Üçgen

Üçgen ⓘ

Herhangi bir üçgen. ⓘ

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir. ⓘ

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir. ⓘ

$[AB]U[AC]U[BC]=ABC\!\,$ ⓘ

Burada; ⓘ

A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve $[AB],[AC],[BC]\!\,$ doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. $\alpha \!\,$, $\beta \!\,$ ve $\gamma \!\,$ üçgenin iç açılarıdır. ⓘ

Eşkenar üçgen ⓘ
Düzenli bir üçgen
Tip	Düzenli çokgen
Kenarlar ve köşeler	3
Schläfli sembolü	{3}
Coxeter-Dynkin diyagramları
Simetri grubu	Dihedral (D3), sıra 2×3
İç açı (derece)	60°
Mülkler	Dışbükey, döngüsel, eşkenar, izogonal, izotoksal

Üçgen ⓘ
Bir üçgen
Kenarlar ve köşeler	3
Schläfli sembolü	{3} (eşkenar için)
Alan	çeşitli yöntemler; aşağıya bakınız
İç açı (derece)	60° (eşkenar için)

Üçgen türleri

İkizkenar üçgenlerin en az 2 eşit kenara sahip olduğu tanımını kullanarak üçgen türlerinin Euler diyagramı (yani, eşkenar üçgenler ikizkenardır). ⓘ

Üçgenleri sınıflandırmak için kullanılan terminoloji iki bin yıldan daha eskidir ve Öklid'in Elementler kitabının ilk sayfasında tanımlanmıştır. Modern sınıflandırma için kullanılan isimler ya Öklid'in Yunancasının doğrudan çevirisi ya da Latince çevirileridir. ⓘ

Kenar uzunluklarına göre

Antik Yunan matematikçi Öklid, kenar uzunluklarına göre üç tip üçgen tanımlamıştır:

Yunanca: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, lit. 'Üç taraflı şekillerden, üç kenarı eşit olan izopleuron [eşkenar] üçgendir, sadece iki kenarı eşit olan ikizkenardır ve üç kenarı eşit olmayan skalendir. ⓘ

• Eşkenar üçgen (Yunanca: ἰσόπλευρον, romanize: isópleuron, lit. 'eşit kenarlar') aynı uzunlukta üç kenara sahiptir. Eşkenar üçgen aynı zamanda tüm açıları 60° olan düzgün bir çokgendir.
• Bir ikizkenar üçgen (Yunanca: ἰσοσκελὲς, romanize: isoskelés, lit. 'eşit bacaklar') eşit uzunlukta iki kenara sahiptir. Bir ikizkenar üçgen aynı zamanda aynı ölçüye sahip iki açıya, yani aynı uzunluktaki iki kenarın karşısındaki açılara sahiptir. Bu gerçek, Öklid tarafından bilinen ikizkenar üçgen teoreminin içeriğidir. Bazı matematikçiler ikizkenar üçgeni tam olarak iki eşit kenara sahip olarak tanımlarken, diğerleri ikizkenar üçgeni en az iki eşit kenarı olan bir üçgen olarak tanımlar. İkinci tanım tüm eşkenar üçgenleri ikizkenar üçgen yapar. Tetrakis kare döşemesinde görülen 45-45-90 dik üçgeni ikizkenardır.
• Bir skalen üçgenin (Yunanca: σκαληνὸν, romanize: skalinón, lit. 'eşit olmayan') tüm kenarları farklı uzunluktadır. Eşdeğer olarak, tüm açıları farklı ölçülere sahiptir. ⓘ

• 

  Eşkenar Üçgen

• 

  İkizkenar üçgen

• 

  Skalen üçgen ⓘ

Kene işareti olarak da adlandırılan tarama işaretleri, üçgenlerin ve diğer geometrik şekillerin diyagramlarında eşit uzunluktaki kenarları belirlemek için kullanılır. Bir kenar, çetele işareti şeklinde kısa çizgi parçaları olan "tik" deseniyle işaretlenebilir; her ikisi de aynı desenle işaretlenmişse iki kenar eşit uzunluğa sahiptir. Bir üçgende desen genellikle 3 kenardan fazla değildir. Bir eşkenar üçgenin 3 kenarı da aynı desene sahiptir, ikizkenar üçgenin sadece 2 kenarı aynı desene sahiptir ve bir skalen üçgenin hiçbir kenarı eşit olmadığından tüm kenarlarında farklı desenler vardır. ⓘ

Benzer şekilde, açıların içindeki 1, 2 veya 3 eşmerkezli yay deseni eşit açıları belirtmek için kullanılır: bir eşkenar üçgen 3 açıda da aynı desene sahiptir, bir ikizkenar üçgen sadece 2 açıda aynı desene sahiptir ve bir skalen üçgen tüm açılarda farklı desenlere sahiptir, çünkü hiçbir açı eşit değildir. ⓘ

İç açılara göre

Öklid'in Elementler'inin ilk sayfası, dünyanın ilk basılı versiyonundan (1482), Kitap I'in "tanımlar" bölümünü gösteriyor. Dik üçgen "orthogonius" olarak etiketlenmiş ve gösterilen iki açı "acutus" ve "angulus obtusus". ⓘ

Üçgenler, burada derece cinsinden ölçülen iç açılarına göre de sınıflandırılabilir.

• Bir dik üçgenin (veya dik açılı üçgenin) iç açılarından biri 90°'dir (dik açı). Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, yani üçgenin en uzun kenarıdır. Diğer iki kenar üçgenin bacakları veya katetisi (tekil: katetus) olarak adlandırılır. Dik üçgenler Pisagor teoremine uyar: iki bacağın uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir: a² + b² = c², burada a ve b bacakların uzunlukları ve c hipotenüsün uzunluğudur. Özel dik üçgenler, bunlarla ilgili hesaplamaları kolaylaştıran ek özelliklere sahip dik üçgenlerdir. En ünlü iki tanesinden biri 3² + 4² = 5² olan 3-4-5 dik üçgenidir. 3-4-5 üçgeni Mısır üçgeni olarak da bilinir. Bu durumda 3, 4 ve 5 bir Pisagor üçlüsüdür. Diğeri ise 45 derecelik 2 açısı olan bir ikizkenar üçgendir (45-45-90 üçgeni).
  • 90°'lik açıya sahip olmayan üçgenlere eğik üçgenler denir.
• Tüm iç açıları 90°'den küçük olan üçgenlere dar üçgen ya da dar açılı üçgen denir. Eğer c en uzun kenarın uzunluğuysa, a² + b² > c² olur; burada a ve b diğer kenarların uzunluklarıdır.
• Bir iç açısı 90°'den büyük olan bir üçgen geniş üçgen veya geniş açılı üçgendir. Eğer c en uzun kenarın uzunluğu ise, o zaman a² + b² < c², burada a ve b diğer kenarların uzunluklarıdır.
• İç açısı 180° olan (ve köşeleri aynı hizada olan) bir üçgen dejeneredir. Bir dik dejenere üçgen, ikisi çakışık olan eş köşelere sahiptir. ⓘ

Aynı ölçüye sahip iki açısı olan bir üçgenin aynı uzunluğa sahip iki kenarı da vardır ve bu nedenle bu bir ikizkenar üçgendir. Tüm açıların aynı ölçüye sahip olduğu bir üçgende, üç kenarın da aynı uzunluğa sahip olduğu ve bu nedenle eşkenar olduğu sonucuna varılır. ⓘ

