Denklem

Modern gösterimde 14x + 15 = 71'e eşdeğer olan eşittir işaretinin ilk kullanımı. Gallerli Robert Recorde'un The Whetstone of Witte adlı eserinden (1557). ⓘ

Matematikte denklem, iki ifadenin eşitliğini, eşittir işareti = ile bağlayarak ifade eden bir formüldür. Denklem kelimesi ve diğer dillerdeki karşılıkları ince bir şekilde farklı anlamlara sahip olabilir; örneğin, Fransızca'da bir denklem bir veya daha fazla değişken içerecek şekilde tanımlanırken, İngilizce'de eşittir işareti ile ilişkilendirilmiş iki ifadeden oluşan iyi biçimlendirilmiş herhangi bir formül bir denklemdir. ⓘ

Değişkenler içeren bir denklemi çözmek, değişkenlerin hangi değerlerinin eşitliği doğru yaptığını belirlemekten ibarettir. Denklemin çözülmesi gereken değişkenlere bilinmeyenler de denir ve bilinmeyenlerin eşitliği sağlayan değerlerine denklemin çözümleri denir. İki tür denklem vardır: özdeşlikler ve koşullu denklemler. Bir özdeşlik, değişkenlerin tüm değerleri için doğrudur. Koşullu bir denklem ise değişkenlerin yalnızca belirli değerleri için doğrudur. ⓘ

Bir denklem, eşittir işareti ("=") ile birbirine bağlanan iki ifade olarak yazılır. Eşittir işaretinin iki tarafındaki ifadelere denklemin "sol tarafı" ve "sağ tarafı" denir. Çoğu zaman bir denklemin sağ tarafının sıfır olduğu varsayılır. Bunu varsaymak genelliği azaltmaz, çünkü bu sağ tarafın her iki taraftan çıkarılmasıyla gerçekleştirilebilir. ⓘ

En yaygın denklem türü, iki tarafın polinom olduğu bir polinom denklemidir (genellikle cebirsel denklem olarak da adlandırılır). Bir polinom denkleminin tarafları bir veya daha fazla terim içerir. Örneğin, denklem ⓘ

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$ ⓘ

sol tarafa sahiptir $Ax^{2}+Bx+C-y$'nin dört terimi ve sağ tarafı vardır. $0$sadece bir terimden oluşur. Değişkenlerin isimleri, x ve y'nin bilinmeyenler olduğunu ve A, B ve C'nin parametreler olduğunu gösterir, ancak bu normalde bağlam tarafından sabitlenir (bazı bağlamlarda, y bir parametre olabilir veya A, B ve C sıradan değişkenler olabilir). ⓘ

Bir denklem, içine ağırlıkların yerleştirildiği bir teraziye benzer. İki kefeye eşit ağırlıkta bir şey (örneğin tahıl) konulduğunda, iki ağırlık terazinin dengede olmasına neden olur ve eşit olduğu söylenir. Terazinin bir kefesinden bir miktar tahıl çıkarılırsa, teraziyi dengede tutmak için diğer kefeden de eşit miktarda tahıl çıkarılmalıdır. Daha genel olarak, bir denklem her iki tarafında da aynı işlem yapılırsa dengede kalır. ⓘ

Kartezyen geometride denklemler geometrik şekilleri tanımlamak için kullanılır. Örtük denklemler veya parametrik denklemler gibi ele alınan denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olduğundan, amaç artık farklıdır: çözümleri açıkça vermek veya saymak yerine, ki bu imkansızdır, şekillerin özelliklerini incelemek için denklemler kullanılır. Bu, matematiğin önemli bir alanı olan cebirsel geometrinin başlangıç fikridir. ⓘ

