Dörtgen

Dörtgen, herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı sırayla birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekle denir. Dört kenarı ve dört köşesi olan çokgendir. Dörtgenler, konveks (dışbükey) ve konkav (içbükey) olabilirler. Dörtgen denilince akla konveks dörtgenler gelmelidir. ⓘ

Bazı özel isimli dörtgenleri gösteren bir Euler diagramı. ⓘ

Dörtgenin temel elemanları açı, köşe ve kenarlardır. ⓘ

Bütün dörtgenlerin iç açıları ölçüleri ve dış açılar toplamı 360° dir. Bütün dörtgenler iki adet köşegene sahiptir. ⓘ

Özel Dörtgenler genellikle:

• Kare
• Paralelkenar
• Dikdörtgen
• Yamuk
• Deltoid
• Eşkenar dörtgen olarak sınıflandırılır. ⓘ

Eş açı, kenar ve köşegenlere sahip olan kare. ⓘ

Dörtgen ⓘ
Bazı dörtgen türleri
Kenarlar ve köşeler	4
Schläfli sembolü	{4} (kare için)
Alan	çeşitli yöntemler; aşağıya bakınız
İç açı (derece)	90° (kare ve dikdörtgen için)

Dörtgenler ya basit (kendisiyle kesişmeyen) ya da karmaşıktır (kendisiyle kesişen veya çapraz). Basit dörtgenler ya dışbükey ya da içbükeydir. ⓘ

Basit (ve düzlemsel) bir ABCD dörtgeninin iç açılarının toplamı 360 derecedir, yani

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$ ⓘ

Bu, n-gon iç açı toplamı formülünün özel bir durumudur: S = (n - 2) × 180°. ⓘ

Kendinden geçişli olmayan tüm dörtgenler, kenarlarının orta noktaları etrafında tekrarlanan döndürmelerle düzlemi döşer. ⓘ

Basit dörtgenler

Kendisiyle kesişmeyen herhangi bir dörtgen basit bir dörtgendir. ⓘ

Dışbükey dörtgen

Bazı basit dörtgen türlerinin Euler diyagramı. (UK) İngiliz İngilizcesini ve (US) Amerikan İngilizcesini göstermektedir. ⓘ

Simetri ile dışbükey dörtgenler, bir Hasse diyagramı ile temsil edilir. ⓘ

Dışbükey bir dörtgende tüm iç açılar 180°'den küçüktür ve iki köşegen de dörtgenin içinde yer alır.

