Karekök

Matematikte negatif olmayan bir gerçel $x\!$ sayısının temel karekök bulma işlemi ${\sqrt {x}}$ şeklinde gösterilir ve karesi (bir sayının kendisiyle çarpılmasının sonucu) $x$ olan negatif olmayan bir gerçek sayıyı ifade eder. ⓘ

Örneğin, ${\sqrt {9}}=3$ 'tür çünkü $3^{2}=3\times 3=9$ 'dur. ⓘ

Bu örneğin de ileri sürdüğü gibi karekök bulma, ikinci dereceden denklemlerin (genel olarak $ax^{2}+bx+c=0$ tipi denklemler) çözümünde kullanılabilir. ⓘ

Karekök almanın sonucunda iki çözüm vardır. Negatif olmayan sayılar için bunlar temel kare kök ve negatif kare köktür. Negatif sayıların kare köklerini tanımlamak için ise sanal sayı ve karmaşık sayılar kavramları geliştirilmiştir. ⓘ

Pozitif tam sayıların kare kökleri genel olarak irrasyonel sayılardır (iki tam sayının kesiri olarak ifade edilemeyen sayılardır). ⓘ

Örneğin ${\sqrt {2}}$, tam olarak m/n (m ve n tam sayı olacak şekilde) şeklinde yazılamaz. Buna karşın bu sayı kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğuna eşittir. ⓘ

${\sqrt {2}}$ irrasyonel olduğunun bulunması Pythagoras'ın bir takipçisi olan Hippasus'a atfedilir. Bu konuyla ilgili şöyle bir rivayet anlatılır; Sayılara mutlak bir inançla bağlı olan Pisagor'un takipçilerinden birisi olan Metanpontumlu Hippasus, dik kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlamış. Bunu kabullenemeyen Pisagor, Hippasus'un kanıtlarının aksini de gösteremeyince, açık denizde Hippasus'u bir tekneden suya attırmış. ⓘ

Kare kök sembolü (${\sqrt {\ }}$) ilk olarak 16. yüz yılda kullanılmaya başlanmıştır. Latince kök demek olan radix kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden türetildiği söylenir. ⓘ

Karekök Ortalama (matematikte ingilizcesinden dolayı ('root mean square', kısaltması RMS ya da rms) olarak da kullanılır), ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistiki bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır. ⓘ

Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir. ⓘ

Karekökün sürekli kesri: ⓘ

$x-1=({\sqrt {x}}+1)({\sqrt {x}}-1)$ Burada x-1 in iki kare farkının açılımı yapıldı. İşleme devam edilip düzenlenirse: ${\sqrt {x}}-1={\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}$ şeklinde olur. Şimdi burada sol taraftaki √x in değeri sağ taraftaki √x in yerine bir defa yazılırsa ${\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}$ şekline dönüşür. Aynı işleme devam edilirse ${\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}}$ bu işlem sonsuz defa ⓘ

uygulanırsa ${\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+\ddots }}}}}}}}\,$ olur. Bu sürekli kesir aynı zamanda K sembolüyle gösterilirse ("K" burada Almanca bir kelime olan ve sürekli kesir manasına gelen Kettenbruch terimine işaret eder).${\sqrt {x}}=1+{\underset {a=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {x-1}{2}}.\,$ dir. ⓘ

x'in (asli) karekökü için gösterim. ⓘ

Örneğin, √25 = 5, çünkü 25 = 5 ⋅ 5 veya 5² (5'in karesi). ⓘ

Negatif sayıların karekökleri karmaşık sayılar çerçevesinde tartışılabilir. Daha genel olarak, karekökler matematiksel bir nesnenin "karesi" kavramının tanımlandığı herhangi bir bağlamda ele alınabilir. Bunlar arasında diğer matematiksel yapıların yanı sıra fonksiyon uzayları ve kare matrisler de yer alır. ⓘ

Tarihçe

Yale Babil Koleksiyonu YBC 7289 kil tablet MÖ 1800 ile MÖ 1600 yılları arasında üretilmiştir. ${\sqrt {2}}$ ve ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ İki köşegenle kesişen bir kare üzerinde sırasıyla 1;24,51,10 ve 0;42,25,35 taban 60 sayıları olarak. (1;24,51,10) 60 tabanı 1.41421296'ya karşılık gelir ki bu da 5 ondalık noktaya kadar doğru bir değerdir (1.41421356...). ⓘ

