Üs

bn ⓘ
gösterim
b tabanı ve n üssü

Çeşitli b bazları için y = b^x grafikleri: 10 tabanı, E üssü, 2. üs, Taban 1/2. Her eğri (0, 1) noktasından geçer çünkü 0'ın kuvvetine yükseltilmiş sıfır olmayan herhangi bir sayı 1'dir. x = 1'de y'nin değeri tabana eşittir çünkü 1'in kuvvetine yükseltilmiş herhangi bir sayı sayının kendisidir. ⓘ

Üs alma, b tabanı ve üs veya n kuvveti olmak üzere iki sayı içeren ve bn şeklinde yazılan matematiksel bir işlemdir ve "b'nin n kuvvetine yükseltilmesi" olarak telaffuz edilir. n pozitif bir tamsayı olduğunda, üs alma işlemi tabanın tekrarlanan çarpımına karşılık gelir: yani bn, n tabanın çarpımının ürünüdür:

$$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.$$

ⓘ

Üs genellikle tabanın sağında bir üst simge olarak gösterilir. Bu durumda, bn "n'inci kuvvete yükseltilmiş b", "n'in kuvvetine (yükseltilmiş) b", "b'nin n'inci kuvveti", "n'inci kuvvete b" veya en kısa şekilde "n'inci kuvvete b" olarak adlandırılır. ⓘ

Yukarıda belirtilen temel gerçekten yola çıkarak, herhangi bir pozitif tamsayı için $n$, $b^{n}$ o $n$ oluşumları $b$ hepsi birbiriyle çarpıldığında, üs alma işleminin diğer bazı özellikleri doğrudan ortaya çıkar. Özellikle: ${\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}$ ⓘ

Başka bir deyişle, bir üsse yükseltilmiş bir tabanı başka bir üsse yükseltilmiş aynı tabanla çarparken, üsler toplanır. Üslerin toplanmasına ilişkin bu temel kuraldan şu sonucu çıkarabiliriz $b^{0}$ aşağıdaki gibi 1'e eşit olmalıdır. Herhangi bir $n$, $b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}$. Her iki tarafı da $b^{n}$ verir $b^{0}=b^{n}/b^{n}=1$. ⓘ

Gerçek şu ki $b^{1}=b$ benzer şekilde aynı kuraldan türetilebilir. Örneğin, $(b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}$. Her iki tarafın küp kökünü almak şunları verir $b^{1}=b$. ⓘ

Çarpma işleminin üsleri toplayacağı kuralı, aşağıdakilerin özelliklerini türetmek için de kullanılabilir negatif tamsayı üsleri. Ne sorusunu düşünün $b^{-1}$ anlamına gelmelidir. "Üsler toplanır" kuralına uymak için şu durum söz konusu olmalıdır $b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1$. Her iki tarafı da $b^{1}$ verir $b^{-1}=1/b^{1}$olarak daha basit bir şekilde yazılabilir. $b^{-1}=1/b$Yukarıdaki sonucu kullanarak $b^{1}=b$. Benzer bir argümanla, $b^{-n}=1/b^{n}$. ⓘ

Kesirli üslerin özellikleri de aynı kuraldan kaynaklanır. Örneğin, varsayalım ki ${\sqrt {b}}$ olarak adlandırabileceğimiz uygun bir üs olup olmadığını soralım. $r$öyle ki $b^{r}={\sqrt {b}}$. Karekök tanımından şunu elde ederiz ${\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b$. Bu nedenle, üs $r$ öyle olmalıdır ki $b^{r}\cdot b^{r}=b$. Çarpma işleminin üsleri topladığı gerçeğini kullanarak $b^{r+r}=b$. Bu $b$ sağ taraftaki aşağıdaki gibi de yazılabilir $b^{1}$vererek $b^{r+r}=b^{1}$. Her iki taraftaki üsleri eşitlediğimizde $r+r=1$. Bu yüzden, $r={\frac {1}{2}}$Yani ${\sqrt {b}}=b^{\frac {1}{2}}$. ⓘ

Üs alma tanımı, herhangi bir gerçek veya karmaşık üsse izin verecek şekilde genişletilebilir. Tam sayı üsleri ile üs alma, matrisler de dahil olmak üzere çok çeşitli cebirsel yapılar için de tanımlanabilir. ⓘ

Üs alma işlemi bileşik faiz, nüfus artışı, kimyasal reaksiyon kinetiği, dalga davranışı ve açık anahtar kriptografisi gibi uygulamalarla ekonomi, biyoloji, kimya, fizik ve bilgisayar bilimi dahil olmak üzere birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. ⓘ

Notasyonun tarihçesi

Güç terimi (Latince: potentia, potestas, dignitas), Yunan matematikçi Öklid'in Sakız Adası'ndaki Hipokrat'ı takip ederek bir doğrunun karesi için kullandığı eski Yunanca δύναμις (dúnamis, ^burada: "amplifikasyon") teriminin yanlış çevirisidir. The Sand Reckoner'da Arşimet, 10'un kuvvetlerini işlemek için gerekli olan 10a - 10b = 10^a+b üsler yasasını keşfetmiş ve kanıtlamıştır. 9. yüzyılda İranlı matematikçi Muhammed ibn Mûsâ el-Hârizmî kare için مَال (mâl, "mal", "mülk") terimlerini kullanmıştır - Müslümanlar, "o ve daha önceki zamanların çoğu matematikçisi gibi, kareli bir sayıyı bir alanın tasviri olarak düşünmüşlerdir, özellikle toprak, dolayısıyla mülk"- ve küp için كَعْبَة (kaʿbah, "küp"), Ebü'l-Hasan ibn Alî el-Kelasâdî'nin çalışmalarında görüldüğü üzere, 15. yüzyılda İslam matematikçileri matematiksel gösterimde sırasıyla mīm (m) ve kāf (k) harfleri olarak temsil etmişlerdir. ⓘ

16. yüzyılın sonlarında Jost Bürgi üsler için Roma rakamlarını kullanmıştır. ⓘ

Nicolas Chuquet 15. yüzyılda üstel gösterimin bir formunu kullanmış, bu form daha sonra 16. yüzyılda Henricus Grammateus ve Michael Stifel tarafından kullanılmıştır. Üstel kelimesi 1544 yılında Michael Stifel tarafından icat edilmiştir. Samuel Jeake 1696 yılında indeks terimini ortaya atmıştır. 16. yüzyılda Robert Recorde kare, küp, zenzenzik (dördüncü kuvvet), sursolid (beşinci), zenziküp (altıncı), ikinci sursolid (yedinci) ve zenzenzik (sekizinci) terimlerini kullanmıştır. Biquadrate dördüncü kuvvete atıfta bulunmak için de kullanılmıştır. ⓘ

17. yüzyılın başlarında, modern üstel gösterimimizin ilk şekli René Descartes tarafından La Géométrie adlı metninde tanıtılmıştır; orada gösterim Kitap I'de tanıtılmıştır. ⓘ

Bazı matematikçiler (Isaac Newton gibi) üsleri yalnızca ikiden büyük kuvvetler için kullanmış, kareleri tekrarlanan çarpım olarak göstermeyi tercih etmişlerdir. Böylece polinomları, örneğin ax + bxx + cx³ + d şeklinde yazarlardı. ⓘ

Bir diğer tarihsel eşanlamlı olan involüsyon artık nadiren kullanılmaktadır ve daha yaygın olan anlamı ile karıştırılmamalıdır. ⓘ

1748 yılında Leonhard Euler, değişken üsleri ve dolaylı olarak tamsayı olmayan üsleri şöyle yazarak tanıtmıştır:

"üssün kendisinin bir değişken olduğu üstelleri veya kuvvetleri düşünün. Bu tür niceliklerin cebirsel fonksiyonlar olmadığı açıktır, çünkü bunlarda üsler sabit olmalıdır." ⓘ

Terminoloji

b² = b - b ifadesi "b'nin karesi" veya "b'nin karesi" olarak adlandırılır, çünkü kenar uzunluğu b olan bir karenin alanı b²'dir. ⓘ

Benzer şekilde, b³ = b - b - b ifadesi "b'nin küpü" veya "b küp" olarak adlandırılır, çünkü kenar uzunluğu b olan bir küpün hacmi b³'tür. ⓘ

Pozitif bir tamsayı olduğunda, üs, tabanın kaç kopyasının birlikte çarpıldığını gösterir. Örneğin, 3⁵ = 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 243. Üs 5 olduğu için 3 tabanı çarpma işleminde 5 kez görünür. Burada 243, 3'ün 5. kuvveti ya da 3'ün 5. kuvvete yükseltilmiş halidir. ⓘ

"Yükseltilmiş" kelimesi genellikle atlanır ve bazen "güç" de atlanır, bu nedenle 3⁵ basitçe "3'ten 5'e" veya "3'ten 5'e" olarak okunabilir. Bu nedenle, bn üs alma işlemi "n'nin kuvvetine b", "n'nin kuvvetine b", "n'nin b'si" veya en kısa şekilde "n'nin b'si" olarak ifade edilebilir. ⓘ

İç içe üs alma içeren bir formüle, örneğin 3⁵⁷'ye (bu (35)⁷ değil 3⁽⁵⁷⁾ anlamına gelir), güçler kulesi veya basitçe kule denir. ⓘ

Tamsayı üsleri

Tam sayı üsleri ile üs alma işlemi doğrudan temel aritmetik işlemlerden tanımlanabilir. ⓘ

Pozitif üsler

Üstel çarpımın yinelenen çarpım olarak tanımı tümevarım kullanılarak biçimlendirilebilir ve bu tanım bir ilişkisel çarpım elde edilir edilmez kullanılabilir: Temel durum şudur