• Düzensiz dörtgen (İngiliz İngilizcesi) veya trapezium (Kuzey Amerika İngilizcesi): hiçbir kenar paralel değildir. (İngiliz İngilizcesinde buna bir zamanlar trapezoid denirdi. Daha fazlası için Yamuk § Yamuk vs Trapezoid bölümüne bakınız)
• Trapezium (Birleşik Krallık) veya trapezoid (ABD): en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir. Trapez (Birleşik Krallık) ve trapezoidler (ABD) paralelkenarları içerir.
• İkizkenar yamuk (Birleşik Krallık) veya ikizkenar yamuk (ABD): bir çift karşılıklı kenar paraleldir ve taban açılarının ölçüleri eşittir. Alternatif tanımlar, simetri ekseni bir çift karşıt kenarı ikiye bölen bir dörtgen veya köşegenleri eşit uzunlukta olan bir yamuktur.
• Paralelkenar: iki çift paralel kenarı olan bir dörtgendir. Eşdeğer koşullar, karşılıklı kenarların eşit uzunlukta olması; karşılıklı açıların eşit olması veya köşegenlerin birbirini kesmesidir. Paralelkenarlara eşkenar dörtgenler (kare olarak adlandırılan dikdörtgenler dahil) ve eşkenar dörtgenler (dikdörtgen olarak adlandırılan dikdörtgenler dahil) dahildir. Başka bir deyişle, paralelkenarlar tüm eşkenar dörtgenleri ve tüm eşkenar dörtgenleri içerir ve dolayısıyla tüm dikdörtgenleri de içerir.
• Eşkenar dörtgen, eşkenar dörtgen: dört kenar da eşit uzunluktadır (eşkenar). Eşdeğer bir koşul da köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesidir. Gayri resmi olarak: "itilmiş bir kare" (ancak kesinlikle bir kareyi de içerir).
• Eşkenar dörtgen: bitişik kenarların eşit uzunlukta olmadığı ve bazı açıların eğik olduğu (eşdeğer, dik açıları olmayan) bir paralelkenar. Gayri resmi olarak: "itilmiş bir dikdörtgen". Tüm referanslar aynı fikirde değildir, bazıları eşkenar dörtgeni eşkenar dörtgen olmayan bir paralelkenar olarak tanımlar.
• Dikdörtgen: dört açının tamamı dik açıdır (eşkenar dörtgen). Eşdeğer bir koşul da köşegenlerin birbirini ikiye bölmesi ve uzunluklarının eşit olmasıdır. Dikdörtgenler kareleri ve dikdörtgenleri içerir. Gayri resmi olarak: "bir kutu veya dikdörtgen" (kare dahil).
• Kare (düzgün dörtgen): dört kenarın tümü eşit uzunluktadır (eşkenar) ve dört açının tümü dik açıdır. Eşdeğer bir koşul, karşılıklı kenarların paralel olması (kare bir paralelkenardır) ve köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi ve eşit uzunlukta olmasıdır. Bir dörtgen ancak ve ancak hem eşkenar dörtgen hem de dikdörtgen (yani dört eşit kenar ve dört eşit açı) ise karedir.
• Dikdörtgen: genişlikten daha uzun veya uzunluktan daha geniş (yani kare olmayan bir dikdörtgen).
• Uçurtma: iki bitişik kenar çifti eşit uzunluktadır. Bu, bir köşegenin uçurtmayı eş üçgenlere böldüğü ve bu nedenle iki eşit kenar çifti arasındaki açıların eşit ölçülerde olduğu anlamına gelir. Bu aynı zamanda köşegenlerin dik olduğu anlamına da gelir. Uçurtmalar eşkenar dörtgenleri içerir. ⓘ

• Teğetsel dörtgen: Dört kenar, iç içe geçmiş bir daireye teğettir. Dışbükey bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt kenarların toplamları eşitse teğettir.
• Teğetsel yamuk: dört kenarı iç içe geçmiş bir daireye teğet olan yamuk.
• Döngüsel dörtgen: dört köşesi bir çember üzerinde yer alır. Dışbükey bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamı 180° ise döngüseldir.
• Dik uçurtma: Karşılıklı iki dik açısı olan bir uçurtma. Bir tür döngüsel dörtgendir.
• Harmonik dörtgen: Karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımları eşittir. Bir tür döngüsel dörtgendir.
• İki merkezli dörtgen: hem teğetsel hem de döngüseldir.
• Ortodiyagonal dörtgen: köşegenler dik açılarla kesişir.
• Eşkenar dörtgen: köşegenler eşit uzunluktadır.
• Teğetsel dörtgen: kenarların dört uzantısı bir dış daireye teğettir.
• Eşkenar dörtgen, uzatıldığında 60°'de buluşan iki zıt eşit kenara sahiptir.
• Watt dörtgeni, eşit uzunlukta bir çift karşılıklı kenarı olan bir dörtgendir.
• Kuadrik dörtgen, dört köşesi de bir karenin çevresi üzerinde yer alan dışbükey bir dörtgendir.
• Çapsal dörtgen, kenarlarından biri çemberin çapı olan döngüsel bir dörtgendir.
• Hjelmslev dörtgeni, karşılıklı köşelerinde iki dik açı bulunan bir dörtgendir. ⓘ

İçbükey dörtgenler

İçbükey bir dörtgende iç açılardan biri 180°'den büyüktür ve iki köşegenden biri dörtgenin dışında yer alır.