Doğru.	Geniş	Akut
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Eğik

Temel bilgiler

Dış açı d'yi gösteren bir üçgen. ⓘ

Bağlam aksini göstermediği sürece üçgenlerin iki boyutlu düzlem şekilleri olduğu varsayılır (bkz. Düzlemsel olmayan üçgenler, aşağıda). Bu nedenle, titiz uygulamalarda bir üçgen 2-simpleks olarak adlandırılır (ayrıca bkz. Polytope). Üçgenlerle ilgili temel bilgiler Öklid tarafından MÖ 300 civarında yazılan Elementler kitabının 1-4. kitaplarında sunulmuştur. ⓘ

Üçgenin iç açılarının ölçüleri her zaman 180 dereceye eşittir (eşit olduklarını belirtmek için aynı renk). ⓘ

Öklid uzayında bir üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı her zaman 180 derecedir. Bu gerçek Öklid'in paralel postülasına eşdeğerdir. Bu, iki açının ölçüsü verilen herhangi bir üçgenin üçüncü açısının ölçüsünün belirlenmesini sağlar. Bir üçgenin dış açısı, bir iç açının doğrusal çifti (ve dolayısıyla tamamlayıcısı) olan bir açıdır. Bir üçgenin dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eşittir; bu dış açı teoremidir. Herhangi bir üçgenin üç dış açısının (her tepe noktası için bir tane) ölçülerinin toplamı 360 derecedir. ⓘ

Benzerlik ve uygunluk

İki üçgenin benzer olduğu söylenir, eğer bir üçgenin her açısı diğer üçgendeki karşılık gelen açı ile aynı ölçüye sahipse. Benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının uzunlukları aynı orandadır ve bu özellik de benzerlik kurmak için yeterlidir. ⓘ

Benzer üçgenlerle ilgili bazı temel teoremler şunlardır:

• İki üçgenin iç açılarının bir çifti birbiriyle aynı ölçüye sahipse ve diğer çifti de birbiriyle aynı ölçüye sahipse, üçgenler benzerdir.
• Yalnızca ve yalnızca, iki üçgenin karşılık gelen kenarlarından bir çifti diğer karşılık gelen kenar çiftiyle aynı orandaysa ve iç açıları aynı ölçüye sahipse, üçgenler benzerdir. (Bir çokgenin herhangi iki kenarı için dahil açı, bu iki kenar arasındaki iç açıdır).
• Sadece ve sadece iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının üç çifti de aynı orandaysa, üçgenler benzerdir. ⓘ

Uyumlu iki üçgen tam olarak aynı boyut ve şekle sahiptir: karşılık gelen iç açıların tüm çiftlerinin ölçüsü eşittir ve karşılık gelen kenarların tüm çiftleri aynı uzunluğa sahiptir. (Bu toplam altı eşitliktir, ancak üç tanesi genellikle eşliği kanıtlamak için yeterlidir). ⓘ

Bir üçgen çiftinin uyumlu olması için gerekli ve yeterli bazı koşullar şunlardır:

• SAS Postulatı: Bir üçgendeki iki kenar diğer üçgendeki iki kenarla aynı uzunluğa sahiptir ve dahil edilen açılar aynı ölçüye sahiptir.
• ASA: Bir üçgendeki iki iç açı ve içerilen kenar sırasıyla diğer üçgendekilerle aynı ölçüye ve uzunluğa sahiptir. (Bir açı çifti için içerilen kenar, onlar için ortak olan kenardır).
• SSS: Bir üçgenin her bir kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen bir kenarı ile aynı uzunluğa sahiptir.
• AAS: Bir üçgendeki iki açı ve karşılık gelen (dahil edilmeyen) bir kenar, sırasıyla diğer üçgendekilerle aynı ölçü ve uzunluğa sahiptir. (Bu bazen AAcorrS olarak adlandırılır ve yukarıdaki ASA'yı da içerir). ⓘ

Bazı bireysel olarak yeterli koşullar şunlardır:

• Hipotenüs-Bacak (HL) Teoremi: Bir dik üçgendeki hipotenüs ve bir bacak, başka bir dik üçgendekilerle aynı uzunluğa sahiptir. Buna RHS (dik açı, hipotenüs, kenar) de denir.
• Hipotenüs-Açı Teoremi: Bir dik üçgendeki hipotenüs ve dar açı, diğer dik üçgendekilerle sırasıyla aynı uzunluk ve ölçüye sahiptir. Bu sadece AAS teoreminin özel bir durumudur.

Önemli bir koşul da şudur:

• Kenar-Yan-Açı (ya da Açı-Yan-Yan) koşulu: Eğer bir üçgenin iki kenarı ve buna karşılık gelen ve dahil edilmeyen bir açısı sırasıyla diğer üçgendekilerle aynı uzunluk ve ölçüye sahipse, bu eşliği kanıtlamak için yeterli değildir; ancak verilen açı iki kenardan uzun olanın tersiyse, üçgenler eştir. Hipotenüs-Bacak Teoremi bu kriterin özel bir durumudur. Kenar-Yan-Açı koşulu tek başına üçgenlerin eş olduğunu garanti etmez çünkü üçgenlerden biri geniş açılı, diğeri dar açılı olabilir. ⓘ

Dik üçgenler ve benzerlik kavramı kullanılarak trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüs tanımlanabilir. Bunlar trigonometride incelenen açı fonksiyonlarıdır. ⓘ

Dik üçgenler

Pisagor teoremi ⓘ

Merkezi bir teorem olan Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu ifade eder. Eğer hipotenüsün uzunluğu c ve bacakların uzunlukları a ve b ise, teorem şunu ifade eder

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$ ⓘ

Tersi de doğrudur: Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları yukarıdaki denklemi sağlıyorsa, üçgenin c kenarının karşısında bir dik açı vardır. ⓘ

Dik üçgenlerle ilgili diğer bazı gerçekler:

• Bir dik üçgenin dar açıları birbirini tamamlar.

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• Bir dik üçgenin bacakları aynı uzunluğa sahipse, bu bacakların karşısındaki açılar da aynı ölçüye sahiptir. Bu açılar birbirini tamamladığına göre, her birinin ölçüsü 45 derecedir. Pisagor teoremine göre, hipotenüsün uzunluğu bir bacağın uzunluğu çarpı √2'dir.
• Dar açıları 30 ve 60 derece olan bir dik üçgende, hipotenüs kısa kenarın uzunluğunun iki katıdır ve uzun kenar kısa kenarın uzunluğunun √3 katına eşittir:

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$ ⓘ

Tüm üçgenler için açılar ve kenarlar kosinüs ve sinüs yasası (kosinüs kuralı ve sinüs kuralı olarak da adlandırılır) ile ilişkilidir. ⓘ

Bir üçgenin varlığı

Yanlardaki durum

Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük veya eşit olması gerektiğini belirtir. Bu toplamın üçüncü kenarın uzunluğuna eşit olabilmesi için dejenere bir üçgen, yani köşeleri aynı hizada olan bir üçgen olması gerekir. Bu toplamın üçüncü kenarın uzunluğundan daha az olması mümkün değildir. Verilen üç pozitif kenar uzunluğuna sahip bir üçgen, ancak ve ancak bu kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlıyorsa mevcuttur. ⓘ