$b^{1}=b$

ve tekrarlama ise

$b^{n+1}=b^{n}\cdot b.$ ⓘ

Çarpma işleminin birlikteliği, herhangi bir pozitif m ve n tamsayısı için bunu gerektirir,

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},$

ve

$(b^{m})^{n}=b^{mn}.$ ⓘ

Sıfır üs

Tanım gereği, 0'ın kuvvetine yükseltilmiş sıfır olmayan herhangi bir sayı 1'dir:

$b^{0}=1.$ ⓘ

Bu tanım, formülü genişletmeye izin veren tek olası tanımdır

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$

sıfır üslülere kadar. Bir özdeşliğe sahip çarpım içeren her cebirsel yapıda kullanılabilir. ⓘ

Sezgisel olarak, $b^{0}$ b'nin kopyalarının boş çarpımı olarak yorumlanabilir. $b^{0}=1$ boş çarpım için genel konvansiyonun özel bir durumudur. ⓘ

0⁰ durumu daha karmaşıktır. Yalnızca tamsayı kuvvetlerinin dikkate alındığı bağlamlarda, 1 değeri genellikle $0^{0},$ ancak, aksi takdirde, bir değer atanıp atanmayacağı ve hangi değerin atanacağı bağlama bağlı olabilir. Daha fazla ayrıntı için Sıfırın kuvvetine sıfır bölümüne bakınız. ⓘ

Negatif üsler

Negatif üslerle üs alma, herhangi bir n tamsayısı ve sıfır olmayan b için geçerli olan aşağıdaki özdeşlikle tanımlanır:

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.$

0'ı negatif üsse yükseltmek tanımsızdır, ancak bazı durumlarda sonsuzluk olarak yorumlanabilir ($\infty$). ⓘ

Negatif üslü üs alma işleminin bu tanımı, özdeşliğin genişletilmesine izin veren tek tanımdır $b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$ negatif üslere (aşağıdaki durumu göz önünde bulundurun $m=-n$). ⓘ

Aynı tanım, çarpımsal bir monoiddeki ters çevrilebilir elemanlar için de geçerlidir, yani bir cebirsel yapı, birleşmeli bir çarpma ve 1 olarak gösterilen çarpımsal bir özdeşlik ile (örneğin, belirli bir boyuttaki kare matrisler). Özellikle, böyle bir yapıda, ters çevrilebilir bir x elemanının tersi standart olarak $x^{-1}.$ ⓘ

Kimlikler ve özellikler

Genellikle üs kuralları olarak adlandırılan aşağıdaki özdeşlikler, tabanın sıfır olmaması koşuluyla, tüm tamsayı üsleri için geçerlidir:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$ ⓘ

Toplama ve çarpmanın aksine, üs alma değişmeli değildir. Örneğin, 2³ = 8 ≠ 3² = 9. Ayrıca toplama ve çarpmanın aksine, üs alma birleşik değildir. Örneğin, (2³)² = 8² = 64 iken, 2⁽³²⁾ = 2⁹ = 512'dir. Parantezler olmadan, üst simge gösteriminde seri üs alma için geleneksel işlem sırası aşağıdan yukarıya (veya soldan ilişkilendirmeli) değil, yukarıdan aşağıya (veya sağdan ilişkilendirmeli) şeklindedir. Yani,

$b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},$

ki bu da genel olarak

$\left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.$ ⓘ

Bir toplamın güçleri

Bir toplamın kuvvetleri normalde binom formülü ile toplamların kuvvetlerinden hesaplanabilir

$(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.$ ⓘ

Bununla birlikte, bu formül yalnızca toplamlar değişiyorsa (yani ab = ba ise) doğrudur, bu da değişmeli bir yapıya aitlerse ima edilir. Aksi takdirde, örneğin a ve b aynı boyutta kare matrisler ise, bu formül kullanılamaz. Bilgisayar cebirinde, üs alma tabanları değişmediğinde tamsayı üsleri içeren birçok algoritmanın değiştirilmesi gerektiği sonucuna varılır. Bazı genel amaçlı bilgisayar cebiri sistemleri, değişmeyen tabanlarla üs alma için farklı bir gösterim (bazen ^ yerine ^^) kullanır ve buna değişmeli olmayan üs alma denir. ⓘ

Kombinatoryal yorumlama

Negatif olmayan n ve m tamsayıları için nm değeri, m elemanlı bir kümeden n elemanlı bir kümeye giden fonksiyonların sayısıdır (bkz. kardinal üs alma). Bu tür fonksiyonlar n elemanlı bir kümeden m-tuple olarak (veya n harfli bir alfabeden m harfli kelimeler olarak) gösterilebilir. Belirli m ve n değerleri için bazı örnekler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

nm	{1, ..., n} kümesinden nm olası m-tuple eleman
05 = 0	none
14 = 1	(1, 1, 1, 1)
23 = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4	(1), (2), (3), (4)
50 = 1	()

ⓘ

Belirli bazlar

Onluk kuvvetler

On tabanlı (ondalık) sayı sisteminde, 10'un tamsayı kuvvetleri, üssün işareti ve büyüklüğüne göre belirlenen sayıda sıfırdan önce veya sonra gelen 1 rakamı olarak yazılır. Örneğin, 10³ = 1000 ve 10-4 = 0,0001. ⓘ

Bilimsel gösterimde büyük veya küçük sayıları belirtmek için 10 tabanı ile üs alma kullanılır. Örneğin, 299792458 m/s (ışığın boşluktaki hızı, saniyede metre cinsinden) 2,99792458×10⁸ m/s olarak yazılabilir ve daha sonra 2,998×10⁸ m/s olarak yaklaştırılabilir. ⓘ

Küçük veya büyük miktarları tanımlamak için 10'un kuvvetlerine dayalı SI önekleri de kullanılır. Örneğin, kilo ön eki 10³ = 1000 anlamına gelir, bu nedenle bir kilometre 1000 m'dir. ⓘ

$10^{5}=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=100.000$ (1in yanında 5 sıfır) ⓘ

10un n tane çarpımında, 1 yanına n adet sıfır gelecek şekilde düşünülerek, çıkan sayının kaç basamaklı olduğu bulunur, o halde: $10^{7}\implies$1'in yanında 7 sıfır $\implies$ 8 basamaklı bir sayı. ⓘ

$10^{20}\implies$1'in yanında 20 sıfır $\implies$ 21 basamaklı bir sayı. ⓘ

İkinin kuvvetleri

2'nin ilk negatif kuvvetleri yaygın olarak kullanılır ve özel adlara sahiptir, örneğin: yarım ve çeyrek. ⓘ

2'nin kuvvetleri küme teorisinde ortaya çıkar, çünkü n üyeli bir küme, 2n üyeli tüm alt kümelerinin kümesi olan bir kuvvet kümesine sahiptir. ⓘ

2'nin tamsayı kuvvetleri bilgisayar bilimlerinde önemlidir. Pozitif tamsayı kuvvetleri 2n, n bitlik bir tamsayı ikili sayı için olası değerlerin sayısını verir; örneğin, bir bayt 2⁸ = 256 farklı değer alabilir. İkili sayı sistemi, herhangi bir sayıyı 2'nin kuvvetlerinin toplamı olarak ifade eder ve bunu ikili bir nokta ile ayrılmış 0 ve 1 dizisi olarak gösterir; burada 1, toplamda görünen 2'nin bir kuvvetini gösterir; üs, bu 1'in yerine göre belirlenir: negatif olmayan üsler, noktanın solundaki 1'in sırasıdır (0'dan başlayarak) ve negatif üsler, noktanın sağındaki sıraya göre belirlenir. ⓘ

Birin kuvvetleri

Birin kuvvetlerinin hepsi birdir: 1n = 1. ⓘ

Bir sayının ilk kuvveti sayının kendisidir: $n^{1}=n.$ ⓘ

Sıfırın kuvvetleri

Eğer n üssü pozitif ise (n > 0), sıfırın n'inci kuvveti sıfırdır: 0ⁿ = 0. ⓘ

Eğer n üssü negatifse (n < 0), sıfırın n'inci kuvveti 0ⁿ tanımsızdır, çünkü eşit olmalıdır $1/0^{-n}$ ile -n > 0 ve bu da $1/0$ yukarıdakine göre. ⓘ

0⁰ ifadesi ya 1 olarak tanımlanır ya da tanımsız bırakılır. ⓘ

Negatif birin kuvvetleri

Eğer n bir çift tamsayı ise, o zaman (-1)n = 1'dir. ⓘ

Eğer n tek bir tamsayı ise, o zaman (-1)ⁿ = -1'dir. ⓘ

Bu nedenle, -1'in kuvvetleri değişen dizileri ifade etmek içiⁿ kullanışlıdır. Karmaşık sayı i'nin kuvvetlerine ilişkin benzer bir tartışma için bkz. ⓘ

Büyük üsler

Birden büyük bir sayının kuvvetleri dizisinin limiti ıraksar; başka bir deyişle, dizi sınırsız büyür:

b > 1 olduğunda n → ∞ olarak bn → ∞ ⓘ

Bu, "b birden büyük olduğunda n sonsuza giderken n'nin kuvvetine göre b +∞'a eğilim gösterir" şeklinde okunabilir. ⓘ

Mutlak değeri birden küçük olan bir sayının kuvvetleri sıfıra eğilimlidir:

bⁿ → 0 n → ∞ olduğunda |b| < 1 ⓘ

Birin herhangi bir kuvveti her zaman birdir:

b = 1 ise tüm n için bn = 1 ⓘ

-1'in kuvvetleri, n çift ve tek arasında değiştikçe 1 ve -1 arasında değişir ve bu nedenle n büyüdükçe herhangi bir sınıra yönelmez. ⓘ