• Bir dart (veya ok ucu), uçurtma gibi iki taraflı simetriye sahip, ancak bir iç açının refleks olduğu içbükey bir dörtgendir. Bkz Uçurtma. ⓘ

Karmaşık dörtgenler

Bir antiparalelkenar ⓘ

Kendini kesen bir dörtgen çeşitli şekillerde çapraz dörtgen, çapraz dörtgen, kelebek dörtgen veya papyon dörtgen olarak adlandırılır. Çapraz dörtgende, kesişmenin her iki tarafındaki dört "iç" açının (iki dar ve iki refleks, şekil izlendiğinde hepsi solda veya hepsi sağda) toplamı 720°'dir. ⓘ

• Çapraz yamuk (ABD) veya yamuk (Commonwealth): bir çift bitişik olmayan kenarın paralel olduğu (yamuk gibi) çapraz bir dörtgen
• Antiparalelkenar: bitişik olmayan kenarların her bir çiftinin eşit uzunlukta olduğu çapraz dörtgen (paralelkenar gibi)
• Çapraz dikdörtgen: kenarları bir dikdörtgenin iki karşıt kenarı ve iki köşegeni olan, dolayısıyla bir çift paralel karşıt kenara sahip bir antiparalelkenar
• Çapraz kare: iki kenarın dik açılarla kesiştiği çapraz dikdörtgenin özel bir durumu ⓘ

Özel hat segmentleri

Dışbükey bir dörtgenin iki köşegeni, karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarıdır. ⓘ

Dışbükey bir dörtgenin iki bimedyanı, karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarıdır. Bunlar dörtgenin "tepe merkez noktasında" kesişirler (bkz. aşağıda § Dışbükey bir dörtgende dikkat çekici noktalar ve doğrular). ⓘ

Dışbükey bir dörtgenin dört maltitüdü, bir kenarın karşı kenarın orta noktasından geçen dikmeleridir. ⓘ

Dışbükey bir dörtgenin alanı

Kenarları a = AB, b = BC, c = CD ve d = DA olan dışbükey bir ABCD dörtgeninin K alanı için çeşitli genel formüller vardır. ⓘ

Trigonometrik formüller

Alan trigonometrik terimlerle şu şekilde ifade edilebilir

$K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,$ ⓘ

Burada köşegenlerin uzunlukları p ve q ve aralarındaki açı θ'dır. Ortodiyagonal bir dörtgen durumunda (örneğin eşkenar dörtgen, kare ve uçurtma), bu formül aşağıdakine indirgenir $K={\tfrac {pq}{2}}$ θ 90° olduğu için. ⓘ

Alan, bimedyanlar cinsinden şu şekilde de ifade edilebilir

$K=mn\sin \varphi ,$

Burada bimedyanların uzunlukları m ve n ve aralarındaki açı φ'dir. ⓘ

Bretschneider'in formülü alanı kenarlar ve iki karşıt açı cinsinden ifade eder:

${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\frac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}$ ⓘ

Burada kenarlar sırayla a, b, c, d, s yarıçap ve A ve C iki (aslında herhangi iki) zıt açıdır. Bu, Brahmagupta'nın döngüsel bir dörtgenin alanı için formülüne indirgenir - A + C = 180° olduğunda. ⓘ

C açısı b ve c kenarları arasında ve A açısı a ve d kenarları arasında olmak üzere, kenarlar ve açılar cinsinden bir başka alan formülü de şöyledir

$K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.$ ⓘ

Döngüsel bir dörtgen söz konusu olduğunda, ikinci formül şu hale gelir $K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.$ ⓘ

Karşılıklı kenar ve açı çiftlerinin her ikisinin de eşit olduğu bir paralelkenarda, bu formül aşağıdakine indirgenir $K=ab\cdot \sin {A}.$ ⓘ

Alternatif olarak, θ 90° olmadığı sürece, alanı kenarlar ve köşegenlerin kesişme açısı θ cinsinden yazabiliriz:

$K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.$ ⓘ

Bir paralelkenar söz konusu olduğunda, ikinci formül şöyle olur $K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.$ ⓘ

a, b, c, d kenarlarını içeren bir başka alan formülü ise

$K={\frac {\sqrt {((a^{2}+c^{2})-2x^{2})((b^{2}+d^{2})-2x^{2})}}{2}}\sin {\varphi }$

Burada x köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe ve φ iki kenar arasındaki açıdır. ⓘ

a, b, c, d kenarlarını ve α açısını (a ve b arasında) içeren son trigonometrik alan formülüdür:

$K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},$

ilk + işaretini - olarak değiştirerek içbükey bir dörtgenin (içbükey kısmı α açısının karşısında olan) alanı için de kullanılabilir. ⓘ

Trigonometrik olmayan formüller

Aşağıdaki iki formül alanı a, b, c ve d kenarları, s yarıçapı ve p, q köşegenleri cinsinden ifade eder:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},$ ⓘ

$K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.$ ⓘ

İlki, döngüsel dörtgen durumunda Brahmagupta'nın formülüne indirgenir, çünkü o zaman pq = ac + bd olur. ⓘ

Alan ayrıca m, n bimedyanları ve p, q köşegenleri cinsinden de ifade edilebilir:

$K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},$ ⓘ

$K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.$ ⓘ

Aslında, m, n, p ve q değerlerinden herhangi üçü alanın belirlenmesi için yeterlidir, çünkü herhangi bir dörtgende bu dört değer şu şekilde ilişkilidir $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ Karşılık gelen ifadeler şunlardır:

$K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}{2}},$

iki bimedyan ve bir köşegenin uzunlukları verilmişse ve ⓘ

$K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}{4}},$

Eğer iki köşegen ve bir iki kenarın uzunlukları verilmişse. ⓘ

Vektör formülleri

ABCD dörtgeninin alanı vektörler kullanılarak hesaplanabilir. AC ve BD vektörleri A'dan C'ye ve B'den D'ye köşegenleri oluştursun.

$K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},$ ⓘ

AC ve BD vektörlerinin çapraz çarpımının büyüklüğünün yarısıdır. İki boyutlu Öklid uzayında, AC vektörünü Kartezyen uzayda (x₁,y₁)'e ve BD'yi (x₂,y₂)'ye eşit bir serbest vektör olarak ifade edersek, bu şu şekilde yeniden yazılabilir:

$K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.$ ⓘ

Köşegenler

Dörtgenlerde köşegenlerin özellikleri

Aşağıdaki tabloda, en temel dörtgenlerden bazılarının köşegenlerinin birbirini kesip kesmediği, köşegenlerinin dik olup olmadığı ve köşegenlerinin eşit uzunlukta olup olmadığı listelenmiştir. Liste en genel durumlar için geçerlidir ve adlandırılmış alt kümeleri hariç tutar. ⓘ

Dörtgen	İkiye bölünen köşegenler	Dik köşegenler	Eşit köşegenler ⓘ
Trapezoid	Hayır	Not 1'e bakınız	Hayır
İkizkenar yamuk	Hayır	Not 1'e bakınız	Evet
Paralelkenar	Evet	Hayır	Hayır
Uçurtma	Bkz. not 2	Evet	Bkz. not 2
Dikdörtgen	Evet	Hayır	Evet
Rhombus	Evet	Evet	Hayır
Kare	Evet	Evet	Evet

Not 1: En genel yamuklar ve ikizkenar yamuklar dik köşegenlere sahip değildir, ancak dik köşegenlere sahip olan ve başka herhangi bir adlandırılmış dörtgen olmayan sonsuz sayıda (benzer olmayan) yamuk ve ikizkenar yamuk vardır. ⓘ

Not 2: Bir uçurtmada bir köşegen diğerini ikiye böler. En genel uçurtma eşit olmayan köşegenlere sahiptir, ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olduğu sonsuz sayıda (benzer olmayan) uçurtma vardır (ve uçurtmalar başka herhangi bir adlandırılmış dörtgen değildir). ⓘ

Köşegenlerin uzunlukları

ABCD dışbükey dörtgenindeki köşegenlerin uzunlukları, bir köşegen ve dörtgenin iki kenarı tarafından oluşturulan her üçgende kosinüs yasası kullanılarak hesaplanabilir. Böylece

$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}$ ⓘ

ve

$q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.$ ⓘ

Köşegenlerin uzunlukları için diğer, daha simetrik formüller şunlardır

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}$ ⓘ

ve

$q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.$ ⓘ

Paralelkenar yasası ve Batlamyus teoreminin genelleştirilmesi

Herhangi bir ABCD dışbükey dörtgeninde, dört kenarın karelerinin toplamı, iki köşegenin karelerinin toplamına artı köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının karesinin dört katına eşittir. Böylece