Cebir iki ana denklem ailesini inceler: polinom denklemler ve bunların arasında doğrusal denklemlerin özel durumu. Sadece bir değişken olduğunda, polinom denklemleri P(x) = 0 biçimindedir, burada P bir polinomdur ve doğrusal denklemler ax + b = 0 biçimindedir, burada a ve b parametrelerdir. Her iki aileden denklemleri çözmek için, doğrusal cebir veya matematiksel analizden kaynaklanan algoritmik veya geometrik teknikler kullanılır. Cebir ayrıca katsayıların ve çözümlerin tam sayı olduğu Diophantine denklemlerini de inceler. Kullanılan teknikler farklıdır ve sayılar teorisinden gelmektedir. Bu denklemler genel olarak zordur; kişi genellikle sadece bir çözümün varlığını veya yokluğunu bulmak ve eğer varsa, çözümlerin sayısını saymak için arama yapar. ⓘ

Diferansiyel denklemler, bir veya daha fazla fonksiyon ve bunların türevlerini içeren denklemlerdir. Fonksiyon için türev içermeyen bir ifade bulunarak çözülürler. Diferansiyel denklemler, değişkenin değişim oranlarını içeren süreçleri modellemek için kullanılır ve fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi gibi alanlarda kullanılır. ⓘ

Her denklemde yer alan "=" sembolü, aynı uzunluktaki paralel doğrulardan daha eşit bir şey olamayacağını düşünen Robert Recorde tarafından 1557 yılında icat edilmiştir. ⓘ

(x+y)²= x²+2xy+y² özdeşlik, x²-3x+2=0 ifadesi ise bir denklemdir. ⓘ

Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir. ⓘ

Giriş

Benzer illüstrasyon

Basit bir denklemin gösterimi; x, y, z gerçek sayılardır, ağırlıklara benzer. ⓘ

Bir denklem tartı, terazi veya tahterevalliye benzer. ⓘ

Denklemin her bir tarafı terazinin bir tarafına karşılık gelir. Her iki tarafa farklı miktarlar yerleştirilebilir: iki taraftaki ağırlıklar eşitse, terazi dengede olur ve benzer şekilde, dengeyi temsil eden eşitlik de dengelenir (değilse, denge eksikliği bir eşitsizlikle temsil edilen bir eşitsizliğe karşılık gelir). ⓘ

Şekilde x, y ve z, dairesel ağırlıklar olarak temsil edilen farklı miktarlardır (bu durumda gerçek sayılar) ve x, y ve z'nin her biri farklı bir ağırlığa sahiptir. Toplama, ağırlık eklemeye karşılık gelirken çıkarma, zaten var olandan ağırlık çıkarmaya karşılık gelir. Eşitlik sağlandığında, her iki taraftaki toplam ağırlık aynıdır. ⓘ

Parametreler ve bilinmeyenler

Denklemler genellikle bilinmeyenler dışında terimler içerir. Bilindiği varsayılan bu diğer terimler genellikle sabitler, katsayılar veya parametreler olarak adlandırılır. ⓘ

Bilinmeyenler olarak x ve y ile R parametresini içeren bir denklem örneği şöyledir ⓘ

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.$ ⓘ

R 2 değerine sahip olacak şekilde seçildiğinde (R = 2), bu denklem Kartezyen koordinatlarda orijin etrafındaki 2 yarıçaplı dairenin denklemi olarak tanınacaktır. Dolayısıyla, R'nin belirtilmediği denklem çember için genel denklemdir. ⓘ

Genellikle bilinmeyenler alfabenin sonundaki x, y, z, w, ... gibi harflerle gösterilirken, katsayılar (parametreler) baştaki a, b, c, d, ... gibi harflerle gösterilir. Örneğin, genel ikinci dereceden denklem genellikle ax² + bx + c = 0 şeklinde yazılır. ⓘ

Çözümleri bulma ya da parametreler söz konusu olduğunda bilinmeyenleri parametreler cinsinden ifade etme işlemine denklemi çözme denir. Çözümlerin parametreler cinsinden bu tür ifadelerine de çözüm denir. ⓘ