Eğer b < -1 ise, bn, n çift ve tek arasında değiştikçe daha büyük ve daha büyük pozitif ve negatif sayılar arasında değişir ve bu nedenle n büyüdükçe herhangi bir sınıra yönelmez. ⓘ

Üslendirilmiş sayı, üs sonsuza giderken 1'e doğru eğilim gösterirken değişiyorsa, limitin yukarıdakilerden biri olması gerekmez. Özellikle önemli bir durum şudur

(1 + 1/n)n → e n → ∞ olarak ⓘ

Aşağıdaki § Üstel fonksiyon bölümüne bakınız. ⓘ

Diğer limitler, özellikle de belirsiz bir form alan ifadelerin limitleri, aşağıdaki § Güçlerin limitleri bölümünde açıklanmaktadır. ⓘ

Güç fonksiyonları

Güç fonksiyonları için $n=1,3,5$ ⓘ

Güç fonksiyonları için $n=2,4,6$ ⓘ

Formdaki reel fonksiyonlar $f(x)=cx^{n}$, nerede $c\neq 0$bazen güç fonksiyonları olarak adlandırılır. Ne zaman $n$ bir tam sayıdır ve $n\geq 1$için iki ana aile mevcuttur: için $n$ hatta, ve için $n$ Tek. Genel olarak $c>0$, ne zaman $n$ hatta $f(x)=cx^{n}$ arttıkça pozitif sonsuza doğru eğilim gösterecektir. $x$ve ayrıca azalan pozitif sonsuza doğru $x$. Çift güç fonksiyonları ailesindeki tüm grafikler aşağıdaki genel şekle sahiptir $y=cx^{2}$ortası daha da düzleşerek $n$ artar. Bu tür simetriye sahip fonksiyonlar ($f(-x)=f(x)$) çift fonksiyonlar olarak adlandırılır. ⓘ

Ne zaman $n$ garip, $f(x)$'nin asimptotik davranışı pozitiften tersine döner $x$ negatif $x$. İçin $c>0$, $f(x)=cx^{n}$ artan pozitif sonsuzluğa doğru eğilim gösterecektir. $x$ancak azalan negatif sonsuza doğru $x$. Tek güç fonksiyonları ailesindeki tüm grafikler aşağıdaki genel şekle sahiptir $y=cx^{3}$ortası daha da düzleşerek $n$ için düz çizgide artar ve oradaki tüm düzlüğü kaybeder. $n=1$. Bu tür simetriye sahip fonksiyonlar ($f(-x)=-f(x)$) tek fonksiyonlar olarak adlandırılır. ⓘ

İçin $c<0$'nin tersi asimptotik davranış her durumda doğrudur. ⓘ

Ondalık basamakların güçleri tablosu

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10 ⓘ
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

Rasyonel üsler

Yukarıdan aşağıya: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸. ⓘ

Eğer x negatif olmayan bir reel sayı ve n pozitif bir tamsayı ise, $x^{\frac {1}{n}}$ veya ${\sqrt[{n}]{x}}$ x'in benzersiz pozitif reel n'inci kökünü, yani aşağıdaki gibi benzersiz pozitif reel y sayısını gösterir $y^{n}=x.$ ⓘ

Eğer x pozitif bir reel sayı ise ve ${\frac {p}{q}}$ p ve q ≠ 0 tamsayıları olmak üzere bir rasyonel sayı ise ${\textstyle x^{\frac {p}{q}}}$ olarak tanımlanır

$x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.$

Sağdaki eşitlik, aşağıdaki ayarlar yapılarak elde edilebilir $y=x^{\frac {1}{q}},$ ve yazmak $(x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.$ ⓘ

Eğer r pozitif bir rasyonel sayı ise, $0^{r}=0,$ tanım gereği. ⓘ

Tüm bu tanımlar, özdeşliği genişletmek için gereklidir $(x^{r})^{s}=x^{rs}$ rasyonel üslere genişletilebilir. ⓘ

Öte yandan, bu tanımların pozitif reel sayı olmayan tabanlara genişletilmesiyle ilgili sorunlar vardır. Örneğin, negatif bir reel sayının reel bir n'inci kökü vardır ve bu kök n tek ise negatiftir, n çift ise reel bir kökü yoktur. İkinci durumda, hangi karmaşık n'inci kök seçilirse seçilsin $x^{\frac {1}{n}},$ kimlik $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ tatmin edilemez. Örneğin,

$\left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.$ ⓘ

Bu sorunların nasıl ele alınabileceğine ilişkin ayrıntılar için § Reel üsler ve § Karmaşık sayıların tamsayı olmayan kuvvetleri bölümlerine bakın. ⓘ

Gerçek üsler

Pozitif reel sayılar için, reel kuvvetlere üs alma iki eşdeğer yolla tanımlanabilir; ya rasyonel kuvvetleri süreklilik yoluyla reellere genişleterek (§ Rasyonel üslerin sınırları, aşağıda) ya da tabanın logaritması ve üstel fonksiyon açısından (§ Logaritmalar yoluyla kuvvetler, aşağıda). Sonuç her zaman pozitif bir reel sayıdır ve yukarıda tamsayı üsleri için gösterilen özdeşlikler ve özellikler reel üsler için bu tanımlarla doğru kalır. İkinci tanım daha yaygın olarak kullanılır, çünkü doğrudan karmaşık üslere genelleştirilebilir. ⓘ

Öte yandan, negatif bir gerçel sayının gerçel kuvvetine üs alma işlemini tutarlı bir şekilde tanımlamak çok daha zordur, çünkü gerçel olmayabilir ve birkaç değeri olabilir (bkz. § Negatif tabanlı gerçel üsler). Asıl değer olarak adlandırılan bu değerlerden biri seçilebilir, ancak özdeşliğin sağlandığı asıl değer için bir seçenek yoktur.

$\left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}$

doğrudur; bkz. § Kuvvet ve logaritma özdeşliklerinin başarısızlığı. Bu nedenle, pozitif bir reel sayı olmayan bir taban ile üs alma genellikle çok değerli bir fonksiyon olarak görülür. ⓘ

Rasyonel üslerin sınırları

n sonsuza yöneldiğinde e^1/n'nin limiti e⁰ = 1'dir. ⓘ

Herhangi bir irrasyonel sayı, rasyonel sayılar dizisinin limiti olarak ifade edilebildiğinden, pozitif bir reel sayı olan b'nin keyfi bir reel üs x ile üslendirilmesi, süreklilik kuralı ile tanımlanabilir

$b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),$

Burada limit sadece r'nin rasyonel değerleri üzerinden alınır. Bu limit her pozitif b ve her gerçek x için mevcuttur. ⓘ

Örneğin, x = π ise, sonlanmayan ondalık gösterim π = 3.14159... ve rasyonel güçlerin monotonluğu, istenildiği kadar küçük olan ve aşağıdakileri içermesi gereken rasyonel güçlerle sınırlanmış aralıklar elde etmek için kullanılabilir $b^{\pi }:$

$\left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots$

Dolayısıyla, aralıkların üst sınırları ve alt sınırları aynı limite sahip iki dizi oluşturur ve $b^{\pi }.$ ⓘ

Bu tanımlar $b^{x}$ b ve x'in sürekli bir fonksiyonu olarak her pozitif b ve gerçek x için. Ayrıca bkz. iyi tanımlanmış ifade. ⓘ

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon genellikle şu şekilde tanımlanır $x\mapsto e^{x},$ nerede $e\approx 2.718$ Euler'in sayısıdır. Döngüsel akıl yürütmeden kaçınmak için bu tanım burada kullanılamaz. Bu nedenle, üstel fonksiyonun bir tanımı, şöyle gösterilir $\exp(x),$ ve Euler sayısının sadece pozitif tamsayı üsleri ile üs alma işlemine dayanan tanımları verilmiştir. Daha sonra, önceki bölümlerde verilen üs alma tanımının kullanılması durumunda

$\exp(x)=e^{x}.$ ⓘ

Üstel fonksiyonu tanımlamanın birçok eşdeğer yolu vardır, bunlardan biri ⓘ

$\exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$ ⓘ

Biri var $\exp(0)=1,$ ve üstel özdeşlik $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ de geçerlidir, çünkü ⓘ

$\exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},$ ⓘ

ve ikinci dereceden terim ${\frac {xy}{n^{2}}}$ limiti etkilemez, bu da $\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$. ⓘ

Euler sayısı şu şekilde tanımlanabilir $e=\exp(1)$. Önceki denklemlerden şu sonuç çıkar $\exp(x)=e^{x}$ x bir tamsayı olduğunda (bu, üs alma işleminin tekrarlı çarpma tanımından kaynaklanır). Eğer x gerçekse, $\exp(x)=e^{x}$ önceki bölümlerde verilen tanımlardan, x rasyonel ise üstel özdeşlik, aksi takdirde üstel fonksiyonun sürekliliği kullanılarak elde edilir. ⓘ

Üstel fonksiyonu tanımlayan limit, x'in her karmaşık değeri için yakınsar ve bu nedenle üstel fonksiyonun tanımını genişletmek için kullanılabilir. $\exp(z)$ve böylece $e^{z},$ Bu genişletilmiş üstel fonksiyon hala üstel özdeşliği karşılar ve karmaşık taban ve üs için üstellemeyi tanımlamak için yaygın olarak kullanılır. ⓘ