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}$ ⓘ

Burada x, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafedir. Bu bazen Euler'in dörtgen teoremi olarak bilinir ve paralelkenar yasasının bir genellemesidir. ⓘ

Alman matematikçi Carl Anton Bretschneider 1842'de dışbükey bir dörtgende köşegenlerin çarpımına ilişkin olarak Batlamyus'un teoreminin aşağıdaki genellemesini türetmiştir

$p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.$ ⓘ

Bu bağıntı, bir dörtgen için kosinüs yasası olarak düşünülebilir. A + C = 180° olan döngüsel bir dörtgende, pq = ac + bd'ye indirgenir. Cos (A + C) ≥ -1 olduğundan, Batlamyus'un eşitsizliğinin bir kanıtını da verir. ⓘ

Diğer metrik ilişkiler

X ve Y, kenarları a = AB, b = BC, c = CD, d = DA olan dışbükey bir ABCD dörtgeninde B ve D'den AC = p köşegenine olan normallerin ayakları ise

$XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.$ ⓘ

Kenarları a = AB, b = BC, c = CD, d = DA olan ve köşegenleri E'de kesişen dışbükey bir ABCD dörtgeninde,

$efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)$ ⓘ

Burada e = AE, f = BE, g = CE ve h = DE'dir. ⓘ

Dışbükey bir dörtgenin şekli ve boyutu, kenarlarının sırayla uzunlukları ve belirtilen iki köşe arasındaki bir köşegen tarafından tamamen belirlenir. Bir dörtgenin iki köşegeni p, q ve dört kenar uzunluğu a, b, c, d, Cayley-Menger determinantı ile aşağıdaki gibi ilişkilidir:

$\det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.$ ⓘ

Açıortaylar

Dışbükey bir dörtgenin iç açıortayları ya döngüsel bir dörtgen oluşturur (yani, bitişik açıortayların dört kesişme noktası döngüseldir) ya da eşzamanlıdır. İkinci durumda dörtgen teğetsel bir dörtgendir. ⓘ

ABCD dörtgeninde, A ve C açıortayları BD köşegeninde birleşiyorsa, B ve D açıortayları AC köşegeninde birleşir. ⓘ

Bimedyenler

Varignon paralelkenar EFGH ⓘ

Bir dörtgenin bimedyanları, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarıdır. İki kenarın kesiştiği nokta dörtgenin köşelerinin merkezidir. ⓘ

Herhangi bir dörtgenin (dışbükey, içbükey veya çapraz) kenarlarının orta noktaları, Varignon paralelkenarı adı verilen bir paralelkenarın köşeleridir. Aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Varignon paralelkenarının karşılıklı kenarlarının her bir çifti orijinal dörtgendeki bir köşegene paraleldir.
• Varignon paralelkenarının bir kenarı, paralel olduğu orijinal dörtgendeki köşegenin yarısı kadardır.
• Varignon paralelkenarının alanı orijinal dörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu durum dışbükey, içbükey ve çapraz dörtgenler için de geçerlidir, ancak sonuncusunun alanı, oluşturduğu iki üçgenin alanlarının farkı olarak tanımlanır.
• Varignon paralelkenarının çevresi orijinal dörtgenin köşegenlerinin toplamına eşittir.
• Varignon paralelkenarının köşegenleri orijinal dörtgenin bimediyenleridir. ⓘ

Bir dörtgendeki iki bimedyan ve bu dörtgendeki köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası eş zamanlıdır ve kesişme noktaları tarafından ikiye bölünür. ⓘ

Kenarları a, b, c ve d olan dışbükey bir dörtgende, a ve c kenarlarının orta noktalarını birleştiren bimedyanın uzunluğu

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}$ ⓘ

Burada p ve q köşegenlerin uzunluğudur. b ve d kenarlarının orta noktalarını birleştiren bimedyan uzunluğu

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.$ ⓘ

Bu nedenle

$\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ ⓘ

Bu aynı zamanda Varignon paralelkenarında uygulanan paralelkenar yasasının bir sonucudur. ⓘ

