Sezgicilik

Sezgicilik ya da entüisyonizm, felsefi bir kavram olarak sezgiye akıl, zihin ve soyut düşünme karşısında hem öncelik hem de üstünlük tanıyan felsefe akımıdır. Henri Bergson akımın kurucusudur, bu nedenle kimi zaman felsefe tarihinde Bergsonculuk olarak adlandırılması da söz konusudur. ⓘ

Sezgiciliğe göre bilginin, özellikle felsefe bilgisinin, kaynağı ve temeli sezgidir. Burada önemli olan sezgi kavramının içeriğidir. Felsefi anlamda sezgi; bir tür açılma, doğrudan doğruya keşfedilme ve dolaysız, aracısız birdenbire kavranma anlamında kullanılmaktadır. Buna göre, varlıkları bize oldukları gibi veren bilgi, sezgidir. Bergson'da bu kavram daha da özel bir anlamda gerçeği dolaysızca kavrama yetisi olarak belirtilmiş, algıların ve zihnin bir tür birleşiminden müteşekkil sayılmıştır. Bergson'da, kendi bilincine varmış içgüdüler sezgi olarak değerlendirilir ve bu kavram felsefenin merkezine oturtulur. ⓘ

Ortaçağ felsefesinde önemli isimlerden biri olan İmam Gazali'de, 19. yüzyıl felsefesinde ise Hegelci aşırı sistematik ve soyut felsefelere karşı bir tepki olarak Henri bergson'un felsefesinde görülür. İmam Gazali "İnsanda iki göz vardır. Birincisi fiziki gözdür. İnsan bununla maddi dünyaya yönelir ve bir takım bilgilere ulaşır. Bu göz bilim ve felsefeyi kuran akıl gözüdür. İnsan için bu yeterli değildir. İkincisi ise kalp gözüdür. Kalp gözü manevi olduğu için insan kalbiyle gerçekleri bütün açıklığıyla kavrar." sözüyle bu yaklaşımı savunmuştur. Gerçeklik sezgi ile bir kerede ve tam olarak kavranır, akla dayanan bilgi ise asla tam ve kesin olamaz düşüncesi bu felsefelerin ana tezidir. Böylece hem rasyonalizme hem de materyalizme bir karşı çıkış söz konusu edilmektedir. ⓘ

Bazen daha genel olarak yapıcı mantık olarak adlandırılan sezgisel mantık, yapıcı ispat kavramını daha yakından yansıtarak klasik mantık için kullanılan sistemlerden farklı olan sembolik mantık sistemlerini ifade eder. Özellikle sezgisel mantık sistemleri, klasik mantıkta temel çıkarım kuralları olan dışlanmış orta yasası ve çift olumsuzlama eliminasyonunu içermez. ⓘ

Biçimselleştirilmiş sezgisel mantık ilk olarak Arend Heyting tarafından L. E. J. Brouwer'in sezgicilik programına biçimsel bir temel sağlamak için geliştirilmiştir. İspat teorisi açısından Heyting'in kalkülüsü, klasik mantığın dışlanmış orta ve çift olumsuzlama eleme yasalarının kaldırıldığı bir kısıtlamasıdır. Dışlanan orta ve çifte olumsuzlamanın ortadan kaldırılması bazı önermeler için duruma göre hala kanıtlanabilir, ancak klasik mantıkta olduğu gibi evrensel olarak geçerli değildir. Sezgisel mantığın standart açıklaması BHK yorumudur. ⓘ