Rhind Matematik Papirüsü, Mısırlıların ters orantı yöntemiyle karekökleri nasıl çıkardıklarını gösteren daha eski bir Berlin Papirüsü ve diğer metinlerin (muhtemelen Kahun Papirüsü) MÖ 1650 yılına ait bir kopyasıdır. ⓘ

Eski Hindistan'da kare ve karekök kavramlarının teorik ve uygulamalı yönlerine ilişkin bilgi en az MÖ 800-500 yıllarına (muhtemelen çok daha öncesine) tarihlenen Sulba Sutraları kadar eskidir. Baudhayana Sulba Sutra'da 2 ve 3'ün kareköklerine çok iyi yaklaşımlar bulmak için bir yöntem verilmiştir. Aryabhata, Aryabhatiya'da (bölüm 2.4), çok basamaklı sayıların karekökünü bulmak için bir yöntem vermiştir. ⓘ

Tam kare olmayan pozitif tam sayıların kareköklerinin her zaman irrasyonel sayılar olduğu eski Yunanlılar tarafından bilinmekteydi: iki tam sayının oranı olarak ifade edilemeyen sayılar (yani, m ve n'nin tam sayılar olduğu m/n şeklinde tam olarak yazılamayan sayılar). Bu, Öklid X, 9 teoremidir ve neredeyse kesin olarak MÖ 380 civarına tarihlenen Theaetetus'a aittir. Özellikle 2'nin karekökünün Pisagorculardan daha eskiye dayandığı varsayılır ve geleneksel olarak Hippasus'a atfedilir. Tam olarak kenar uzunluğu 1 olan bir karenin köşegeninin uzunluğudur. ⓘ

Erken Han Hanedanlığı döneminde MÖ 202 ile MÖ 186 yılları arasında yazılan Çin matematik eseri Hesaplama Üzerine Yazılar'da karekök, "...fazlalık ve eksikliği bölen olarak birleştirin; (alarak) eksiklik payını fazlalık paydasıyla ve fazlalık payını eksiklik paydasıyla çarpın, bunları kar payı olarak birleştirin" diyen bir "fazlalık ve eksiklik" yöntemi kullanılarak yaklaştırılır. ⓘ

Karekökler için ayrıntılı bir R olarak yazılan bir sembol Regiomontanus (1436-1476) tarafından icat edilmiştir. Gerolamo Cardano'nun Ars Magna'sında karekökleri belirtmek için radix için de bir R kullanılmıştır. ⓘ

Matematik tarihçisi D.E. Smith'e göre, Aryabhata'nın karekök bulma yöntemi Avrupa'da ilk kez 1546 yılında Cataneo tarafından tanıtılmıştır. ⓘ

Jeffrey A. Oaks'a göre, Araplar "جذر" (çeşitli şekillerde jaḏr, jiḏr, ǧaḏr veya ǧiḏr, "kök" olarak çevrilmiştir) kelimesinin ilk harfi olan jīm/ĝīm (ج) harfini, karekökünü belirtmek için bir sayının üzerine ilk haliyle (ﺟ) yerleştirerek kullanmışlardır. Jīm harfi günümüzdeki karekök şekline benzemektedir. Faslı matematikçi İbn el-Yasamin'in eserlerinde kullanımı on ikinci yüzyılın sonlarına kadar uzanmaktadır. ⓘ

Karekök için "√" sembolü basılı olarak ilk kez 1525 yılında Christoph Rudolff'un Coss adlı eserinde kullanılmıştır. ⓘ

Özellikleri ve kullanımları

f(x) = √x fonksiyonunun grafiği, dikey bir doğrultuya sahip bir parabolün yarısından oluşur ⓘ

Temel karekök fonksiyonu $f(x)={\sqrt {x}}$ (genellikle sadece "karekök fonksiyonu" olarak adlandırılır) negatif olmayan reel sayılar kümesini kendi üzerine eşleyen bir fonksiyondur. Geometrik açıdan, karekök fonksiyonu bir karenin alanını kenar uzunluğuna eşler. ⓘ

x'in karekökü, ancak ve ancak x iki tam karenin oranı olarak temsil edilebilen bir rasyonel sayı ise rasyoneldir. (Bunun irrasyonel bir sayı olduğuna dair kanıtlar için 2'nin kareköküne ve kare olmayan tüm doğal sayılar için bir kanıt için karesel irrasyonele bakınız). Karekök fonksiyonu rasyonel sayıları cebirsel sayılara eşler (cebirsel sayılar rasyonel sayıların bir üst kümesidir). ⓘ