İki yüzlülerin uzunlukları, iki karşıt kenar ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki x uzaklığı cinsinden de ifade edilebilir. Bu, yukarıdaki formüllerde Euler'in dörtgen teoremi kullanıldığında mümkündür. Bu nedenle

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}$ ⓘ

ve

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.$ ⓘ

Bu formüllerdeki iki karşıt kenarın bimedyanın birleştirdiği iki kenar olmadığına dikkat ediniz. ⓘ

Dışbükey bir dörtgende, bimedyenler ve köşegenler arasında aşağıdaki ikili bağlantı vardır:

• İki bimedyan, ancak ve ancak iki köşegen dik ise eşit uzunluğa sahiptir.
• İki bimedyan, ancak ve ancak iki köşegen eşit uzunluğa sahipse diktir. ⓘ

Trigonometrik özdeşlikler

Basit bir ABCD dörtgeninin dört açısı aşağıdaki özdeşlikleri sağlamaktadır:

$\sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}$ ⓘ

ve

${\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D}}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.$ ⓘ

Ayrıca,

${\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+\cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.$ ⓘ

Son iki formülde, tan 90° tanımlı olmadığı için hiçbir açının dik açı olmasına izin verilmez. ⓘ

İzin verin $a$, $b$, $c$, $d$ dışbükey bir dörtgenin kenarları olsun, $s$ yarı ölçerdir, ve $A$ ve $C$ zıt açılar ise, o zaman ⓘ

$ad\sin ^{2}{\frac {A}{2}}+bc\cos ^{2}{\frac {C}{2}}=(s-a)(s-d)$ ⓘ

ve ⓘ

$bc\sin ^{2}{\frac {C}{2}}+ad\cos ^{2}{\frac {A}{2}}=(s-b)(s-c)$. ⓘ

Bu özdeşlikleri Bretschneider Formülünü türetmek için kullanabiliriz. ⓘ

Eşitsizlikler

Alan

Dışbükey bir dörtgenin a, b, c, d ardışık kenarları ve p, q köşegenleri varsa, K alanı aşağıdaki koşulları sağlar

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ sadece bir dikdörtgen için eşitlikle.

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ sadece bir kare için eşitlikle.

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})$ Sadece köşegenlerin dik ve eşit olması durumunda eşitlik.

$K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$ sadece bir dikdörtgen için eşitlikle. ⓘ

Bretschneider'in formülünden, bir dörtgenin alanının aşağıdaki koşulları sağladığı doğrudan anlaşılır

$K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ ⓘ

ancak ve ancak dörtgen, bir kenarı diğer üç kenarın toplamına eşit olacak şekilde döngüsel veya dejenere ise (bir doğru parçasına çökmüştür, bu nedenle alan sıfırdır) eşittir. ⓘ

Herhangi bir dörtgenin alanı da şu eşitsizliği sağlar

$\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.$ ⓘ

Çevresini L olarak ifade edersek

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},$ ⓘ

sadece kare durumunda eşitlik ile. ⓘ

Dışbükey bir dörtgenin alanı da aşağıdakileri sağlar

$K\leq {\tfrac {1}{2}}pq$ ⓘ

p ve q köşegen uzunlukları için, ancak ve ancak köşegenler dik ise eşittir. ⓘ

a, b, c, d, alanı K ve köşegenleri AC = p, BD = q olan dışbükey bir ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları olsun. ⓘ

$K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}$ sadece bir kare için eşitlikle. ⓘ

a, b, c, d, alanı K olan dışbükey bir ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları olsun, o zaman aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

$K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ sadece bir kare için eşitlikle. ⓘ

Köşegenler ve bimedyanlar

Euler'in dörtgen teoreminin bir sonucu da şu eşitsizliktir

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}$ ⓘ

Burada eşitlik sadece ve sadece dörtgen bir paralelkenar ise geçerlidir. ⓘ

Euler ayrıca, döngüsel bir dörtgende bir eşitlik olan Batlamyus teoremini, dışbükey bir dörtgen için bir eşitsizliğe genelleştirmiştir. Buna göre

$pq\leq ac+bd$ ⓘ

Burada sadece ve sadece dörtgen döngüsel ise eşitlik vardır. Bu genellikle Ptolemy eşitsizliği olarak adlandırılır. ⓘ