Sezgisel mantık için çeşitli anlambilim sistemleri üzerinde çalışılmıştır. Bu semantiklerden biri klasik Boolean-değerli semantiği yansıtır ancak Boolean cebirleri yerine Heyting cebirlerini kullanır. Başka bir anlambilim ise Kripke modellerini kullanır. Ancak bunlar, Brouwer'in orijinal gayri resmi semantik sezgilerinin biçimselleştirilmesinden ziyade Heyting'in tümdengelim sistemini incelemek için teknik araçlardır. Kurt Gödel'in diyalektik yorumu, Stephen Cole Kleene'in gerçekleştirilebilirliği, Yurii Medvedev'in sonlu problemler mantığı ya da Giorgi Japaridze'nin hesaplanabilirlik mantığı, anlamlı "yapıcı doğruluk" kavramları (yalnızca geçerlilik ya da kanıtlanabilirlik yerine) sunmaları nedeniyle bu tür sezgileri yakaladığını iddia eden anlambilimsel sistemlerdir. Yine de bu tür anlambilimler ısrarla Heyting'in mantığından daha güçlü mantıklar üretmektedir. Bazı yazarlar bunun Heyting'in kalkülüsünün yetersizliğinin bir göstergesi olabileceğini savunmuş ve Heyting'in kalkülüsünü yapıcı bir mantık olarak eksik bulmuşlardır. ⓘ

Matematiksel yapısalcılık

Klasik mantığın semantiğinde, önerme formüllerine iki elemanlı kümeden doğruluk değerleri atanır $\{\top ,\bot \}$ (sırasıyla "doğru" ve "yanlış"), her iki durum için de doğrudan kanıtımız olup olmadığına bakılmaksızın. Buna 'dışlanmış orta yasası' denir, çünkü 'doğru' ya da 'yanlış' dışında herhangi bir doğruluk değeri olasılığını dışlar. Buna karşılık, sezgisel mantıktaki önerme formüllerine kesin bir doğruluk değeri atanmaz ve yalnızca doğrudan kanıtımız, dolayısıyla kanıtımız olduğunda "doğru" olarak kabul edilir. (Önermesel formülün doğrudan kanıt nedeniyle "doğru" olması yerine, Curry-Howard anlamında bir kanıt tarafından barındırıldığını da söyleyebiliriz). Sezgisel mantıktaki işlemler bu nedenle doğruluk-değerlendirmesinden ziyade kanıt ve kanıtlanabilirlik açısından gerekçelendirmeyi korur. ⓘ

Sezgisel mantık, matematikte yapılandırmacılığa yönelik yaklaşımların geliştirilmesinde yaygın olarak kullanılan bir araçtır. Genel olarak yapılandırmacı mantıkların kullanımı matematikçiler ve filozoflar arasında tartışmalı bir konu olmuştur (örneğin bkz. Brouwer-Hilbert tartışması). Bu mantıkların kullanımına yönelik yaygın bir itiraz, klasik mantığın iki temel kuralı olan dışlanmış orta yasası ve çifte olumsuzlamanın elenmesi kurallarının yukarıda bahsedilen eksikliğidir. Bunlar matematik pratiği için o kadar önemli kabul edilir ki David Hilbert bunlar hakkında şöyle yazmıştır "Matematikçinin elinden dışlanmış orta ilkesini almak, astronoma teleskopu ya da boksöre yumruklarını kullanmayı yasaklamakla aynı şey olurdu. Varlık ifadelerini ve dışlanan orta ilkesini yasaklamak, matematik biliminden tamamen vazgeçmekle eşdeğerdir." ⓘ