Tüm gerçek sayılar için x, ⓘ

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$     (bkz. mutlak değer) ⓘ

Negatif olmayan tüm x ve y reel sayıları için, ⓘ

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ ⓘ

ve ⓘ

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$ ⓘ

Karekök fonksiyonu tüm negatif olmayan x için sürekli ve tüm pozitif x için türevlenebilirdir. f, türevi ile verilen karekök fonksiyonunu gösteriyorsa:

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$ ⓘ

Taylor serisi ${\sqrt {1+x}}$ x = 0 civarında |x| ≤ 1 için yakınsar ve şu şekilde verilir ⓘ

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,$ ⓘ

Negatif olmayan bir sayının karekökü, Öklid normunun (ve uzaklığının) tanımında ve Hilbert uzayları gibi genellemelerde kullanılır. Olasılık teorisi ve istatistikte kullanılan önemli bir standart sapma kavramını tanımlar. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülde önemli bir kullanımı vardır; kareköklere dayanan ikinci dereceden alanlar ve ikinci dereceden tamsayı halkaları cebirde önemlidir ve geometride kullanımları vardır. Karekökler başka yerlerdeki matematiksel formüllerde ve birçok fiziksel yasada da sık sık karşımıza çıkar. ⓘ

Pozitif tamsayıların karekökleri

Pozitif bir sayının, biri pozitif diğeri negatif olmak üzere birbirine zıt iki karekökü vardır. Pozitif bir tamsayının karekökünden bahsederken, genellikle kastedilen pozitif kareköktür. ⓘ

Bir tam sayının karekökleri cebirsel tam sayılardır - daha spesifik olarak ikinci dereceden tam sayılardır. ⓘ

Pozitif bir tamsayının karekökü, asal çarpanlarının köklerinin çarpımıdır, çünkü bir çarpımın karekökü, çarpanların kareköklerinin çarpımıdır. O zamandan beri ${\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},$ sadece çarpanlara ayırmada tek bir güce sahip olan asalların kökleri gereklidir. Daha açık bir ifadeyle, bir asal çarpanlara ayırmanın karekökü

${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$ ⓘ

Ondalık açılımlar olarak

Mükemmel karelerin (örneğin, 0, 1, 4, 9, 16) karekökleri tam sayıdır. Diğer tüm durumlarda, pozitif tamsayıların karekökleri irrasyonel sayılardır ve dolayısıyla ondalık gösterimlerinde tekrar etmeyen ondalık sayılara sahiptirler. İlk birkaç doğal sayının kareköklerinin ondalık yaklaşımları aşağıdaki tabloda verilmiştir. ⓘ

n	${\sqrt {n}},$ 50 ondalık basamağa kadar kesilmiştir
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

ⓘ

Diğer sayı sistemlerindeki açılımlar gibi

Daha önce olduğu gibi, mükemmel karelerin (örneğin, 0, 1, 4, 9, 16) karekökleri tam sayıdır. Diğer tüm durumlarda, pozitif tamsayıların karekökleri irrasyonel sayılardır ve bu nedenle herhangi bir standart konumsal gösterim sisteminde tekrar etmeyen basamaklara sahiptir. ⓘ

Küçük tamsayıların karekökleri hem SHA-1 hem de SHA-2 hash fonksiyon tasarımlarında hiçbir şey ifade etmeyen sayılar sağlamak için kullanılır. ⓘ

Periyodik sürekli kesirler olarak

Sürekli kesirler olarak irrasyonel sayılar çalışmasının en ilgi çekici sonuçlarından biri Joseph Louis Lagrange tarafından 1780 civarında elde edilmiştir. Lagrange, kare olmayan herhangi bir pozitif tamsayının karekökünün sürekli kesir olarak temsilinin periyodik olduğunu bulmuştur. Yani, kısmi paydaların belirli bir modeli sürekli kesirde süresiz olarak tekrar eder. Bir anlamda bu karekökler en basit irrasyonel sayılardır, çünkü tamsayıların basit bir tekrarlama modeliyle temsil edilebilirler. ⓘ