Logaritma yoluyla kuvvetler

Ex'in üstel fonksiyon olarak tanımlanması, her pozitif reel b sayısı için bx'in üstel ve logaritma fonksiyonu cinsinden tanımlanmasını sağlar. Özellikle, doğal logaritma ln(x)'in üstel fonksiyon ex'in tersi olduğu gerçeği şu anlama gelir

$b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}$

her b > 0 için. Özdeşliği korumak için $(e^{x})^{y}=e^{xy},$ biri olmalı

$b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}$ ⓘ

Evet, $e^{x\ln b}$ Bu, yukarıda rasyonel üsler ve süreklilik kullanılarak verilen tanımla uyumludur ve herhangi bir karmaşık üsse doğrudan genişletme avantajına sahiptir. ⓘ

Pozitif reel tabanlı karmaşık üsler

Eğer b pozitif bir reel sayı ise, b tabanı ve karmaşık üs z ile üs alma, karmaşık argümanlı üstel fonksiyon aracılığıyla tanımlanır (yukarıdaki § Üstel fonksiyon bölümünün sonuna bakınız)

$b^{z}=e^{(z\ln b)},$

nerede $\ln b$ b'nin doğal logaritmasını gösterir. ⓘ

Bu özdeşliği karşılar

$b^{z+t}=b^{z}b^{t},$

Genel olarak, ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$ tanımlı değildir, çünkü bz bir reel sayı değildir. Karmaşık bir sayının üslenmesine bir anlam verilirse (bkz. aşağıda § Karmaşık sayıların tamsayı olmayan kuvvetleri), genel olarak

$\left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},$

z gerçek veya t bir tamsayı olmadığı sürece. ⓘ

Euler'in formülü,

$e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

'nin kutupsal formunun ifade edilmesini sağlar. $b^{z}$ z'nin reel ve imajiner kısımları cinsinden, yani

$b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),$

Burada trigonometrik faktörün mutlak değeri birdir. Bunun sonucu

$b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).$ ⓘ

Karmaşık sayıların tamsayı olmayan kuvvetleri

Önceki bölümlerde, tamsayı olmayan üslerle üs alma sadece pozitif reel tabanlar için tanımlanmıştır. Diğer bazlar için, n'inci köklerin, yani üslerin görünüşte basit durumuyla ilgili zorluklar ortaya çıkmaktadır $1/n,$ burada n pozitif bir tam sayıdır. Tam sayı olmayan üslerle üs alma işleminin genel teorisi n'inci kökler için geçerli olsa da, karmaşık logaritma kullanmaya gerek olmadığı ve bu nedenle anlaşılması daha kolay olduğu için bu durum ilk olarak ele alınmayı hak etmektedir. ⓘ

Karmaşık bir sayının n'inci kökleri

Sıfır olmayan her karmaşık z sayısı kutupsal formda şu şekilde yazılabilir

$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

nerede $\rho$ z'nin mutlak değeridir ve $\theta$ argümanıdır. Argüman 2π'nin bir tamsayı katına kadar tanımlanır; bu şu anlama gelir $\theta$ karmaşık bir sayının argümanı ise, o zaman $\theta +2k\pi$ aynı zamanda aynı karmaşık sayının bir argümanıdır. ⓘ

İki karmaşık sayının çarpımının kutupsal biçimi, mutlak değerlerin çarpılması ve argümanların toplanmasıyla elde edilir. Bir karmaşık sayının n'inci kökünün kutupsal formunun, mutlak değerin n'inci kökünün alınması ve argümanının n'e bölünmesiyle elde edilebileceği sonucuna varılır:

$\left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.$ ⓘ

Eğer $2i\pi$ eklenir $\theta ,$ karmaşık sayı değişmez, ancak bu $2i\pi /n$ n'inci kök argümanına ekler ve yeni bir n'inci kök sağlar. Bu işlem n kez yapılabilir ve karmaşık sayının n'inci köklerini sağlar. ⓘ

N'inci köklerden birini ana kök olarak seçmek olağandır. Yaygın seçim, n'inci kökü seçmektir. $-\pi <\theta \leq \pi ,$ Yani, en büyük reel parçaya sahip olan n'inci kök ve eğer iki tane iseler, pozitif imajiner parçaya sahip olan kök. Bu, temel n'inci kökü, radikandın negatif reel değerleri hariç, tüm karmaşık düzlemde sürekli bir fonksiyon haline getirir. Bu fonksiyon, pozitif reel radyantlar için normal n'inci köke eşittir. Negatif reel radyantlar ve tek üsler için, normal n'inci kök reel olmasına rağmen, temel n'inci kök reel değildir. Analitik devamlılık, temel n'inci kökün, olağan n'inci kökü pozitif olmayan reel sayılar olmadan karmaşık düzleme genişleten tek karmaşık türevlenebilir fonksiyon olduğunu gösterir. ⓘ

Karmaşık sayı, argümanı artırılarak sıfırın etrafında hareket ettirilirse, bir artıştan sonra $2\pi ,$ karmaşık sayı ilk konumuna geri döner ve n'inci kökleri dairesel olarak permütasyona uğrar (bu kökler $e^{2i\pi /n}$). Bu, tüm karmaşık düzlemde sürekli olmayan bir n'inci kök fonksiyonu tanımlamanın mümkün olmadığını gösterir. ⓘ

Birliğin kökleri

1'in üç üçüncü kökü ⓘ

Birliğin n'inci kökleri, wn = 1 olacak şekilde ⁿ karmaşık sayıdır, burada n pozitif bir tam sayıdır. Ayrık Fourier dönüşümü veya cebirsel denklemlerin cebirsel çözümleri (Lagrange çözücüsü) gibi matematiğin çeşitli alanlarında ortaya çıkarlar. ⓘ

Birliğin n'inci kökleri, birliğin n ilk kuvvetidir. $\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}$yani $1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.$ Bu üretme özelliğine sahip olan birliğin n'inci köklerine birliğin ilkel n'inci kökleri denir; şu biçimdedirler $\omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},$ k, n ile başabaş olmak üzere. Birliğin tek ilkel karekökü $-1;$ birliğin ilkel dördüncü kökleri şunlardır $i$ ve $-i.$ ⓘ

Birliğin n'inci kökleri, karmaşık bir z sayısının tüm n'inci köklerini, verilen bir n'inci z kökünün bir n'inci birlik köküyle n çarpımı olarak ifade etmeyi sağlar. ⓘ

Geometrik olarak, birliğin n'inci kökleri karmaşık düzlemin birim çemberi üzerinde, bir köşesi 1 reel sayısı üzerinde olan düzenli bir n-gonun köşelerinde yer alır. ⓘ

Sayı olarak $e^{\frac {2k\pi i}{n}}$ birliğin en küçük pozitif argümana sahip ilkel n'inci köküdür, birliğin temel ilkel n'inci kökü olarak adlandırılır, bazen birliğin temel n'inci kökü olarak kısaltılır, ancak bu terminoloji birliğin temel değeri ile karıştırılabilir. $1^{1/n}$ ki bu da 1'dir. ⓘ

Karmaşık üs alma

Karmaşık tabanlarla üs alma işlemini tanımlamak, önceki bölümde açıklananlara benzer zorluklara yol açar, ancak genel olarak aşağıdakiler için sonsuz sayıda olası değer vardır $z^{w}$. Dolayısıyla, ya z'nin reel ve pozitif olmayan değerleri için sürekli olmayan bir temel değer tanımlanır ya da $z^{w}$ çok değerli bir fonksiyon olarak tanımlanır. ⓘ

Her durumda, karmaşık logaritma, karmaşık üstellemeyi aşağıdaki gibi tanımlamak için kullanılır

$z^{w}=e^{w\log z},$

nerede $\log z$ kullanılan karmaşık logaritma çeşididir, yani bir fonksiyon veya çok değerli bir fonksiyondur, öyle ki

$e^{\log z}=z$

tanım alanındaki her z için. ⓘ

Asal değer

Karmaşık logaritmanın temel değeri, genellikle şu şekilde gösterilen benzersiz bir fonksiyondur $\log ,$ öyle ki, sıfır olmayan her karmaşık sayı z için,

$e^{\log z}=z,$

ve z'nin hayali kısmı aşağıdakileri karşılar

$-\pi <\mathrm {Im} \leq \pi .$

Karmaşık logaritmanın temel değeri aşağıdakiler için tanımlanmamıştır $z=0,$ z'nin negatif reel değerlerinde süreksizdir ve başka yerlerde holomorfiktir (yani karmaşık türevlenebilir). Eğer z reel ve pozitif ise, karmaşık logaritmanın temel değeri doğal logaritmadır: $\log z=\ln z.$ ⓘ

'nin temel değeri $z^{w}$ olarak tanımlanır $z^{w}=e^{w\log z},$ nerede $\log z$ logaritmanın temel değeridir. ⓘ

Fonksiyon $(z,w)\to z^{w}$ z'nin reel ve pozitif olmadığı noktaların komşuluğu dışında holomorfiktir. ⓘ

Eğer z gerçel ve pozitif ise, z'nin temel değeri $z^{w}$ yukarıda tanımlanan olağan değerine eşittir. Eğer $w=1/n,$ burada n bir tamsayıdır, bu temel değer yukarıda tanımlananla aynıdır. ⓘ

Çok değerli fonksiyon

Bazı bağlamlarda, aşağıdakilerin temel değerlerinin süreksizliği ile ilgili bir sorun vardır $\log z$ ve $z^{w}$ Bu durumda, bu fonksiyonları çok değerli fonksiyonlar olarak düşünmek faydalı olacaktır. ⓘ