Değerli dışlanmış orta ve çift olumsuzlama eleme kurallarını kullanamamanın getirdiği ciddi zorluklara rağmen, sezgisel mantık pratik kullanıma sahiptir. Bunun bir nedeni, kısıtlamalarının varlık özelliğine sahip kanıtlar üretmesi ve bu sayede diğer matematiksel yapılandırmacılık biçimleri için de uygun olmasıdır. Gayri resmi olarak bu, bir nesnenin var olduğuna dair yapıcı bir kanıt varsa, bu yapıcı kanıtın, kanıtlar ve algoritmalar arasındaki Curry-Howard yazışması olarak bilinen bir ilke olan o nesnenin bir örneğini oluşturmak için bir algoritma olarak kullanılabileceği anlamına gelir. Sezgisel mantığın bu özel yönünün bu kadar değerli olmasının bir nedeni, uygulayıcıların ispat yardımcıları olarak bilinen çok çeşitli bilgisayarlı araçları kullanmalarına olanak sağlamasıdır. Bu araçlar, kullanıcılarına büyük ölçekli ispatların doğrulanmasında (ve üretilmesinde) yardımcı olur; bu ispatların büyüklüğü genellikle matematiksel bir ispatın yayınlanması ve gözden geçirilmesi için gerekli olan insan tabanlı kontrolü engeller. Bu nedenle, ispat yardımcılarının (Agda veya Coq gibi) kullanımı, modern matematikçilerin ve mantıkçıların, yalnızca elle oluşturulması ve kontrol edilmesi mümkün olanların ötesinde, son derece karmaşık sistemler geliştirmelerini ve kanıtlamalarını sağlamaktadır. Resmi doğrulama olmadan tatmin edici bir şekilde doğrulanması imkansız olan bir kanıt örneği, dört renk teoreminin ünlü kanıtıdır. Bu teorem matematikçileri yüz yıldan fazla bir süre şaşkına çevirmiştir, ta ki olası karşı örneklerin büyük sınıflarını eleyen ancak yine de ispatı tamamlamak için bir bilgisayar programına ihtiyaç duyulacak kadar açık olasılık bırakan bir ispat geliştirilinceye kadar. Bu ispat bir süre tartışmalı kalmış, ancak daha sonra Coq kullanılarak doğrulanmıştır. ⓘ

Sözdizimi

Rieger-Nishimura kafesi. Düğümleri, sezgisel mantıksal eşdeğerliğe kadar tek değişkenli önerme formülleridir ve sezgisel mantıksal ima ile sıralanır. ⓘ

Sezgisel mantık formüllerinin sözdizimi, önermeler mantığına veya birinci dereceden mantığa benzer. Bununla birlikte, sezgisel bağlaçlar klasik mantıkta olduğu gibi birbirleri açısından tanımlanamaz, dolayısıyla bunların seçimi önemlidir. Sezgisel önermeler mantığında (IPL) temel bağlaçlar olarak →, ∧, ∨, ⊥ kullanılması ve ¬A'nın (A → ⊥) kısaltması olarak ele alınması gelenekseldir. Sezgisel birinci dereceden mantıkta her iki niceleyici ∃, ∀ gereklidir. ⓘ

Klasik mantıktan daha zayıftır

Sezgisel mantık, klasik mantığın zayıflatılması olarak anlaşılabilir, yani klasik mantık altında yapılamayacak yeni çıkarımlara izin vermezken, bir muhakemecinin çıkarım yapmasına izin verdiği şeylerde daha muhafazakârdır. Sezgisel mantığın her teoremi klasik mantıkta bir teoremdir, ancak tersi geçerli değildir. Klasik mantıktaki pek çok totoloji sezgisel mantıkta teorem değildir - özellikle, yukarıda da belirtildiği gibi, sezgisel mantığın başlıca amaçlarından biri, var olduğunu kanıtladığı nesnelerin açık örneklerini sunmaksızın varlık iddialarını ortaya koymak için kullanılabilen çelişki yoluyla yapısal olmayan kanıtın kullanımını geçersiz kılmak için dışlanan orta yasasını onaylamamaktır. "Onaylamaz" diyoruz çünkü yasanın herhangi bir bağlamda desteklendiği zorunlu olarak doğru olmasa da, hiçbir karşı örnek verilemez: böyle bir karşı örnek, klasik mantık altında izin verilmeyen bir çıkarım (belirli bir önerme için yasanın olumsuzlanmasını çıkarma) olacaktır ve bu nedenle sezgisel mantık gibi katı bir zayıflamada izin verilmez. Aslında, yasanın çifte olumsuzlanması sistemin bir totolojisi olarak korunur: yani, bu bir teoremdir $\neg [\neg (P\vee \neg P)]$ önermeden bağımsız olarak $P$. ⓘ

Sıralı hesap

Gerhard Gentzen, LK sisteminin (klasik mantık için sıralı kalkülüsü) basit bir kısıtlamasının sezgisel mantığa göre sağlam ve tam bir sistemle sonuçlandığını keşfetti. Bu sisteme LJ adını verdi. LK'da bir dizinin sonuç tarafında herhangi bir sayıda formülün yer almasına izin verilir; buna karşılık LJ bu konumda en fazla bir formüle izin verir. ⓘ

