiştir. ⓘ
Son zamanlarda fraktal analiz, gerçek ve taklit Pollock'ları ayırt etmede %93'lük bir başarı oranı elde etmek için kullanılmıştır. Bilişsel sinirbilimciler Pollock'un fraktallarının gözlemcilerde bilgisayar tarafından üretilen fraktallar ve Doğa'nın fraktalları ile aynı stres azaltıcı etkiyi yarattığını göstermiştir. ⓘ
Max Ernst gibi sanatçılar tarafından kullanılan bir teknik olan dekalkomani, fraktal benzeri desenler üretebilir. Bu teknik, boyanın iki yüzey arasına bastırılmasını ve birbirinden ayrılmasını içerir. ⓘ
Sibernetikçi Ron Eglash fraktal geometri ve matematiğin Afrika sanatında, oyunlarında, kehanetinde, ticaretinde ve mimarisinde yaygın olduğunu öne sürmüştür. Dairesel evler dairelerin dairelerinde, dikdörtgen evler dikdörtgenlerin dikdörtgenlerinde ve benzerlerinde görülür. Bu tür ölçeklendirme desenleri Afrika tekstillerinde, heykellerinde ve hatta mısır saç stillerinde de bulunabilir. Hokky Situngkir de Endonezya geleneksel sanatında, batikte ve geleneksel evlerde bulunan süslemelerde benzer özellikler olduğunu öne sürmüştür. ⓘ
Etnomatematikçi Ron Eglash, fraktalları temel alarak Benin şehrinin planlı düzenini, sadece şehrin kendisinde ve köylerde değil, evlerin odalarında bile tartışmıştır. Eglash şu yorumu yapmıştır: "Avrupalılar Afrika'ya ilk geldiklerinde mimarinin çok düzensiz ve dolayısıyla ilkel olduğunu düşündüler. Afrikalıların henüz keşfetmedikleri bir matematik biçimi kullanıyor olabilecekleri hiç akıllarına gelmemişti." ⓘ
Michael Silverblatt ile 1996 yılında yaptığı bir röportajda David Foster Wallace, editörü Michael Pietsch'e verdiği Infinite Jest'in ilk taslağının yapısının fraktallardan, özellikle de Sierpinski üçgeninden (diğer adıyla Sierpinski contası) esinlendiğini, ancak düzenlenmiş romanın "daha çok orantısız bir Sierpinsky Contası gibi" olduğunu itiraf etmiştir. ⓘ
Hollandalı sanatçı M. C. Escher'in Circle Limit III gibi bazı eserleri, sonsuza kadar tekrarlanan ve kenarlara yaklaştıkça küçülen, yakınlaştırıldığında her zaman aynı görünecek bir desende şekiller içerir. ⓘ
Bir dağın yüzeyini modelleyen bir fraktal (animasyon)
3D özyinelemeli görüntü
Yinelemeli fraktal kelebek görüntüsü
Fraktal bir alev ⓘ
Fizyolojik tepkiler
İnsanlar özellikle 1,3 ile 1,5 arasındaki D değerlerine sahip fraktal desenleri işlemeye iyi adapte olmuş gibi görünmektedir. İnsanlar 1,3 ile 1,5 arasında D değerlerine sahip fraktal desenleri gördüklerinde, bu durum fizyolojik stresi azaltma eğilimindedir. ⓘ
Teknoloji alanındaki uygulamalar
- Fraktal antenler
- Fraktal transistör
- Fraktal ısı eşanjörleri
- Dijital görüntüleme
- Mimarlık
- Kentsel büyüme
- Histopatoloji lamlarının sınıflandırılması
- Fraktal manzara veya Kıyı şeridi karmaşıklığı
- Fraktal analiz ile 'bilmediğimiz yaşamı' tespit etmek
- Enzimler (Michaelis-Menten kinetiği)
- Yeni müzik üretimi
- Sinyal ve görüntü sıkıştırma
- Dijital fotoğraf büyütmelerinin oluşturulması
- Zemin mekaniğinde fraktal
- Bilgisayar ve video oyun tasarımı
- Bilgisayar Grafikleri
- Organik ortamlar
- Prosedürel üretim
- Fraktografi ve kırılma mekaniği
- Fraktal pürüzlü sistemlerin küçük açılı saçılma teorisi
- Tişörtler ve diğer moda ürünleri
- MARPAT gibi kamuflaj için desen üretimi
- Dijital güneş saati
- Fiyat serilerinin teknik analizi
- Ağlardaki fraktallar
- Tıp
- Sinirbilim
- Tanısal Görüntüleme
- Patoloji
- Jeoloji
- Coğrafya
- Arkeoloji
- Zemin mekaniği
- Sismoloji
- Arama ve kurtarma
- Teknik analiz
- Doku eşleme, rasterleştirme ve türbülans verilerinin indekslenmesinde GPU önbellek tutarlılığı için Morton sıralı alan doldurma eğrileri. ⓘ
Teorinin gelişimi
Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat ve emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştır. İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişigüzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu. ⓘ