Eğer $\log z$ çok değerli logaritmanın değerlerinden birini (tipik olarak ana değerini) gösterir, diğer değerler ise $2ik\pi +\log z,$ burada k herhangi bir tam sayıdır. Benzer şekilde, eğer $z^{w}$ üs alma işleminin bir değeridir, o zaman diğer değerler şu şekilde verilir

$e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},$

burada k herhangi bir tam sayıdır. ⓘ

Farklı k değerleri, farklı k değerlerini verir. $z^{w}$ w rasyonel bir sayı değilse, yani dw bir tamsayı olacak şekilde bir d tamsayısı yoksa. Bu, üstel fonksiyonun periyodikliğinden kaynaklanır, daha spesifik olarak $e^{a}=e^{b}$ eğer ve sadece $a-b$ 'nin bir tamsayı katıdır. $2\pi i.$ ⓘ

Eğer $w={\frac {m}{n}}$ ile m ve n eş tamsayıları olan bir rasyonel sayıdır. $n>0,$ sonra $z^{w}$ tam olarak n değere sahiptir. Bu durumda $m=1,$ Bu değerler § Karmaşık bir sayının n'inci kökleri bölümünde açıklananlarla aynıdır. Eğer w bir tamsayı ise, § Tamsayı üsleri ile uyumlu olan tek bir değer vardır. ⓘ

Çok değerli üs alma aşağıdaki durumlar için holomorfiktir $z\neq 0,$ grafiğinin, her bir noktanın komşuluğunda holomorfik bir fonksiyon tanımlayan birkaç tabakadan oluşması anlamında. Eğer z 0 etrafında bir çember boyunca sürekli değişiyorsa, bir dönüşten sonra $z^{w}$ tabaka değiştirmiştir. ⓘ

Hesaplama

Kanonik form $x+iy$ . $z^{w}$ Bu tek bir formülle tanımlanabilse de, hesaplamayı birkaç adıma bölmek daha açıktır. ⓘ

• z'nin kutupsal biçimi. $z=a+ib$ z'nin kanonik formudur (a ve b reel olmak üzere), o zaman kutupsal formu
  $$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$$
  nerede $\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ve $\theta =\operatorname {atan2} (a,b)$ (bu fonksiyonun tanımı için atan2'ye bakınız).
• z'nin logaritması. Bu logaritmanın temel değeri $\log z=\ln \rho +i\theta ,$ nerede $\ln$ doğal logaritmayı gösterir. Logaritmanın diğer değerleri aşağıdaki değerlerin toplanmasıyla elde edilir $2ik\pi$ herhangi bir k tamsayısı için.
• Kanonik formu $w\log z.$ Eğer $w=c+di$ c ve d gerçek olmak üzere, değerleri $w\log z$ vardır
  $$w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),$$
  'ye karşılık gelen ana değer $k=0.$
• Nihai sonuç. Özdeşlikleri kullanma $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ ve $e^{y\ln x}=x^{y},$ biri alır
  $$z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),$$
  ile $k=0$ ana değer için. ⓘ

Örnekler

• $i^{i}$
  i'nin kutupsal formu şöyledir $i=e^{i\pi /2},$ ve değerleri $\log i$ böylece
  $$\log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).$$
  Bundan şu sonuç çıkar
  $$i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.$$
  Yani, tüm değerleri $i^{i}$ gerçektir, bunlardan başlıcası
  $$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.$$
• $(-2)^{3+4i}$
  Benzer şekilde, -2'nin kutupsal formu $-2=2e^{i\pi }.$ Dolayısıyla, yukarıda açıklanan yöntem şu değerleri verir
  $${\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}$$
  Bu durumda, tüm değerler aynı argümana sahiptir $4\ln 2,$ ve farklı mutlak değerler. ⓘ

Her iki örnekte de, tüm değerler $z^{w}$ aynı argümana sahiptir. Daha genel olarak, bu ancak ve ancak w'nin gerçel kısmı bir tamsayı ise doğrudur. ⓘ

• $({\frac {2}{3}})^{-2}\cdot (-1+{\frac {1}{3}})=?$ (Bu soru ortaokul seviyesindedir.)
  
  Çözüm:
  $({\frac {3}{2}})^{2}\cdot ({\frac {-2}{3}})={\frac {9}{4}}\cdot {\frac {-2}{3}}={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {-1}{1}}=-{\frac {3}{2}}$
  

• $4^{-4}$ sayısının yarısı kaçtır? (Bu soru ortaokul - lise seviyelerindedir.)
  
  Çözüm:
  ${\frac {(2^{2})^{-4}}{2}}={\frac {2^{-8}}{2}}=2^{-8-1}=2^{-9}$
  

• $3^{x+3}=5^{2x-y+5}$ ve $x,y\in \mathbb {Z}$ ise $x\cdot y=?$ (Bu soru lise seviyesindedir.)
  
  Çözüm:
  $x+3=0\implies x=-3$
  $2x-y+5=0\implies 2\cdot (-3)-y+5=0\implies -6+5=y\implies y=-1$
  $x\cdot y=(-3)\cdot (-1)=3$
  ⓘ

Güç ve logaritma özdeşliklerinin başarısızlığı

Pozitif reel sayıların kuvvetleri ve logaritmaları için bazı özdeşlikler, karmaşık kuvvetler ve karmaşık logaritmalar tek değerli fonksiyonlar olarak nasıl tanımlanırsa tanımlansın, karmaşık sayılar için başarısız olacaktır. Örneğin:

• b pozitif bir reel sayı ve x bir reel sayı olduğunda log(bx) = x ⋅ log b özdeşliği geçerlidir. Ancak karmaşık logaritmanın ana dalı için
  $$\log((-i)^{2})=\log(-1)=i\pi \neq 2\log(-i)=2\log(e^{-i\pi /2})=2\,{\frac {-i\pi }{2}}=-i\pi$$

  Logaritmanın hangi dalı kullanılırsa kullanılsın, özdeşlikte benzer bir başarısızlık olacaktır. Söylenebilecek en iyi şey (sadece bu sonucu kullanarak) şudur:

  $$\log w^{z}\equiv z\log w{\pmod {2\pi i}}$$

  Bu özdeşlik log çok değerli bir fonksiyon olarak düşünüldüğünde bile geçerli değildir. Log(wz)'nin olası değerleri, uygun bir alt küme olarak z ⋅ log w değerlerini içerir. Log(w)'nin temel değeri için Log(w) ve herhangi bir tam sayı olarak m, n kullanıldığında, her iki tarafın olası değerleri şunlardır:

  $${\begin{aligned}\left\{\log w^{z}\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in+2\pi im\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}\\\left\{z\log w\right\}&=\left\{z\operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in\mid n\in \mathbb {Z} \right\}\end{aligned}}$$
• (bc)^x = b^xc^x ve (b/c)^x = b^x/c^x özdeşlikleri, b ve c pozitif reel sayılar ve x bir reel sayı olduğunda geçerlidir. Ancak, temel değerler için
  $$(-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1$$
  ve
  $$\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i$$
  Öte yandan, x bir tamsayı olduğunda, özdeşlikler sıfır olmayan tüm karmaşık sayılar için geçerlidir. Eğer üs alma çok değerli bir fonksiyon olarak düşünülürse, (-1 ⋅ -1)^1/2'nin olası değerleri {1, -1}'dir. Özdeşlik geçerlidir, ancak {1} = {(-1 ⋅ -1)^1/2} demek yanlıştır.
• (ex)y = e^xy özdeşliği x ve y reel sayıları için geçerlidir, ancak karmaşık sayılar için doğru olduğunu varsaymak, 1827'de Clausen tarafından keşfedilen aşağıdaki paradoksa yol açar: Herhangi bir n tamsayısı için
  1. $e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e$
  2. $\left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad$ (karmaşık sayılar için $(1+2\pi in)$her iki tarafın -'inci kuvveti)
  3. $e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad$ (kullanarak $\left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy}$ ve üssü genişleterek)
  4. $e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad$ (kullanarak $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$)
  5. $e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad$ (e ile bölme)
  ancak n tamsayısı sıfır olmadığında bu yanlıştır. Hata şu şekildedir: tanım gereği, $e^{y}$ için bir gösterimdir $\exp(y),$ gerçek bir fonksiyon ve $x^{y}$ için bir gösterimdir $\exp(y\log x),$ ki bu çok değerli bir fonksiyondur. Bu nedenle, x = e olduğunda gösterim belirsizdir. Burada, üssü genişletmeden önce, ikinci satır şöyle olmalıdır
  $$\exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).$$
  Bu nedenle, üssü genişletirken, dolaylı olarak şu varsayılır $\log \exp z=z$ karmaşık logaritması çok değerli olduğu için yanlıştır. Başka bir de^yişle, yanlış olan (ex)y = e^xy özdeşliği şu özdeşlikle değiştirilmelidir
  $$\left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},$$
  Bu da çok değerli fonksiyonlar arasında gerçek bir özdeşliktir. ⓘ

İrrasyonellik ve aşkınlık

Eğer b pozitif bir reel cebirsel sayı ve x bir rasyonel sayı ise, o zaman bx bir cebirsel sayıdır. Bu cebirsel genişlemeler teorisinden kaynaklanır. Eğer b herhangi bir cebirsel sayı ise, bu durumda bx'in tüm değerleri (çok değerli bir fonksiyon olarak) cebirseldir. Eğer x irrasyonel ise (yani rasyonel değilse) ve hem b hem de x cebirsel ise, Gelfond-Schneider teoremi, b'nin 0 veya 1'e eşit olması dışında, bx'in tüm değerlerinin transandantal (yani cebirsel olmayan) olduğunu ileri sürer. ⓘ