LK'nın diğer türevleri sezgisel türevlerle sınırlıdır ancak yine de bir dizide birden fazla sonuca izin verir. LJ' buna bir örnektir. ⓘ

Hilbert tarzı kalkülüs

Sezgisel mantık aşağıdaki Hilbert tarzı kalkülüs kullanılarak tanımlanabilir. Bu, klasik önermeler mantığını aksiyomatize etmenin bir yoluna benzer. ⓘ

Önermeler mantığında, çıkarım kuralı modus ponens'tir

• MP: dan $\phi$ ve $\phi \to \psi$ çıkarım $\psi$

ve aksiyomlar şunlardır

• SONRA-1: $\phi \to (\chi \to \phi )$
• SONRA-2: $(\phi \to (\chi \to \psi ))\to ((\phi \to \chi )\to (\phi \to \psi ))$
• VE-1: $\phi \land \chi \to \phi$
• VE-2: $\phi \land \chi \to \chi$
• VE-3: $\phi \to (\chi \to (\phi \land \chi ))$
• VEYA-1: $\phi \to \phi \lor \chi$
• VEYA-2: $\chi \to \phi \lor \chi$
• VEYA-3: $(\phi \to \psi )\to ((\chi \to \psi )\to ((\phi \lor \chi )\to \psi ))$
• FALSE: $\bot \to \phi$

Bunu birinci dereceden bir yüklem mantığı sistemi haline getirmek için genelleme kuralları

• $\forall$-GEN: dan $\psi \to \phi$ çıkarım $\psi \to (\forall x\ \phi )$eğer $x$ ücretsiz değil $\psi$
• $\exists$-GEN: dan $\phi \to \psi$ çıkarım $(\exists x\ \phi )\to \psi$eğer $x$ ücretsiz değil $\psi$

aksiyomları ile birlikte eklenir

• PRED-1: $(\forall x\ \phi (x))\to \phi (t)$, eğer terim $t$ değişkeni ile yer değiştirmek için serbesttir $x$ içinde $\phi$ (yani, eğer herhangi bir değişkenin $t$ içinde bağlı hale gelir $\phi (t)$)
• PRED-2: $\phi (t)\to (\exists x\ \phi (x))$PRED-1 ile aynı kısıtlama ile ⓘ

İsteğe bağlı bağlaçlar

Olumsuzlama

Eğer bir bağlayıcı dahil edilmek istenirse $\lnot$ için bir kısaltma olarak düşünmek yerine olumsuzlama için $\phi \to \bot$eklemek yeterlidir:

• NOT-1': $(\phi \to \bot )\to \lnot \phi$
• NOT-2' EKLEMEK YETERLIDIR: $\lnot \phi \to (\phi \to \bot )$ ⓘ

Bağlayıcının atlanması isteniyorsa bir dizi alternatif mevcuttur $\bot$ (yanlış). Örneğin, üç aksiyom olan FALSE, NOT-1' ve NOT-2' yerine iki aksiyom konulabilir

• NOT-1: $(\phi \to \chi )\to ((\phi \to \lnot \chi )\to \lnot \phi )$
• DEĞİL-2: $\phi \to (\lnot \phi \to \chi )$

Propositional calculus § Aksiyomlar'da olduğu gibi. NOT-1'e alternatifler şunlardır $(\phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \lnot \phi )$ veya $(\phi \to \lnot \phi )\to \lnot \phi$. ⓘ

Eşdeğerlik

Bağlayıcı $\leftrightarrow$ eşdeğerlik için bir kısaltma olarak ele alınabilir. $\phi \leftrightarrow \chi$ için ayakta $(\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi )$. Alternatif olarak şu aksiyomlar da eklenebilir ⓘ

• IFF-1: $(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )$
• IFF-2: $(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )$
• IFF-3: $(\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))$ ⓘ

IFF-1 ve IFF-2 istenirse tek bir aksiyomda birleştirilebilir $(\phi \leftrightarrow \chi )\to ((\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi ))$ bağlaç kullanarak. ⓘ