Bir denklem sistemi, genellikle ortak çözümlerin arandığı birkaç bilinmeyenli eşzamanlı denklemler kümesidir. Dolayısıyla, sistemin çözümü, bilinmeyenlerin her biri için bir dizi değerdir ve bunlar birlikte sistemdeki her bir denklem için bir çözüm oluşturur. Örneğin, sistem

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

x = -1, y = 1 şeklinde tek bir çözüme sahiptir. ⓘ

Özdeşlikler

Bir özdeşlik, içerdiği değişken(ler)in olası tüm değerleri için doğru olan bir denklemdir. Cebir ve kalkülüste birçok özdeşlik bilinmektedir. Bir denklemi çözme sürecinde, bir özdeşlik genellikle denklemi basitleştirmek ve daha kolay çözülebilir hale getirmek için kullanılır. ⓘ

Cebirde bir özdeşlik örneği iki karenin farkıdır:

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ ⓘ

Bu, tüm x ve y için doğrudur. ⓘ

Trigonometri, birçok özdeşliğin bulunduğu bir alandır; bunlar trigonometrik denklemlerin manipüle edilmesinde veya çözülmesinde faydalıdır. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını içeren birçok özdeşlikten ikisi şunlardır:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ ⓘ

ve ⓘ

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$ ⓘ

Bunların her ikisi de θ'nın tüm değerleri için doğrudur. ⓘ

Örneğin, denklemi sağlayan θ değerini çözmek için:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$ ⓘ

Burada θ 0 ile 45 derece arasında sınırlandırılmıştır, çarpım için yukarıdaki özdeşlik kullanılabilir:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$ ⓘ

θ için aşağıdaki çözümü verir:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$ ⓘ

Sinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olduğundan, θ üzerinde herhangi bir kısıtlama yoksa sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu örnekte, θ'yı 0 ile 45 derece arasında olacak şekilde kısıtlamak, çözümü yalnızca bir sayı ile kısıtlayacaktır. ⓘ

Özellikler

İki denklem veya iki denklem sistemi, aynı çözüm kümesine sahiplerse eşdeğerdir. Aşağıdaki işlemler bir denklemi veya denklem sistemini eşdeğer bir denkleme dönüştürür - işlemlerin uygulandıkları ifadeler için anlamlı olması şartıyla:

• Bir denklemin her iki tarafına aynı miktarın eklenmesi veya çıkarılması. Bu, her denklemin sağ tarafının sıfır olduğu bir denkleme eşdeğer olduğunu gösterir.
• Bir denklemin her iki tarafını sıfır olmayan bir miktarla çarpma veya bölme.
• Denklemin bir tarafını dönüştürmek için bir özdeşlik uygulamak. Örneğin, bir çarpımı genişletmek veya bir toplamı çarpanlarına ayırmak.
• Bir sistem için: bir denklemin her iki tarafına, aynı miktarla çarpılmış başka bir denklemin karşılık gelen tarafını eklemek. ⓘ

Bir denklemin her iki tarafına bir fonksiyon uygulanırsa, ortaya çıkan denklemin çözümleri arasında ilk denklemin çözümleri bulunur, ancak yabancı çözümler olarak adlandırılan başka çözümler de olabilir. Örneğin, denklem $x=1$ çözüme sahiptir $x=1.$ Her iki tarafın üssünü 2'ye yükseltmek (bu, aşağıdaki fonksiyonu uygulamak anlamına gelir $f(s)=s^{2}$ denklemin her iki tarafına) denklemi şu şekilde değiştirir $x^{2}=1$Bu da sadece önceki çözüme sahip olmakla kalmayıp aynı zamanda yabancı çözümü de beraberinde getirmektedir, $x=-1.$ Ayrıca, fonksiyon bazı değerlerde tanımlı değilse (x = 0 için tanımlı olmayan 1/x gibi), bu değerlerde var olan çözümler kaybolabilir. Bu nedenle, bir denkleme böyle bir dönüşüm uygulanırken dikkatli olunmalıdır. ⓘ