Başka bir deyişle, eğer x irrasyonel ve $b\not \in \{0,1\},$ o zaman b, x ve b^x'ten en az biri aşkındır. ⓘ

Cebirde tamsayı kuvvetleri

Pozitif tamsayı üslü üs alma işleminin tekrarlı çarpma olarak tanımı, çarpma olarak ifade edilen herhangi bir ilişkisel işlem için geçerli olabilir. Tanımı $x^{0}$ ayrıca çarpımsal bir özdeşliğin varlığını gerektirir. ⓘ

Çarpımsal olarak gösterilen bir birleştirme işlemi ve 1 ile gösterilen bir çarpımsal özdeşlik ile birlikte bir kümeden oluşan cebirsel bir yapı bir monoiddir. Böyle bir monoidde, bir x elemanının üs alma işlemi tümevarımsal olarak şu şekilde tanımlanır

• $x^{0}=1,$
• $x^{n+1}=xx^{n}$ negatif olmayan her n tamsayısı için. ⓘ

Eğer n negatif bir tamsayı ise, $x^{n}$ yalnızca x'in çarpımsal bir tersi varsa tanımlanır. Bu durumda, x'in tersi şu şekilde gösterilir $x^{-1},$ ve $x^{n}$ olarak tanımlanır $\left(x^{-1}\right)^{-n}.$ ⓘ

Tamsayı üsleri ile üs alma, cebirsel yapıdaki x ve y ile m ve n tamsayıları için aşağıdaki yasalara uyar:

${\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if }}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}$ ⓘ

Bu tanımlar matematiğin birçok alanında, özellikle gruplar, halkalar, alanlar, kare matrisler (bir halka oluşturan) için yaygın olarak kullanılmaktadır. Ayrıca, fonksiyon bileşimi altında bir monoid oluşturan bir kümeden kendisine olan fonksiyonlar için de geçerlidir. Bu, belirli örnekler olarak, geometrik dönüşümleri ve herhangi bir matematiksel yapının endomorfizmlerini içerir. ⓘ

Tekrarlanabilen birkaç işlem olduğunda, tekrarlanan işlemi sembolünü üst simgeye, üs değerinden önce yerleştirerek belirtmek yaygındır. Örneğin, f değeri çarpılabilen gerçel bir fonksiyon ise, $f^{n}$ çarpma işlemine göre üs alma işlemini gösterir ve $f^{\circ n}$ fonksiyon bileşimine göre üstelleştirmeyi gösterebilir. Yani,

$(f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),$

ve

$(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).$

Genelde, $(f^{n})(x)$ gösterilir $f(x)^{n},$ ise $(f^{\circ n})(x)$ gösterilir $f^{n}(x).$ ⓘ

Bir grup içinde

Çarpımsal bir grup, çarpma olarak gösterilen birleştirme işlemine sahip, bir kimlik elemanı olan ve her elemanın bir tersi olan bir kümedir. ⓘ

Yani, eğer G bir grupsa, $x^{n}$ her için tanımlanmıştır $x\in G$ ve her n tamsayısı. ⓘ

Bir grubun bir elemanının tüm kuvvetlerinin kümesi bir alt grup oluşturur. Belirli bir x elemanının tüm kuvvetlerinden oluşan bir grup (veya alt grup), x tarafından oluşturulan devirli gruptur. x'in tüm kuvvetleri farklıysa, grup eklemeli gruba izomorfiktir $\mathbb {Z}$ tam sayılardan oluşur. Aksi takdirde, döngüsel grup sonludur (sonlu sayıda elemanı vardır) ve eleman sayısı x'in mertebesidir. x'in mertebesi n ise, o zaman $x^{n}=x^{0}=1,$ ve x tarafından oluşturulan devirli grup x'in n tane ilk kuvvetinden oluşur (0 veya 1 üssünden başlayarak). ⓘ

Elemanların mertebesi grup teorisinde temel bir rol oynar. Örneğin, sonlu bir gruptaki bir elemanın mertebesi her zaman grubun eleman sayısının bir bölenidir (grubun mertebesi). Grup elemanlarının olası mertebeleri, bir grubun yapısının incelenmesinde (bkz. Sylow teoremleri) ve sonlu basit grupların sınıflandırılmasında önemlidir. ⓘ

Üst simge gösterimi eşleniklik için de kullanılır; yani, gh = h-1gh, burada g ve h bir grubun elemanlarıdır. Üst simge bir tamsayı olmadığı için bu gösterim üs alma ile karıştırılmamalıdır. Bu gösterimin motivasyonu, konjugasyonun üs alma işleminin bazı yasalarına uymasıdır, yani $(g^{h})^{k}=g^{hk}$ ve $(gh)^{k}=g^{k}h^{k}.$ ⓘ

Bir halka içinde

Bir halkada, bazı sıfır olmayan elemanların aşağıdaki koşulları sağladığı görülebilir $x^{n}=0$ Böyle bir elemanın nilpotent olduğu söylenir. Değişmeli bir halkada, nilpotent elemanlar halkanın nilradikali olarak adlandırılan bir ideal oluşturur. ⓘ

Eğer nilradikal sıfır idealine indirgenirse (yani $x\neq 0$ ima eder $x^{n}\neq 0$ her pozitif n tamsayısı için), değişmeli halka indirgenmiş olarak adlandırılır. İndirgenmiş halkalar cebirsel geometride önemlidir, çünkü bir afin cebirsel kümenin koordinat halkası her zaman indirgenmiş bir halkadır. ⓘ

Daha genel olarak, değişmeli bir R halkasında bir ideal I verildiğinde, R'nin I'de bir kuvvete sahip olan elemanlarının kümesi, I'nin radikali olarak adlandırılan bir idealdir. Bir radikal ideal, kendi radikaline eşit olan bir idealdir. Bir polinom halkasında $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ Bir k cismi üzerinde, bir ideal ancak ve ancak bir afin cebirsel küme üzerinde sıfır olan tüm polinomların kümesi ise radikaldir (bu Hilbert'in Nullstellensatz'ının bir sonucudur). ⓘ

Matrisler ve doğrusal operatörler

Eğer A bir kare matris ise, A'nın kendisi ile n kez çarpımına matris gücü denir. Ayrıca $A^{0}$ kimlik matrisi olarak tanımlanır ve eğer A ters çevrilebilir ise, o zaman $A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}$. ⓘ

Matris güçleri genellikle A matrisinin bir sistemin x durum vektöründen sistemin bir sonraki Ax durumuna geçişi ifade ettiği ayrık dinamik sistemler bağlamında ortaya çıkar. Bu, örneğin bir Markov zincirinin standart yorumudur. O halde $A^{2}x$ sistemin iki zaman adımından sonraki durumudur ve bu böyle devam eder: $A^{n}x$ sistemin n zaman adımından sonraki durumudur. Matris gücü $A^{n}$ şimdiki durum ile gelecekteki n adımlık bir zamandaki durum arasındaki geçiş matrisidir. Dolayısıyla, matris güçlerini hesaplamak dinamik sistemin evrimini çözmeye eşdeğerdir. Birçok durumda, matris güçleri özdeğerler ve özvektörler kullanılarak uygun bir şekilde hesaplanabilir. ⓘ

Matrislerin yanı sıra, daha genel doğrusal operatörler de üstelleştirilebilir. Kalkülüsün türev operatörü buna bir örnektir, $d/dx$fonksiyonları üzerinde etkili olan doğrusal bir operatördür. $f(x)$ yeni bir fonksiyon vermek için $(d/dx)f(x)=f'(x)$. Türev operatörünün n'inci kuvveti n'inci türevdir:

$\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).$ ⓘ

Bu örnekler doğrusal operatörlerin ayrık üsleri içindir, ancak birçok durumda bu tür operatörlerin güçlerini sürekli üslerle tanımlamak da arzu edilir. Bu, yarı grupların matematiksel teorisinin başlangıç noktasıdır. Matris kuvvetlerinin ayrık üslerle hesaplanması ayrık dinamik sistemleri çözdüğü gibi, matris kuvvetlerinin sürekli üslerle hesaplanması da sürekli dinamikleri olan sistemleri çözer. Örnekler arasında ısı denklemini, Schrödinger denklemini, dalga denklemini ve zaman evrimini içeren diğer kısmi diferansiyel denklemleri çözmeye yönelik yaklaşımlar yer almaktadır. Türev operatörünü tam sayı olmayan bir güce üslendirmenin özel durumuna kesirli türev denir ve kesirli integral ile birlikte kesirli kalkülüsün temel işlemlerinden biridir. ⓘ

Sonlu alanlar

Bir cisim, çarpma, toplama, çıkarma ve bölme işlemlerinin tanımlandığı ve çarpmanın birleşmeli olduğu ve sıfır olmayan her elemanın çarpımsal bir tersinin olduğu özellikleri karşılayan cebirsel bir yapıdır. Bu, 0'ın pozitif olmayan kuvvetleri hariç, tam sayı üsleri ile üs alma işleminin iyi tanımlandığı anlamına gelir. Yaygın örnekler, bu makalede daha önce ele alınan ve hepsi sonsuz olan karmaşık sayılar ve bunların alt alanları, rasyonel sayılar ve reel sayılardır. ⓘ

Sonlu bir cisim, sonlu sayıda elemanı olan bir cisimdir. Bu eleman sayısı ya bir asal sayı ya da bir asal kuvvettir; yani şu biçime sahiptir $q=p^{k},$ Burada p bir asal sayı ve k pozitif bir tamsayıdır. Böyle her q için, q elemanlı alanlar vardır. q elemanlı cisimlerin hepsi izomorfiktir, bu da genel olarak q elemanlı tek bir cisim varmış gibi çalışmaya izin verir, şöyle gösterilir $\mathbb {F} _{q}.$ ⓘ