Klasik mantık ile ilişki

Klasik mantık sistemi, aşağıdaki aksiyomlardan herhangi birinin eklenmesiyle elde edilir:

• $\phi \lor \lnot \phi$ (Dışlanmış orta yasası. Şu şekilde de formüle edilebilir $(\phi \to \chi )\to ((\lnot \phi \to \chi )\to \chi )$.)
• $\lnot \lnot \phi \to \phi$ (Çift olumsuzlama eliminasyonu)
• $((\phi \to \chi )\to \phi )\to \phi$ (Peirce yasası)
• $(\lnot \phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \phi )$ (Kontrapozisyon Yasası) ⓘ

Genel olarak, iki elemanlı Kripke çerçevesinde geçerli olmayan herhangi bir klasik totoloji ekstra aksiyom olarak alınabilir $\circ {\longrightarrow }\circ$ (başka bir deyişle, Smetanich'in mantığında yer almayan). ⓘ

Bir başka ilişki de klasik birinci dereceden mantığın sezgisel mantığa gömülmesini sağlayan Gödel-Gentzen negatif çevirisi tarafından verilir: birinci dereceden bir formül klasik mantıkta ancak ve ancak Gödel-Gentzen çevirisi sezgisel olarak kanıtlanabilirse kanıtlanabilir. Bu nedenle sezgisel mantık, klasik mantığı yapıcı semantik ile genişletmenin bir yolu olarak görülebilir. ⓘ

1932 yılında Kurt Gödel, klasik ve sezgisel mantık arasında bir mantık sistemi tanımlamıştır; Gödel mantığı aynı zamanda ara mantık olarak da bilinir. ⓘ

Operatörlerin tanımlanamazlığı

Klasik önermeler mantığında, Łukasiewicz'in önermeler mantığının üç aksiyomunda olduğu gibi, bağlaç, ayrıklık veya implikasyondan birini ilkel olarak almak ve diğer ikisini olumsuzlama ile birlikte tanımlamak mümkündür. Dördünü de Peirce oku (NOR) veya Sheffer vuruşu (NAND) gibi tek bir yeterli operatör açısından tanımlamak bile mümkündür. Benzer şekilde, klasik birinci dereceden mantıkta, niceleyicilerden biri diğerinin ve olumsuzlamanın terimleriyle tanımlanabilir. ⓘ

Bunlar temelde, tüm bu bağlaçları yalnızca Boolean işlevleri haline getiren iki değerlilik yasasının sonuçlarıdır. Sezgisel mantıkta iki değerlilik yasasının geçerli olması gerekmez, yalnızca çelişmezlik yasasının geçerli olması gerekir. Sonuç olarak, temel bağlaçların hiçbirinden vazgeçilemez ve yukarıdaki aksiyomların hepsi gereklidir. Klasik özdeşliklerin çoğu sezgisel mantığın yalnızca bir yöndeki teoremleridir, ancak bazıları her iki yöndeki teoremlerdir. Bunlar aşağıdaki gibidir: Birleşime karşı ayrılma:

• $(\phi \wedge \psi )\to \neg (\neg \phi \vee \neg \psi )$
• $(\phi \vee \psi )\to \neg (\neg \phi \wedge \neg \psi )$
• $(\neg \phi \vee \neg \psi )\to \neg (\phi \wedge \psi )$
• $(\neg \phi \wedge \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \vee \psi )$

Birleşime karşı içlem:

• $(\phi \wedge \psi )\to \neg (\phi \to \neg \psi )$
• $(\phi \to \psi )\to \neg (\phi \wedge \neg \psi )$
• $(\phi \wedge \neg \psi )\to \neg (\phi \to \psi )$
• $(\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \wedge \psi )$

Bağlaçsızlığa karşı ima:

• $(\phi \vee \psi )\to (\neg \phi \to \psi )$
• $(\neg \phi \vee \psi )\to (\phi \to \psi )$

Evrensel nicelemeye karşı varoluşsal niceleme:

• $(\forall x\ \phi (x))\to \neg (\exists x\ \neg \phi (x))$
• $(\exists x\ \phi (x))\to \neg (\forall x\ \neg \phi (x))$
• $(\exists x\ \neg \phi (x))\to \neg (\forall x\ \phi (x))$
• $(\forall x\ \neg \phi (x))\leftrightarrow \neg (\exists x\ \phi (x))$ ⓘ

Bu nedenle, örneğin, "a veya b", "a değilse, o zaman b" den daha güçlü bir önerme formülüdür, oysa bunlar klasik olarak birbirinin yerine kullanılabilir. Öte yandan, "not (a or b)", "not a, and also not b" ile eşdeğerdir. ⓘ

Eşdeğerliği bağlaçlar listesine dahil edersek, bazı bağlaçlar diğerlerinden tanımlanabilir hale gelir:

• $(\phi \leftrightarrow \psi )\leftrightarrow ((\phi \to \psi )\land (\psi \to \phi ))$
• $(\phi \to \psi )\leftrightarrow ((\phi \lor \psi )\leftrightarrow \psi )$
• $(\phi \to \psi )\leftrightarrow ((\phi \land \psi )\leftrightarrow \phi )$
• $(\phi \land \psi )\leftrightarrow ((\phi \to \psi )\leftrightarrow \phi )$
• $(\phi \land \psi )\leftrightarrow (((\phi \lor \psi )\leftrightarrow \psi )\leftrightarrow \phi )$

Özellikle, {∨, ↔, ⊥} ve {∨, ↔, ¬} sezgisel bağlaçların tam tabanlarıdır. ⓘ

Alexander V. Kuznetsov tarafından gösterildiği gibi, aşağıdaki bağlaçlardan herhangi biri - birincisi üçlü, ikincisi dörtlü - kendi başına işlevsel olarak tamdır: her ikisi de sezgisel önermeler mantığı için tek yeterli operatör rolünü oynayabilir, böylece klasik önermeler mantığındaki Sheffer vuruşunun bir benzerini oluşturur:

• $((p\lor q)\land \neg r)\lor (\neg p\land (q\leftrightarrow r)),$
• $p\to (q\land \neg r\land (s\lor t)).$ ⓘ

Anlambilim

Anlambilim klasik duruma göre oldukça karmaşıktır. Bir model teorisi Heyting cebirleri veya eşdeğer olarak Kripke semantiği ile verilebilir. Yakın zamanda Bob Constable tarafından Tarski benzeri bir model teorisinin tam olduğu kanıtlanmıştır, ancak klasik tamlık kavramından farklı bir tamlık kavramı kullanılmıştır. ⓘ

Sezgisel mantıkta kanıtlanmamış ifadelere bir ara doğruluk değeri verilmez (bazen yanlışlıkla iddia edildiği gibi). Bu tür ifadelerin üçüncü bir doğruluk değerine sahip olmadığı kanıtlanabilir ki bu 1928'de Glivenko'ya kadar uzanan bir sonuçtur. Bunun yerine, kanıtlanana ya da çürütülene kadar bilinmeyen bir doğruluk değerine sahip olmaya devam ederler. İfadeler, kendilerinden bir çelişki çıkarılarak çürütülür. ⓘ

Bu bakış açısının bir sonucu, sezgisel mantığın iki değerli bir mantık olarak, hatta bilinen anlamda sonlu değerli bir mantık olarak bile yorumlanamayacağıdır. Sezgisel mantık önemsiz önermeleri muhafaza etse de $\{\top ,\bot \}$ Klasik mantıkta, bir önerme formülünün her bir kanıtı geçerli bir önerme değeri olarak kabul edilir, dolayısıyla Heyting'in kümeler olarak önermeler kavramına göre, önerme formülleri kanıtlarının (potansiyel olarak sonlu olmayan) kümeleridir. ⓘ

Heyting cebir semantiği

Klasik mantıkta, genellikle bir formülün alabileceği doğruluk değerlerini tartışırız. Bu değerler genellikle bir Boole cebirinin üyeleri olarak seçilir. Boole cebirindeki buluşma ve birleşme işlemleri ∧ ve ∨ mantıksal bağlaçlarıyla özdeşleştirilir, böylece A ∧ B biçimindeki bir formülün değeri, Boole cebirindeki A değeri ile B değerinin buluşmasıdır. O halde, bir formülün ancak ve ancak her değerleme için, yani değişkenlerine yapılan her değer ataması için değeri 1 ise klasik mantıkta geçerli bir önerme olduğuna dair faydalı bir teoreme sahibiz. ⓘ