Yukarıdaki dönüşümler, denklem çözme için çoğu temel yöntemin yanı sıra Gauss eliminasyonu gibi daha az temel olan bazı yöntemlerin temelini oluşturur. ⓘ

Cebir

Polinom denklemleri

x2 - x + ² = 0 polinom denkleminin -1 ve 2 çözümleri, y = x² - x + 2 ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalardır. ⓘ

Genel olarak, bir cebirsel denklem veya polinom denklemi şu formdaki bir denklemdir ⓘ

$P=0$veya ⓘ

$P=Q$ ⓘ

Burada P ve Q bazı alanlarda (örneğin, rasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar) katsayıları olan polinomlardır. Bir cebirsel denklem yalnızca bir değişken içeriyorsa tek değişkenlidir. Öte yandan, bir polinom denklemi birden fazla değişken içerebilir, bu durumda çok değişkenli (çok değişkenli, x, y, z, vb.) olarak adlandırılır. ⓘ

Örneğin,

$x^{5}-3x+1=0$

tamsayı katsayılı tek değişkenli cebirsel (polinom) bir denklemdir ve

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

rasyonel sayılar üzerinde çok değişkenli bir polinom denklemidir. ⓘ

Rasyonel katsayılara sahip bazı polinom denklemlerinin, sadece bu katsayıları içeren sonlu sayıda işlemle cebirsel bir ifade olan (yani cebirsel olarak çözülebilen) bir çözümü vardır. Bu, derecesi bir, iki, üç veya dört olan tüm denklemler için yapılabilir; ancak Abel-Ruffini teoreminin gösterdiği gibi derecesi beş veya daha fazla olan denklemler her zaman bu şekilde çözülemez. ⓘ

Tek değişkenli bir cebirsel denklemin gerçek veya karmaşık çözümlerinin (bkz. Polinomların kök bulması) ve birkaç çok değişkenli polinom denkleminin ortak çözümlerinin (bkz. Polinom denklem sistemleri) verimli bir şekilde doğru yaklaşımlarını hesaplamak için büyük miktarda araştırma yapılmıştır. ⓘ

Doğrusal denklem sistemleri

Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm, doğrusal denklemler için bir çözüm yöntemi öneren anonim bir 2. yüzyıl Çin kitabıdır. ⓘ

Bir doğrusal denklem sistemi (veya doğrusal sistem), bir veya daha fazla değişken içeren doğrusal denklemler topluluğudur. Örneğin,

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

Doğrusal bir sistemin çözümü, tüm denklemlerin aynı anda sağlanacağı şekilde değişkenlere sayıların atanmasıdır. Yukarıdaki sistemin çözümü şu şekilde verilir

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

çünkü bu üç denklemi de geçerli kılmaktadır. "Sistem" kelimesi, denklemlerin tek tek değil, toplu olarak ele alınması gerektiğini gösterir. ⓘ

Matematikte doğrusal sistemler teorisi, modern matematiğin birçok bölümünde kullanılan bir konu olan doğrusal cebirin temel bir parçasıdır. Çözümleri bulmak için kullanılan hesaplama algoritmaları sayısal lineer cebirin önemli bir parçasıdır ve fizik, mühendislik, kimya, bilgisayar bilimi ve ekonomide önemli bir rol oynar. Doğrusal olmayan bir denklem sistemi genellikle doğrusal bir sistemle yaklaştırılabilir (bkz. doğrusallaştırma), bu da nispeten karmaşık bir sistemin matematiksel modelini veya bilgisayar simülasyonunu yaparken yararlı bir tekniktir. ⓘ

Geometri

Analitik geometri

Mavi ve kırmızı çizgi, sırasıyla x+y=5 ve -x+2y=4 olacak şekilde tüm (x,y) noktalarının kümesidir. Kesişim noktaları olan (2,3) her iki denklemi de sağlamaktadır. ⓘ