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

ⓘ

Yukarıda kullanılan köşeli ayraç gösterimi, sürekli kesrin kısa bir formudur. Daha düşündürücü cebirsel formda yazıldığında, 11'in karekökü için basit sürekli kesir, [3; 3, 6, 3, 6, ...], şöyle görünür:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}$ ⓘ

Burada iki basamaklı {3, 6} kalıbı kısmi paydalarda defalarca tekrar eder. 11 = 3² + 2 olduğundan, yukarıdaki aynı zamanda aşağıdaki genelleştirilmiş sürekli kesirlerle de aynıdır:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.$ ⓘ

Hesaplama

Pozitif sayıların karekökleri genel olarak rasyonel sayılar değildir ve bu nedenle sonlandırıcı veya yinelenen bir ondalık ifade olarak yazılamaz. Bu nedenle, genel olarak ondalık biçimde ifade edilen bir karekökü hesaplama girişimi yalnızca bir yaklaşıklık verebilir, ancak giderek daha doğru olan bir dizi yaklaşıklık elde edilebilir. ⓘ

Çoğu cep hesap makinesinde karekök tuşu vardır. Bilgisayar elektronik tabloları ve diğer yazılımlar da karekök hesaplamak için sıklıkla kullanılır. Cep hesap makineleri genellikle pozitif bir reel sayının karekökünü hesaplamak için Newton yöntemi (genellikle 1 başlangıç tahminiyle) gibi verimli rutinler uygular. Logaritma tabloları veya sürgülü cetvellerle karekök hesaplarken şu özdeşliklerden yararlanılabilir ⓘ

${\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},$ ⓘ

Burada ln ve log₁₀ doğal ve 10 taban logaritmalarıdır. ⓘ

Deneme yanılma yoluyla, aşağıdaki değerler için bir tahminin karesi alınabilir ${\sqrt {a}}$ ve yeterli doğruluğa ulaşana kadar tahmini yükseltin veya düşürün. Bu teknik için şu özdeşliği kullanmak ihtiyatlı olacaktır ⓘ

$(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},$ ⓘ

Çünkü x tahminini bir miktar c ile ayarlamaya ve ayarlamanın karesini orijinal tahmin ve onun karesi cinsinden ölçmeye izin verir. Ayrıca, c 0'a yakın olduğunda (x + c)² ≈ x² + 2xc'dir, çünkü x² + 2xc + c²'nin c = 0'daki grafiğine teğet çizgi, yalnızca c'nin bir fonksiyonu olarak, y = 2xc + x²'dir. Böylece, x'te yapılacak küçük ayarlamalar 2xc'yi a'ya veya c = a/(2x)'e ayarlayarak planlanabilir. ⓘ

Elle karekök hesaplamanın en yaygın yinelemeli yöntemi, bu yöntemi ilk kez tanımlayan birinci yüzyıl Yunan filozofu İskenderiyeli Heron'a atfen "Babil yöntemi" veya "Heron yöntemi" olarak bilinir. Yöntem, y = f(x) = x² - a fonksiyonuna uygulandığında, herhangi bir noktadaki eğiminin dy/dx = f′(x) = 2x olduğu gerçeğini kullanarak Newton-Raphson yönteminin verdiği aynı iteratif şemayı kullanır, ancak yüzyıllar öncesine dayanır. Algoritma, her tekrarlandığında gerçek kareköke daha yakın bir sayı ile sonuçlanan basit bir hesaplamayı, sonucu yeni girdi olarak tekrarlamaktır. Buradaki motivasyon, eğer x negatif olmayan bir gerçek sayı olan a'nın kareköküne fazla yaklaşıyorsa, a/x'in az yaklaşacağı ve dolayısıyla bu iki sayının ortalamasının her ikisinden de daha iyi bir yaklaşım olacağıdır. Bununla birlikte, aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliği, bu ortalamanın her zaman karekök için bir fazla tahmin olduğunu gösterir (aşağıda belirtildiği gibi) ve bu nedenle, birbirini izleyen fazla tahminlerin ve az tahminlerin her yinelemeden sonra birbirine daha yakın olmasının bir sonucu olarak yakınsayan süreci tekrarlamak için yeni bir fazla tahmin olarak hizmet edebilir. x'i bulmak için:

1. Rastgele bir pozitif başlangıç değeri x ile başlayın. a'nın kareköküne ne kadar yakınsa, istenen hassasiyeti elde etmek için gereken iterasyon sayısı o kadar az olacaktır.
2. x'i x ve a/x arasındaki ortalama (x + a/x) / 2 ile değiştirin.
3. Bu ortalamayı x'in yeni değeri olarak kullanarak 2. adımdan itibaren tekrarlayın. ⓘ

Yani, eğer x için rastgele bir tahmin ${\sqrt {a}}$ x₀ ise ve x_{n + 1} = (xn + a/xn) / 2 ise, her xn ${\sqrt {a}}$ Bu da büyük n için küçük n'den daha iyidir. a pozitifse, yakınsama ikinci dereceden olur, yani limite yaklaşırken doğru rakam sayısı her bir sonraki iterasyonda kabaca iki katına çıkar. Eğer a = 0 ise, yakınsama sadece doğrusaldır. ⓘ

Özdeşliği kullanarak ⓘ

${\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},$ ⓘ

pozitif bir sayının karekökünün hesaplanması [1,4) aralığındaki bir sayının hesaplanmasına indirgenebilir. Bu, yinelemeli yöntem için kareköke yakın bir başlangıç değeri bulmayı kolaylaştırır; bunun için bir polinom veya parçalı doğrusal yaklaşım kullanılabilir. ⓘ

Bir karekökü n basamak hassasiyetle hesaplamanın zaman karmaşıklığı, iki n basamaklı sayının çarpımına eşdeğerdir. ⓘ

Karekökü hesaplamak için bir başka kullanışlı yöntem de n = 2 için uygulanan n'inci kökü kaydırma algoritmasıdır. ⓘ

Karekök fonksiyonunun adı programlama dilinden programlama diline değişir, sqrt (genellikle "fışkırtma" olarak telaffuz edilir) yaygındır ve C, C++ ve JavaScript, PHP ve Python gibi türetilmiş dillerde kullanılır. ⓘ

Negatif ve karmaşık sayıların karekökleri

Karmaşık karekökün ilk yaprağı

Karmaşık karekökün ikinci yaprağı

Karekökün Riemann yüzeyi kullanılarak, iki yaprağın birbirine nasıl uyduğu gösterilmiştir ⓘ

Herhangi bir pozitif veya negatif sayının karesi pozitiftir ve 0'ın karesi 0'dır. Bu nedenle, hiçbir negatif sayının gerçek bir karekökü olamaz. Bununla birlikte, negatif bir sayının karekökünün çözümlerini içeren ve karmaşık sayılar olarak adlandırılan daha kapsayıcı bir sayı kümesiyle çalışmak mümkündür. Bu, i (bazen j, özellikle "i "nin geleneksel olarak elektrik akımını temsil ettiği elektrik bağlamında) ile gösterilen ve i² = -1 olacak şekilde tanımlanan hayali birim olarak adlandırılan yeni bir sayının tanıtılmasıyla yapılır. Bu gösterimi kullanarak, i'yi -1'in karekökü olarak düşünebiliriz, ancak aynı zamanda (-i)² = i² = -1'e sahibiz ve bu nedenle -i de -1'in kareköküdür. Geleneksel olarak, -1'in asal karekökü i'dir veya daha genel olarak, x negatif olmayan herhangi bir sayı ise, -x'in asal karekökü ⓘ

${\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.$ ⓘ

Sağ taraf (negatifinin yanı sıra) gerçekten de -x'in kareköküdür, çünkü ⓘ

$(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.$ ⓘ

Sıfır olmayan her karmaşık z sayısı için, w² = z olacak şekilde tam olarak iki w sayısı vardır: z'nin asal karekökü (aşağıda tanımlanmıştır) ve negatifi. ⓘ

Karmaşık bir sayının asal karekökü

Karmaşık bir z sayısının 2. ila 6. köklerinin, r = |z | ve φ = arg z olmak üzere re^iφ kutupsal formunda geometrik gösterimi. z gerçekse, φ = 0 veya π. Asal kökler siyahla gösterilmiştir. ⓘ