Buna karşılık gelen bir teorem sezgisel mantık için de doğrudur, ancak her formüle Boole cebirinden bir değer atamak yerine, Boole cebirlerinin özel bir durumu olan Heyting cebirinden değerler kullanılır. Bir formül sezgisel mantıkta ancak ve ancak herhangi bir Heyting cebirindeki herhangi bir değerleme için en üst elemanın değerini alırsa geçerlidir. ⓘ

Geçerli formülleri tanımak için, elemanları R gerçel doğrusunun açık alt kümeleri olan tek bir Heyting cebirini ele almanın yeterli olduğu gösterilebilir:

${\begin{aligned}{\text{Value}}[\bot ]&=\emptyset \\{\text{Value}}[\top ]&=\mathbf {R} \\{\text{Value}}[A\land B]&={\text{Value}}[A]\cap {\text{Value}}[B]\\{\text{Value}}[A\lor B]&={\text{Value}}[A]\cup {\text{Value}}[B]\\{\text{Value}}[A\to B]&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup {\text{Value}}[B]\right)\end{aligned}}$ ⓘ

burada int(X) X'in içi ve X^∁ onun tümleyenidir. ⓘ

A → B ile ilgili son özdeşlik ¬A'nın değerini hesaplamamızı sağlar:

${\begin{aligned}{\text{Value}}[\neg A]&={\text{Value}}[A\to \bot ]\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup {\text{Value}}[\bot ]\right)\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup \emptyset \right)\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)\end{aligned}}$ ⓘ

Bu atamalarla, sezgisel olarak geçerli formüller tam olarak tüm çizginin değerine atanan formüllerdir. Örneğin, ¬(A ∧ ¬A) formülü geçerlidir, çünkü A formülünün değeri olarak hangi X kümesi seçilirse seçilsin, ¬(A ∧ ¬A) değerinin tüm çizgi olduğu gösterilebilir:

${\begin{aligned}{\text{Value}}[\neg (A\land \neg A)]&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A\land \neg A]^{\complement }\right)&&{\text{Value}}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Value}}[B]^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Value}}[A]\cap {\text{Value}}[\neg A]\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Value}}[A]\cap {\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left(X\cap {\text{int}}\left(X^{\complement }\right)\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\emptyset ^{\complement }\right)&&{\text{int}}\left(X^{\complement }\right)\subseteq X^{\complement }\\&={\text{int}}(\mathbf {R} )\\&=\mathbf {R} \end{aligned}}$ ⓘ

Dolayısıyla bu formülün değeri doğrudur ve formül gerçekten de geçerlidir. Ancak dışlanan orta yasası, A ∨ ¬A, A için pozitif reel sayılar kümesinin belirli bir değeri kullanılarak geçersiz olduğu gösterilebilir:

${\begin{aligned}{\text{Value}}[A\lor \neg A]&={\text{Value}}[A]\cup {\text{Value}}[\neg A]\\&={\text{Value}}[A]\cup {\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)&&{\text{Value}}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Value}}[B]^{\complement }\right)\\&=\{x>0\}\cup {\text{int}}\left(\{x>0\}^{\complement }\right)\\&=\{x>0\}\cup {\text{int}}\left(\{x\leqslant 0\}\right)\\&=\{x>0\}\cup \{x<0\}\\&=\{x\neq 0\}\\&\neq \mathbf {R} \end{aligned}}$ ⓘ

Yukarıda açıklanan sonsuz Heyting cebirindeki sezgisel olarak geçerli herhangi bir formülün yorumu, formülün değişkenlerine cebirden hangi değerlerin atandığına bakılmaksızın, formülün değeri olarak doğruyu temsil eden en üst elemanla sonuçlanır. Tersine, her geçersiz formül için, değişkenlere üst elemandan farklı bir değer veren bir değer ataması vardır. Hiçbir sonlu Heyting cebiri bu iki özellikten ikincisine sahip değildir. ⓘ