Herhangi bir dışbükey dörtgende m, n bimedyanları ve p, q köşegenleri şu eşitsizlikle ilişkilidir

$pq\leq m^{2}+n^{2},$ ⓘ

eşitlik sadece ve sadece köşegenlerin eşit olması durumunda geçerlidir. Bu doğrudan dörtgen özdeşliğinden kaynaklanır $m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).$ ⓘ

Taraflar

Herhangi bir dörtgenin a, b, c ve d kenarları aşağıdakileri sağlar

$a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}$ ⓘ

ve

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.$ ⓘ

Maksimum ve minimum özellikler

Belirli bir çevreye sahip tüm dörtgenler arasında en büyük alana sahip olan karedir. Buna dörtgenler için izoperimetrik teorem denir. Alan eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}$ ⓘ

Burada K, çevresi L olan dışbükey bir dörtgenin alanıdır. Eşitlik, ancak ve ancak dörtgen bir kare ise geçerlidir. İkili teorem, belirli bir alana sahip tüm dörtgenler arasında karenin en kısa çevreye sahip olduğunu belirtir. ⓘ

Verilen kenar uzunlukları ile maksimum alana sahip olan dörtgen, döngüsel dörtgendir. ⓘ

Köşegenleri verilen tüm dışbükey dörtgenler arasında en büyük alana sahip olan ortodiyagonal dörtgendir. Bu, dışbükey bir dörtgenin alanının aşağıdakileri sağlaması gerçeğinin doğrudan bir sonucudur

$K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,$ ⓘ

Burada θ, p ve q köşegenleri arasındaki açıdır. Eşitlik ancak ve ancak θ = 90° ise geçerlidir. ⓘ

Eğer P, ABCD dışbükey dörtgeninde bir iç nokta ise, o zaman

$AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.$ ⓘ

Bu eşitsizlikten, bir dörtgenin içinde köşelere olan uzaklıkların toplamını en aza indiren noktanın köşegenlerin kesişimi olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla bu nokta dışbükey bir dörtgenin Fermat noktasıdır. ⓘ

Dışbükey bir dörtgende dikkat çekici noktalar ve doğrular

Bir dörtgenin merkezi birkaç farklı şekilde tanımlanabilir. "Tepe merkezi", dörtgenin boş olduğu ancak köşelerinde eşit kütlelere sahip olduğu düşünüldüğünde ortaya çıkar. "Yan merkez", kenarların birim uzunluk başına sabit kütleye sahip olduğu düşünüldüğünde ortaya çıkar. Just centroid (alan merkezi) olarak adlandırılan olağan merkez, dörtgenin yüzeyinin sabit yoğunluğa sahip olduğu düşünüldüğünde ortaya çıkar. Bu üç noktanın hepsi genel olarak aynı nokta değildir. ⓘ

"Vertex centroid" iki bimedyanın kesişim noktasıdır. Herhangi bir çokgende olduğu gibi, tepe merkezinin x ve y koordinatları, köşelerin x ve y koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. ⓘ

ABCD dörtgeninin "alan centroidi" aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. Ga, Gb, Gc, Gd sırasıyla BCD, ACD, ABD, ABC üçgenlerinin merkezleri olsun. O zaman "alan merkez noktası" GaGc ve GbGd doğrularının kesişimidir. ⓘ

Genel bir dışbükey dörtgen olan ABCD'de, bir üçgenin çevre merkezi ve ortomerkezi için doğal bir benzerlik yoktur. Ancak böyle iki nokta aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. Oa, Ob, Oc, Od sırasıyla BCD, ACD, ABD, ABC üçgenlerinin çevre merkezleri olsun; ve Ha, Hb, Hc, Hd ile aynı üçgenlerdeki ortamerkezleri gösterin. OaOc ve ObOd doğrularının kesişimi dışbükey dörtgenin yarıçevremerkezi, HaHc ve HbHd doğrularının kesişimi ise yarıortamerkezi olarak adlandırılır. Bu noktalar bir dörtgenin Euler doğrusunu tanımlamak için kullanılabilir. Dışbükey bir dörtgende, H yarıortam merkezi, G "alan merkezi" ve O yarıçevremerkezi bu sırayla kollineerdir ve HG = 2GO'dur. ⓘ