Bir konik kesit, bir düzlem ile bir devrim konisinin kesişimidir. ⓘ

Öklid geometrisinde, uzaydaki her noktaya, örneğin ortogonal bir ızgara ile bir koordinat kümesi ilişkilendirmek mümkündür. Bu yöntem, geometrik şekillerin denklemlerle karakterize edilmesini sağlar. Üç boyutlu uzaydaki bir düzlem, aşağıdaki formdaki bir denklemin çözüm kümesi olarak ifade edilebilir $ax+by+cz+d=0$, nerede $a,b,c$ ve $d$ reel sayılardır ve $x,y,z$ ortogonal ızgara tarafından verilen sistemdeki bir noktanın koordinatlarına karşılık gelen bilinmeyenlerdir. Değerler $a,b,c$ denklem tarafından tanımlanan düzleme dik bir vektörün koordinatlarıdır. Bir doğru, iki düzlemin kesişimi olarak ifade edilir; yani, içinde değerleri olan tek bir doğrusal denklemin çözüm kümesi olarak $\mathbb {R} ^{2}$ 'de değerleri olan iki doğrusal denklemin çözüm kümesi olarak $\mathbb {R} ^{3}.$ ⓘ

Bir konik kesit, bir koninin denklem ile kesişimidir $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ve bir düzlem. Başka bir deyişle, uzayda tüm konikler, bir düzlem denkleminin ve az önce verilen bir koni denkleminin çözüm kümesi olarak tanımlanır. Bu formalizm, bir koniğin odaklarının konumlarını ve özelliklerini belirlemeyi sağlar. ⓘ

Denklemlerin kullanımı, geometrik soruları çözmek için matematiğin geniş bir alanına başvurulmasını sağlar. Kartezyen koordinat sistemi, şekiller denklemlere dönüştürüldüğünde geometrik bir problemi bir analiz problemine dönüştürür; bu nedenle analitik geometri olarak adlandırılır. Descartes tarafından ana hatları çizilen bu bakış açısı, antik Yunan matematikçileri tarafından tasarlanan geometri türünü zenginleştirir ve değiştirir. ⓘ

Günümüzde analitik geometri matematiğin aktif bir dalını tanımlamaktadır. Şekilleri karakterize etmek için hala denklemler kullansa da, fonksiyonel analiz ve lineer cebir gibi diğer sofistike teknikleri de kullanır. ⓘ

Kartezyen denklemler

Kartezyen koordinat sistemi, bir düzlemdeki her bir noktayı, noktadan aynı uzunluk birimi kullanılarak işaretlenmiş iki sabit dik yönlü çizgiye olan işaretli mesafeler olan bir çift sayısal koordinatla benzersiz bir şekilde belirten bir koordinat sistemidir. ⓘ

Aynı prensip, üç boyutlu uzaydaki herhangi bir noktanın konumunu, karşılıklı olarak birbirine dik üç düzleme olan işaretli mesafeler olan üç Kartezyen koordinat kullanarak (veya eşdeğer olarak, karşılıklı olarak birbirine dik üç doğruya dik izdüşümü ile) belirtmek için kullanılabilir. ⓘ

Kırmızı ile işaretlenmiş orijin merkezli 2 yarıçaplı bir daire ile Kartezyen koordinat sistemi. Bir dairenin denklemi (x - a)² + (y - b)² = r²'dir; burada a ve b merkezin (a, b) koordinatları ve r yarıçaptır. ⓘ