Açılar üzerindeki koşullar

Verilen üç açının dejenere olmayan bir üçgen (ve aslında sonsuz sayıda) oluşturması için şu koşulların her ikisinin de geçerli olması gerekir: (a) açıların her biri pozitiftir ve (b) açıların toplamı 180°'dir. Eğer dejenere üçgenlere izin veriliyorsa, 0°'lik açılara da izin verilir. ⓘ

Trigonometrik koşullar

Her biri 180°'den küçük olan üç pozitif α, β ve γ açısı, ancak ve ancak aşağıdaki koşullardan herhangi biri geçerliyse bir üçgenin açılarıdır:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$ ⓘ

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$ ⓘ

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$ ⓘ

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$ ⓘ

$\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),$ ⓘ

Son eşitlik yalnızca açılardan hiçbiri 90° değilse geçerlidir (yani teğet fonksiyonunun değeri her zaman sonludur). ⓘ

Bir üçgenle ilişkili noktalar, doğrular ve daireler

Bir üçgenle ilişkili (ve genellikle içinde), bazı benzersiz özellikleri karşılayan özel bir nokta bulan binlerce farklı yapı vardır: bunların bir kataloğu için Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi maddesine bakın. Genellikle üç kenarla (veya köşelerle) simetrik bir şekilde ilişkilendirilmiş üç çizgi bulunarak ve ardından üç çizginin tek bir noktada buluştuğu kanıtlanarak inşa edilirler: bunların varlığını kanıtlamak için önemli bir araç, bu tür üç çizginin ne zaman eşzamanlı olduğunu belirlemek için bir kriter veren Ceva teoremidir. Benzer şekilde, bir üçgenle ilişkili doğrular genellikle simetrik olarak oluşturulmuş üç noktanın aynı hizada olduğu kanıtlanarak oluşturulur: burada Menelaus'un teoremi faydalı bir genel kriter verir. Bu bölümde en sık karşılaşılan yapılardan sadece birkaçı açıklanmaktadır. ⓘ

Çevre merkez, üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin merkezidir. ⓘ

Bir üçgenin bir kenarının dik açıortayı, kenarın orta noktasından geçen ve ona dik olan, yani onunla bir dik açı oluşturan düz bir çizgidir. Üç dik açıortay tek bir noktada, genellikle O ile gösterilen üçgenin çevre merkezinde buluşur; bu nokta çevre dairesinin, yani üç köşeden de geçen dairenin merkezidir. Çevre çapı olarak adlandırılan bu dairenin çapı, yukarıda belirtilen sinüs yasasından bulunabilir. Çemberin yarıçapına çevre yarıçapı denir. ⓘ

Thales'in teoremi, eğer çevre merkez üçgenin bir kenarında yer alıyorsa, o zaman karşıt açının dik açı olduğunu ifade eder. Eğer çevre merkez üçgenin içinde yer alıyorsa, üçgen dar açıdır; çevre merkez üçgenin dışında yer alıyorsa, üçgen geniş açıdır. ⓘ

Yüksekliklerin kesiştiği nokta ortomerkezdir. ⓘ

Bir üçgenin irtifası, bir tepe noktasından geçen ve karşı kenara dik olan (yani onunla dik açı oluşturan) düz bir çizgidir. Bu karşı kenar irtifanın tabanı olarak adlandırılır ve irtifanın tabanla (veya uzantısıyla) kesiştiği nokta irtifanın ayağı olarak adlandırılır. Yüksekliğin uzunluğu, taban ile tepe noktası arasındaki mesafedir. Üç yükseklik tek bir noktada kesişir, bu noktaya üçgenin orto merkezi denir ve genellikle H ile gösterilir. Orto merkez, ancak ve ancak üçgen dar ise üçgenin içinde yer alır. ⓘ

Açıortayların kesiştiği nokta iç çemberin merkezidir. ⓘ

Bir üçgenin açıortayı, bir tepe noktasından geçen ve ilgili açıyı ikiye bölen düz bir çizgidir. Üç açıortay tek bir noktada, genellikle I ile gösterilen, üçgenin iç çemberinin merkezi olan iç merkezde kesişir. İç çember, üçgenin içinde yer alan ve üç kenara da temas eden çemberdir. Yarıçapına iç yarıçap denir. Üç önemli çember daha vardır; bunlar üçgenin dışında yer alır ve bir kenarın yanı sıra diğer ikisinin uzantılarına da dokunurlar. İç ve dış çemberlerin merkezleri ortosentrik bir sistem oluşturur. ⓘ

Medyanların kesiştiği nokta merkezdir. ⓘ

Bir üçgenin medyanı, bir tepe noktasından ve karşı kenarın orta noktasından geçen düz bir çizgidir ve üçgeni iki eşit alana böler. Üç medyan tek bir noktada kesişir; bu nokta üçgenin merkez noktası ya da geometrik barycenter'ıdır ve genellikle G ile gösterilir. Sert bir üçgen nesnenin (düzgün yoğunlukta ince bir tabakadan kesilmiş) merkez noktası aynı zamanda kütle merkezidir: nesne düzgün bir yerçekimi alanında merkez noktası üzerinde dengelenebilir. Merkez noktası her orta noktayı 2:1 oranında keser, yani bir tepe noktası ile merkez noktası arasındaki mesafe, merkez noktası ile karşı kenarın orta noktası arasındaki mesafenin iki katıdır. ⓘ

Dokuz noktalı daire, altı noktanın üçgenin kenarında yer aldığı bir simetri göstermektedir. ⓘ

Üç kenarın orta noktaları ve üç yüksekliğin ayakları tek bir daire, yani üçgenin dokuz noktalı dairesi üzerinde yer alır. Adını aldığı kalan üç nokta, köşeler ile orto merkez arasındaki yükseklik bölümünün orta noktalarıdır. Dokuz noktalı dairenin yarıçapı çevre dairenin yarısı kadardır. İç çembere (Feuerbach noktasında) ve üç dış çembere dokunur. ⓘ

Euler doğrusu, ortomerkez (mavi), dokuz noktalı dairenin merkezi (kırmızı), merkez (turuncu) ve çevre merkezden (yeşil) geçen düz bir doğrudur ⓘ

Ortamerkez (mavi nokta), dokuz noktalı dairenin merkezi (kırmızı), merkez (turuncu) ve çevre merkez (yeşil), Euler çizgisi (kırmızı çizgi) olarak bilinen tek bir çizgi üzerinde yer alır. Dokuz noktalı dairenin merkezi, ortamerkez ile çevremerkez arasındaki orta noktada yer alır ve merkez ile çevremerkez arasındaki mesafe, merkez ile ortamerkez arasındaki mesafenin yarısı kadardır. ⓘ

İncircle'ın merkezi genel olarak Euler doğrusu üzerinde yer almaz. ⓘ

Aynı tepe noktasından geçen açıortayda bir medyan yansıtılırsa, bir symmedyan elde edilir. Üç simmedyan tek bir noktada, üçgenin simmedyan noktasında kesişir. ⓘ

Kenarların ve açıların hesaplanması

Bir kenarın uzunluğunu veya bir açının ölçüsünü hesaplamak için çeşitli standart yöntemler vardır. Bazı yöntemler dik açılı bir üçgendeki değerleri hesaplamak için uygundur; diğer durumlarda daha karmaşık yöntemler gerekebilir. ⓘ