Ayrıca, EaEc ve EbEd doğrularının kesişimi olarak bir kuasinüs-nokta merkezi E tanımlanabilir; burada Ea, Eb, Ec, Ed sırasıyla BCD, ACD, ABD, ABC üçgenlerinin dokuz nokta merkezleridir. O halde E, OH'nin orta noktasıdır. ⓘ

Paralelkenar olmayan dışbükey bir dörtgende dikkat çeken bir başka doğru da köşegenlerin orta noktalarını birleştiren Newton doğrusudur ve bu noktaları birleştiren doğru parçası tepe merkeziyle ikiye bölünür. Bir başka ilginç doğru (bir anlamda Newton doğrusunun ikizi) köşegenlerin kesişme noktasını tepe merkeziyle birleştiren doğrudur. Bu doğru, (alan) merkezini içermesi bakımından dikkat çekicidir. Tepe merkezi, köşegenlerin kesişim noktası ile (alan) merkezini birleştiren parçayı 3:1 oranında böler. ⓘ

P ve Q noktaları sırasıyla AD ve BC ile AB ve CD'nin kesişim noktaları olan herhangi bir ABCD dörtgeni için, (PAB), (PCD), (QAD) ve (QBC) çemberleri Miquel noktası olarak adlandırılan ortak bir M noktasından geçer. ⓘ

E'nin köşegenlerin kesişme noktası ve F'nin BC ve AD kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olduğu dışbükey bir ABCD dörtgeni için, ω, E ve F'den geçen ve CB'yi M'de ve DA'yı N'de içten kesen bir çember olsun. CA, ω ile L'de tekrar kesişsin ve DB, ω ile K'de tekrar kesişsin. P ve Q noktaları AB ve CD kenarlarında ω çemberi tarafından oluşturulan "Pascal noktaları" olarak adlandırılır. ⓘ

Dışbükey dörtgenlerin diğer özellikleri

• Bir dörtgenin tüm kenarlarına dış kareler çizilsin. Karşılıklı karelerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları (a) eşit uzunlukta ve (b) diktir. Dolayısıyla bu merkezler ortodiyagonal bir dörtgenin köşeleridir. Buna Van Aubel teoremi denir.
• Verilen kenar uzunluklarına sahip herhangi bir basit dörtgen için, aynı kenar uzunluklarına sahip bir döngüsel dörtgen vardır.
• Dışbükey bir dörtgenin köşegenleri ve kenarları tarafından oluşturulan dört küçük üçgen, karşılıklı iki üçgenin alanlarının çarpımının diğer iki üçgenin alanlarının çarpımına eşit olması özelliğine sahiptir. ⓘ

Taksonomi

Hasse diyagramı kullanılarak dörtgenlerin taksonomisi.

Dörtgenlerin hiyerarşik taksonomisi sağdaki şekilde gösterilmiştir. Alt sınıflar, bağlı oldukları üst sınıfların özel durumlarıdır. Buradaki "yamuk" ifadesinin Kuzey Amerika tanımına atıfta bulunduğuna dikkat ediniz (İngilizcedeki karşılığı trapezium'dur). Baştan sona kapsayıcı tanımlar kullanılmıştır. ⓘ

Eğri dörtgenler

Tetragonal disfenoidin (kırmızı) yan kenarları düzenli bir zig-zag eğri dörtgeni temsil eder ⓘ

Düzlemsel olmayan bir dörtgene çarpık dörtgen denir. Kenar uzunluklarından ve iki bitişik kenar arasındaki açıdan dihedral açılarını hesaplamak için formüller, dört atomlu "büzülmüş" bir halka içeren siklobütan gibi moleküllerin özellikleri üzerine yapılan çalışmalar için türetilmiştir. Tarihsel olarak gauche dörtgeni terimi çarpık dörtgen anlamında da kullanılmıştır. Bir çarpık dörtgen, köşegenleriyle birlikte (muhtemelen düzenli olmayan) bir dörtyüzlü oluşturur ve tersine her çarpık dörtgen, bir çift karşılıklı kenarın çıkarıldığı bir dörtyüzlüden gelir. ⓘ