Biri var

$x^{q}=x$

her biri için $x\in \mathbb {F} _{q}.$ ⓘ

'deki ilkel bir öğe $\mathbb {F} _{q}$ öyle bir g elemanıdır ki, g'nin q - 1 birinci kuvvetlerinin kümesi (yani $\{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}$) kümesinin sıfır olmayan elemanlarının kümesine eşittir. $\mathbb {F} _{q}.$ Şunlar var $\varphi (p-1)$ içindeki ilkel elemanlar $\mathbb {F} _{q},$ nerede $\varphi$ Euler'in totient fonksiyonudur. ⓘ

İçinde $\mathbb {F} _{q},$ Birinci sınıf öğrencisinin rüya kimliği

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

p üssü için doğrudur. $x^{p}=x$ içinde $\mathbb {F} _{q},$ Buradan şu sonuç çıkar

${\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}$

üzerinde doğrusaldır $\mathbb {F} _{q},$ ve Frobenius otomorfizması olarak adlandırılan bir cisim otomorfizmasıdır. Eğer $q=p^{k},$ Saha $\mathbb {F} _{q}$ 'nin k tane otomorfizmi vardır ve bunlar F'nin k tane ilk kuvvetleridir (bileşim altında). Başka bir deyişle, Galois grubu $\mathbb {F} _{q}$ Frobenius otomorfizmi tarafından üretilen k mertebesinde döngüseldir. ⓘ

Diffie-Hellman anahtar değişimi, sonlu alanlarda güvenli iletişim için yaygın olarak kullanılan bir üstelleştirme uygulamasıdır. Üs alma işleminin hesaplama açısından ucuz, ters işlem olan ayrık logaritmanın ise hesaplama açısından pahalı olduğu gerçeğini kullanır. Daha açık bir ifadeyle, eğer g bir ilkel eleman ise $\mathbb {F} _{q},$ sonra $g^{e}$ q büyük olsa bile, herhangi bir e için kare alma yoluyla üs alma ile verimli bir şekilde hesaplanabilirken, e'nin q'dan alınmasını sağlayan bilinen bir algoritma yoktur. $g^{e}$ q yeterince büyükse. ⓘ

Kümelerin kuvvetleri

İki S ve T kümesinin Kartezyen çarpımı, sıralı çiftlerin kümesidir $(x,y)$ öyle ki $x\in S$ ve $y\in T.$ Bu işlem tam olarak değişmeli veya birleşmeli değildir, ancak örneğin tanımlamaya izin veren kanonik izomorfizmlere kadar bu özelliklere sahiptir, $(x,(y,z)),$ $((x,y),z),$ ve $(x,y,z).$ ⓘ

Bu, n'inci gücün tanımlanmasına izin verir $S^{n}$ bir S kümesinin tüm n-tuplelerin kümesi olarak $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ S'nin elemanları. ⓘ

S bazı yapılarla donatıldığında, sık sık $S^{n}$ doğal olarak benzer bir yapıya sahiptir. Bu durumda, "Kartezyen çarpım" yerine genellikle "doğrudan çarpım" terimi kullanılır ve üs alma işlemi çarpım yapısını ifade eder. Örneğin $\mathbb {R} ^{n}$ (nerede $\mathbb {R}$ reel sayıları ifade eder) n kopyasının Kartezyen çarpımını ifade eder. $\mathbb {R} ,$ ve bunların vektör uzayı, topolojik uzaylar, halkalar vb. olarak doğrudan çarpımları. ⓘ

Üs olarak kümeler

Bir n-tuple $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ S'nin elemanlarının bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. $\{1,\ldots ,n\}.$ Bu, aşağıdaki gösterime genelleştirilir. ⓘ

S ve T olmak üzere iki küme verildiğinde, T'den S'ye tüm fonksiyonların kümesi şu şekilde gösterilir $S^{T}$. Bu üstel gösterim aşağıdaki kanonik izomorfizmler ile doğrulanmaktadır (ilki için bkz. Currying):

$(S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},$

$S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},$

nerede $\times$ Kartezyen çarpımı gösterir ve $\sqcup$ ayrık birleşim. ⓘ

Kümeler üzerindeki diğer işlemler için, tipik olarak abelian grupların, vektör uzaylarının veya modüllerin doğrudan toplamları için kümeler üs olarak kullanılabilir. Doğrudan toplamları doğrudan çarpımlardan ayırmak için, doğrudan toplamın üssü parantezler arasına yerleştirilir. Örneğin, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ reel sayıların sonsuz dizilerinin vektör uzayını ve $\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}$ sonlu sayıda sıfır olmayan elemana sahip olan dizilerin vektör uzayıdır. İkincisinin, 1'e eşit tam bir sıfır olmayan elemanı olan dizilerden oluşan bir tabanı varken, ilkinin Hamel tabanları açıkça tanımlanamaz (çünkü varlıkları Zorn'un lemmasını içerir). ⓘ

Bu bağlamda, 2 kümeyi temsil edebilir $\{0,1\}.$ Evet, $2^{S}$ S'nin güç kümesini, yani S'den S'ye olan fonksiyonların kümesini gösterir. $\{0,1\},$ Her bir fonksiyon 1'in ters görüntüsüne eşlenerek S'nin alt kümeleri kümesi ile tanımlanabilir. ⓘ

Bu, |ST| = |S|^|T| anlamında kardinal sayıların üstelleştirilmesi ile uyumludur, burada |X| X'in kardinalitesidir. ⓘ

Kategori teorisinde

Kümeler kategorisinde, X ve Y kümeleri arasındaki morfizmler X'ten Y'ye olan fonksiyonlardır. $Y^{X}$ önceki bölümde de gösterilebilir $\hom(X,Y).$ İzomorfizm $(S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}$ yeniden yazılabilir

$\hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).$

Bu, "T kuvvetine üs alma" functorunun "T ile doğrudan çarpım" functorunun sağ eşleniği olduğu anlamına gelir. ⓘ

Bu, sonlu doğrudan çarpımların var olduğu bir kategoride üs alma tanımına genelleştirilir: böyle bir kategoride, functor $X\to X^{T}$ eğer varsa, functor'a sağdan bitişiktir $Y\to T\times Y.$ Bir kategori, doğrudan çarpımlar mevcutsa Kartezyen kapalı kategori olarak adlandırılır ve functor $Y\to X\times Y$ her T için bir sağ eşleniğe sahiptir. ⓘ

Tekrarlanan üs alma

Doğal sayıların üs alma işleminin tekrarlanan çarpma işlemiyle motive edilmesi gibi, tekrarlanan üs alma işlemine dayalı bir işlem tanımlamak mümkündür; bu işlem bazen hiper-4 veya tetrasyon olarak adlandırılır. Yinelenen tetrasyon başka bir işleme yol açar ve bu şekilde devam eder, bu kavram hiperişlem olarak adlandırılır. Bu işlem dizisi Ackermann fonksiyonu ve Knuth'un yukarı ok gösterimi ile ifade edilir. Tıpkı üs alma işleminin toplama işleminden daha hızlı büyüyen çarpma işleminden daha hızlı büyümesi gibi, tetrasyon işlemi de üs alma işleminden daha hızlı büyür. (3, 3)'te değerlendirildiğinde, toplama, çarpma, üs alma ve tetration fonksiyonları sırasıyla 6, 9, 27 ve 7625597484987 (= 3²⁷ = 33³ = ³3) verir. ⓘ

Güçlerin sınırları

Sıfırın kuvvetine sıfır, 0⁰ biçiminde belirsiz olan bir dizi limit örneği verir. Bu örneklerdeki limitler mevcuttur, ancak farklı değerlere sahiptir, iki değişkenli xy fonksiyonunun (0, 0) noktasında limiti olmadığını gösterir. Bu fonksiyonun hangi noktalarda bir limiti olduğu düşünülebilir. ⓘ

Daha kesin olarak, fonksiyonu düşünün $f(x,y)=x^{y}$ üzerinde tanımlanmıştır $D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}$. O zaman D, R²'nin bir alt kümesi olarak görülebilir (yani, x, y'nin R = [-∞, +∞] genişletilmiş gerçek sayı doğrusuna ait olduğu tüm (x, y) çiftlerinin kümesi, çarpım topolojisi ile donatılmış) ve bu küme f fonksiyonunun bir limiti olduğu noktaları içerecektir. ⓘ

Aslında f, (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) ve (1, -∞) dışında D'nin tüm yığılma noktalarında bir limite sahiptir. Buna göre, bu, belirsiz formlar olarak kalan 00, (+∞)⁰, 1+∞ ve 1-∞ hariç, ⁰ ≤ x ≤ +∞, -∞ ≤ y ≤ ^+∞ olduğunda xy kuvvetlerini süreklilikle tanımlamaya izin verir. ⓘ

Bu tanım altında süreklilik ile şunu elde ederiz:

• x^+∞ = +∞ ve x-∞ = 0, 1 < x ≤ +∞ olduğunda.
• x^+∞ = 0 ve x-∞ = +∞, 0 ≤ x < 1 olduğunda.
• 0^y = 0 ve (+∞)^y = +∞, 0 < y ≤ +∞ olduğunda.
• 0y = +∞ ve (+∞)y = 0, -∞ ≤ y < 0 olduğunda. ⓘ

Bu kuvvetler x'in pozitif değerleri için xy'nin limitleri alınarak elde edilir. x < 0 olduğunda bu yöntem xy'nin tanımlanmasına izin vermez, çünkü x < 0 olan (x, y) çiftleri D'nin yığılma noktaları değildir. ⓘ

Öte yandan, n bir tamsayı olduğunda, xn kuvveti negatif olanlar da dahil olmak üzere x'in tüm değerleri için zaten anlamlıdır. Bu durum, yukarıda negatif n için elde edilen 0n = +∞ tanımını n tek olduğunda sorunlu hale getirebilir, çünkü bu durumda xn → +∞ x pozitif değerler boyunca 0'a yönelirken negatif değerlere yönelmez. ⓘ

Tamsayı üsleri ile verimli hesaplama

Yinelemeli çarpma kullanarak bn'yi hesaplamak n - 1 çarpma işlemi gerektirir, ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bundan daha verimli bir şekilde hesaplanabilir. 2¹⁰⁰'ü hesaplamak için Horner kuralını ikili olarak yazılmış 100 üssüne uygulayın:

$100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))$.