Dik üçgenlerde trigonometrik oranlar

Bir dik üçgen her zaman 90° (π/2 radyan) açı içerir, burada C etiketi ile gösterilmiştir. Trigonometrik fonksiyonlar, bir dik üçgenin kenar uzunlukları ve iç açıları arasındaki ilişkileri belirtir. ⓘ

Dik üçgenlerde, sinüs, kosinüs ve tanjant trigonometrik oranları bilinmeyen açıları ve bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için kullanılabilir. Üçgenin kenarları aşağıdaki gibi bilinir:

• Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır veya dik açılı bir üçgenin en uzun kenarı olarak tanımlanır, bu durumda h.
• Karşı kenar, ilgilendiğimiz açının karşısındaki kenardır, bu durumda a.
• Bitişik kenar, ilgilendiğimiz açı ve dik açı ile temas halinde olan kenardır, dolayısıyla adı da buradan gelmektedir. Bu durumda komşu kenar b'dir. ⓘ

Sinüs, kosinüs ve tanjant

Bir açının sinüsü, karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır. Bizim durumumuzda

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$ ⓘ

Bu oran, A açısını içerdiği sürece seçilen dik üçgene bağlı değildir, çünkü tüm bu üçgenler benzerdir. ⓘ

Bir açının kosinüsü, komşu kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır. Bizim durumumuzda

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.$ ⓘ

Bir açının tanjantı, karşı kenarın uzunluğunun komşu kenarın uzunluğuna oranıdır. Bizim durumumuzda

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$ ⓘ

"SOH-CAH-TOA" kısaltması bu oranlar için kullanışlı bir anımsatıcıdır. ⓘ

Ters fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar, herhangi iki kenarın uzunluğuna sahip dik açılı bir üçgenin iç açılarını hesaplamak için kullanılabilir. ⓘ

Arcsin, karşı kenarın uzunluğundan ve hipotenüsün uzunluğundan bir açı hesaplamak için kullanılabilir.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$ ⓘ

Arccos, bitişik kenarın uzunluğundan ve hipotenüsün uzunluğundan bir açı hesaplamak için kullanılabilir.

$\theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$ ⓘ

Arctan, karşı kenarın uzunluğundan ve bitişik kenarın uzunluğundan bir açıyı hesaplamak için kullanılabilir.

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)$ ⓘ

Geometri ve trigonometriye giriş derslerinde, sin-1, cos-1, vb. gösterimler genellikle arcsin, arccos, vb. yerine kullanılır. Ancak, çarpımsal ters ile bileşimsel ters arasındaki karışıklığı önlediğinden, trigonometrik fonksiyonların genellikle kuvvetlere yükseltildiği yüksek matematikte arcsin, arccos, vb. gösterimi standarttır. ⓘ

Sinüs, kosinüs ve tanjant kuralları

Kenarları a, b ve c uzunluğunda ve açıları sırasıyla α, β ve γ olan bir üçgen. ⓘ

Sinüs yasası veya sinüs kuralı, bir kenarın uzunluğunun karşılık gelen karşıt açının sinüsüne oranının sabit olduğunu belirtir, yani

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$ ⓘ

Bu oran, verilen üçgenin çevrelediği dairenin çapına eşittir. Bu teoremin bir başka yorumu da α, β ve γ açılarına sahip her üçgenin, kenar uzunlukları sin α, sin β ve sin γ'ya eşit olan bir üçgene benzediğidir. Bu üçgen, önce 1 çapında bir çember inşa edilerek ve üçgenin açılarından ikisi içine yerleştirilerek oluşturulabilir. Bu üçgenin kenarlarının uzunluğu sin α, sin β ve sin γ olacaktır. Uzunluğu sin α olan kenar, ölçüsü α olan açının karşısındadır, vb. ⓘ

Kosinüs yasası veya kosinüs kuralı, bir üçgenin bilinmeyen bir kenarının uzunluğunu diğer kenarların uzunluğuna ve bilinmeyen kenarın karşısındaki açıya bağlar. Yasaya göre: Kenar uzunlukları a, b, c ve açıları sırasıyla α, β, γ olan bir üçgen için, a ve b üçgeninin bilinen iki uzunluğu ve bilinen iki kenar arasındaki açı γ (veya bilinmeyen c kenarının karşısındaki açı) verildiğinde, üçüncü c kenarını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir:

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$ ⓘ

Herhangi bir üçgenin üç kenarının uzunlukları biliniyorsa, üç açı hesaplanabilir:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$ ⓘ

Teğetler yasası veya teğet kuralı, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar bilindiğinde bir kenarı veya bir açıyı bulmak için kullanılabilir. Bu kural şunu ifade eder:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$ ⓘ

Üçgenlerin çözümü

"Üçgenlerin çözümü" ana trigonometrik problemdir: bu özelliklerden en az üçü verildiğinde bir üçgenin eksik özelliklerini (üç açı, üç kenarın uzunlukları vb.) bulmak. Üçgen bir düzlemde veya bir küre üzerinde bulunabilir. Bu problem genellikle jeodezi, astronomi, inşaat, navigasyon vb. gibi çeşitli trigonometrik uygulamalarda ortaya çıkar. ⓘ

Bir üçgenin alanını hesaplama

Bir üçgenin alanı, örneğin üçgenlerin eşliği yoluyla, aynı taban uzunluğu ve yüksekliğe sahip bir paralelkenarın alanının yarısı olarak gösterilebilir. ⓘ

Formülün grafiksel bir türevi $T={\frac {h}{2}}b$ Bu, üçgenin alanını iki katına çıkarıp sonra yarıya indirmek gibi olağan bir prosedürü ortadan kaldırır. ⓘ

Bir üçgenin T alanını hesaplamak, birçok farklı durumda sıklıkla karşılaşılan temel bir problemdir. En iyi bilinen ve en basit formül şudur:

$T={\frac {1}{2}}bh,$

Burada b üçgenin tabanının uzunluğu, h ise üçgenin yüksekliği ya da rakımıdır. "Taban" terimi herhangi bir kenarı, "yükseklik" ise tabanın karşısındaki tepe noktasından tabanı içeren doğruya çizilen dikmenin uzunluğunu ifade eder. MS 499'da Aryabhata, Aryabhatiya'da (bölüm 2.6) bu resimli yöntemi kullanmıştır. ⓘ

Her ne kadar basit olsa da, bu formül yalnızca yükseklik kolayca bulunabiliyorsa kullanışlıdır, ki bu her zaman geçerli değildir. Örneğin, üçgen bir tarlanın ölçümünü yapan kişi her bir kenarın uzunluğunu ölçmeyi nispeten kolay, ancak bir 'yükseklik' oluşturmayı nispeten zor bulabilir. Üçgen hakkında bilinenlere bağlı olarak uygulamada çeşitli yöntemler kullanılabilir. Aşağıda bir üçgenin alanı için sık kullanılan formüllerden bir seçki verilmiştir. ⓘ

Alan hesaplaması ⓘ

Trigonometri kullanarak

h yüksekliğini bulmak için trigonometri uygulamak. ⓘ

Bir üçgenin yüksekliği trigonometri uygulanarak bulunabilir. ⓘ

SAS'ı bilmek: Sağdaki resimdeki etiketleri kullanarak yükseklik h = a sin $\gamma$. Bunu formülde yerine koyarsak $T={\frac {1}{2}}bh$ Yukarıda türetilen üçgenin alanı şu şekilde ifade edilebilir:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta$ ⓘ