Karekök için temel değer olarak adlandırılan tek bir değeri tutarlı bir şekilde seçmemizi sağlayan bir tanım bulmak için, herhangi bir karmaşık sayının $x+iy$ düzlemde bir nokta olarak görülebilir, $(x,y),$ Kartezyen koordinatlar kullanılarak ifade edilir. Aynı nokta, kutupsal koordinatlar kullanılarak şu çift olarak yeniden yorumlanabilir $(r,\varphi ),$ nerede $r\geq 0$ noktanın orijine olan uzaklığıdır ve $\varphi$ orijinden noktaya giden doğrunun pozitif reel ($x$) eksenidir. Karmaşık analizde, bu noktanın konumu geleneksel olarak şöyle yazılır $re^{i\varphi }.$ Eğer

$$z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,$$

sonra temel karekök . $z$ aşağıdaki gibi tanımlanır:

$${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.$$

Temel karekök fonksiyonu böylece pozitif olmayan reel eksen bir dal kesimi olarak kullanılarak tanımlanır. Eğer $z$ negatif olmayan bir reel sayıdır (bu ancak ve ancak $\varphi =0$'nin temel kareköküdür. $z$ o ${\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};$ Başka bir deyişle, negatif olmayan bir reel sayının asal karekökü sadece normal negatif olmayan kareköktür. Önemli olan şudur $-\pi <\varphi \leq \pi$ çünkü eğer, örneğin, $z=-2i$ (yani $\varphi =-\pi /2$) o zaman temel karekök şudur

$${\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i$$

ama kullanarak ${\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2$ bunun yerine diğer karekökü üretecektir ${\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.$ ⓘ

Asal karekök fonksiyonu, pozitif olmayan reel sayılar kümesi dışında her yerde holomorfiktir (tam negatif reel sayılar üzerinde sürekli bile değildir). için yukarıdaki Taylor serisi ${\sqrt {1+x}}$ karmaşık sayılar için geçerli kalır $x$ ile $|x|<1.$ ⓘ

Yukarıdakiler trigonometrik fonksiyonlar cinsinden de ifade edilebilir:

$${\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).$$

ⓘ

Cebirsel formül

i'nin karekökleri ⓘ

Sayı gerçek ve hayali kısımları kullanılarak ifade edildiğinde, asal karekök için aşağıdaki formül kullanılabilir:

${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},$

burada sgn(y) y'nin işaretidir (burada sgn(0) = 1 olması dışında). Özellikle, orijinal sayının hayali kısımları ve karekökünün asal değeri aynı işarete sahiptir. Karekökün asal değerinin reel kısmı her zaman negatif değildir. ⓘ

Örneğin, ±i'nin asal karekökleri şu şekilde verilir:

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}$ ⓘ

N'inci kökler ve polinom kökleri

'nin karekökünün tanımı $x$ bir sayı olarak $y$ öyle ki $y^{2}=x$ aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir. ⓘ

Bir küp kökü $x$ bir sayıdır $y$ öyle ki $y^{3}=x$olarak gösterilir ${\sqrt[{3}]{x}}.$ ⓘ

Eğer n ikiden büyük bir tamsayı ise, n'inci kök $x$ bir sayıdır $y$ öyle ki $y^{n}=x$olarak gösterilir ${\sqrt[{n}]{x}}.$ ⓘ

Herhangi bir p polinomu verildiğinde, p'nin bir kökü, p(y) = 0 olacak şekilde bir y sayısıdır. Örneğin, x'in n'inci kökleri polinomun kökleridir (y'de) $y^{n}-x.$ ⓘ

Abel-Ruffini teoremi, genel olarak, beş veya daha yüksek dereceli bir polinomun köklerinin n'inci kökler cinsinden ifade edilemeyeceğini belirtir. ⓘ

Matrislerin ve operatörlerin kare kökleri

Eğer A pozitif tanımlı bir matris veya operatör ise, B² = A olan tam olarak bir tane pozitif tanımlı matris veya operatör B vardır; o zaman A^1/2 = B olarak tanımlarız. Örneğin, 2 × 2 kimlik matrisi sonsuz sayıda kare köke sahiptir, ancak bunlardan yalnızca biri pozitif tanımlıdır. ⓘ

Alanlar da dahil olmak üzere integral alanlarında

Bir integral alanının her bir elemanının 2'den fazla karekökü yoktur. İki karenin farkı özdeşliği u² - v² = (u - v)(u + v) çarpmanın değişebilirliği kullanılarak kanıtlanır. Eğer u ve v aynı elemanın karekökleri ise, o zaman u² - v² = 0. Sıfır bölen olmadığından, bu u = v veya u + v = 0 anlamına gelir, burada ikincisi iki kökün birbirinin eklemeli tersi olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, eğer bir a elemanının u karekökü varsa, o zaman a'nın tek karekökleri u ve -u'dur. Bir integral alanında 0'ın tek karekökü 0'ın kendisidir. ⓘ