Kartezyen koordinatların 17. yüzyılda René Descartes (Latince adı: Cartesius) tarafından icat edilmesi, Öklid geometrisi ile cebir arasında ilk sistematik bağlantıyı sağlayarak matematikte devrim yaratmıştır. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak geometrik şekiller (eğriler gibi) Kartezyen denklemlerle tanımlanabilir: şekil üzerinde yer alan noktaların koordinatlarını içeren cebirsel denklemler. Örneğin, bir düzlemde orijin adı verilen belirli bir noktayı merkez alan 2 yarıçaplı bir daire, x ve y koordinatları x² + y² = 4 denklemini sağlayan tüm noktaların kümesi olarak tanımlanabilir. ⓘ

Parametrik denklemler

Bir eğri için parametrik bir denklem, eğrinin noktalarının koordinatlarını parametre adı verilen bir değişkenin fonksiyonları olarak ifade eder. Örneğin,

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

t'nin parametre olduğu birim çember için parametrik denklemlerdir. Bu denklemler birlikte eğrinin parametrik temsili olarak adlandırılır. ⓘ

Parametrik denklem kavramı yüzeylere, manifoldlara ve daha yüksek boyutlu cebirsel çeşitlere genelleştirilmiştir, parametre sayısı manifoldun veya çeşidin boyutuna eşittir ve denklem sayısı manifoldun veya çeşidin dikkate alındığı uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut birdir ve bir parametre kullanılır, yüzeyler için boyut iki ve iki parametre vb.) ⓘ

Sayı teorisi

Diophantine denklemleri

Bir Diophantine denklemi, sadece tamsayı çözümleri aranan iki veya daha fazla bilinmeyenli bir polinom denklemidir (tamsayı çözüm, tüm bilinmeyenlerin tamsayı değerler aldığı bir çözümdür). Doğrusal bir Diophantine denklemi, sıfır veya bir dereceli iki tek terimli toplam arasındaki bir denklemdir. Doğrusal Diophantine denkleminin bir örneği, a, b ve c'nin sabitler olduğu ax + by = c'dir. Üstel bir Diophantine denklemi, denklemin terimlerinin üslerinin bilinmeyen olabileceği bir denklemdir. ⓘ

Diophantine problemleri bilinmeyen değişkenlerden daha az denkleme sahiptir ve tüm denklemler için doğru çalışan tamsayıların bulunmasını içerir. Daha teknik bir dille, cebirsel bir eğri, cebirsel yüzey veya daha genel bir nesne tanımlarlar ve üzerindeki kafes noktalarını sorarlar. ⓘ

Diophantine kelimesi, bu tür denklemler üzerine çalışmalar yapan ve cebire sembolizmi sokan ilk matematikçilerden biri olan 3. yüzyıl Helenistik matematikçisi İskenderiyeli Diophantus'a atıfta bulunur. Diophantus'un başlattığı Diophantine problemlerinin matematiksel incelemesi günümüzde Diophantine analizi olarak adlandırılmaktadır. ⓘ

Cebirsel ve transandantal sayılar

Cebirsel bir sayı, rasyonel katsayılı (veya eşdeğer olarak - paydaları temizleyerek - tamsayı katsayılı) tek değişkenli sıfır olmayan bir polinom denkleminin çözümü olan bir sayıdır. Cebirsel olmayan π gibi sayıların transandantal olduğu söylenir. Neredeyse tüm reel ve karmaşık sayılar aşkındır. ⓘ

Cebirsel geometri

Cebirsel geometri, klasik olarak polinom denklemlerinin çözümlerini inceleyen bir matematik dalıdır. Modern cebirsel geometri, geometrinin dili ve problemleri ile soyut cebirin, özellikle de değişmeli cebirin daha soyut tekniklerine dayanır. ⓘ