(burada α A'daki iç açı, β B'deki iç açıdır, $\gamma$ C'deki iç açıdır ve c AB doğrusudur). ⓘ

Ayrıca, sin α = sin (π - α) = sin (β + $\gamma$) ve benzer şekilde diğer iki açı için:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$ ⓘ

AAS'yi bilmek:

$T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},$ ⓘ

ve benzer şekilde bilinen taraf a veya c ise. ⓘ

ASA'yı bilmek:

$T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},$ ⓘ

ve bilinen taraf b veya c ise benzer şekilde. ⓘ

Heron'un formülünü kullanarak

Üçgenin şekli kenarların uzunluklarına göre belirlenir. Bu nedenle, alan da kenarların uzunluklarından türetilebilir. Heron'un formülüne göre:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ⓘ

burada $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ yarıçap ya da üçgenin çevresinin yarısıdır. ⓘ

Heron'un formülünü yazmanın diğer üç eşdeğer yolu şunlardır

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$ ⓘ

Vektörleri kullanma

Üç boyutlu Öklid uzayına gömülü bir paralelkenarın alanı vektörler kullanılarak hesaplanabilir. AB ve AC vektörleri sırasıyla A'dan B'ye ve A'dan C'ye işaret etsin. ABDC paralelkenarının alanı

$|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,$ ⓘ

AB ve AC vektörlerinin çapraz çarpımının büyüklüğüdür. ABC üçgeninin alanı bunun yarısıdır,

${\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.$ ⓘ

ABC üçgeninin alanı nokta çarpımları cinsinden aşağıdaki gibi de ifade edilebilir:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,$ ⓘ

İki boyutlu Öklid uzayında, AB vektörünü Kartezyen uzayda (x₁,y₁) ve AC'yi (x₂,y₂)'ye eşit bir serbest vektör olarak ifade edersek, bu şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,$ ⓘ

Koordinatları kullanarak

A köşesi Kartezyen koordinat sisteminin orijininde (0, 0) bulunuyorsa ve diğer iki köşenin koordinatları B = (x_B, y_B) ve C = (xC, yC) ile veriliyorsa, alan determinantın mutlak değerinin 1⁄2 katı olarak hesaplanabilir

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$ ⓘ

Üç genel köşe için denklem:

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},$ ⓘ

olarak yazılabilir

$T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.$ ⓘ

Noktalar saat yönünün tersine doğru sıralı olarak etiketlenirse, yukarıdaki determinant ifadeleri pozitif olur ve mutlak değer işaretleri atlanabilir. Yukarıdaki formül ayakkabı bağı formülü veya araştırmacı formülü olarak bilinir. ⓘ

Karmaşık düzlemde köşeleri konumlandırır ve saat yönünün tersine sırayla a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi ve c = x_C + y_Ci olarak gösterirsek ve karmaşık eşleniklerini ${\bar {a}}$, ${\bar {b}}$ve ${\bar {c}}$formülüne göre

$T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}$ ⓘ

ayakkabı bağı formülüne eşdeğerdir. ⓘ

Üç boyutta, A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) ve C = (x_C, y_C, z_C) genel üçgeninin alanı, üç ana düzlemdeki (yani x = 0, y = 0 ve z = 0) ilgili izdüşümlerin alanlarının Pisagor toplamıdır:

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.$ ⓘ

Çizgi integrallerini kullanma

Üçgen gibi herhangi bir kapalı eğri içindeki alan, eğri üzerindeki bir noktanın keyfi olarak yönlendirilmiş bir L doğrusuna olan cebirsel veya işaretli uzaklığının eğri etrafındaki doğru integrali ile verilir. Yönlendirilmiş olarak L'nin sağındaki noktalar L'den negatif uzaklıkta kabul edilirken, integral için ağırlık yay uzunluğunun kendisi yerine L'ye paralel yay uzunluğu bileşeni olarak alınır. ⓘ

Bu yöntem, rastgele bir çokgenin alanının hesaplanması için çok uygundur. L x ekseni olarak alındığında, ardışık köşeler (xi,yi) ve (x_i+1,y_i+1) arasındaki çizgi integrali, taban çarpı ortalama yükseklik, yani (x_i+1 - xi)(yi + y_i+1)/2 ile verilir. Alanın işareti, geçiş yönünün genel bir göstergesidir; negatif alan saat yönünün tersine geçişi gösterir. Bir üçgenin alanı, üç kenarlı bir çokgen durumunda olduğu gibi düşer. ⓘ

Çizgi integral yöntemi diğer koordinat tabanlı yöntemlerle ortak olarak keyfi bir koordinat sistemi seçimine sahip olsa da, diğerlerinden farklı olarak üçgenin tepe noktasını orijin veya kenarını taban olarak keyfi bir seçim yapmaz. Ayrıca, L tarafından tanımlanan koordinat sistemi seçimi, ağırlık yerel bir mesafe olduğundan (örneğin yukarıdaki x_i+1 - xi), normal üç serbestlik derecesi yerine yalnızca iki serbestlik derecesi taahhüt eder, bu nedenle yöntem L'ye normal bir eksen seçmeyi gerektirmez. ⓘ

Kutupsal koordinatlarda çalışırken çizgi integralini kullanmak için Kartezyen koordinatlara dönüştürmek gerekli değildir, çünkü bir çokgenin ardışık köşeleri (ri,θi) ve (r_i+1,θ_i+1) arasındaki çizgi integrali doğrudan rir_i+1sin(θ_i+1 - θi)/2 ile verilir. Bu, θ'nın tüm değerleri için geçerlidir, ancak |θ| π'den çok daha büyük olduğunda sayısal doğrulukta bir miktar azalma olur. Bu formülasyonda negatif alan, kutupsal ve kartezyen koordinatları karıştırırken akılda tutulması gereken saat yönünde geçişi gösterir. Kartezyen koordinatlarda çizgi entegrasyonu için y ekseni seçiminin (x = 0) önemsiz olması gibi, burada da sıfır yön seçimi (θ = 0) önemsizdir. ⓘ

Heron'un formülüne benzeyen formüller

Üç formül Heron'un formülü ile aynı yapıya sahiptir ancak farklı değişkenler cinsinden ifade edilirler. İlk olarak, a, b ve c kenarlarındaki medyanlar sırasıyla ma, mb ve m_c ve bunların yarı toplamı (ma + mb + m_c)/2 σ olarak gösterilirse

$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$ ⓘ

Daha sonra, a, b ve c kenarlarından yükseklikleri sırasıyla ha, h_b ve hc olarak gösterirsek ve yüksekliklerin karşılıklı toplamlarının yarı toplamını $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ biz varız

$T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$ ⓘ

Ve açıların sinüslerinin yarı toplamını S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 olarak ifade edersek

$T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$ ⓘ

Burada D çevre dairenin çapıdır: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$ ⓘ

Pick teoremini kullanarak

Herhangi bir rastgele kafes çokgenin (dikey ve yatay olarak bitişik kafes noktaları eşit mesafelerde olan ve köşeleri kafes noktaları üzerinde bulunan bir ızgara üzerine çizilen) alanını bulma tekniği için Pick teoremine bakınız. ⓘ

Teorem şöyle der:

$T=I+{\frac {1}{2}}B-1$ ⓘ

nerede $I$ iç kafes noktalarının sayısı ve B çokgenin sınırında yer alan kafes noktalarının sayısıdır. ⓘ

Diğer alan formülleri

Çok sayıda başka alan formülü de mevcuttur, örneğin

$T=r\cdot s,$ ⓘ

Burada r iç yarıçap ve s yarıçap ölçüsüdür (aslında bu formül tüm teğetsel çokgenler için geçerlidir) ve ⓘ

$T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)$ ⓘ

burada $r_{a},\,r_{b},\,r_{c}$ sırasıyla a, b, c kenarlarına teğet olan dış dairelerin yarıçaplarıdır. ⓘ

Ayrıca şunlara da sahibiz ⓘ

$T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )$ ⓘ

ve

$T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$ ⓘ

D çevre çapı için; ve

$T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$ ⓘ

α ≠ 90° açısı için. ⓘ

Alan şu şekilde de ifade edilebilir

$T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$ ⓘ

Baker, 1885 yılında üçgen için yüzden fazla farklı alan formülünden oluşan bir koleksiyon sunmuştur. Bunlar şunları içerir:

$T={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3},$

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},$

$T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},$

$T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}$ ⓘ

circumradius (çevre dairenin yarıçapı) R için ve

$T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.$ ⓘ

Alan üzerinde üst sınır

Çevresi p olan herhangi bir üçgenin T alanı aşağıdakileri sağlar ⓘ

$T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},$ ⓘ

Eşitlik sadece ve sadece üçgenin eşkenar olması durumunda geçerlidir. ⓘ

T alanı üzerindeki diğer üst sınırlar şu şekilde verilir ⓘ

$4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ⓘ

ve ⓘ

$4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},$ ⓘ

Her ikisi de yine sadece ve sadece üçgen eşkenar ise geçerlidir. ⓘ

Alanı ikiye bölmek

Bir üçgenin alanını ikiye bölen sonsuz sayıda doğru vardır. Bunlardan üçü, merkezden geçen tek alan açıortayları olan medyanlardır. Diğer üç alan açıortayı üçgenin kenarlarına paraleldir. ⓘ

Bir üçgenin içinden geçen ve üçgenin hem alanını hem de çevresini ikiye bölen herhangi bir doğru üçgenin merkezinden geçer. Herhangi bir üçgen için bunlardan bir, iki veya üç tane olabilir. ⓘ

Genel Öklid üçgenleri için diğer formüller

Bu bölümdeki formüller tüm Öklid üçgenleri için geçerlidir. ⓘ

Ortalamalar, açıortaylar, dik kenarortaylar ve yükseklikler

Ortalamalar ve kenarlar şu şekilde ilişkilidir

${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$ ⓘ

ve

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}$, ⓘ

ve eşdeğer olarak m_b ve m_c için. ⓘ

a kenarının karşısındaki A açısı için, iç açıortayın uzunluğu şu şekilde verilir

$w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},$ ⓘ

için, açıortay uzunluğu tepe noktasından karşı tarafla birleştiği yere kadar ölçülür. ⓘ

İç dik açıortaylar şu şekilde verilir ⓘ

$p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$ ⓘ

kenarların olduğu yerde $a\geq b\geq c$ ve alan $T.$ ⓘ

Örneğin, a uzunluğundaki kenardan yükseklik ⓘ

$h_{a}={\frac {2T}{a}}.$ ⓘ

Circumradius ve inradius

Aşağıdaki formüller R çevre yarıçapını ve r iç yarıçapını içerir:

$R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};$

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$ ⓘ

Burada ha vb. alt simge ile gösterilen kenarların yükseklikleridir;

${\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$ ⓘ

ve

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$. ⓘ

Bir üçgenin iki kenarının çarpımı, üçüncü kenara olan yükseklik ile çemberin çapının D çarpımına eşittir:

$ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.$ ⓘ

Bitişik üçgenler

İki komşu ancak üst üste binmeyen üçgenin aynı f uzunluğundaki kenarı paylaştığını ve aynı çevre çemberi paylaştığını varsayalım, böylece f uzunluğundaki kenar çevre çemberinin bir akoru olur ve üçgenlerin kenar uzunlukları (a, b, f) ve (c, d, f) olur, iki üçgen birlikte kenar uzunlukları sırayla (a, b, c, d) olan döngüsel bir dörtgen oluşturur. O halde

$f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,$ ⓘ

Centroid

G, köşeleri A, B ve C olan bir üçgenin merkez noktası olsun ve P herhangi bir iç nokta olsun. O zaman noktalar arasındaki uzaklıklar şu şekilde ilişkilidir

$(PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,$ ⓘ

Üçgenin kenarlarının karelerinin toplamı, merkezin köşelere olan karesel uzaklıklarının toplamının üç katına eşittir:

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$ ⓘ

qa, qb ve qc merkezden a, b ve c uzunluklarındaki kenarlara olan uzaklıklar olsun.

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$ ⓘ

ve

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$ ⓘ

T alanı için. ⓘ

Çevremerkez, içmerkez ve ortamerkez

Carnot teoremi, çevre merkezinden üç kenara olan uzaklıkların toplamının çevre yarıçapı ve iç yarıçapın toplamına eşit olduğunu belirtir. Burada bir parçanın uzunluğu, ancak ve ancak parça tamamen üçgenin dışında kalıyorsa negatif olarak kabul edilir. Bu yöntem özellikle, Lie cebirleri tarafından indüklenenler gibi, normal üçgenlerle aynı özelliklere sahip olan daha soyut üçgen biçimlerinin özelliklerini çıkarmak için kullanışlıdır. ⓘ

Euler teoremi, çevre merkez ile iç merkez arasındaki d mesafesinin şu şekilde verildiğini belirtir

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$ ⓘ

ya da eşdeğer olarak

${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$ ⓘ

Burada R çevre yarıçapı ve r iç yarıçaptır. Böylece tüm üçgenler için R ≥ 2r olur ve eşitlik eşkenar üçgenler için geçerlidir. ⓘ

Ortamerkezin bir yüksekliği u ve v uzunluklarındaki parçalara, başka bir yüksekliği w ve x uzunluklarındaki parçalara ve üçüncü yüksekliği y ve z uzunluklarındaki parçalara böldüğünü belirtirsek, o zaman uv = wx = yz olur. ⓘ

Bir kenardan çevre merkeze olan uzaklık, karşı tepe noktasından ortomerkeze olan uzaklığın yarısına eşittir. ⓘ

Köşelerden orto merkeze olan uzaklıkların karelerinin toplamı H artı kenarların karelerinin toplamı çevre yarıçapının karesinin on iki katına eşittir:

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$ ⓘ

Açılar

Sinüsler yasası, kosinüsler yasası, teğetler yasası ve daha önce verilen trigonometrik varlık koşullarına ek olarak, herhangi bir üçgen için ⓘ

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$ ⓘ

Morley'in trisektör teoremi

Morley üçgeni, her bir iç açının üç parçaya bölünmesiyle elde edilir. Bu, sonlu alt bölüm kuralına bir örnektir. ⓘ

Morley'in trisektör teoremi, herhangi bir üçgende, bitişik açı trisektörlerinin üç kesişme noktasının Morley üçgeni adı verilen bir eşkenar üçgen oluşturduğunu belirtir. ⓘ