Kripke semantiği

Saul Kripke, modal mantığın semantiği üzerine yaptığı çalışmaları temel alarak, sezgisel mantık için Kripke semantiği veya ilişkisel semantik olarak bilinen başka bir semantik yarattı. ⓘ

Tarski benzeri anlambilim

Sezgisel mantık için Tarski benzeri semantiklerin tam olduğunu kanıtlamanın mümkün olmadığı keşfedilmiştir. Ancak Robert Constable, Tarski benzeri bir model altında sezgisel mantık için daha zayıf bir tamlık kavramının hala geçerli olduğunu göstermiştir. Bu tamlık kavramında, her modelde doğru olan tüm ifadelerle değil, her modelde aynı şekilde doğru olan ifadelerle ilgileniyoruz. Yani, modelin bir formülün doğru olduğuna karar verdiğine dair tek bir kanıt her model için geçerli olmalıdır. Bu durumda, yalnızca bir tamlık kanıtı değil, sezgisel mantığa göre geçerli olan bir kanıt vardır. ⓘ

Diğer mantıklarla ilişki

Sezgisel mantık, Brezilya mantığı, anti-sezgisel mantık ya da çift-sezgisel mantık olarak bilinen tutarlı bir mantıkla ikilik yoluyla ilişkilidir. ⓘ

Sezgisel mantığın YANLIŞ aksiyomu kaldırılmış alt sistemi minimal mantık olarak bilinir. ⓘ

Çok değerli mantıkla ilişki

Kurt Gödel'in çok değerli mantıkla ilgili çalışması 1932 yılında sezgisel mantığın sonlu değerli bir mantık olmadığını göstermiştir. (Sezgisel mantığın sonsuz değerli mantık yorumu için yukarıdaki Heyting cebiri semantiği başlıklı bölüme bakınız). ⓘ

Ara mantıklarla ilişki

Bir Boole cebirine denk olmayan herhangi bir sonlu Heyting cebiri (semantik olarak) bir ara mantık tanımlar. Öte yandan, saf sezgisel mantıkta formüllerin geçerliliği herhangi bir Heyting cebirine bağlı değildir, aynı zamanda herhangi bir ve tüm Heyting cebirleriyle ilgilidir. ⓘ

Modal mantıkla ilişki

Sezgisel önermeler mantığının (IPC) herhangi bir formülü normal modal mantık S4'e aşağıdaki gibi çevrilebilir:

${\begin{aligned}\bot ^{*}&=\bot \\A^{*}&=\Box A&&{\text{if }}A{\text{ is prime (a positive literal)}}\\(A\wedge B)^{*}&=A^{*}\wedge B^{*}\\(A\vee B)^{*}&=A^{*}\vee B^{*}\\(A\to B)^{*}&=\Box \left(A^{*}\to B^{*}\right)\\(\neg A)^{*}&=\Box (\neg (A^{*}))&&\neg A:=A\to \bot \end{aligned}}$ ⓘ

ve çevrilen formülün S4 önermesel modal mantığında ancak ve ancak orijinal formülün IPC'de geçerli olması durumunda geçerli olduğu gösterilmiştir. Yukarıdaki formül kümesi Gödel-McKinsey-Tarski çevirisi olarak adlandırılır. ⓘ

Ayrıca S4 modal mantığının Constructive Modal Logic CS4 adı verilen sezgisel bir versiyonu da vardır. ⓘ

Lambda kalkülüsü

IPC ile basit tipli lambda hesabı arasında genişletilmiş bir Curry-Howard izomorfizmi vardır. ⓘ

Edebiyatta sezgicilik

Bir maddeyi kavramak için iki göze ihtiyaç olduğunu savunan edebi görüştür. Buna göre gözlerden biri maddenin görünen kısmını diğeri ise görünmeyen kısmını görmeli algılamalı eğer maddeye kalp gözüyle manevi bir bakışla bakılmazsa onu eksik kavramış sayılırız düşüncesini savunur. ⓘ