Cebirsel geometrinin temel çalışma nesneleri, polinom denklem sistemlerinin çözümlerinin geometrik tezahürleri olan cebirsel çeşitlerdir. Cebirsel çeşitlerin en çok çalışılan sınıflarının örnekleri şunlardır: doğrular, daireler, paraboller, elipsler, hiperboller, eliptik eğriler gibi kübik eğriler ve lemniscates gibi kuartik eğriler ve Cassini ovallerini içeren düzlem cebirsel eğriler. Düzlemdeki bir nokta, koordinatları verilen bir polinom denklemini sağlıyorsa cebirsel bir eğriye aittir. Temel sorular, tekil noktalar, bükülme noktaları ve sonsuzdaki noktalar gibi özel ilgi noktalarının incelenmesini içerir. Daha ileri düzey sorular, eğrinin topolojisini ve farklı denklemler tarafından verilen eğriler arasındaki ilişkileri içerir. ⓘ

Diferansiyel denklemler

Belirli bir diferansiyel denklem çözülürken ortaya çıkan garip bir çekici ⓘ

Diferansiyel denklem, bir fonksiyonu türevleriyle ilişkilendiren matematiksel bir denklemdir. Uygulamalarda, fonksiyonlar genellikle fiziksel büyüklükleri, türevler ise bunların değişim oranlarını temsil eder ve denklem bu ikisi arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu tür ilişkiler son derece yaygın olduğundan, diferansiyel denklemler fizik, mühendislik, ekonomi ve biyoloji dahil olmak üzere birçok disiplinde önemli bir rol oynamaktadır. ⓘ

Saf matematikte diferansiyel denklemler, çoğunlukla denklemi sağlayan fonksiyonlar kümesi olan çözümleriyle ilgilenen birkaç farklı perspektiften incelenir. Sadece en basit diferansiyel denklemler açık formüllerle çözülebilir; ancak, belirli bir diferansiyel denklemin çözümlerinin bazı özellikleri tam formları bulunmadan belirlenebilir. ⓘ

Çözüm için bağımsız bir formül mevcut değilse, çözüm bilgisayarlar kullanılarak sayısal olarak yaklaştırılabilir. Dinamik sistemler teorisi, diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemlerin niteliksel analizine vurgu yaparken, çözümleri belirli bir doğruluk derecesiyle belirlemek için birçok sayısal yöntem geliştirilmiştir. ⓘ

Adi diferansiyel denklemler

Adi diferansiyel denklem veya ODE, tek bir bağımsız değişkenin fonksiyonunu ve türevlerini içeren bir denklemdir. "Adi" terimi, birden fazla bağımsız değişkene göre olabilen kısmi diferansiyel denklem teriminin aksine kullanılır. ⓘ

Katsayılarla toplanabilen ve çarpılabilen çözümlere sahip olan doğrusal diferansiyel denklemler iyi tanımlanmış ve anlaşılmıştır ve kesin kapalı form çözümleri elde edilir. Buna karşılık, eklemeli çözümleri olmayan ODE'ler doğrusal değildir ve bunları çözmek çok daha karmaşıktır, çünkü nadiren kapalı formda temel fonksiyonlarla temsil edilebilirler: Bunun yerine, ODE'lerin kesin ve analitik çözümleri seri veya integral formundadır. Elle veya bilgisayarla uygulanan grafiksel ve sayısal yöntemler, ODE'lerin çözümlerini yaklaşık olarak gösterebilir ve belki de tam, analitik çözümlerin yokluğunda genellikle yeterli olan yararlı bilgiler sağlayabilir. ⓘ

Kısmi diferansiyel denklemler

Kısmi diferansiyel denklem (PDE), bilinmeyen çok değişkenli fonksiyonları ve bunların kısmi türevlerini içeren bir diferansiyel denklemdir. (Bu, tek değişkenli fonksiyonlar ve bunların türevleriyle ilgilenen adi diferansiyel denklemlerin tersidir). PDE'ler birkaç değişkenli fonksiyonları içeren problemleri formüle etmek için kullanılır ve ya elle çözülür ya da ilgili bir bilgisayar modeli oluşturmak için kullanılır. ⓘ