Bir üçgenin içine yerleştirilmiş şekiller

Konikler

Yukarıda tartışıldığı gibi, her üçgenin, üçgenin içinde yer alan ve üç kenara da teğet olan benzersiz bir iç çemberi (incircle) vardır. ⓘ

Her üçgenin, üçgenin içinde yer alan ve kenarların orta noktalarına teğet olan benzersiz bir Steiner inelipsi vardır. Marden teoremi bu elipsin odaklarının nasıl bulunacağını gösterir. Bu elips, üçgenin üç kenarına da teğet olan elipsler arasında en büyük alana sahiptir. ⓘ

Bir üçgenin Mandart elipsi, üçgenin kenarlarına dış çemberlerinin temas noktalarında teğet olan üçgenin içine yazılan elipstir. ⓘ

ABC üçgenine yazılan herhangi bir elips için odaklar P ve Q olsun. ⓘ

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$ ⓘ

Dışbükey çokgen

Alanı T olan her dışbükey çokgen, alanı en fazla 2T'ye eşit olan bir üçgenin içine yerleştirilebilir. Eşitlik (sadece) paralelkenar için geçerlidir. ⓘ

Altıgen

Lemoine altıgeni, köşeleri bir üçgenin kenarlarının, kenarlara paralel olan ve simetri noktasından geçen üç doğru ile altı kesişimi tarafından verilen döngüsel bir altıgendir. Basit formunda ya da kendisiyle kesişen formunda, Lemoine altıgeni, üçgenin her bir kenarında iki köşesi bulunan üçgenin içindedir. ⓘ

Kareler

Her dar üçgenin üç adet iç karesi vardır (iç karelerin dört köşesi de üçgenin bir kenarı üzerinde yer alır, dolayısıyla karelerden ikisi aynı kenar üzerinde yer alır ve dolayısıyla karenin bir kenarı üçgenin bir kenarının bir kısmıyla çakışır). Bir dik üçgende karelerden ikisi çakışır ve üçgenin dik açısında bir tepe noktasına sahiptir, bu nedenle bir dik üçgenin yalnızca iki farklı yazılı karesi vardır. Bir geniş üçgende, bir kenarı üçgenin en uzun kenarının bir kısmıyla çakışan yalnızca bir kare bulunur. Belirli bir üçgen içinde, daha uzun bir ortak kenar daha küçük bir yazılı kare ile ilişkilidir. Eğer bir kare qa uzunluğunda bir kenara sahipse ve üçgenin a uzunluğunda bir kenarı varsa, bu kenarın bir kısmı karenin bir kenarı ile çakışıyorsa, qa, a, a kenarından ha yüksekliği ve üçgenin T alanı aşağıdaki gibi ilişkilidir

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$ ⓘ

İç içe geçmiş karenin alanının üçgenin alanına olası en büyük oranı 1/2'dir; bu oran a² = 2T, q = a/2 ve üçgenin a uzunluğundaki tabandan yüksekliği a'ya eşit olduğunda ortaya çıkar. Aynı dışbükey olmayan üçgende iç içe geçmiş bir karenin kenarının diğerinin kenarına olası en küçük oranı $2{\sqrt {2}}/3=0.94....$ Bu uç durumların her ikisi de ikizkenar dik üçgen için geçerlidir. ⓘ

Üçgenler

Bir referans üçgenindeki bir iç noktadan, üç kenar üzerindeki en yakın noktalar o noktanın pedal üçgeninin köşeleri olarak işlev görür. İç nokta referans üçgenin çevre merkezi ise, pedal üçgenin köşeleri referans üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır ve bu nedenle pedal üçgene orta nokta üçgeni veya medial üçgen denir. Orta nokta üçgeni, referans üçgenini referans üçgenine benzeyen dört eş üçgene böler. ⓘ

Referans üçgenin Gergonne üçgeni ya da iç temas üçgeninin köşeleri, referans üçgenin kenarlarının iç çemberine teğet olduğu üç noktada bulunur. Referans üçgenin dış temas üçgeninin köşeleri, referans üçgenin dış çemberlerinin kenarlarıyla (uzatılmamış) teğetlik noktalarındadır. ⓘ

Bir üçgenin etrafını çevreleyen şekiller

Bir referans üçgenin (dik üçgen dışında) teğet üçgeni, kenarları köşelerinde referans üçgenin çevre dairesine teğet çizgiler üzerinde olan üçgendir. ⓘ

Yukarıda belirtildiği gibi, her üçgenin benzersiz bir çevre dairesi vardır; bu daire üç köşeden de geçer ve merkezi üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği yerdir. ⓘ

Ayrıca, her üçgenin, üçgenin köşelerinden geçen ve merkezi üçgenin merkezinde olan benzersiz bir Steiner çevresel elipsi vardır. Üçgenin köşelerinden geçen tüm elipsler arasında en küçük alana sahip olanıdır. ⓘ

Kiepert hiperbolü, üçgenin üç köşesinden, merkezinden ve çevre merkezinden geçen tek koniktir. ⓘ

Verilen bir dışbükey çokgende bulunan tüm üçgenler arasında, köşeleri verilen çokgenin tüm köşeleri olan maksimum alana sahip bir üçgen vardır. ⓘ

Bir üçgen içindeki bir noktanın konumunu belirtme

Bir üçgenin içindeki (veya dışındaki) noktaların konumlarını belirlemenin bir yolu, üçgeni Kartezyen düzlemde keyfi bir konuma ve yönelime yerleştirmek ve Kartezyen koordinatları kullanmaktır. Birçok amaç için uygun olsa da, bu yaklaşım tüm noktaların koordinat değerlerinin düzlemdeki keyfi yerleşime bağlı olması gibi bir dezavantaja sahiptir. ⓘ

İki sistem bu özellikten kaçınır, böylece bir noktanın koordinatları üçgenin hareket ettirilmesinden, döndürülmesinden veya bir aynada olduğu gibi yansıtılmasından etkilenmez, bunlardan herhangi biri eş bir üçgen verir veya hatta benzer bir üçgen vermek için yeniden ölçeklendirilir:

• Üç doğrusal koordinatlar bir noktanın kenarlara olan göreceli uzaklıklarını belirtir, böylece koordinatlar $x:y:z$ noktanın birinci kenara olan uzaklığının ikinci kenara olan uzaklığına oranının $x:y$ vb.
• Formun barisantrik koordinatları $\alpha :\beta :\gamma$ Verilen nokta üzerinde ağırlıksız üçgeni dengelemek için üç köşeye konması gereken göreli ağırlıklara göre noktanın konumunu belirleyin. ⓘ

Düzlemsel olmayan üçgenler

Düzlemsel olmayan bir üçgen, (düz) bir düzlemde yer almayan bir üçgendir. Öklid dışı geometrilerdeki düzlemsel olmayan üçgenlere örnek olarak küresel geometrideki küresel üçgenler ve hiperbolik geometrideki hiperbolik üçgenler verilebilir. ⓘ