Karakteristiği 2 olan bir cisimde, bir elemanın ya bir karekökü vardır ya da hiç yoktur, çünkü her eleman kendi toplamsal tersidir, yani -u = u. Eğer cisim karakteristiği 2 olan sonlu bir cisimse, o zaman her elemanın tek bir karekökü vardır. Başka herhangi bir karakteristikteki bir cisimde, sıfır olmayan herhangi bir elemanın ya yukarıda açıklandığı gibi iki karekökü vardır ya da hiç yoktur. ⓘ

Tek bir p asal sayısı verildiğinde, bazı pozitif e tamsayıları için q = pe olsun. q elemanlı Fq cisminin sıfır olmayan bir elemanı Fq'da bir kareköke sahipse ikinci dereceden bir rezidüdür. Aksi takdirde, ikinci dereceden bir kalıntı değildir. (q - 1)/2 kuadratik kalıntı ve (q - 1)/2 kuadratik kalıntı olmayan vardır; sıfır her iki sınıfta da sayılmaz. İkinci dereceden kalıntılar çarpma altında bir grup oluşturur. İkinci dereceden kalıntıların özellikleri sayılar teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. ⓘ

Genel olarak halkalarda

Bir integral alanından farklı olarak, keyfi (unital) bir halkadaki bir karekök işarete kadar benzersiz olmak zorunda değildir. Örneğin, halkada $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ tamsayılar modulo 8 (değişmeli, ancak sıfır bölenli), 1 elemanının dört farklı kare kökü vardır: ±1 ve ±3. ⓘ

Başka bir örnek kuaterniyonlar halkası tarafından sağlanır $\mathbb {H} ,$ sıfır bölenleri yoktur, ancak değişmeli değildir. Burada -1 elemanının ±i, ±j ve ±k dahil olmak üzere sonsuz sayıda karekökü vardır. Aslında, -1'in kareköklerinin kümesi tam olarak ⓘ

$\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.$ ⓘ

0'ın karekökü ya 0'dır ya da bir sıfır bölenidir. Bu nedenle, sıfır bölenlerin bulunmadığı halkalarda, tekil olarak 0'dır. Bununla birlikte, sıfır bölenli halkalarda 0'ın birden fazla karekökü olabilir. $\mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,$ n'nin herhangi bir katı 0'ın kareköküdür. ⓘ

Karekökün geometrik yapısı

Uzunluk oluşturma $x={\sqrt {a}}$verilen $a$ ve birim uzunluk ⓘ

Hipotenüsü √4 olan üçgene kadar Theodorus Spirali ⓘ

Pozitif bir sayının karekökü genellikle alanı verilen sayıya eşit olan bir karenin kenar uzunluğu olarak tanımlanır. Ancak bunun için kare şekli gerekli değildir: iki benzer düzlemsel Öklid cisminden birinin alanı diğerinden bir kat daha büyükse, doğrusal boyutlarının oranı ${\sqrt {a}}$. ⓘ

Bir karekök pergel ve çizgeç ile oluşturulabilir. Öklid (M.Ö. 300'lerde) Elementler adlı eserinde iki niceliğin geometrik ortalamasının inşasını iki farklı yerde vermiştir: Önerme II.14 ve Önerme VI.13. a ve b'nin geometrik ortalaması ${\sqrt {ab}}$'yi inşa edebiliriz. ${\sqrt {a}}$ sadece b = 1 alarak. ⓘ

Bu yapı Descartes tarafından La Géométrie adlı eserinde de verilmiştir, bkz. sayfa 2'deki şekil 2. Ancak Descartes özgünlük iddiasında bulunmamıştır ve izleyicileri Öklid'e oldukça aşinadır. ⓘ