Ardından Horner kuralını sağdan sola doğru okuyarak aşağıdaki terimleri sırayla hesaplayın. ⓘ

22 = 4 ⓘ

2 (22) = 23 = 8

(23)2 = 26 = 64

(26)2 = 212 = 4096

(212)2 = 224 = 16777216

2 (224) = 225 = 33554432

(225)2 = 250 = 1125899906842624

(250)2 = 2100 = 1267650600228229401496703205376

Bu adımlar dizisi 99 yerine yalnızca 8 çarpma gerektirir. ⓘ

Genel olarak, bn'yi hesaplamak için gereken çarpma işlemlerinin sayısı şu şekilde azaltılabilir $\sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,$ kareleme yoluyla üs alma kullanarak, burada $\sharp n$ n'nin ikili gösterimindeki 1 sayısını gösterir. Bazı üsler için (100 bunların arasında değildir), minimum toplama zinciri üs alma işlemi hesaplanarak ve kullanılarak çarpma sayısı daha da azaltılabilir. bn için minimum çarpma dizisini (üs için minimum uzunlukta toplama zinciri) bulmak, şu anda hiçbir verimli algoritmanın bilinmediği zor bir problemdir (bkz. Alt küme toplamı problemi), ancak makul derecede verimli birçok sezgisel algoritma mevcuttur. Bununla birlikte, pratik hesaplamalarda, kare alma yoluyla üs alma yeterince verimlidir ve uygulanması çok daha kolaydır. ⓘ

Yinelenen fonksiyonlar

Fonksiyon bileşimi, fonksiyonlar üzerinde tanımlanan ve sağda yazılan fonksiyonun kod alanının solda yazılan fonksiyonun tanım alanına dahil olmasını sağlayan ikili bir işlemdir. Şöyle gösterilir $g\circ f,$ ve şu şekilde tanımlanır

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

f'nin etki alanındaki her x için. ⓘ

Bir f fonksiyonunun etki alanı kod alanına eşitse, fonksiyon kendisiyle keyfi sayıda kez bileştirilebilir ve bu, genellikle fonksiyonun n'inci yinelemesi olarak adlandırılan, bileşim altındaki fonksiyonun n'inci kuvvetini tanımlar. Böylece $f^{n}$ genellikle f'nin n'inci yinelemesini gösterir; örneğin, $f^{3}(x)$ anlamına gelir $f(f(f(x))).$ ⓘ

Fonksiyonun kod alanında bir çarpma tanımlandığında, bu fonksiyonlar üzerinde bir çarpma, noktasal çarpma tanımlar ve bu da başka bir üs alma işlemine neden olur. Fonksiyonel gösterim kullanılırken, iki tür üs alma genellikle fonksiyonel yinelemenin üssünü fonksiyonun argümanlarını çevreleyen parantezlerin önüne yerleştirerek ve noktasal çarpmanın üssünü parantezlerden sonra yerleştirerek ayırt edilir. Böylece $f^{2}(x)=f(f(x)),$ ve $f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).$ Fonksiyonel gösterim kullanılmadığında, anlam ayrımı genellikle bileşim sembolü üs değerinin önüne yerleştirilerek yapılır; örneğin $f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,$ ve $f^{3}=f\cdot f\cdot f.$ Tarihsel nedenlerden dolayı, tekrarlanan bir çarpımın üssü, bazı özel fonksiyonlar, tipik olarak trigonometrik fonksiyonlar için argümanın önüne yerleştirilir. Yani, $\sin ^{2}x$ ve $\sin ^{2}(x)$ her ikisi de demek $\sin(x)\cdot \sin(x)$ ve değil $\sin(\sin(x)),$ ki bu her durumda nadiren dikkate alınır. Tarihsel olarak, bu gösterimlerin çeşitli varyantları farklı yazarlar tarafından kullanılmıştır. ⓘ

Bu bağlamda, üs $-1$ eğer varsa, her zaman ters fonksiyonu ifade eder. Yani $\sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.$ Çarpımsal ters kesirler için genellikle aşağıdaki gibi kullanılır $1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.$ ⓘ

Programlama dillerinde

Programlama dilleri genellikle üs alma işlemini ya bir infix operatörü olarak ya da üst simgeleri desteklemedikleri için bir fonksiyon uygulaması olarak ifade eder. Üs alma işlemi için en yaygın operatör sembolü işarettir (^). ASCII'nin orijinal versiyonu üs alma işlemi için yukarı ok sembolü (↑) içermekteydi, ancak 1967'de bunun yerini şapka aldı, böylece şapka programlama dillerinde olağan hale geldi. Notasyonlar şunları içerir:

• x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (ve türevleri), TI-BASIC, bc (tamsayı üsleri için), Haskell (negatif olmayan tamsayı üsleri için), Lua ve çoğu bilgisayar cebiri sistemi.
• x ** y. Fortran karakter seti +-*/()&=.,' dışında küçük harf karakterleri veya noktalama işaretleri içermiyordu ve bu nedenle üs alma için ** kullanılıyordu (ilk sürümde bunun yerine a xx b kullanılıyordu). Diğer birçok dil de bunu takip etti: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (kayan noktalı üsler için), Turing, VHDL.
• x ↑ y: Algol Referans dili, Commodore BASIC, TRS-80 Seviye II/III BASIC.
• x ^^ y: Haskell (kesirli taban, tamsayı üsleri için), D.
• x⋆y: APL. ⓘ

İnfix üs alma operatörüne sahip çoğu programlama dilinde, bu operatör sağ-ilişkiseldir, yani a^b^c, a^(b^c) olarak yorumlanır. Bunun nedeni (a^b)^c'nin a^(b*c)'ye eşit olması ve bu nedenle kullanışlı olmamasıdır. Bazı dillerde, özellikle Algol, Matlab ve Microsoft Excel formül dilinde sol-ilişkiseldir. ⓘ

Diğer programlama dilleri işlevsel gösterim kullanır:

• (expt x y): Common Lisp.
• pown x y: F# (tamsayı tabanı, tamsayı üssü için). ⓘ

Yine de diğerleri yalnızca standart kütüphanelerin bir parçası olarak üs alma sağlar:

• pow(x, y): C, C++ (matematik kütüphanesinde).
• Math.Pow(x, y): C#.
• math:pow(X, Y): Erlang.
• Math.pow(x, y): Java.
• [Math]::Pow(x, y): PowerShell. ⓘ

İşlem

Kuvvet pozitif ise

2³ işlemini ele alırsak, "2 üzeri 3" olarak okunan bu işlemin açılımı, $2^{3}=\underbrace {2\times 2\times 2} _{3\,{\textrm {kere}}}=8$ olacaktır. Bu 3 tane 2nin çarpımının sonucudur. ⓘ

$3^{4}$ işleminin açılımı ise, $3^{4}=\underbrace {3\times 3\times 3\times 3} _{4\,{\textrm {kere}}}=81$ olacaktır. Bu ise 4 tane 3ün çarpımının sonucudur. ⓘ

Kuvvet negatif ise

Bu durumda, üssün pozitif değeri alınır, ve 1, taban üssü kuvvete bölünür: $a^{-n}={1 \over a^{n}}$ ⓘ

$2^{-3}={1 \over 2^{3}}={1 \over 8}$ olur. ⓘ

Sıralama

Üslü sayılarda sıralama yaparken ya tabanların ya da üslerin eşitlenmesi gerekir. Ondan sonra sıralama işlemi yapılır. ⓘ

Bilimsel gösterim

Çok büyük ya da çok küçük sayıların gösteriminde, hem gereken detayda sayının değerini, hem basamak sayısını veren hem de bunu daha okunabilir kolay bir şekilde yapan sayılsal gösterime bilimsel gösterim denir. ⓘ

Gösterim

$1\leq |a|<10$ ve n bir tam sayı olmak üzere, bilimsel gösterim; $a\cdot 10^{n}$ olarak yazılır.
ⓘ

Özellikler ve Kurallar

• a sayısının 1 ile 10 arasında olması şarttır.
  
• Sayıda ',' yok ise, en sağdaki rakamın sonunda virgül varmış gibi düşünülmelidir.
  
• $10^{n}$ ifadesi yok ise, bu, sayının yanında $10^{0}$ olduğu anlamına gelir. Örneğin: $5=5\cdot 10^{0}$
  
• Virgül sağa kaydıkça sayı büyür, 10'nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar küçülür. Örneğin: $0,147\cdot 10^{2}=1,47\cdot 10^{1}$
  
• Virgül sola kaydıkça sayı küçülür, 10nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar büyütülür. Örneğin: $23,8\cdot 10^{4}=2,38\cdot 10^{5}$ ⓘ