Düzlemsel üçgenlerde iç açıların ölçüleri her zaman 180°'ye eşitken, hiperbolik bir üçgende açıların ölçüleri 180°'den azdır ve küresel bir üçgende açıların ölçüleri 180°'den fazladır. Hiperbolik üçgen, eyer yüzeyi gibi negatif eğimli bir yüzey üzerine çizilerek elde edilebilir ve küresel üçgen de küre gibi pozitif eğimli bir yüzey üzerine çizilerek elde edilebilir. Dolayısıyla, Dünya'nın yüzeyine dev bir üçgen çizilirse, açılarının ölçülerinin toplamının 180°'den büyük olduğu görülecektir; aslında 180° ile 540° arasında olacaktır. Özellikle bir küre üzerinde, iç açılarının her birinin ölçüsü 90°'ye eşit olacak ve toplam 270°'ye ulaşacak şekilde bir üçgen çizmek mümkündür. ⓘ

Spesifik olarak, bir küre üzerinde bir üçgenin açılarının toplamı

180° × (1 + 4f), ⓘ

Burada f, kürenin alanının üçgen tarafından çevrelenen kısmıdır. Örneğin, Dünya yüzeyinde köşeleri Kuzey Kutbu'nda, ekvator üzerinde 0° boylamında bir noktada ve ekvator üzerinde 90° Batı boylamında bir noktada bulunan bir üçgen çizdiğimizi varsayalım. Son iki nokta arasındaki büyük daire çizgisi ekvator, bu noktalardan herhangi biri ile Kuzey Kutbu arasındaki büyük daire çizgisi ise bir boylam çizgisidir; dolayısıyla ekvator üzerindeki iki noktada dik açılar vardır. Dahası, Kuzey Kutbu'ndaki açı da 90°'dir çünkü diğer iki köşe 90°'lik boylam farkı gösterir. Dolayısıyla bu üçgendeki açıların toplamı 90° + 90° + 90° = 270°'dir. Üçgen kuzey yarımkürenin 1/4'ünü (Kuzey Kutbundan bakıldığında 90°/360°) ve dolayısıyla Dünya yüzeyinin 1/8'ini kapsar, bu nedenle formülde f = 1/8; dolayısıyla formül üçgenin açılarının toplamını doğru bir şekilde 270° olarak verir. ⓘ

Yukarıdaki açı toplamı formülünden Dünya'nın yüzeyinin yerel olarak düz olduğunu da görebiliriz: Dünya yüzeyindeki bir noktanın komşuluğunda keyfi olarak küçük bir üçgen çizersek, üçgen tarafından çevrelenen Dünya yüzeyinin f kesri keyfi olarak sıfıra yakın olacaktır. Bu durumda açı toplamı formülü 180°'ye basitleşir ki Öklid geometrisinin düz bir yüzey üzerindeki üçgenler için bize söylediği şeyin bu olduğunu biliyoruz. ⓘ

İnşaatta üçgenler

New York'taki Flatiron Binası üçgen prizma şeklindedir ⓘ

Dikdörtgenler, istiflenmesi ve düzenlenmesi kolay olduğu için binalar için en popüler ve yaygın geometrik form olmuştur; standart olarak, mobilya ve demirbaşları dikdörtgen şekilli binaların içine sığacak şekilde tasarlamak kolaydır. Ancak üçgenler, kavramsal olarak kullanımı daha zor olsa da, büyük ölçüde güç sağlar. Bilgisayar teknolojisi mimarların yaratıcı yeni binalar tasarlamasına yardımcı oldukça, üçgen şekiller binaların parçaları olarak ve bazı gökdelen türlerinin yanı sıra yapı malzemelerinin ana şekli olarak giderek yaygınlaşıyor. 1989'da Tokyo'da mimarlar, bu yoğun şehre uygun fiyatlı ofis alanı sağlamak için 500 katlı bir kule inşa etmenin mümkün olup olmadığını merak etmişlerdi, ancak depremlerin binalara verdiği tehlike nedeniyle mimarlar böyle bir bina inşa edilecekse üçgen bir şeklin gerekli olacağını düşündüler. ⓘ

New York'ta Broadway ana caddeleri keserken ortaya çıkan bloklar üçgen şeklinde kesilir ve binalar bu şekiller üzerine inşa edilmiştir; bu binalardan biri, emlakçıların "modern ofis mobilyalarını kolayca barındırmayan garip alanlardan oluşan bir warren" olduğunu kabul ettiği üçgen şekilli Flatiron Binası'dır, ancak bu durum yapının bir simge haline gelmesini engellememiştir. Tasarımcılar Norveç'te üçgen temalı evler yapmışlardır. Üçgen şekiller, kiliselerin yanı sıra üniversiteler de dahil olmak üzere kamu binalarında ve yenilikçi ev tasarımları için destek olarak ortaya çıkmıştır. ⓘ

Üçgenler sağlamdır; bir dikdörtgen, noktalarından birine gelen baskı nedeniyle paralelkenara dönüşebilirken, üçgenler yapıları yanal baskılara karşı destekleyen doğal bir güce sahiptir. Bir üçgen, kenarları bükülmedikçe, uzatılmadıkça veya kırılmadıkça ya da eklemleri kırılmadıkça şekil değiştirmez; özünde, üç kenarın her biri diğer ikisini destekler. Buna karşılık bir dikdörtgen, yapısal anlamda daha çok birleşme yerlerinin sağlamlığına bağlıdır. Bazı yenilikçi tasarımcılar tuğlaları dikdörtgenlerden değil, üç boyutlu olarak birleştirilebilen üçgen şekillerden yapmayı önermişlerdir. Mimari karmaşıklık arttıkça üçgenlerin yeni şekillerde giderek daha fazla kullanılması muhtemeldir. Üçgenlerin sertlik açısından güçlü olduklarını, ancak mozaikleme düzeninde paketlendiklerinde sıkıştırma altında altıgenler kadar güçlü olmadıklarını hatırlamak önemlidir (bu nedenle doğada altıgen formların yaygınlığı). Bununla birlikte, mozaiklenmiş üçgenler konsol için hala üstün güç sağlar ve bu, insan yapımı en güçlü yapılardan biri olan dört yüzlü kafesin temelidir. ⓘ

Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır. ⓘ

Kenarlarına göre üçgenler

Eşkenar üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır. ⓘ

Çeşitkenar üçgen

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur. ⓘ

Açılarına Göre Üçgenler

Geniş açılı üçgen

Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir. ⓘ

Üçgen bağıntıları

Alan hesaplamaları

Açıdan yararlanma

Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
$A(ABC)={\frac {a.b.sin\gamma }{2}}$ ⓘ

Üçgende yardımcı elemanlar

Kenarortay

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi ⓘ

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir. ⓘ

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı $2n$ ve $n$ olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
$|AG|=2|GD|\!\,$ olur. ⓘ

Üçgenlerle ilgili teoremler

Ceva Teoremi

Ceva Teoremi 'nin uygulandığı üçgen ⓘ

Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir: ${\frac {|CE|}{|EA|}}.{\frac {|AF|}{|FB|}}.{\frac {|BD|}{|DC|}}=1$ ⓘ

Menelaus Teoremi

Menelaus Teoremi ⓘ

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması: ${\frac {|FB|}{|FA|}}.{\frac {|AE|}{|EC|}}.{\frac {|CD|}{|DB|}}=1$ ⓘ

Steward Teoremi

Steward Teoremi ⓘ

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir: $|AD|^{2}={\frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n$ ⓘ

Carnot Teoremi

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın. Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda: $a^{2}+x^{2}+m^{2}=b^{2}+y^{2}+n^{2}\!\,$ ⓘ