PDE'ler ses, ısı, elektrostatik, elektrodinamik, sıvı akışı, esneklik veya kuantum mekaniği gibi çok çeşitli olguları tanımlamak için kullanılabilir. Görünüşte birbirinden farklı olan bu fiziksel olgular, PDE'ler açısından benzer şekilde biçimlendirilebilir. Adi diferansiyel denklemlerin genellikle tek boyutlu dinamik sistemleri modellemesi gibi, kısmi diferansiyel denklemler de genellikle çok boyutlu sistemleri modeller. PDE'ler genelleştirmelerini stokastik kısmi diferansiyel denklemlerde bulurlar. ⓘ

Denklem türleri

Denklemler, işlem türlerine ve ilgili miktarlara göre sınıflandırılabilir. Önemli türleri şunlardır:

• Cebirsel denklem veya polinom denklemi, her iki tarafın da polinom olduğu bir denklemdir (ayrıca bkz. polinom denklem sistemi). Bunlar ayrıca dereceye göre sınıflandırılır:
  • birinci derece için doğrusal denklem
  • ikinci derece için ikinci dereceden denklem
  • üçüncü derece için kübik denklem
  • dördüncü derece için kuartik denklem
  • beşinci derece için beşli denklem
  • altıncı derece için seksitik denklem
  • Yedinci derece için septik denklem
  • sekizinci derece için kutup denklemi
• Bir Diophantine denklemi, bilinmeyenlerin tam sayı olması gereken bir denklemdir
• Transandantal denklem, bilinmeyenlerinin transandantal bir fonksiyonunu içeren bir denklemdir
• Parametrik denklem, değişkenler için çözümlerin, denklemlerde görünen parametreler olarak adlandırılan diğer bazı değişkenlerin fonksiyonları olarak ifade edildiği bir denklemdir
• Fonksiyonel denklem, bilinmeyenlerin basit nicelikler yerine fonksiyonlar olduğu bir denklemdir
• Türevler, integraller ve sonlu farklar içeren denklemler:
  • Diferansiyel denklem, bilinmeyen fonksiyonların türevlerini içeren, fonksiyon ve türevlerinin aynı noktada değerlendirildiği fonksiyonel bir denklemdir, örneğin $f'(x)=x^{2}$. Diferansiyel denklemler, tek değişkenli fonksiyonlar için adi diferansiyel denklemler ve çok değişkenli fonksiyonlar için kısmi diferansiyel denklemler olarak alt bölümlere ayrılır
  • İntegral denklem, bilinmeyen fonksiyonların karşıt türevlerini içeren fonksiyonel bir denklemdir. Tek değişkenli fonksiyonlar için böyle bir denklem, diferansiyel denklemden temel olarak fonksiyonun yerine türevini koyan bir değişken değişikliği ile ayrılır, ancak integral açık bir yüzey üzerinde alındığında durum böyle değildir
  • Bir integro-diferansiyel denklem, bilinmeyen fonksiyonların hem türevlerini hem de antiderivatiflerini içeren fonksiyonel bir denklemdir. Tek değişkenli fonksiyonlar için böyle bir denklem, benzer bir değişken değişikliği yoluyla integral ve diferansiyel denklemlerden farklıdır.
  • Gecikmeli diferansiyel denklemin fonksiyonel bir diferansiyel denklemi, bilinmeyen fonksiyonların türevlerini içeren ve birden fazla noktada değerlendirilen bir fonksiyon denklemidir, örneğin $f'(x)=f(x-2)$
  • Fark denklemi, bilinmeyenin denklemde f(x), f(x-1), ..., f(x-k) şeklinde yer alan bir f fonksiyonu olduğu ve denklemin mertebesi olarak adlandırılan bazı tam k sayıları için bir denklemdir. Eğer x bir tamsayı olarak sınırlandırılırsa, bir fark denklemi bir yineleme bağıntısı ile aynıdır
  • Stokastik diferansiyel denklem, bir veya daha fazla terimin stokastik bir süreç olduğu bir diferansiyel denklemdir ⓘ