Öklid'in Kitap VI'daki ikinci ispatı benzer üçgenler teorisine dayanır. AHB, AH = a ve HB = b olan a + b uzunluğunda bir doğru parçası olsun. AB çaplı bir çember inşa edin ve C, H'deki dik akorun çemberle iki kesişiminden biri olsun ve CH uzunluğunu h olarak gösterin. Daha sonra, Thales teoremini kullanarak ve Pisagor teoreminin benzer üçgenlerle ispatında olduğu gibi, AHC üçgeni CHB üçgenine benzer (aslında her ikisi de ACB üçgenine benzer, ancak buna ihtiyacımız yok, ancak Pisagor teoreminin ispatının özü budur), böylece AH:CH, HC:HB gibidir, yani a/h = h/b, buradan çapraz çarpma ile h² = ab ve son olarak şu sonuca varırız $h={\sqrt {ab}}$. AB doğru parçasının O orta noktası işaretlendiğinde ve (a + b)/2 uzunluğunda OC yarıçapı çizildiğinde, açıkça OC > CH, yani ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ (sadece ve sadece a = b ise eşitlikle), bu iki değişken için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğidir ve yukarıda belirtildiği gibi Antik Yunan "Heron yöntemi" anlayışının temelidir. ⓘ

Bir başka geometrik inşa yöntemi dik üçgenleri ve tümevarımı kullanır: ${\sqrt {1}}$ inşa edilebilir ve bir kez ${\sqrt {x}}$ inşa edildiğinde, bacakları 1 ve 2 olan dik üçgen ${\sqrt {x}}$ hipotenüsü vardır. ${\sqrt {x+1}}$. Bu şekilde ardışık kareköklerin oluşturulması, yukarıda gösterilen Theodorus Spiralini verir. ⓘ

Kareköklerin toplamı

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$

$B_{k}$ burada k, k'ıncı Bernoulli sayısıdır.

$\sum _{i=1}^{n}i^{\frac {1}{2}}\approx {\frac {2}{3}}n\,{\sqrt {n}}+{\frac {1}{2}}\,{\sqrt {n}}+\varepsilon$

i=1298 için $\varepsilon =0,20672971$ ⓘ

Karekök ortalama hesaplanması

$n$ sayıdaki değerlerin $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ ⓘ

$x_{\mathrm {rms} }=............=..{\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}$ ⓘ

olarak hesaplanır. ⓘ

$T_{1}\leq t\leq T_{2}$ aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü; ⓘ

$f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}$ ⓘ

Kullanım yerleri

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır. Örneğin, $R$ direncindeki bir iletken tarafından harcanan $P$ gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir $I$ akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:

$P=I^{2}R\,\!$ ⓘ

Ancak akım değişen bir $I(t)$ fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer. ⓘ

$P_{\mathrm {avg} }\,\!$	$=\langle I^{2}R\rangle \,\!$ ($\langle \ldots \rangle$ aritmetik ortalamayı ifade eder)
	$=R\langle I^{2}\rangle \,\!$ (R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)
	$=I_{\mathrm {rms} }^{2}R\,\!$ (RMS in tanımından)

ⓘ

Aynı metot ile; ⓘ

$P_{\mathrm {avg} }={V_{\mathrm {rms} }^{2} \over R}\,\!$ ⓘ

$P_{\mathrm {avg} }=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\,\!$ ⓘ

Ancak bu tanım gerilimin ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün rezistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez. ⓘ

Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, $I(t)$ sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir. $I_{\mathrm {p} }$ yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

$I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}\,\!$ ⓘ

$I_{\mathrm {p} }$ pozitif bir gerçel sayılar olduğuna göre, ⓘ

$I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}$ ⓘ

Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

$I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}$ ⓘ

$I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}$ ⓘ

Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar için tanımından $\omega ={\frac {2\pi }{t}}$) Sinüs değerler iptal edilir. ⓘ

$I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}$ ⓘ

Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414(${\sqrt {2}}$) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır. ⓘ

Dönüşüm katsayıları

• Tepe genliği $I_{\mathrm {p} }\!$ tepeden tepeye genliğin $I_{\mathrm {p-p} }\!$ yarısıdır.
• Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
• Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır. ⓘ

Kare dalga için;

• RMS değeri = Tepe değeri
• Ortalama Değeri = Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri
• RMS değeri = 0.666 x Tepe değeri
• Ortalama Değeri = 0.33 x Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 3 x Tepe değeri ⓘ

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi ⓘ

Dış kaynaklar

• RMS calculator2 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• An explanation of why RMS is a misnomer when applied to power30 Ağustos 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• RMS, Peak and Average for some waveforms12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. ⓘ